Статья

Статья на тему Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-06-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.4.2025


Н.М. Кащенко

1. Численный метод интегрирования вырожденных эллиптических уравнений

В предположении обычных при моделировании ионосферы приближениях малости инерционных сил для заряженной составляющей плазмы и квазипотенциальности силовых линий магнитного поля Земли уравнения переноса заряженных частиц имеют вид [3]:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы (1)

В этих уравнениях ni — концентрация частиц, qi — источники и потери, Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы — матрица коэффициентов диффузии, имеющая только продольные компоненты, Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы — скорость переноса частиц. Аналогичный вид имеют уравнения теплопроводности.

Часто удобно решать уравнения таких моделей конечно-разностным методом на прямоугольных сетках в сферической системе координат. При этом возникает проблема решения вырожденных эллиптических уравнений со смешанными производными. Разностная аппроксимация таких уравнений приводит к разностным схемам, для которых не выполнено условие монотонности даже при аппроксимации в терминах потоков. Запись этих уравнений в дипольной системе координат после аппроксимации по переменной t приводит к уравнениям вида:

(-Au¢ + Bu)¢ + Cu = D, A > 0, C Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0, D Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0. (2)

Здесь дифференцирование проводится по продольной координате, которую обозначим b.

Для решения таких уравнений предлагается в (2) факторизовать дифференциальный оператор (дифференциальная прогонка), затем факторизованную запись преобразовать в сферическую систему координат и решать факторизованные уравнения в этой системе по схеме бегущего счета. После факторизации уравнения (2) получаем систему

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы (3)

Здесь e и z являются вспомогательными функциями. Первое и второе уравнения интегрируются в направлении возрастания b, а третье интегрируется в направлении убывания b. Систему (3) можно решать на прямоугольной сетке исходной системы координат, используя соответствующие разностные аппроксимации и схемы бегущего счета.

Пусть (x, y) — исходная система координат, а (a, b) — новая система и пусть для формул перехода справедливо соотношение:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Тогда Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы поэтому Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы и Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы аппроксимируются разностями назад при n > 0 и разностями вперед при n < 0, а Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы — разностями в обратном порядке. Аналогичные аппроксимации применяются и для производных по переменной y. Тогда суммарная погрешность аппроксимации имеет вид Dz + (ADu)¢ - uDe - eDu, где Dz, Du, De — погрешности аппроксимаций в уравнениях для z, u и e соответственно.

В зависимости от аппроксимации недифференциальных членов системы (3) получается семейство разностных схем с разными величинами суммарной погрешности аппроксимации. Параметры семейства следует подбирать для получения нужного свойства разностной схемы, например, для получения аппроксимации второго порядка. В ионосферных моделях для дополнительного уменьшения погрешностей аппроксимации область интегрирования делится пополам и применяется встречная дифференциальная прогонка с условиями гладкости решения на границе деления [3]. Описанная схема реализована на языке программирования Fortran в рамках численной модели ионосферы.

2. Некоторые варианты скалярной прогонки

Решение трехточечных разностных уравнений методом прогонки основано на неявной факторизации соответствующего разностного оператора. В [2] рассмотрены некоторые варианты решения трехточечных разностных уравнений, но, как указано в [1], анализ вычислительной устойчивости проведен не полностью. В работе [1] показано, что классическая запись прогонки даже при диагональном преобладании имеет погрешность порядка O(n3), и там же приведены примеры, показывающие, что при количестве узлов порядка 300 и использовании обычной точности могут получаться большие погрешности (десятки процентов и более). Там же указаны способы уменьшения этих погрешностей, в частности, с помощью преобразования прогонки к безразностному виду.

Рассмотрим некоторые варианты прогонок без разностей. В этом случае, как указано в [1], погрешности округлений накапливаются со скоростью не более чем O(n2), а при некоторых условиях на коэффициенты — O(n). Приведем несколько вариантов безразностных прогонок.

1. B = 0. Этот случай рассмотрен в [1], а разностная схема для (2) имеет вид:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

ai > 0, bi Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0, ci > 0, di Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0.

В этих уравнениях выполнено условие диагонального преобладания.

Прямой ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

При этом 0 < ei < 1.

Обратный ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Здесь Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Следовательно, формулы обратного хода можно записать в безразностном виде:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Кроме уменьшения порядка роста погрешностей этот вариант прогонки доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.

2. B ¹ 0. В этом случае разностная схема имеет вид:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

ai > 0, bi Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0, ci > 0, di Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0.

В этих уравнениях условие диагонального преобладания в общем случае не выполнено.

Прямой ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

При этом 0 < ei < 1.

Обратный ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Здесь Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Следовательно, формулы обратного хода можно записать в безразностном виде:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Как и в предыдущем случае, кроме уменьшения порядка роста погрешностей этот вариант прогонки доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.

3. Циклический случай с B = 0. Разностные уравнения имеют вид:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

ai > 0, bi Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0, ci > 0, di Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы 0,

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Прямой ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Вспомогательный ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Вычисление Yn:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

В этих формулах величины ri, si, ui соответствуют уравнениям:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Обратный ход прогонки:

Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

В этом варианте прогонки также отсутствуют разности, что, как и в предыдущих случаях, кроме уменьшения порядка роста погрешностей доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.

Список литературы

1. Ильин В.П. Прямой анализ устойчивости метода прогонки // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического программирования. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1985. С. 189—201

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 519 с.

3. Кащенко Н.М., Захаров В.Е. Численный метод интегрирования системы уравнений переноса ионосферной плазмы // Доклады международного математического семинара. Калининград: Издательство КГУ, 2002. С. 287—290


1. Реферат на тему Success Essay Research Paper What makes a
2. Курсовая Сенат Российской империи
3. Реферат на тему Sexual Addiction Essay Research Paper Sexual Addiction
4. Реферат на тему Alcoholq Essay Research Paper Alcoholism refers to
5. Реферат Движение Сопротивления Болгария
6. Реферат Деградационно-восстановительная динамика лесных фитоценозов после нефтяного загрязнения
7. Реферат ЛфК при заболеваниях дыхательных путей
8. Шпаргалка Шпоры по экономической теории 3
9. Реферат на тему Contemplating Racism Essay Research Paper Contemplating Racism
10. Курсовая Облік розрахунків з різними дебіторами