Імітаційне моделювання

Машинна імітація випадкових параметрів

Методичні вказівки

щодо виконання лабораторної роботи


Зміст роботи
Методи генерування послідовності рівномірно розподілених випадкових чисел

Завдання

Перевірка якості псевдовипадкових чисел

Завдання

Приклади використання методу Монте Карло в імітаційному моделюванні

Обчислення числа

Обчислення визначеного інтегралу методом Монте-Карло

Методи генерування послідовності рівномірно розподілених випадкових чисел

Для построения последовательности равномерно распределенных случайных чисел используются следующие методы.

Мультипликативно-конгруэнтный метод, или метод степенных вычетов:
x_i=ax_i-1 (mod m), i=l,2,...

x₀=b.                                                            (1)
где a, m - неотрицательные целые числа.

Согласно (1) необходимо взять последнее случайное число, умножить его на a и взять модуль полученного числа по т (т.е. разделить на т и взять остаток в качестве следующего x_i). Последовательность равномерно распределенных на отрезке [О, 1] псевдослучайных чисел получается при делении остатка на т.

В качестве модуля обычно выбирают 2^Ь или 10^d.

На основе конгруэнтной формулы было создано множество гене­раторов.

Смешанные генераторы Томпсона основываются на следующей формуле
x_i+1=ax_i + C (mod m)


Аддитивный конгруэнтный метод (Грин, Смит, Клем) использует рекуррентную формулу
x_i+1=(x_i + x_i-1)C (mod m)


Примеры построения последовательности псевдослучайных равно­мерно распределенных на отрезке [0; 1] чисел с помощью приведенных алгоритмов.
Пусть а=111, т=256, b=10.
Тогда с помощью мультипликативно-конгруэнтного метода получается
x₀=b = 10, r₀= = x₀/m = 10/256=0,039.
Далее получается
x₁=ax₀(mod m) = 111*10 (mod 256) = 1110 mod 256 = 86,

r₁=x₁/m=86/256=0,336
При тех же параметрах а, m и параметре С=347 с помощью сме­шанного генератора Томпсона получаем:
x₁=ax₀+C(mod m) = 111*10 +347 (mod 256) = 1457 mod 256 = 177,

r₁=x₁/m=177/256=0,691.
Наконец, аддитивно-когруэнтным методом при х₀=100, x₁=183 полу­чаем


х₂ =x₀+x_l(mod m) = (100 + 183) (mod 256) = 283 mod 256 = 27,

r₂=x₂/m=27/256= 0,105.
В табл. 1 приведены результаты расчетов для первых 10 псевдо­случайных чисел, полученных всеми перечисленными способами.


Переваги програмного методу:

§                займає мало місця в оперативній пам"яті (близько десяти команд);

§                можна поворити спроби;

§                забезпечується одноразова первірка якості випадкових чисел;

§                не потрібні зовнішні пристрої.

Недоліки програмного методу:

§                швідкість утворення випадкових чисел відносно невелика;

§                обмежений запас чисел.
Таблица 1

Последовательности псевдослучайных чисел

Приклади використання методу Монте Карло в имитационном моделировании

Цель работы - ознакомление с возможностями практического применения метода Монте-Карло (1949) – численного метода моделирования случайных величин.

Для примера взяты две задачи: вычисление числа p и вычисление определённого интеграла.

Обчислення числа p

Расчёт числа p проводится путём набрасывания случайных чисел на квадрат со сторонами равными 1, в который вписана единичная окружность. Общее число случайных точек (на отрезке [0;1) принимается за N, а число точек, попавших в круг – за М.

Число p рассчитывается как:





Чем больше проводится экспериментов, тем точнее получается результат.

Практическое задание

Провести моделирование с целью исследования зависимости точности вычисляемого значения p от числа испытаний N.

Для моделирования разработать программное средство. Провести моделирование и результаты внести в таблицу. Проанализировать результат. Сделать выводы.

N	10	50	100	150	200
p

Для проведения моделирования студент должен создать программу на любом из алгоритмических языков или создать электроннную таблицу. Ниже предлагается один из возможных вариантов решения задачи в табличном процессоре. таблицу отформатировать. Снабдить комментариями.

X	Y	X^2+Y^2	Попадание в круг (1 или 0)		Приближенное значение числа p
					4*M/N
		Вычисление количества испытаний (N)	Вычисление суммы попаданий (M)

Обчислення визначенного інтегралу методом Монте-Карло

Вычисление определенного интеграла вида

производится по приближенной формуле:
,
где x_i - случайная величина, x_i =p/2×g, 0<=g<=1.

Точность результата также зависит от количества испытаний

Практическое задание

Провести моделирование с целью исследования зависимости точности вычисляемого значения интеграла от числа испытаний N.

Для моделирования разработать программное средство. Провести моделирование и результаты внести в таблицу. Проанализировать результат. Сделать выводы.

N	10	50	100	150	200
S

Для проведения моделирования студент должен создать программу на любом из алгоритмических языков или создать электронную таблицу. Ниже предлагается один из возможных вариантов решения задачи в табличном процессоре. Таблицу отформатировать. Снабдить комментариями.

гамма	кси	sin()	Сумма	Количество испытаний	Интеграл
0,162	0,255	0,252	0,669	12	0,088

Литература

1.                 Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Ехсеl 7.0. - СПб.: ВНV, 1997. - 384 с.

2.                 Методические рекомендации к выполнению практических заданий по курсу "Имитационное моделирование" для студентов специальности 7.050102 заочной формы обучения / Сост. О.Ю.Полякова. — Харьков: Изд. ХГЭУ, 2002. — 28с.

3.                 Ситник В.Ф., Орленко Н.С. Імітаційне моделювання.- К.: КНЕУ, 1998.- 232c.

4.                 Ж.-П. Ламуатье. Упражнения по программированию на Фортране IV. Пер. с франц., под ред. Ю.М.Баяковского. – М.: Мир. 1978. с. 167.

5.                 Соболь И. М. Метод Монте-Карло. — 4-е изд. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.— 80 с. — (Популярные лекции по математике).


Контрольные вопросы:
1.                 В чем сущность метода статистического моделирования?

2.                 Предельные теоремы теории вероятностей.

3.                 Какие способы генерации последовательностей случайных чисел используются при компьютерном моделировании?

4.                 Почему генерируемые на компьютере последовательности чисел называются псевдослучайными?

5.                 Что собой представляют конгруэнтные процедуры генерации последовательностей чисел?

6.                 Какие существуют методы проверки качества генераторов случайных чисел?

7.                 Какие существуют способы генерации последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения на компьютере?

8.                 Моделирование дискретных случайных величин.

9.                 Чем определяется эффективность компьютерного моделирования систем?

10.             Проблемы моделирования систем.

11.             Особенности непрерывно-детерминированного подхода к построению математических моделей систем.

12.             Особенности дискретно-детерминированного подхода к построению математических моделей систем.

13.             Особенности дискретно-стохастического подхода к построению математических моделей систем.

14.             Особенности непрерывно-стохастического подхода к построению математических моделей систем.

15.             Параметры Q-схемы имитационного моделирования.

16.             Определение однородного и неоднородного потоков событий.

17.             Определение одинарного и стационарного потоков событий.

18.             Определение многоканального и многофазного обслуживания.

Приложение 1

Анализ генератора случайных чисел

В системе Турбопаскаль имеется функция random, которая дает случайное число в интервале [0,1] в соответствии с равномерным законом распределения. Можно разделить этот интервал на р меньших интервалов одинаковой длины и найти, как случайные числа распределяются в этих р интервалах.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть значения случайной величины находятся в интервале: А=0; В=1. Этот интервал будем делить на 20 интервалов: р=20. Генерируются N=10 000 чисел.

Результат работы программы имеет вид гистограммы, где около каждого столбца отображается номер интервала (кармана) и значение частоты.

Ниже приведен пример гистограммы.
Histogram

1 502 **************************************************

2 456 **********************************************

3 470 ***********************************************

4 528 *****************************************************

5 468 ***********************************************

6 498 **************************************************

7 528 *****************************************************

8 534 *****************************************************

9 476 ************************************************

10 521 ****************************************************

11 503 **************************************************

12 503 **************************************************

13 491 *************************************************

14 498 **************************************************

15 451 *********************************************

16 508 ***************************************************

17 516 ****************************************************

18 529 *****************************************************

19 525 *****************************************************

20 495 **************************************************


Замечание

Кроме рассматриваемого здесь теста "по гистограмме" известны и другие, более совершенные статистические тесты для проверки качества генератора случайных чисел [*].

*) Кнут. искусство программирования. Т.2.


Пояснение к алгоритму
При составлении программы авторам [5, с. 103-107] предстояло преодолеть одно затруднение - определить, к какому интервалу относится получаемое случайное число.

Один из возможных методов состоит в выполнении последовательности проверок, которые позволяли бы определить, в какой интервал попадает число. Этот метод легко программируется, но программа получается длинной и медленной.

Самый быстрый метод заключается в определении целой переменной J, соответствующей номеру интервала, к которому относится число. Например, для интервала [0,1], разделенного на 20 классов длиной 0.05, можно получить значение J следующим образом:

J= целое (20 х) +1

х=0.03®целое(0.6)+1

х=0.06®целое(1.2)+2

Чтобы подсчитать число элементов в каждом классе, можно действовать следующим образом:

1)                получить случайное число х,

2)                вычислить J,

3)                установить T(J)=T(J)+1, где Т – массив из р элементов и каждый элемент T(J) служит счетчиком для класса J.

Программа

uses Crt;

Var

 a,b,p,n,i,j: integer;

Var

 t: array [1..20] of integer;

Var

 h1,x:Real;

Var

 rp,y:Real;

Var

 aa: array [1..72] of string[1];

Var

 k: integer;

Begin

 clrscr;

 randomize;

{ writeln('a=0,b=20');

 readln(a,b);

 writeln('p=20');

 readln(p);

 writeln('n=10000');

 readln(n);}

 a:=0;b:=20;p:=20;n:=10000;

 for i:=1 to p do t[i]:=0;

 h1:=p/(b-a);

 for i:=1 to n do

 begin

 x:=random(b);

 j:=trunc((x-a)*h1)+1;

 t[j]:=t[j]+1

 end;

 clrscr;

 for i:=1 to p do

 writeln(i:3,t[i]:10);

 readln;
 rp:=p;

 for i:=1 to p do t[i]:=0;

 for i:=1 to n do

 begin

 y:=random;

 j:=trunc(rp*y)+1;

 t[j]:=t[j]+1;

 end;

Clrscr;

Writeln('*******');

 for i:=1 to p do writeln(i:3,t[i]:10);

 readln;
Clrscr;

writeln('Histogram');

for i:=1 to 72 do aa[i]:='*';

for i:=1 to p do

 begin

 k:=trunc((t[i]+5)/10);

 write(i:2,t[i]:4,' ');

 {writeln ('k=',k:3);}

 for j:=1 to k do write(aa[j]);writeln;

 end;

 readln
end.