Статья

Статья Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024





Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

div\vec{D}

 =

ρ



rot\vec{E}

 =

\vec{0}



При этом

 \vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon \vec{E}, \vec{E} = -\nabla\varphi

(4)

В вакууме ε = 1, так что

div\vec{D}=\varepsilon_0 div \vec{E} = -\varepsilon_0 div grad \varphi = -\varepsilon_0 \Delta \varphi (\Delta - {\rm оператор Лапласа})

(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

grad \varphi = \nabla\varphi

 =

\frac{\partial \varphi} {\partial x}\vec{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} - {\rm декартова}

(6)





\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec{e}_r - {\rm цилиндрическая}

(7)





\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec{e}_r - {\rm сферическая система}

(8)



div \vec{A} = \nabla\cdot\vec{A}

 =

\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z} {\partial z} - {\rm декартова}

(9)





\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rA_r \right) - {\rm цилиндрическая}

(10)





\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2A_r \right) - {\rm сферическая система}

(11)



Δ φ

 =

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \varphi} {\partial z^2} - {\rm декартова}

(12)





\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \varphi} {\partial r} \right) - {\rm цилиндрическая}

(13)





\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) - {\rm сферическая система}

(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

rot \vec{A}

 =

\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \vec{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial A_y} {\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \vec{k}

(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле \vec{E} = \alpha x \exp(-\beta x^2)\vec{i}. Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ

 =

div\vec{D} = \varepsilon_0 div\vec{E}



ρ

 =

\varepsilon_0 \frac{{\rm d}E_x}{{\rm d}x} = \varepsilon_0 \alpha \exp(-\beta x^2)(1-2\beta x^2)



Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

\varphi(x) = -\int\limits_{x^*, \varphi(x^*)=0}^x E_x(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}







В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:

\varphi(x) = -\int\limits_{0}^x E_x(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}







В качестве переменной интегрирования мы используем \tilde{x}, чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x)

 =

-\int\limits_{0}^x \alpha \tilde{x} \exp(-\beta \tilde{x}^2){\rm d}\tilde{x} =





 =

\left.\frac{\alpha}{2\beta}\cdot \exp(-\beta \tilde{x}^2)\right|_0^x = -\frac{\alpha}{2\beta}\left(1- \exp(-\beta x^2)\right)



Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

\vec{E} = E_r\vec{e_r} = -\nabla \varphi = -\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}r} \vec{e_r} = -2ar\vec{e_r}







После этого сразу записывается \vec{D}(у нас ε = 1):

\vec{D} (= D_r\vec{e_r}) = \varepsilon_0 \cdot \vec{E}







Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

\rho = div\vec{D} = \frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}} {{\rm d}r}\left(r^2D_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}} {{\rm d}r}\left(-\varepsilon_0\cdot 2ar^3\right) = -6\varepsilon_0a









Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле \vec{E} = Ar\exp(-\alpha r)\vec{e}_r, α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), \varphi(r) = \frac{A}{\alpha^2} \exp(-\alpha r)(1+\alpha r)

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности (rot \vec{E}=\vec{0}) для поля \vec{E} = 2axy\vec{i} + a(x^2+y^2) \vec{j}и для поля \vec{E} = 2axy^2\vec{i} + a(x^2+y^2) \vec{j}.

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r



1. Реферат Мазепа, Иван Степанович
2. Контрольная работа Контрольная работа по банковскому делу
3. Реферат на тему Vocab Essay Research Paper Pride being
4. Биография на тему Анненкова Прасковья Егоровна
5. Курсовая Молодежные субкультуры 2 Связь молодежной
6. Реферат на тему The Silk Road Essay Research Paper The
7. Реферат Применение методики непосредственной количественной оценки для решения практических задач на
8. Контрольная работа на тему Борьба с экологическими загрязнениями
9. Презентация Холодный ядерный синтез
10. Контрольная работа Ислам как мировая религия 2