Оцінка результату і похибки прямих вимірювань

Залежно від розв’язуваної задачі прямі вимірювання можуть проводитися з одноразовими і багаторазовими спостереженнями. Прямі одноразові вимірювання є найбільш розповсюдженими в практиці технічних вимірювань, оскільки точність їх результатів у звичайних умовах, як правило, достатня, і водночас вони відрізняються простотою вимірювального експерименту, високою продуктивністю (числом вимірювань за одиницю часу) і незначними витратами, для їх проведення не ставляться високі вимоги до кваліфікації експериментатора. За цими показниками вони значно перевищують інші методи вимірювань. Прямі багаторазові вимірювання застосовуються у тому разі, коли необхідно забезпечити підвищену точність результатів вимірювань, яка досягається за рахунок зменшення випадкової складової похибки вимірювань усередненням (статистичною обробкою) результатів спостережень вимірюваної величини того самого розміру. Їх доцільно проводити тоді, коли випадкова похибка результату вимірювань є переважаючою у порівнянні з систематичною. Багаторазові вимірювання відрізняються підвищеними складністю, трудомісткістю і витратами, тому їх доцільність мусить бути переконливо обґрунтована. Найчастіше вони застосовуються, наприклад, при виконанні наукових експериментів і проведенні метрологічних робіт. Особливості в організації вимірювального експерименту при виконанні одноразових і багаторазових прямих вимірювань визначають відмінність у методиках оцінки їх результатів і похибок.
Перш ніж перейти до оцінки похибок результату прямих вимірювань ще раз підкреслимо таку важливу обставину: необхідно чітко відрізняти похибку результату вимірювання і похибку ЗВТ (див. § 3.3).

Оцінка похибки прямих одноразових вимірювань

Для прямих одноразових вимірювань характерні дві головні особливості:
1. З множини можливих відліків результату вимірювання використовується лише один.
2. Потрібен певний обсяг апріорної інформації та її ретельний аналіз. Ця інформація стосується всіх компонентів процесу вимірювання: властивостей фізичної моделі об’єкта вимірювання, методу вимірювання і ЗВТ, умов виконання вимірювання, кваліфікації експериментатора. Аналіз усієї цієї апріорної інформації виконується перед проведенням прямих одноразових вимірювань і від його повноти залежить вірогідність результату вимірювання. Основні етапи цього аналізу:
- слід з’ясувати фізичну сутність досліджуваної властивості об’єкта вимірювання, звернувши особливу увагу на вимірюваний параметр;
- визначити впливні величини і заходи, спрямовані на зменшення їх впливу (термостатування, екранування або компенсація електричних і магнітних полів тощо);
- прийняти рішення на користь тієї чи іншої методики виконання вимірювань;
- вибрати ЗВТ, при цьому переконатися в справності, в тому числі метрологічній, вибраного ЗВТ і наявності вірогідної інформації про його НМХ;
- оцінити похибку взаємодії ЗВТ з об’єктом вимірювання і динамічну похибку;
- дослідити застосований метод вимірювання з метою оцінки методичної похибки;
- оцінити можливу похибку експериментатора, якщо вона істотна.
Вибір методу вимірювання і ЗВТ проводиться так, щоб вилучити або зменшити до нехтовно малих значень методичну похибку, похибку взаємодії і динамічну похибку, тобто щоб похибка вимірювання визначалась тільки статичною похибкою ЗВТ (основною і додатковою, якщо вона є, складовими).
Приведені етапи підготовки до виконання вимірювань в якійсь мірі справедливі і для інших методів вимірювань, але особливої ретельності вони потребують при одноразових вимірюваннях, де роль одного відліку результату вимірювання надзвичайно висока.
Результат одноразового вимірювання є випадковим числом і жоден з його окремих відліків не дає повного уявлення про таке число, а отже, і про вимірюваний параметр. Тому вже на етапі одержання відліку ЗВТ (тобто результату вимірювання) виникає дефіцит вимірювальної інформації, що деякою мірою може бути поповнений тільки за рахунок апріорної інформації. І в цьому багато що залежить від того, яка використовується апріорна інформація. Практично при вимірюваннях мають місце два випадки:
1. Є тільки інформація про клас точності ЗВТ, що використовується, і умови виконання вимірювань.
2. На підставі накопиченого досвіду подібних вимірювань можуть бути відомі закон розподілу ймовірностей результатів вимірювань даної фізичної величини, характеристики не вилучених систематичних і випадкових складових похибки вимірювань.
У першому випадку при оцінці похибки вимірювань ураховуються розсіяння (розкид) результатів вимірювань і поправка, обумовлені лише властивостями застосованого ЗВТ. Границі, в яких знаходиться значення вимірюваної величини, установлюються через єдиний відлік показів ЗВТ шляхом обчислення абсолютної інструментальної похибки результату вимірювання. Для її оцінки визначають границі допустимої абсолютної основної похибки (за класом точності) і додаткових похибок (за даними в технічній документації), які об’єднують за тим чи іншим правилом і одержують статичну похибку ЗВТ. Звичайно ця похибка і береться за границі довірчого інтервалу результату вимірювання. Проте для підвищення їх вірогідності слід оцінити (і при необхідності врахувати) останні дві складові інструментальної похибки вимірювань (динамічну похибку та похибку взаємодії) і методичну похибку.
Границі допустимої абсолютної основної похибки ЗВТ обчислюються залежно від форми кількісного відображення похибки за формулами, наведеними в табл.3.2, при цьому довірча ймовірність приймається за одиницю.
При прямих одноразових вимірюваннях, коли маємо апріорну інформацію про характеристики випадкових і невилучених систематичних складових повної похибки результату вимірювання, її оцінювання проводиться відповідно до методики, викладеної в підп.2.9.4.

 

Оцінка результату і похибки прямих багаторазових вимірювань

Постійно зростаючі вимоги до точності прямих вимірювань задовольняються не тільки за рахунок підвищення точності заново створених ЗВТ, але й використанням більш ефективних методів обробки результатів вимірювань, наприклад статистичної обробки багаторазових вимірювань (або прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями).
Головна особливість багаторазових вимірювань, на відміну від одноразових, полягає в одержанні і використанні великого обсягу апостеріорної вимірювальної інформації. Це не означає, що необхідність в аналізі апріорної інформації відпадає. Такий аналіз обов’язково передує багаторазовому вимірюванню і має ту саму мету, що й при одноразових вимірюваннях, але з тією відмінністю, що при багаторазових вимірюваннях розподіл імовірностей їх результатів установлюється експериментально. Визначення результату і похибки вимірювань з багаторазовими спостереженнями ґрунтується на статистичних оцінках (див. § 2.5) або навпаки - статистичні оцінки одержують на підставі багаторазових рівноточних вимірювань. Методика обробки результатів прямих вимірювань з багаторазовими незалежними спостереженнями включає чотири основні етапи:
I. Аналіз апріорної інформації і підготовку до проведення багаторазових вимірювань.
II. Виконання вимірювальної процедури. Експериментально одержують n незалежних результатів спостережень вимірюваного розміру фізичної величини. Вимірювальна процедура може бути організована по-різному. Якщо зміною вимірюваної величини в часі можна знехтувати, то всі результати спостережень простіше за все одержати шляхом багаторазових (послідовних у часі) вимірювань даної величини тим самим ЗВТ. Якщо ж із апріорної інформації можна зробити висновок, що за час такої процедури вимірювана величина буде істотно змінюватися, то її вимірюють одночасно (паралельно) декількома ЗВТ, кожний з яких дає один із незалежних результатів спостережень. У цьому випадку дещо порушується одна з умов рівноточності вимірювань, але це вимушений захід і вживається він досить рідко. А зменшити ефект від використання не одного, а декількох ЗВТ можна їх ретельним попереднім відбором.
Експеримент мусить бути добре продуманим і організованим так, щоб, в першу чергу, вилучити або зменшити вплив відомих чинників, які призводять до систематичних похибок вимірювань. Якщо ці причини невідомі, то необхідно якимось способом, здебільшого експериментально, наприклад попередньою повіркою застосованих ЗВТ або на підставі виявлення зовнішніх чинників, одержати кількісну оцінку систематичної складової похибки вимірювань.
Результати проведеної серії спостережень при вимірюваннях позначимо . Відносно цих результатів спостережень зробимо два припущення. По-перше, будемо вважати, що вони підлягають нормальному розподілу (для підтвердження цього перевіряється гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень), оскільки це найбільш розповсюджений на практиці випадок, для якого методи обробки експериментальних даних всебічно відпрацьовані. По-друге, будемо також вважати, що результати спостережень мають систематичну і випадкову складові похибки, тобто є невиправленими.
За одержаними експериментальними даними необхідно знайти результат вимірювання і оцінити його похибку. Вирішення цієї задачі зводиться до виконання операцій, умовно виділених у III і IV етапи методики.
III. Визначення результату прямих вимірювань з багаторазовими незалежними рівноточними спостереженнями.
1. З результатів спостережень  вилучають, якщо це можливо, систематичну похибку введенням поправки, використовуючи формулу (2.2), і одержують виправлені результати спостережень .
Систематичні похибки (або їх залишки), які не можна вилучити в процесі експерименту та при обробці експериментальних даних введенням поправки, відносять до не вилучених систематичних похибок і оцінюють їх як випадкові похибки при певних припущеннях (див. підп.2.9.2)
2. За виправленими результатами спостережень  знаходять результат прямих багаторазових вимірювань, тобто оцінку вимірюваної величини. Така оцінка, одержана за експериментальними даними, вважається найкращою, якщо вона незміщена, обґрунтована та ефективна. Для експериментальних даних, які відповідають нормальному розподілу, найкращою статистичною оцінкою вимірюваної величини є середнє арифметичне , а найкращою оцінкою характеристики випадкової похибки – її СКВ (2.15).
IV. Обчислення оцінок характеристик похибки результату прямих вимірювань з багаторазовими спостереженнями.
1. Визначають незміщену оцінку СКВ  результатів вимірювань за формулою (2. 19), вводячи в неї позначення . Величину  називають залишковою похибкою, або відхиленням q-го результату виправленого ряду спостережень від результату вимірювань (середнього арифметичного значення ) цього ряду спостережень. Інакше кажучи, відхилення , показують, наскільки результат  кожного спостереження відрізняється від середнього арифметичного значення , прийнятого за результат вимірювання, причому величини  можуть бути додатними або від’ємними. Очевидно, якщо відхилення  дуже малі за модулем, то результати спостережень  близькі один до одного і можна вважати, що вимірювання досить точні. У протилежному разі, коли хоча б частина відхилень  має досить великі значення, вимірювання не такі вже й точні.
Як видно із співвідношення (2. 19) з урахуванням рівності , визначення оцінки СКВ  зводиться до послідовного обчислення відхилень , піднесення їх до квадрата, підсумовування цих квадратів і добування квадратного кореня із середнього значення одержаної суми квадратів. Для відхилень  справедливе рівняння , яке використовується для перевірки правильності їх обчислення.
2. Перевіряють гіпотезу про нормальність розподілу результатів спостережень (див. § 2.6), попередньо вилучивши з експериментального ряду спостережень результати, які є промахами. Якщо число спостережень , то застосовують критерій Пірсона (критерій ), при 10 £ n < 50 використовують складений критерій. Рівень значущості при цьому вибирають з інтервалу 2...10%. При числі спостережень  нормальність розподілу їх результатів не перевіряється.
3. Якщо гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень підтверджується, то визначають наявність грубих результатів спостережень (див. § 2.7). У тому випадку, коли грубі результати виявлені, вони відкидаються і для знов одержаного ряду обчислюють середнє арифметичне значення  і незміщену оцінку  результатів спостережень.
4. Визначають границі довірчого інтервалу похибки результату прямих багаторазових вимірювань, для цього:
- знаходять границі довірчого інтервалу випадкової складової похибки (підп.2.4.2);
- обчислюють границі довірчого інтервалу невилученої систематичної складової похибки, якщо вона є (підп.2.9.2). До складових невилученої систематичної похибки можуть належати методична похибка і складові інструментальної похибки ЗВТ, якщо їхніми випадковими складовими можна знехтувати;
- обчислюють границі довірчого інтервалу повної похибки результату вимірювання (підп.2.9.4).
5. Записують результат вимірювання (див. § 2.11). Якщо результат, одержаний при багаторазових вимірюваннях, призначається в подальшому для аналізу і зіставлення з іншими результатами або є проміжним для знаходження інших величин, то необхідно вказати роздільно границі допустимої невилученої систематичної похибки і оцінку СКВ випадкової похибки вимірювань.
Інколи, при великому числі результатів спостережень , для зменшення обсягу обчислень використовують групування даних, як і при побудові гістограми.
Очевидно, прямі одноразові вимірювання, для яких відома апріорна інформація про випадкову і не вилучену систематичну складові похибки вимірювань, можна вважати окремим випадком прямих багаторазових вимірювань. Тому і для тих, і для інших границі довірчих інтервалів окремих складових і повної похибки визначаються за однією методикою, однаково записується і результат вимірювань. Відмінність полягає тільки в тому, що при прямих одноразових вимірюваннях характеристики похибок відомі апріорно, а при багаторазових вимірюваннях їх одержують за експериментальними даними, тобто вони є апостеріорними.
Основна ідея багаторазових вимірювань того самого розміру вимірюваної величини полягає в переході від результату окремого вимірювання до середнього арифметичного значення  ряду вимірювань. Згідно зі співвідношенням (2.15) СКВ випадкової похибки, а отже, і границі довірчого інтервалу середнього арифметичного значення  в  разів менші, ніж ті самі величини для окремого вимірювання. Проте точність багаторазових вимірювань обмежується дефіцитом експериментальної інформації і можливим часом її одержання.

Обробка результатів декількох серій спостережень

Інколи за умовами вимірювального експерименту багаторазові спостереження (вимірювання) фізичної величини незмінного розміру проводяться декількома етапами, розтягнутими на деякому тривалому інтервалі часу, або серії (групи) вимірювань цієї фізичної величини одержують за різних умов, з використанням різних ЗВТ і залученням для проведення експериментів фахівців різної кваліфікації. Очевидно, точність окремих серій результатів спостережень, одержаних у процесі проведення таких експериментів, буде неоднаковою. Серії називаються однорідними, якщо їх результати спостережень (значення фізичної величини) підлягають однаковому закону розподілу ймовірностей і задовольняють критерій однорідності. У протилежному випадку серії спостережень вважаються неоднорідними. В подальшому допускається, що результати спостережень усіх серій підлягають нормальному закону розподілу.

 

Задача об’єднання результатів декількох серій спостережень

Задача обробки результатів декількох серій спостережень (вимірювань) полягає в тому, щоб, використовуючи увесь масив експериментальних даних, одержати найкращу оцінку істинного значення вимірюваної величини. Така задача називається об’єднанням результатів спостережень. Важливо відрізняти ситуації, при яких об’єднання результатів спостережень є виправданим, від тих, при яких воно не допустиме. Так, не має рації задача об’єднання результатів спостережень різних за розміром фізичних величин.
Задача об’єднання результатів спостережень розв’язується двома етапами.
1. Здійснюється перевірка однорідності і рівноточності серій результатів спостережень між собою. Вона є обов’язковою, оскільки визначає вибір методу сумісної обробки результатів декількох серій спостережень. Перевірка зводиться до оцінки допустимої різниці між середніми арифметичними значеннями (перевірка на однорідність) і СКВ (перевірка на рівноточність, або на розкид, розсіювання) результатів вимірювань окремих серій. Якщо обидва види відмінностей, які оцінюються за певними критеріями, допустимі, то ці серії вимірювань можна розглядати як єдину сукупність експериментальних даних і статистично оброблювати як прямі вимірювання з багаторазовими спостереженнями (див. підп.4.1.2).

2. Якщо проведена перевірка на однорідність показала недопустимість цього припущення, то необхідно виконати такі дві операції. По-перше, переконатися у тому, що в процесі проведення експерименту розмір вимірюваної фізичної величини не змінювався. По-друге, оцінити границі систематичних похибок, які мали місце при одержанні кожної серії результатів спостережень. Використовуючи оцінки границь систематичних похибок, слід ввести відповідні поправки в експериментальні дані, внаслідок чого різниця між середніми арифметичними значеннями серій стає допустимою, а одержаний ряд виправлених результатів вимірювань однорідним.

Критерії однорідності результатів серій спостережень

Перевірка на однорідність виконується для результатів двох серій спостережень з використанням критерію Стьюдента, а для більшого числа серій спостережень (вимірювань) - критерію Р. Фішера.
Відповідно до критерію Стьюдента дві серії (L=2) з числом результатів спостережень  визнаються однорідними, якщо виконується нерівність
, (4.1)
де - середні арифметичні результатів спостережень першої і другої серій відповідно;
 - незміщені оцінки дисперсій результатів спостережень першої і другої серій;
 - коефіцієнт Стьюдента, значення якого знаходять за таблицею додатка 6 при числі степенів вільності , задаючись відповідною довірчою ймовірністю P або рівнем значущості .
Отже, методика перевірки однорідності результатів двох серій вимірювань за критерієм Стьюдента виконується так:
1) обчислюють середні арифметичні  результатів першої і другої серій вимірювань;
2) обчислюють незміщені оцінки дисперсій  результатів вимірювань першої і другої серій;
3) знаходять  за таблицею коефіцієнтів Стьюдента (додаток 6);
4) перевіряють виконання нерівності (4.1), тобто критерію Стьюдента.
Відповідно до критерію Фішера, який використовується при числі серій , різницю середніх арифметичних результатів серій спостережень вважають допустимою, якщо виконується умова
, (4.2)
де - оцінка міжгрупової дисперсії;
 - середнє значення оцінок внутрішньогрупових дисперсій;
 - відсоткові значення розподілу Фішера. Їх знаходять залежно від числа степенів вільності  для різних рівнів значущості (найбільш широко використовуються 1% і 5%) за таблицями, які приведені у відповідній літературі [3,26]. Причому:  - число степенів вільності чисельника ;  - число степенів вільності знаменника , де  - число спостережень у всіх L серіях;  - число спостережень в j-й серії, .
Методика перевірки однорідності результатів  серій спостережень за критерієм Фішера:
1) обчислюють середнє арифметичне значення результатів кожної серії спостережень
, ;
2) обчислюють міжгрупове (загальне) середнє арифметичне значення для всього обсягу N результатів спостережень (в усіх серіях)
 (4.3)
Якщо всі серії складаються з однакового числа спостережень , то формула (4.3) спрощується
;
3) знаходять незміщену оцінку міжгрупової дисперсії результатів спостережень (розсіювання між груповими середніми арифметичними)

4) визначають середнє арифметичне значення незміщених оцінок внутрішньогрупових дисперсій результатів спостережень (середнє розсіювання всередині груп):
 (4.4)
де  (4.5)
- незміщена оцінка внутрішньогрупової дисперсії результатів спостережень j-ї серії, ;
5) знаходять значення  за таблицею Фішера і перевіряють виконання нерівності (4.2), тобто критерію Фішера. Якщо значення відношення  знаходиться поза інтервалом, який визначається нерівністю (4.2), то це означає, що середні арифметичні результатів спостережень серій мають недопустимі зміщення. У такому разі приймають рішення про неоднорідність серій спостережень, тобто про неприпустимість різниці між їхніми середніми арифметичними значеннями. Для усунення цього ефекту необхідно знайти причину розходження між середніми арифметичними значеннями  і в експериментальні дані відповідної серії (серій) внести додаткову поправку (поправки). Інколи, з метою виявлення за допомогою такої перевірки прогресуючого впливу будь-якого чинника, увесь масив експериментальних даних штучно розбивають на дві або більше серій.
Для перевірки однорідності двох серій вимірювань, розподіл яких відрізняється від нормального, доцільно використовувати рангові критерії Уілкоксона і Сіджела-Тьюкі [25].

Критерії рівноточності результатів серій спостережень

Поряд з термінами “рівноточні” і “нерівноточні” результати спостережень (вимірювань) використовують також терміни “рівнорозсіяні” і “нерівнорозсіяні” результати спостережень, оскільки вони ґрунтуються на порівнянні і допустимості відмінностей оцінок внутрішньогрупових дисперсій (або СКВ) результатів спостережень. Для перевірки такої допустимості відмінностей використовують критерій Р. Фішера (при числі серій ) або критерій М. Бартлетта (при числі серій ).
Відповідно до критерію Фішера відмінність між незміщеними оцінками дисперсій  результатів двох серій з числом спостережень  вважається допустимою, якщо виконується умова
. (4.6)
Значення  залежно від числа степенів вільності для рівнів значущості  наводяться в таблицях Фішера. Число степенів вільності для оцінки дисперсії  дорівнює , для оцінки дисперсії  воно дорівнює . Оцінки дисперсій  обчислюють за формулою (4.5), після цього перевіряють нерівність (4.6).
Критерій М. Бартлетта справедливий для  і . Він ґрунтується на обчисленні - розподілу
 (4.7)
де . (4.8)
Оцінки дисперсій  і  обчислюють за формулами (4.4) і (4.5). Якщо в усіх серіях число спостережень , то можна вважати c = 1.
Критерій Бартлетта визначається нерівністю
 (4.9)
де -  - розподіл для рівня значущості , його знаходять за таблицею додатка 7. Вхідними даними цієї таблиці є рівень значущості  (звичайно  = 1; 2,5 і 10%) і число степенів вільності  (у даному випадку ).
Методика перевірки рівноточності результатів серій спостережень за критерієм Бартлетта:
1) обчислюють незміщені оцінки внутрішньогрупових дисперсій    за формулою (4.5);
2) знаходять середнє значення цих оцінок за формулою (4.4);
3) обчислюють значення  за формулою (4.7) із застосуванням співвідношення (4.8);
4) задаючись рівнем значущості , знаходять за таблицею додатка 7 значення ;
5) перевіряють виконання нерівності (4.9), тобто критерію Бартлетта. Якщо ця нерівність виконується, то відмінності між дисперсіями (і СКВ) результатів вимірювань вважаються допустимими і розв’язується задача об’єднання результатів однорідних рівноточних серій спостережень. В іншому разі (за умови, що результати спостережень однорідні) мусить бути розв’язана задача об’єднання результатів нерівноточних серій вимірювань.