Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет, кафедра математическогомоделирования, 644077 Омск, пр. Мира,55-A
Изучение упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки". Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок

, заданный семейством

подмножеств An, для которого выполнены условия: (1)

; (2) если

, то

; (3) если

, то

. Несвязность порядка

означает, что

. Предполагаем далее, что верно следующее: (i)

; (ii)

для любой

.
Замечание 1. Для любого множества A, будем через

, int A, и

обозначать соответственно замыкание, внутренность и границу множества A.
Назовем внешним конусом множества Px следующее множество:
где lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку

. Считаем далее, что Cx - конус "с острой вершиной", то есть не содержит прямой. Известным является факт [1], что семейство

внешних конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм

, для которого f(Px)=Pf(x) для любой точки

, назовем порядковым

-автоморфизмом. Множество всех порядковых

-автоморфизмов будет группой, которую обычно обозначают

. Подгруппа группы

, сохраняющая фиксированную точку

, обозначается

.
Порядок

называется

- однородным или гранично однородным, если для любых

найдется

такой, что f(x)=y.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть

, n>2, инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:
(1) существует семейство

равных и параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной такое, что

для любых

и

;
(2) порядок

- гранично однородный.
Тогда любой порядковый

-автоморфизм будет аффинным преобразованием.
Доказательство .
Для любой точки

рассмотрим следующее множество
где объединение берется по всем

-автоморфизмам f из стабилизатора

таких, что f(v) = uo .
Нетрудно видеть, что

, так как тождественное преобразование id, очевидно, принадлежит

и для него имеем: id(u0) = u0,

и поэтому

. В частности,

,

, так как для любого

f(e) = e.
По условию (1)

и, кроме того, если

, то
то есть семейство

сохраняется

-автоморфизмами из

.
Замечание 2. Не следует думать, что в определении множества

,

, f(v) = x точка v- фиксированная. Точка

, то есть v- точка из орбиты точки x, для которой определяется множество Dx.
Рассмотрим далее множества
Легко видеть, что

(здесь C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v). В самом деле, для любой точки

,

имеем

(семейство

задает порядок в An). Поэтому для

, f(v) = u0 имеем

и

. Если же

то

и

. Это противоречит тому, что

. Значит

для любой точки

.
Отметим теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x- содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что

,

, где

,

- полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy,

по компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с

непустое пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие

по компактному множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с

некомпактное пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе

. Все остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что

, а

и также

,

, что противоречит выбору Tx.
Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то

и

, что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть

- эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства

и

такие, что

,

. Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что

и множество

- компактно. Если теперь точка

, то

. Поскольку

и порядок

- гранично однородный, то для любой точки

будет верно следующее:
Действительно, вследствие граничной однородности порядка

для любых точек

найдется

такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но

, поэтому

и, следовательно,

.
Покажем теперь, что наш порядок

будет максимально линейчатым, то есть для любой точки

имеем

. Предположим, что это не так и найдется точка

такая, что луч

не лежит полностью в Qe, то есть

.
Если

, то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть

,

точка, которая вместе с некоторым шаром

с центром в точке v0 положительного радиуса

лежит в

. Точка

, значит найдется

такое, что шар

имеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку

. Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с

уже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где

, вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где

, так как

,

,

. В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества

.
Пусть точка

. Тогда по доказанному выше

(см. (

)), но, поскольку

, множество

содержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (

). Значит порядок

- максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый

-автоморфизм

будет аффинным преобразованием.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть

, n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство

внешних конусов порядка

является семейством равных и параллельных эллиптических конусов.
Тогда любой порядковый

-автоморфизм

будет преобразованием Лоренца.
Список литературы Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.
Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.
Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/