Книга Числовые ряды
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Числовые ряды
Содержание
Лекция. Числовые ряды
1. Определение числового ряда. Сходимость
2. Основные свойства числовых рядов
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
5. Знакопеременные ряды
Вопросы для самопроверки
Литература
Лекция. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. Определение числового ряда. Сходимость.
2. Основные свойства числовых рядов.
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
5. Знакопеременные ряды.
1. Определение числового ряда. Сходимость
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
Числа
–
м членом ряда.
Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента
Пример 1.1. Пусть
называется гармоническим рядом.
Пример 1.2. Пусть
называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при
Пример 1.3. Пусть
называется рядом геометрической прогрессии.
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм
…………………………….
…………………………….
Числовая последовательность
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.
В этом случае число
Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.4. Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Найдем n
-ю частичную сумму данного ряда
Общий член
Тогда
Отсюда имеем:
Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд
Для этого ряда
Замечание. При
Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд
Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм
Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):
Нетрудно показать, что n-я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при
Рассмотрим случаи:
1)
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
2)
Тогда
Следовательно, ряд расходится.
3)
Пример 1.8. Найти сумму ряда
Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае
Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.
2. Основные свойства числовых рядов
Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.
Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)
Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:
С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:
Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.
Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд (1.1) сходится, то его общий член
n
, т. е.
Доказательство теоремы следует из того, что
S – сумма ряда (1.1), то
Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при
Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).
Если общий член ряда
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд
Для этого ряда
Следовательно, данный ряд расходится.
Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости.
Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).
Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток
Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму
S
и
c
– некоторое число, тогда
Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства
Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды
то и ряд
сходится и его сумма равна
Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.
Пример 2.3. Вычислить сумму ряда
Общий член ряда
Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии
Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии.
Для первого ряда
Для второго ряда
Окончательно имеем
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Определить сходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.
Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых
Теорема 3.1.
(признак сравнения)
Пусть даны два положительных ряда
и выполняются условия
n
=1,2,…
Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);
2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).
Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.
Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.
2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.
Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.
Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.
Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд
Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.
Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера[*]).
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при
q
< 1 ряд (1.1) сходится;
2) при
q
> 1 ряд (1.1) расходится;
3) при
q
= 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Замечание
: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда
Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера.
В нашем случае
Тогда
Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера:
Следовательно, исходный ряд расходится.
Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду
Теорема 3.3
. (Предельный признак Коши*).
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при
q
< 1 ряд (1.1) сходится;
2) при
q
> 1 ряд (1.1) расходится;
3) при
q
= 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Коши:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Теорема 3.4
. (Интегральный признак Коши).
Пусть функция
f
(
x
) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке
Тогда ряд
Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд
Применим интегральный признак Коши.
В нашем случае функция
Имеем
Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.
Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
Функция
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Рассмотрим следующие случаи:
1) пусть
2) пусть
Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;
3) пусть
Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.
Окончательно имеем
Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при
2. Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признака сравнения.
Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда
т. к.
Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).
Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.
Такие ряды удобнее записывать в виде
или в виде
где
Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак.
Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница*).
Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании
n
.
Таким образом, если
Пример 4.1. Ряд
сходятся, т. к. для него выполняются все условия признака сходимостиЛейбница.
5. Знакопеременные ряды
Рассмотрим числовые ряды
с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.
Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд
Теорема 5.1.
Если ряд
Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд
Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.
Таким образом, ряд
Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется сумма числового ряда?
2. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?
3. Может ли предел общего члена сходящегося числового ряда равняться 3?
4. Что можно сказать о сходимости числового ряда с положительными членами
5. Предел какого выражения используется в предельном признаке Даламбера (Коши)?
6. Какой ряд называется знакочередующимся?
7. Каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда?
8. Какой ряд называется знакопеременным?
9. Будет ли сходящимся знакопеременный ряд, для которого ряд из модулей его членов сходится?
Упражнения
1. Найти сумму ряда:
а)
2. Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения:
а)
3. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Даламбера:
а)
4. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Коши:
а)
5. Исследовать, сходятся абсолютно или условно или расходятся знакопеременные ряды:
а)
г)
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
* Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.
[*] Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.
* Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.
* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.
