Устойчивость упругих систем

В работе представлен небольшой обзор некоторых аспектов теории динамической устойчивости упругих систем.
Some aspects of the theory of dynamical instability are briefly reviewed.

Статика

Задача устойчивости упругих систем впервые была сформулирована Л. Эйлером совместно с Д. Бернулли, в результате дискуссий о вариационном подходе к решению задач упругих эластик [1]. К тому времени уже была известна формула Я. Бернулли для выражения кривизны упругой линии [2]. Интересно, что различные аспекты этой задачи были притягательны для Эйлера в течение долгого времени, начиная с 1744 года, когда ученому было 37 лет, и до 1778 года. В трактате [2] Эйлер исследовал малые изгибные деформации упругого стержня длины , обладающего изгибной жесткостью , сжатого постоянной силой , описываемые уравнением: . Краевые условия на изгибные смещения имеют вид . Нетривиальное решение уравнения, , появляется при критических значениях сжимающей силы , где . Если , то форма стержня устойчива, иначе, , стержень уже не может упруго сопротивляться появлению изгибных перемещений. В самом деле, рассматриваются две альтернативные физические конфигурации "критически" сжатого стержня - тривиальная и нетривиальная, характеризуемые потенциальной энергией , где  - продольные смещения. Тривиальная конфигурация обладает энергией , поскольку , в то время как энергия изогнутого состояния , так что их разница равна , где  - произвольная константа. В случае , тривиальная конфигурация должна быть устойчивой, поскольку деформированное изогнутое состояние характеризуется "дефицитом" энергии, при . Напортив, при  деформированное изогнутое состояние появляется спонтанно, поскольку .
На первый взгляд может показаться, что достаточно некоторого тривиального обобщения статической теории Эйлера, например на системы с начальными геометрическими несовершенствами, чтобы ответить на вопрос какие именно изгибные формы должны появиться при заданном произвольном нагружении. Однако, изучение задачи в динамической постановке сразу же приводит к появлению некоторых неожиданных результатов.

Динамика

Оказалось, что изгибная форма, возникающая в стержне при приложении к его торцу внезапной нагрузки, становится "высокочастотной" по отношению к той, которая предсказывается статической теорией Эйлера. Математическая модель, описывающая подобный эффект была впервые предложена в работе [3] в виде следующих уравнений:  с граничными условиями  и . Здесь  - площадь поперечного сечения стержня;  - массовая плотность; функция  обозначает начальные геометрические несовершенства стержня. Преобразование Фурье (  и ) этих уравнений позволяет получить эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: , обладающими неустойчивыми решениями , где  - произвольные константы интеграции;  - инкременты неустойчивости. Отсюда следует вывод, что изгибные формы с инкрементом  должны преобладать в процессе динамической неустойчивости, вызванной ударным нагружением. Это означает, что .
Физическая интерпретация этого результата может быть такова. Первоначально только небольшой участок стержня, , примыкающий непосредственно к нагружаемому торцу, подвергается критическому обжатию , т.е. . Формируется волна сжатия. При прохождении этой волны, идет быстрый переходный процесс трансформации продольной волны сжатия в неустойчивые квазигармонические изгибные формы содержащие до  полуволн. И наконец, номер доминирующей изгибной формы становится равным . Такого рода сценарий развития динамической неустойчивости, во многом основанный на интуитивных соображениях, подтверждается численным интегрированием модельных уравнений, вытекающих из уточненной теории тонких стержней Бресса-Тимошенко [4], в которых учитываются эффекты инерции поперечных сечений [1]:
(1) ,
где  и  обозначают типичные скорости распространения продольных и сдвиговых волн, соответственно (заметим, что значение сдвигового модуля  не может превышать значение модуля Юнга ), а продольные смещения  подчинены волновому уравнению[2]
(2) .
Решение этой пары уравнений должно удовлетворять начальным и граничным условиям:

Здесь  обозначает функцию дельта типа ( , в противном случае );  - масса и  - абсолютная скорость предмета, ударяющего в торец стержня, . Начальные несовершенства стержня моделировались введением малой аддитивной добавки  в уравнение (1). Решение этих уравнений описывает переходный процесс, приводящий к формированию стоячей изгибной волны с критической длиной полуволны , где  - радиус инерции поперечного сечения;  - некоторый подстроечный коэффициент. При , наблюдается хорошее согласование результата с выводами работы [3], поскольку  в данном случае.
Результат установленный в работах [3] и [4], будучи в свое время весьма прогрессивными, тем не менее, не лишен некоторых рудиментарных черт, свойственных статической теории Эйлера. Очевидна попытка обобщения статической теории на динамическую, однако всякая статическая задача должна быть предельным случаем задачи динамики. В связи с этими замечанием, рассматривается задача о стационарных волнах на основе решения нелинейных уравнений (1) и (2) без граничных условий в сопровождающей системе отсчета ( ), где  - некоторая скорость, подлежащая последующему определению:
(3) .
Здесь  и . При , уравнение (3) обладает периодическими решениями с жесткой амплитудно-частотной характеристикой, выражаемыми через эллиптические функции Якоби [5], в то время как локализованные решения, при , следует считать физически нереализуемыми. Таким образом, нетривиальное локализованное стационарное решение уравнений (1) и (2), в виде комбинации продольной и изгибной волн, отсутствует. Поэтому задача динамической неустойчивости никак не сводится в данной постановке к задаче квазистатической.
На самом деле, по-видимому, существуют два основных класса задач по проблеме динамической неустойчивости, когда [4]
продольное нагружение медленно меняется во времени и некоторыми или всеми типами волнового движения можно пренебречь;
продольная нагрузка ударная и динамика волн играет принципиальную роль в процессе потери устойчивости упругой системой.
При изучении этих задач неизбежно возникают следующие общие вопросы.
Какие динамические эффекты должны адекватно описываться модельными уравнениями? Известно, что уравнения, вытекающие из теории тонких оболочек применимы в основном лишь в так называемом длинноволновом приближении. Это означает, что характерная длина волны должна быть снизу ограничена, скажем, по меньшей мере, десятью толщинами тонкостенной конструкции. Однако, при ударном нагружении динамический процесс является существенно коротковолновым. В последнем случае, для адекватного описания динамики системы, требуется привлечение основных уравнений теории упругости, которые весьма сложны по своей математической структуре и трудны для аналитических исследований. Поэтому необходим некий разумный компромисс в выборе модельных уравнений и обоснование их применения [6].
Каковы механизмы динамической неустойчивости, и какие формы колебаний должны преобладать на ее начальной стадии развития? Можно предположить, что динамическая неустойчивость появляется в результате нелинейных многоволновых взаимодействий. Очевидно, что на начальной стадии динамика системы может быть адекватно описана в так называемом параметрическом приближении. Это означает, что сначала можно ограничиться моделью, представленной линеаризованными уравнениями движения с переменными в пространстве и времени коэффициентами.
Существует ли динамический процесс, по своим свойствам противоположный динамической неустойчивости, т.е. можно ли стабилизировать форму конструкции с помощью некого управляемого колебательного процесса? Известно, что вынужденные высокочастотные колебания линейных механических системы могут обратить ее неустойчивое/устойчивое состояние равновесия в устойчивое/неустойчивое [7 - 10]. Тем не менее, прогноз динамической устойчивости на больших временных интервалах требует изучения существенно нелинейных динамических моделей.

Параметрическое приближение

Следуя постановке задач, представленных в работах [3] и [4], рассматривается так называемая модель Бернулли-Эйлера, описывающая нелинейные колебания тонкого стержня с помощью следующих уравнений [11]
(4)
с краевыми условиями

Заметим, что область применимости модели уверенно можно ограничить условием, что характерная скорость волнового процесса не должна превышать скорости распространения продольных волн .
В случае исчезающе малых колебаний эта система уравнений представляет собой два линейных уравнения, которые могут быть разрешены независимо.
Пусть , тогда линеаризованное уравнение для продольных смещений представляет собой простое волновое уравнение, имеющее вынужденное решение
,
где частоты  связаны с волновыми числами  дисперсионным соотношением .
Заметим[3], что , при любом значении .
В свою очередь, линеаризованное уравнение для изгибных волн принимает вид
(5) .
Очевидно, что в правой части уравнения (5) содержится пространственно-временной параметр в форме суперпозиции стоячих волн.
Учет "волны параметра" становится принципиальным, если типичная скорость продольных волн оказывается сравнимой с групповыми скоростями изгибных волн.
В противном случае можно, формально полагая, что  или , ограничиться изучением следующей простейшей модели:
(6) ,
которая описывает лишь только параметрическое возбуждение системы во времени. Решение уравнения (5) можно построить с помощью метода Бубнова-Галеркина: , где  - волновые числа изгибных волн;  - амплитуды, определяемые из решения системы обыкновенных уравнений

(7) .
Здесь

коэффициент, содержащий параметры расстройки по волновым числам, , которые, в свою очередь, не могут быть равными нулю в отсутствие резонанса;  - частоты изгибных волн при , и как и прежде  - критические значения силы Эйлера.
Уравнения (7) описывают раннюю стадию эволюции волн за счет многомодовых параметрических взаимодействий. Возникает ключевой вопрос о сопоставимости возмущенных орбит системы (7) и траекторий соответствующей невозмущенной подсистемы
(8) ,
которая получается из уравнений (7) при . Другими словами, - насколько эффективен динамический отклик системы (7) на малое параметрическое возбуждение? Сначала перепишем систему (7) в эквивалентной матричной форме: , где  - вектор решения;  -  матрица собственных чисел;  -  квазипериодическая матрица с компонентами на основных частотах . Следуя стандартной методике теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений (7) ищется в той же форме, что и для уравнений (8), где константы интеграции рассматриваются как новые искомые переменные, например , где  - вектор нетривиального колебательного решения линейного однородного уравнения (8), характеризуемого набором собственных чисел . После подстановки  в (7) получаются уравнения первого приближения в представлении решения рядом по малому параметру : . Правые части этих уравнений очевидно представляются суперпозицией периодических функций на комбинационных частотах . Таким образом, в первом приближении решение уравнения (7) оказывается ограниченными квазипериодическими функциями[4], когда комбинации частот ; в противном случае в системе возникают резонансы.
В нерезонансном случае можно продолжить асимптотическую процедуру нахождения решения, т.е. , для определения высших приближений к истинному решению[5]. Другими словами, мера динамического возмущения системы оказывается того же порядка, что и мера параметрического возбуждения. Напротив, в резонансном случае решение уравнений (7), вообще говоря, нельзя представить сходящимся рядом по . Следовательно, возможен эффективный отклик системы даже на очень небольшое параметрическое возбуждение. В частном случае внешнего воздействия , уравнения (7) можно весьма упростить:

(9)
при условии, что пара изгибных волн с волновыми числами  и , создает малую волновую расстройку , т.е. , и малую частотную расстройку , т.е. . Значения величин  и  можно также без всякого принципиального ущерба считать малыми. Выражения  и  можно интерпретировать как условия фазового синхронизма, необходимые для формирования резонансной тройки волн, состоящей из первичной высокочастотной продольной волны, возбуждаемой при помощи внешней гармонической силы , и вторичных низкочастотных изгибных волн, параметрически возбуждаемых за счет резонанса со стоячей продольной волной.
Заметим, что в случае упрощенной модели (6), соответствующая система амплитудных уравнений сводится к единственному уравнению типа уравнения Матье, широко применяемому во многих прикладных задачах:

Известно, что это уравнение обладает неустойчивыми решениями при малых расстойках  и . Решение уравнений (7) можно найти методом Ван-дер-Поля:
(10) ; ,
где  и  - новые неизвестные координаты.
Подставляя это выражение в (9), получаем уравнения первого приближения:
(11) ; ,
где  - коэффициент параметрического возбуждения;  обобщенная фаза, удовлетворяющая следующему уравнению: . Уравнения (10) и (11), обладая гамильтоновой структурой, очевидно, обладают первыми интегралами  и , позволяющими проинтегрировать систему аналитически. При  существуют квазигармонические решения (10) и (11), когда , что ассоциируется с границами областей устойчивости в пространстве параметров системы.
С физической точки зрения можно утверждать, что параметрическое возбуждение изгибных волн проявляется как вырожденный случай нелинейных многоволновых взаимодействий. Это означает, что изучение резонансных свойств нелинейных свободно осциллирующих упругих систем весьма принципиально для понимания природы динамической неустойчивости.

Трехволновые резонансные взаимодействия

Свободные многочастотные нелинейные колебания бесконечно длинного тонкого прямолинейного стержня впервые изучались в работе [13], на основе уравнений модели Бернулли-Эйлера. В отличие от стандартного подхода к подобным задачам, авторы при формулировке проблемы первично выдвинули предположение о существовании фазового синхронизма между волнами:
(12) ; ,
где  и  - частоты и соответствующие волновые векторы резонансно взаимодействующих волн. Возникал вопрос о том, волны какого типа могут могут вовлекаться в резонансное взаимодействие. Было обнаружено существование двух типов резонансных триад в стержне. Триада одного типа состояла из высокочастотной продольной волны, , и пары низкочастотных изгибных волн,  и , в то время как триада другого типа состояла из высокочастотной изгибной волны, , и пары низкочастотных волн,  и , одна из которых была продольной, а вторая изгибной. Эволюционные уравнения волновых триплетов описываются уравнениями
(13) ,
где  - комплексные амплитуды волн;  - кубический потенциал трехволнового взаимодействия. Эти уравнения обладают первыми интегралами в форме соотношений Менли-Роу
(14)
с помощью которых ограниченные решения эволюционных уравнений (13) всегда выражается через эллиптические функции Якоби. Из соотношений Менли-Роу (14) следует, что полная энергия волн триплета сохраняется. Кроме того, высокочастотная волна  всегда неустойчива по отношению к малым возмущениям со стороны ее низкочастотных волн  и . Это явление называется распадной неустойчивостью высокочастотной волны.
Этот существенный результат можно просто проиллюстрировать, рассматривая условия фазового синхронизма (12) как законы сохранения в терминах квазичастиц, поскольку всякая пара  может ассоциироваться, соответственно, с энергией и импульсом кванта, в то время как соответствующие величины  в выражении (14) можно трактовать как число квантов -го типа. Весьма вероятно, что с точки зрения задач динамической неустойчивости механических систем, трехволновые взаимодействия наряду с и другими резонансными взаимодействиями играют ключевую принципиальную роль. Исследование нелинейных колебаний типичных элементов конструкций, таких как стержни, балки, кольца, тонкие пластинки и оболочки, доказывают свойственность таких резонансных взаимодействий для большинства механических систем. В контексте задач динамической неустойчивости заметим, что трехволновые резонансные взаимодействия могут также ассоциироваться с так называемым сценарием взрывной неустойчивости в упругих системах [14]. Математически, взрывная неустойчивость может описываться уравнениями того же типа, что и уравнения (13). Но потенциал взаимодействия должен быть другого вида, например . Это означает, что амплитуды волн могут возрасти до бесконечности за конечный промежуток времени, т.е. . Физически это означает, что упругая система необходимо должна быть подвержена действию хотя бы малых нагрузок, зависящих специальным образом от амплитуд волн.

Литература

1.                Euler L. (1728), Solutio problematis de invenienda curva quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentiis quibuscunque sollicitata, Comment Acad. Sci. Petrop., 3, Opera II-10, 70-84.
2.                Euler L. (1744), Methodus inveniendi lineas curvas maximi proprietate gaudentes, Lausanne, Geneve, Opera I-24.
3.                Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. (1949), Динамические формы потери устойчивости в упругих системах, Докл. АН СССР, 64 (6), 779-782.
4.                Вольмир А.С. (1972), Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М.: Наука.
5.                Березовский А.А., Жерновой Ю.В. (1981), Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях, В сб.: Мат. Физика, Киев, Наукова думка, 30, 41-48.
6.                Болотин В.В. (1956), Динамическая устойчивость упругих систем, М.: Гостехиздат.
7.                Беляев Н.М. (1924), Устойчивость призматических стержней под действием периодических нагрузок, В сб.: Инженерная и Строительная Механика, Ленинградский ун-т, 25-27.
8.                Капица Л.П. (1951), Динамическая устойчивость маятника на вибрирующей точке подвеса, ЖЭTФ, 21 (5), 110-116.
9.                Челомей В.Н. (1956), О возможности стабилизации упругих систем с помощью вибраций, Докл. АН СССР, 110 (3), 345-347.
10.           Болотин В.В. (1951), О поперечных вибрациях стержней, вызванных периодическими продольными нагрузками, В сб.: Поперечные Колебания и Критические Скорости, 1, 46-77.
11.           Kauderer H (1958), Nichtlineare Mechanik, Springer, Berlin.
12.           Haken H. (1983), Advanced Synergetics. Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and devices, Berlin, Springer-Verlag.
13.           Ерофеев В.И., Потапов А.И. (1985), Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне, В сб.: Динамика систем, Горьковский ун-т, 75-84.
14.           Новиков В.В. (1988), О неустойчивости упругих оболочек как проявлении внутреннего резонанса, ПММ, 52, 1022-1029.

---