Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аⁿ+ Вⁿ = Сⁿ (1)
где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аⁿ = Сⁿ - Вⁿ (2)
Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:
А⁴ = С⁴ -В⁴ (3)
Уравнение (3) запишем в следующем виде:
А⁴ = (С²) ² - (В^{2) 2} = (С² -В²) ∙ (С² +В²) (4)
Пусть: (С² -В²) = N⁴ (5)
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4 - ой степени с параметром N и переменными B и С. Преобразуем уравнение (5):
N⁴ = (С -В) · (С +В) (6)
Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:
C-B=M (7)
Из уравнения (7) имеем:
C=B+M (8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
N⁴=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2B∙M+M² (9)
Из уравнения (9) имеем:
N⁴ - M²= 2B∙M (10)
Отсюда:
B =  (11)
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C=  (12)
Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N⁴ на число M, т.е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N⁴.
Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел N и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (11) и (12) также следует:
С² +В²=  (13)
Обозначим:
С² +В² = K (14)
Пусть:
N=P∙S; M=S²
Тогда:
K = С² +В² =  (15)
Из уравнений (4), (5) и (15) следует:
A⁴ = N⁴∙ K=N⁴· S⁴∙  (16)
Отсюда следует:
A = N· S∙  (17)
Очевидно, что:
 - дробное число.
То есть:
С² + В² ≠ R⁴; A⁴ ≠ N⁴∙R⁴
Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А - дробное число.
Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:
С² + В² = R⁴
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=4.