Творческая работа Сборник доказательств Великой теоремы Ферма и гипотезы Биля
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
©
Н. М. Козий, 2007
Авторские права защищены
свидетельствами Украины
№ 27312 и № 28607
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВА
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
И ГИПОТЕЗЫ
Б
ИЛЯ
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
/1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n /2/
Пусть показатель степени n=2m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2
m
= С
2m
–В
2m
/3/
Уравнение /3/ рассматриваем как параметрическое уравнение
2m- ной степени с параметром A и переменными B
и С.
Уравнение /3/ запишем в следующем виде:
А
2m
= (С
m
)2 –(В
m
)2
/4/
Обозначим:
Вm
=
V
/5/
С
m
=
U
/6/
Отсюда:
В
2m
=
V
2
/7/
С
2m
=
U
2
/8/
В =
С =
Тогда из уравнений /3/, /7/ и /8/ следует:
А2m
= С
2m
–В
2m
=
U
2
-
V
2
/11/
Уравнение /11/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2m
=
(
U
-
V
)∙(
U
+
V
)
/12/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем метод замены переменных. Обозначим:
U
-
V
=
X
/13/
Из уравнения /13/ имеем:
U
=
V
+
X
/14/
Из уравнений /12/, /13/ и /14/ имеем:
А
2m
=
X∙
(
V
+
X
+
V
)=
X∙
(2
V
+
X
)
=
2
V∙X
+
X
2
/15/
Из уравнения /15/ имеем:
А2m
-
X
2
=
2
V∙
Х
/16/
Отсюда: V =
Из уравнений /14/ и /17/ имеем:
U=
Из уравнений /9/, /10/, /17/ и /18/ имеем:
В=
C =
Из уравнений /19/ и /20/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A
на число X , т. е. число X должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:
A = N∙ X , /21/
где N - простое или составное целое положительное число.
Из уравнений /19/ и /20/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A
и X : оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений /19/, /20/ и /21/ следует:
В=
C
=
Обозначим:
P =
Q =
Тогда:
B
=
С =
Допустим, что:
X =Rm /28/
P= Sm. /29/
Тогда в соответствии с уравнением /26/ число B
равно:
B
=
Из уравнений /24/, /25/ и /29/ имеем:
Q =
Таким образом, из уравнений /27/, /28/ и /31/ следует:
С =
Очевидно, что число:
Sm + 1 ≠ Mm. /33/
где M – целое число.
Следовательно, число С – дробное число.
ВАРИАНТ
Пусть в формуле /19/ подкоренное выражение равно:
/34/
Тогда из формулы /19/ следует:
B
=
В этом случае подкоренное выражение в формуле /20/ будет равно:
В этом случае из формулы /20/ следует:
С =
Но:
Pm + X ≠ Qm
,
/36/
так как в соответствии с формулой /34/ значение числа Pm зависит от значения числа X
. При этом число Pm
содержит в себе сомножитель X, т.е.:
Pm
=
X∙D
Отсюда в соответствии с формулой /36/ следует:
Pm + X
=
X∙D
+
X = X(D+1)
А из формулы /35/ следует:
С =
Откуда следует, что C – дробное число.
Следовательно, и в таком варианте доказательства число С – дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
В частном случае, если показатель степени m=1
, из формул /19/ и /20/ имеем:
B=V
=
При условии, что числа A и X имеют одинаковую четность и число X
является делителем числа A, по формулам /34/ определяются пифагоровы числа B
и
C
для числа A
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=3
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3.
В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:
A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2) (3)
Обозначим: C – B
=
K
(4)
Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
A3 = K[C2+ C∙(C-K) + (C-K)2] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3
(6)
Отсюда: 3K·C2 -3K2 ∙C
– (
A3 – K3) = 0 (7)
Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:
C =
(8)
Число C
будет целым только при условии, если:
Отсюда: 12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4
A3 = K3∙
A = K
Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.
Из анализа формулы (10) также следует, что если A
– целое число, то должно быть:
A3 = K3∙ Y3, (12)
где:
Y3 =
Отсюда: A = K∙ Y
=
K
Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:
Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)
По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:
SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)
где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).
Тогда: SN = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} =
(17)
Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):
Y3 = 1 + 6∙SN (18)
Из уравнения (18) следует, что все числа Y3
нечетные.
Из уравнений (17) и (18) получим:
Y3 = 1 + 6∙
=
, (19)
т.е. получили уравнение (13).
Из уравнения (19) следует: Y =
Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:
Y3 = 1 + 6∙
= 1 + 6∙SN (21)
Из уравнения (21) следует: SN =
Полагаем, что
Y
- целое число. Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN была целым числом, число Y
должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y
, определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы
SN
:
Y
= 3, SN = 4,333…; Y
= 5, SN = 20,666…; Y
= 7,
SN = 57;
Y
= 9, SN = 121,333…; Y
= 11, SN = 221,666…; Y
= 13,
SN = 366;
Y
= 15, SN =562,333…; Y
= 17,
SN = 818,666…; Y
= 19,
SN = 1143;
Y
= 21, SN =1543,333…; Y
= 23, SN = 2027,666…; Y
= 25, SN = 2604.
Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y, для которых сумма SN – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19) не существует целого числа N
, т. е.:
N
=
Есть также такие значения числа Y, для которых сумма SN – целое число. Эти числа имеют особенность - они равны:
Y
= 7
=1 +
6∙1
; Y
= 13
=1 +
6∙
2; Y
= 19
=1 +
6∙
3; Y
= 25
=1 +
6∙
4.
Отсюда следует, что для чисел:
Y
= 1 +
6∙
m, где: m =1, 2, 3,…
, сумма SN – целое число.
Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:
N=
Подставляя ранее полученные значения целых чисел SN, получим:
N=
= 21
,377… N=
N=
Отсюда следует, что и при целых числах SN число N
- дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:
SN1
=57 ≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
p
;
SN2
=
366
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
r;
SN3
=
1143
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
s
;
SN4
=
2604
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
t.
Следовательно, в соответствии с
формулами (19), (20) и (23) если N
-целое число, то Y - дробное число. И, наоборот, если Y
- целое число, то N - дробное число.
Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1 число Y всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число.
При N
=
1
из уравнения (14) следует A
=
K, а из уравнения (8): С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.
О
БЩЕЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
, (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
- В
n
(2)
Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).
ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:
Nn = U2 – V2 (3)
Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn и неизвестными переменными U
и V
.
Уравнение (3) запишем следующим образом:
Nn = U2 – V2
= (
U-V)∙(U+V) (4)
Пусть: U
–
V
=
M
(5)
Тогда:
U
=
V
+
M
(6)
Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:
Nn
=
M∙
(
V
+
M
+
V
)=
M∙
(2
V
+
M
)
=
2
V∙M
+
M
2
(7)
Из уравнения (7) имеем:
Nn - M
2
=2
V∙M
(8)
Отсюда: V =
Из уравнений (6) и (9) имеем: U =
Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа U
и
V
были целыми, является одинаковая четность чисел Nn
и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа U
и
V были целыми, является делимость числа Nn
на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn.
Следовательно, должно быть:
Nn =D·M
(11)
где D
- натуральное простое или составное число.
С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа U
и
V
, удовлетворяющие условиям уравнения (3).
Отсюда следует:
Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.
Следствие 2-е: Число N
=
2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
Следствие 3
-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
Доказательство теоремы Ферма
С учетом доказанной леммы можно записать:
Nn =
А
n
=
U2 – V2
(12)
Допустим, что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:
Nn = D·M
=А
n
= С
n
- В
n
=
U2 – V2
(13)
В
n
=
V2
Cn = U2 =
В
C
В соответствии с формулами (13) и (14) число В
n
равно:
В
n
=
Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:
Cn =
Из уравнений (18) и (19) имеем:
В
C
Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.
Файл
:
FERMA-KLASS
К
РАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
А
n
+ В
n
= С
n
(1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Принимаем: А
и
В – натуральные числа.
Полагаем, что С – также натуральное число, которое представимо в виде суммы двух натуральных чисел: C = k
+
m
. В этом случае число С
n
можно записать в виде бинома Ньютона:
Cn
=
(k
+m)n
Так как алгебраическое выражение (А
n
+ В
n
) не является биномом Ньютона, не может быть преобразовано в бином Ньютона, то оно не может быть равно биному Ньютона:
А
n
+ В
n
≠ (k
+m)n
Отсюда следует, что при любых заданных значениях чисел А
и
В число Cn
, равное алгебраическому выражению, не являющемуся биномом Ньютона, не может быть представлено в виде бинома Ньютона. Следовательно, С – дробное число.
Сделанный вывод справедлив и для показателя степени n = 2
для чисел, не являющихся пифагоровыми.
Таким образом, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах.
При n = 2 для пифагоровых чисел А
и
В равенство:
А2 + В2 = С2 =
(k + m)2
- выполняется.
Файл
:
FERMA-KPATKO
К
РАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
(вариант)
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Любое натуральное число N>1 может быть представлено в виде суммы двух натуральных чисел. Следовательно, такое число в степени n может быть представлено в виде бинома Ньютона:
Nn
= (
U + V)n
= Un + D1Un-1V + D2Un-2V2 + ·∙· + DkUVn-1 + Vn
,
где: D1, D2, ·∙· Dk
- биномиальные коэффициенты.
Если из этой суммы слагаемых вычесть слагаемое Un, то сумма оставшихся слагаемых не может быть преобразована в бином Ньютона, т.е. в сумму двух натуральных чисел в степени n
и, следовательно, в натуральное число в степени n
.
Учитывая изложенное, полагаем, что в уравнении (2) C и
B
натуральные числа. Очевидно, что C >B.
Пусть: С = В+
X
Тогда в соответствии с уравнением (2) запишем:
А
n
= (
B + X)n
-В
n
= Bn + D1Bn-1X + D2Bn-2X2 + ·∙· + DkBXn-1 + Xn - Bn
А
n
= (
B + X)n
-В
n
= D1Bn-1X + D2Bn-2X2 + ·∙· + DkBXn-1 + Xn
Обозначим:
А
n
=
D1Bn-1X + D2Bn-2X2 + ·∙· + DkBXn-1 + Xn
=
S
(3)
Число S представляет собой сумму части слагаемых бинома Ньютона без слагаемого
Bn
. Очевидно, что при любых значениях натуральных чисел B
и X число S
, как показано выше, не является натуральным числом в степени n
. Поэтому в соответствии с уравнением (3):
А=
Следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах.
Сделанный вывод из решения уравнения (3) справедлив и для показателя степени n = 2
для чисел, не являющихся пифагоровыми.
Для пифагоровых чисел запишем:
А2 = (
B + X)
2
–В2 =
B2 + 2BX + X2 - B2 = 2BX + X2
Отсюда:
X2 + 2BX -
А2
=
0
;
X = - B +
Если А и В пифагоровы числа, то X целое число и, следовательно:
С = В+
X
– целое число.
Таким образом, для показателя степени n=2
для чисел, являющихся пифагоровыми, уравнение (3) имеет решение в натуральных числах.
ВЫВОДЫ: на основании изложенного можно сформулировать простое доказательство Великой теоремы Ферма:
1. В формуле (1) алгебраическое выражение А
n
+ В
n не является биномом Ньютона, поэтому
(А
n
+ В
n
) ≠ Cn
=
(a + b)n
, т.е. число С – дробное число.
2. В формуле (2) алгебраическое выражение Cn
-
В
n не является биномом Ньютона, поэтому (
Cn
-
В
n
) ≠ An
=
(c + d)n
, т.е. число A – дробное число.
Примечание: Это доказательство Великой теоремы Ферма является одним из первых выполненных мною доказательств. Оно вошло в «Сборник доказательств Великой теоремы Ферма и гипотезы Биля», защищенных свидетельством Украины № 28607 о регистрации авторского права. Это доказательство ранее нигде не публиковалось из-за его очевидной простоты. Свои отзывы направляйте по указанному здесь электронному адресу.
Файл
:
FERMA-n
4
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=4
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:
А
4
= С
4
–В
4
(3)
Уравнение (3) запишем в следующем виде:
А
4
= (С
2
)2 –(В
2
)2
=
(С
2
–В
2
)
∙
(С
2
+
В
2
)
(4)
Пусть: (С
2
–В
2
) =
N4
(5)
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4- ой степени с параметром N и переменными B
и С. Преобразуем уравнение (5):
N4
= (С –В)·(С
+
В)
(6)
Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:
C
-
B
=
M
(7)
Из уравнения (7) имеем: C
=
B
+
M
(8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
N4
=
M∙
(
B
+
M
+
B
)=
M∙
(2
B
+
M
)
=
2
B∙M
+
M
2
(9)
Из уравнения (9) имеем: N4
-
M
2
=
2
B∙M
(10)
Отсюда: B =
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C=
Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4
на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4.
Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел N
и M : оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (11) и (12) также следует:
С
2
+
В
2
=
То есть: С
2
+
В
2 ≠ K4;
A4 ≠ N4∙K4
Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С
удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:
С
2
+
В
2 = K4
Таким образом, приведенное доказательство иллюстрирует доказательство Ферма конкретными примерами и подтверждает, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=
4
.
Файл
:
FERMA-PROST
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
B
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
C
ПОМОЩЬЮ
М
АЛОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Для доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ) применим Малую теорему Ферма (МТФ), в соответствии с которой:
где: N - натуральное число;
n – простой показатель степени;
M – натуральное число.
Уравнение (2) запишем следующим образом:
Nn – N = nM
Исходя из этого уравнения, запишем:
An – A = nX
Bn – B = nY
Сложив отдельно левые и отдельно правые части этих двух уравнений, обозначив X+Y=K и произведя соответствующее преобразование, получим:
где K – натуральное число.
Если в уравнении (1) С – натуральное число, то в соответствии с МТФ должно выполняться равенство:
С учетом уравнения (1), если С – натуральное число, с учетом уравнения (4) должно выполняться равенство:
Однако, для числа (
An + Bn) единственным целочисленным решением уравнения МТФ является решение в соответствии с уравнением (3). Поскольку C<(A+B), т.е. C
≠ (
A+B)
, из изложенного следует, что при любых целочисленных значениях числа C
≠ (
A+B) уравнение (5) не имеет целочисленных решений и, следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для простых показателей степени.
Интересно знать:
А
ЛГЕБРАИЧЕСКОЕ
РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ
П
ИФАГОРА
Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С
2
=А
2
+ В
2
, (4)
где: С – гипотенуза; А и В – катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых значения их сторон выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение (4) имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть уравнения теоремы Пифагора не изменится, если уравнение (4) запишем следующим образом:
А2 = С2 –В2 (5)
Для решения уравнения теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B
и С. Уравнение (5) в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2=(
C
-
B
)∙(
C
+
B
)
(6)
Используя метод замены переменных, обозначим:
C
-
B
=
M
(7)
Из уравнения (7) имеем:
C
=
B
+
M
(8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
А
2
=
M∙
(
B
+
M
+
B
)=
M∙
(2
B
+
M
)
=
2
BM
+
M
2 (9)
Из уравнения (9) имеем: А2
-
M
2
=2
BM
(10)
Отсюда:
B =
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C=
Таким образом: B =
(13)
C
Из уравнений (13) и (14) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A
2
на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа A2.
Из уравнений (13) и (14) также следует, что числа А и M
должны иметь одинаковую четность.
По формулам (13) и (14) определяются числа
B и C
как переменные, зависящие от значения числа А, как параметра, и значения числа M
. Числа B и C
, определенные по формулам (13) и (14), с числом А образуют тройки пифагоровых чисел.
Из изложенного следует
:
1. Квадрат простого числа A
равен разности квадратов одной пары чисел B и C
(при
M
=1
)
.
2. Квадрат составного числа A
равен разности квадратов нескольких пар чисел B и C
.
3. Все числа N> 2 являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых значения сторон А, В и С выражаются целыми числами.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=3
Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
А3+ В3 = С3 (1)
не имеет решения в натуральных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
А3 = С3 –В3 (2)
Мною найден следующий алгоритм вычисления куба натуральных чисел:
N3 = N + 3[ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (N – 1)∙ N]
(3)
В соответствии с этим запишем:
B3 = B + 3[ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (B – 1)∙ B]
(4)
C3 = C + [ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (B – 1)∙ B +
+ B∙(B+1) + ∙ ∙ ∙ + (C – 1)∙ C ]
(5)
Вычитая уравнение (4) из уравнения (5), получим:
С3 –В3 =(
C-B) +3[ B∙(B+1) + ∙ ∙ ∙ + (C – 1)∙ C ]
(6)
Из анализа этого уравнения следует, что оно не соответствует приведенному алгоритму вычисления куба натуральных чисел, в частности,
А≠
C-B. Поэтому:
С3 –В3≠
{A3 = A + 3[ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (A – 1)∙ A]}
Следовательно, число A является дробным числом, поэтому Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для показателя степени
n=3.
В общем случае для любого числа M можно записать:
M3 = X3 +{(M-X) + 3[X∙ (X+1) +(X+1)∙ (X+2) + ∙ ∙ ∙ + (M – 1)∙ M]}
где X принимается в пределах:
1 ≤
X ≤ (M-1)
Следовательно, существует (M-1) вариантов определения куба числа M.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
В
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
C
ПОМОЩЬЮ
М
АЛОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Для доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ) применим Малую теорему Ферма (МТФ), в соответствии с которой:
где: N - натуральное число;
n – простой показатель степени;
M – натуральное число.
Уравнение (2) запишем следующим образом:
Nn – N = nM
Исходя из этого уравнения, запишем:
An – A = nX
Bn – B = nY
Сложив отдельно левые и отдельно правые части этих двух уравнений, обозначив X+Y=K и произведя соответствующее преобразование, получим:
где K – натуральное число.
Если в уравнении (1) С – натуральное число, то в соответствии с МТФ должно выполняться равенство:
Из уравнений (1), (4) следует:
Однако, для числа (
An + Bn) единственным целочисленным решением уравнения МТФ является решение в соответствии с уравнением (3). Поскольку C<(A+B), т.е. C
≠ (
A+B)
, из изложенного следует, что при любых целочисленных значениях числа C
≠ (
A+B) уравнение (5) не имеет целочисленных решений и, следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для простых показателей степени.
Числа A и В, в свою очередь, могут быть равны соответственно:
А= а
, am, a2, a2m
;
B =b, bm, b2, b2m,
где m- простое или составное число.
Про этом если C- целое число, то должно быть: C =c, cm, c2, c2m.
Отсюда следует, что в соответствии с уравнением (5) Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для любых, нечетных и четных, показателей степени.
Интересно знать:
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=4m
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n- натуральное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Из анализа возведенных в степень n=4m
натуральных чисел следует:
все нечетные числа, кроме кратных 5, в степени 4m (m=1, 2, 3…) всегда оканчиваются на 1;
все четные числа, кроме кратных 10, в степени 4m (m=1, 2, 3…) всегда оканчиваются на 6.
Отсюда следует:
сумма возведенных в степень 4
m двух нечетных чисел, не кратных 5, оканчивается на 2;
сумма возведенных в степень 4
m двух, нечетного и четного, чисел, не кратных 5 и 10 соответственно, оканчивается на 7.
Числа, оканчивающиеся на 2 и 7, не являются натуральными числами в степени 4
m. Следовательно, Великая теорема Ферма для степени 4m
не имеет решения в натуральных числах, не кратных 5 и 10.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ БИНОМАХ НЬЮТОНА
Интерпретация Великой теоремы Ферма
Сумма двух биномов одинаковой степени n >2 каждый не равна третьему биному той же степени при условии, что все слагаемые биномов натуральные числа:
(a+b)n + (c+d)n ≠ (k+m)n
Варианты:
(a+x)n + (a+y)n ≠ (a+z)n
(1+x)n + (1+y)n ≠ (1+z)n
Интерпретация гипотезы Биля
Сумма двух биномов степени k>2 и
m>2 не равна третьему биному степени n>2 при условии, что все слагаемые биномов натуральные числа:
(a+b)k + (c+d)m ≠ (k+m)n
Варианты:
(a+x)k + (a+y)m ≠ (a+z)n
(1+x)k + (1+y)m ≠ (1+z)n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ
ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение :
А
x
+В
y
= С
z
/1/
не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x
,
y
и z при условии, что x
,
y и z больше 2.
Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А
x
= С
z
- В
y
/2/
Принимаем, в уравнении /2/ показатели степени равны:
z=
2
k; y=
2
m,
x=2n
где: k , m
и
n- простые или составные, четные или нечетные числа.
В этом случае уравнение /2/ примет вид:
A
2
n
=
Cz
-
В
y
= (
Ck)2 - (Bm)2 /3/
Уравнение /3/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A
и переменными B
и С.
Уравнение /2/ запишем в следующем виде:
А
2n
=
Cz-By = C2k-B2m
=
(С
k
)2 –(В
m
)2
=
(С
k
–В
m
)∙(С
k
+В
m
) /4/
Обозначим: Вm
=
V /5/
С
k
=
U /6/
Отсюда:
В
y
=B2m
=
V
2 /7/
С
z
=
C2k = U
2
/8/
В =
С =
Тогда из уравнений /2/, /7/ и /8/ следует:
А2n
= С
z
–В
y
=
U
2
-
V
2 /11/
Уравнение /11/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2n
=
(
U
-
V
)∙(
U
+
V
)
/12/
Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:
U
-
V
=
X
/13/
Из уравнения /13/ имеем:
U
=
V
+
X
/14/
Из уравнений /12/, /13/ и /14/ имеем:
А
2n
=
X·
(
V
+
X
+
V
)=
X
(2
V
+
X
)=2
V
Х+
X
2
/15/
Из уравнения /15/ имеем:
А
2n
-
X
2
=2
V
Х
/16/
Отсюда:
V=
Из уравнений /14/ и /17/ имеем:
U=
Из уравнений /9/, /10/, /17/ и /18/ имеем:
B =
C =
Алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение
Из анализа этих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математических действий нельзя получить числа, равные
где: S и R
- должны быть целыми числами.
Поэтому в соответствии с уравнениями /19/, /20/, /21/ и /22/:
Таким образом, числа В и С – дробные числа.
Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.
ОДНАКО!.. Приведенное доказательство справедливо для случая, если A,
B и C
- взаимно простые числа. Однако ВИКИПЕДИЯ содержит следующую формулировку гипотезы Биля: «если:
Ax + By = Cz,
где A, B, C, x, y, z положительные целые и x, y, z >2, то A, B, C имеют общий простой множитель».
Другими словами, если гипотеза Биля имеет решение в целых положительных числах A,
B и C, то эти числа содержат общий простой множитель.
В такой формулировке гипотеза Биля имеет решение в целых положительных числах. Примеры:
135 + 913 = 1043 – общий простой множитель 13.
42436863 + 1219454 = 2914 – общий простой множитель 29.
722 + 48025 = 504214 – общий простой множитель 7.
1017 + 30005 = 7000003– общий множитель 10, состоящий из двух простых множителей 2 и 5.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ БИНОМАХ НЬЮТОНА
Интерпретация Великой теоремы Ферма
Сумма двух биномов одинаковой степени n >2 каждый не равна третьему биному той же степени при условии, что все слагаемые биномов натуральные числа:
(a+b)n + (c+d)n ≠ (k+m)n
Варианты:
(a+x)n + (a+y)n ≠ (a+z)n
; (1+x)n + (1+y)n ≠ (1+z)n
Интерпретация гипотезы Биля
Сумма двух биномов степени k>2 и
m>2 не равна третьему биному степени n>2 при условии, что все слагаемые биномов натуральные числа:
(a+b)k + (c+d)m ≠ (k+m)n
Варианты: (a+x)k + (a+y)m ≠ (a+z)n
;
(1+x)k + (1+y)m ≠ (1+z)n
инженер-механик
E-mail: [email protected]
