Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Бобров А.В.
г. Москва
Контактный телефон – 8 (495)193-42-34
[email protected]
В теореме Ферма утверждается, что равенство   для натуральных  и   может иметь место только для целых .
Рассмотрим равенство
                                                         ,                               (1)
где  и  - натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1.  В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть  - нечетное число,  и - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть  равенство (1) можно записать в виде:
,                        (2)
где  и  - действительные положительные множители числа  В соответствии со свойствами показательной функции, для любого
из действительных положительных чисел  и  существуют единственные значения чисел  , удовлетворяющие равенствам
                            ,                                                   (3)
 Из равенств (2) и (3) следует:
                   ,  .                    (4)             
Поскольку p>q, всегда имеет место  p-q=k, или  а^p= а^k∙× а^q, то есть числа    и  содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие  выполнимо только при  ,  то есть при  . Тогда равенства (4) принимают вид:
                                   ,                  (5)
откуда следует            
,                                                        (6)
то есть для взаимно простых  и  числа  и  всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых  и  может быть выражено только в виде равенства
                                               .                                       (7)
         Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.
Пусть в равенстве Ферма числа  и  – целые взаимно простые,  – четное. Тогда числа         ,  ,   их сумма   и разность - также целые, показатель степени       p>q .
         Целые числа            и    
являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1.    Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель   ,    то есть ,  .
Тогда разность       , что для одновременно целых  и  может иметь место только при   , то есть при    или   , что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.