Статья Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.12.2024

Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

$div\vec{D}$	=	ρ
$rot\vec{E}$	=	$\vec{0}$

При этом

$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon \vec{E}, \vec{E} = -\nabla\varphi$

(4)

В вакууме ε = 1, так что

$div\vec{D}=\varepsilon_0 div \vec{E} = -\varepsilon_0 div grad \varphi = -\varepsilon_0 \Delta \varphi (\Delta - {\rm оператор Лапласа})$

(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

$grad \varphi = \nabla\varphi$	=	$\frac{\partial \varphi} {\partial x}\vec{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} - {\rm декартова}$	(6)
		$\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec{e}_r - {\rm цилиндрическая}$	(7)
		$\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec{e}_r - {\rm сферическая система}$	(8)

$div \vec{A} = \nabla\cdot\vec{A}$	=	$\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z} {\partial z} - {\rm декартова}$	(9)
		$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rA_r \right) - {\rm цилиндрическая}$	(10)
		$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2A_r \right) - {\rm сферическая система}$	(11)

Δ φ	=	$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \varphi} {\partial z^2} - {\rm декартова}$	(12)
		$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \varphi} {\partial r} \right) - {\rm цилиндрическая}$	(13)
		$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) - {\rm сферическая система}$	(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

$rot \vec{A}$

$\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \vec{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial A_y} {\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \vec{k}$

(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле $\vec{E} = \alpha x \exp(-\beta x^2)\vec{i}$ . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ	=	$div\vec{D} = \varepsilon_0 div\vec{E}$
ρ	=	$\varepsilon_0 \frac{{\rm d}E_x}{{\rm d}x} = \varepsilon_0 \alpha \exp(-\beta x^2)(1-2\beta x^2)$

Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

$\varphi(x) = -\int\limits_{x^*, \varphi(x^*)=0}^x E_x(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}$

В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:

$\varphi(x) = -\int\limits_{0}^x E_x(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}$

В качестве переменной интегрирования мы используем $\tilde{x}$ , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x)	=	$-\int\limits_{0}^x \alpha \tilde{x} \exp(-\beta \tilde{x}^2){\rm d}\tilde{x} =$
	=	$\left.\frac{\alpha}{2\beta}\cdot \exp(-\beta \tilde{x}^2)\right\|_0^x = -\frac{\alpha}{2\beta}\left(1- \exp(-\beta x^2)\right)$

Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

$\vec{E} = E_r\vec{e_r} = -\nabla \varphi = -\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}r} \vec{e_r} = -2ar\vec{e_r}$

После этого сразу записывается $\vec{D}$ (у нас ε = 1):

$\vec{D} (= D_r\vec{e_r}) = \varepsilon_0 \cdot \vec{E}$

Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

$\rho = div\vec{D} = \frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}} {{\rm d}r}\left(r^2D_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}} {{\rm d}r}\left(-\varepsilon_0\cdot 2ar^3\right) = -6\varepsilon_0a$

Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле $\vec{E} = Ar\exp(-\alpha r)\vec{e}_r$ , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), $\varphi(r) = \frac{A}{\alpha^2} \exp(-\alpha r)(1+\alpha r)$

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности ( $rot \vec{E}=\vec{0}$ ) для поля $\vec{E} = 2axy\vec{i} + a(x^2+y^2) \vec{j}$ и для поля $\vec{E} = 2axy^2\vec{i} + a(x^2+y^2) \vec{j}$ .

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Bukvasha