4.           Если Д>0, то уравнение имеет два различных корня  х₁ =
 и второй корень  х₂ = .
        При соответствующих исходных данных любой ученик при верном выполнении шагов алгоритма получит искомый результат ( a = 1, b = 6, c = 5), то x₁= -5, x₂ = -1).  Очевидно, что выполнение алгоритма может обрываться на втором шаге, если Д < 0, то мы делаем вывод, что уравнение с такими данными не имеет корней (например: а = 7, b = 5,c = 3,). 
- в любом алгоритме для каждого шага (кроме последнего) можно указать единственный (при данном выборе исходных объектов), непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Поэтому говорят, что алгоритм обладает свойством дискретности.
  Таким образом, из характеристики основных свойств алгоритма ясно, что алгоритм всегда представляет собой предписание о выполнении некоторой системы операций, но не всякое предписание о выполнении операций является алгоритмом. Алгоритм считается заданным, если однозначным образом указаны те действия, которые на каждом шаге должны быть произведены над объектом при всех его возможных состояниях, чтобы перевести его в требуемое состояние. При этом считается, что все возможные состояния объекта известны и предусматривают однозначные реакции решающего задачу на каждое из них [16].     
В дальнейшем в нашей работе под алгоритмом будем понимать любое предписание, удовлетворяющее свойствам алгоритма.
§ 5 Классификация алгоритмов.
    Как  и любое множество объектов, множество алгоритмов, можно классифицировать по различным основаниям. Для того чтобы выяснить, как обучить алгоритму, необходимо представлять цель применения данного алгоритма: преобразование объекта или его распознавание.
   В курсе алгебры 7-9 классов большинство алгоритмов – вычислительные, а, следовательно, связаны с преобразованием тех или иных математических объектов.
Задача распознавания всегда является частной по отношению к задаче преобразования.
  Таким образом, алгоритмы с точки зрения цели, достигаемой с их помощью, можно разделить на 2 типа: алгоритм преобразования и алгоритм распознавания.  При этом алгоритмы преобразования включают в себя операции распознавания, а алгоритмы распознавания могут включать в себя операции преобразования.
   Как отличить такие алгоритмы друг от друга? Это можно сделать лишь по характеру цели, которая ставится в процессе решения задачи с помощью алгоритма, по заключительному результату,  получающемуся в итоге применения алгоритма.
   Если таким результатом является суждение о принадлежности исходного объекта к некоторому классу, то данный алгоритм в целом является алгоритмом распознавания, в противном случае алгоритм представляет собой алгоритм преобразования.
   Пример алгоритма распознавания посредством преобразования можно привести из области арифметики:
Например, для того чтобы определить (распознавать),  делится ли некоторое число на 9, задача преобразуется: ищется сумма цифр числа.  Чтобы   определить число  корней  уравнения 5х²+6х+1=0 преобразуем задачу: найдём дискриминант уравнения. Д=36-20=16 Так как 16>0, то уравнение имеет 2 различных корня.
 В любом процессе распознавания, который осуществляется путём преобразования, то есть  с помощью некоторой конструктивной деятельности,  важнейшей операцией является сопоставление преобразованного объекта с некоторыми признаками, заданными определением или каким-либо другим теоретическим  утверждением.
   Следует отметить, что в школьном курсе алгебры алгоритмам распознавания отводится гораздо меньше внимания, чем алгоритмам преобразования.  Такой подход нецелесообразен. Подавляющее большинство действий человека применимо не просто к отдельным конкретным предметам, а к предметам как к элементам некоторых классов предметов, и поэтому гораздо целесообразнее вырабатывать формы поведения применительно к объектам как представителям целых классов. Только в этом случае появляется возможность переносить поведение с одного предмета на другой; не проходя каждый раз специальной стадии обучения. Но чтобы такой перенос поведения стал возможен, необходимо распознать, к какому классу принадлежит объект.
Одно ясно, что не осуществив процесса распознавания или распознав предмет  ошибочно, учащиеся не могут осуществить его преобразование или оно будет неправильным.
Так, например, в методике математики выделяют три типа задач на проценты:
I.                   Нахождение процента от числа;
II.                   Нахождение числа по его проценту;
III.                   Нахождение процентного отношения;
Решение всех трёх типов задач  можно свести работе с формулой аb=c, где
 а – «всё», b – « процент, выраженный в десятичной дроби», c –  «часть». В задачах I типа известны переменные a и b, и нужно найти с. В задачах II типа известны - b и с, нужно найти а. Следовательно, в задачах третьего типа известны - а и с, и нужно найти b. Для того, чтобы решить задачу  на проценты, необходимо распознать к какому из трех перечисленных типов она относится.
 Специальное обучение процессам распознавания, преобразования и выяснения возможностей их алгоритмизации выступает, поэтому как важная задача, решение которой имеет существенное значение для практики и теории обучения.    
§ 6 Этапы изучения алгоритма в школе.
  Следует различать 2 смысла, в котором может употребляться выражение «алгоритмизация обучения».
1.           Под алгоритмизацией обучения понимают алгоритмизацию деятельности учителя; составление и использование алгоритмов обучения.
2.           Алгоритмизация деятельности учащихся, то есть не что иное, как обучение алгоритмам.
  Открытие алгоритмов решения математических задач привело к коренному изменению в практике обучения математике: алгоритмам стали учить, и это во много раз облегчило и ускорило овладение этим предметом.  В то же время учебный процесс ни в коем случае не должен и не может быть сведён только к обучению алгоритмам.
В обучении учащихся алгоритмам  можно идти разными путями:
1)           Давать учащимся алгоритм в готовом виде. Такой путь не является лучшим, но позволяет  экономить время.
2)           Гораздо более ценно, когда ученик открывает соответствующие алгоритмы сам или с помощью учителя.
3)           Подбор учителем таких упражнений и задач в ходе решения, которых у учащихся будут формироваться нужные системы операций.
Формирование алгоритмического процесса идёт более успешно, когда эти различные пути соединяются.
При формировании алгоритма выделяют три основных этапа [26]:
     I. Введение алгоритма.  Этот этап подразумевает следующее:
1)     Актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма.
2)     Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.
3)     Формулировка алгоритма.
II.Усвоение
Отработка отдельных операций, входящих в алгоритм и усвоение их последовательности.
III.Применение алгоритма.
Отработка алгоритма в знакомой и незнакомой ситуациях.
   Выделенные этапы будут проиллюстрированы во второй главе работы.
     Таким образом, применение алгоритмического метода при обучении математике устраняет главный недостаток учебников: процесс мыслительной деятельности расчленяется на определённое число достаточно простых элементарных операций, усвоения и понимания которых для учащихся будет менее трудоёмко.
Часть 2
1 Особенности изучения темы «Неравенства» в школьном курсе математики
Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач.
Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в её приложениях с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями. Тема “Неравенства” связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (нахождение промежутков знакопостоянства функции, определение монотонности и др.)
До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равны». Поэтому пропедевтическое изучение неравенств должно осуществляться совместно с изучением уравнений.
С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений дети знакомятся уже в 1 классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать уже простейшие числовые выражения, например, такие как: а+3 и а+1.
В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «решить неравенство» ещё не вводится. Приведём пример задания, предлагаемого в начальной школе.
Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство х<9.
В 5 классе изучается сравнение натуральных, десятичных дробей.
Например, сравните многозначные натуральные числа 3421 и1803
Результат сравнения  записывается в виде неравенства с помощью
Знаков « > » и « < » .
В 6 классе для установления отношений «больше», «меньше» на множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида |х|≤а, |х-b|<b,  |х-a|≤b. Их решения осуществляются с помощью числовой оси. 
Тема “Неравенства” систематически изучается  в 7-8 классах. В неё включены следующие разделы: «Числовые неравенства и их свойства», «Почленное сложение и умножение числовых неравенств», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной».
В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. С целью повышения доступности материала рассматриваются  главным образом такие доказательства, которые ограничиваются методом сравнения с нулём разности левой и правой частей неравенств. В связи с решением линейных неравенств с одной переменной даётся понятие о числовых промежутках, появляются и вводятся соответствующие обозначения. При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание надо уделять отработке умения решать простейшие неравенства вида ах<b.
Формирование умений решать неравенства вида ах²+вх+с>0, где а≠0, осуществляется в 9 классе с опорой на сведения о графике квадратичной функции. Здесь учащиеся знакомятся с методом интервалов. Решают этим методом дробно – рациональные неравенства.
Следует особо остановиться на вопросе о равносильности неравенств, так как некоторые свойства числовых неравенств нельзя бездумно переносить на неравенства, содержащие переменную. Известно, что при добавлении к обеим частям числового неравенства любого числа, получаем новое неравенство, равносильное исходному.  Но при добавлении к обеим частям  неравенства какого – нибудь выражения может получиться неравенство неравносильное данному.   
При переходе к функциональным неравенствам учащиеся сталкиваются с двумя важными аспектами математического образования.  
Первый аспект состоит в геометрическом истолковании неравенств, которое делает все рассуждения предельно ясными. Однако нельзя забывать, что заключение делается не на основе чертежа, а путём анализа алгебраического выражения.
Второй аспект сводится к различным приёмам доказательства. Самый главный из них – рассмотрение разности между двумя частями неравенства.  Но существуют  и такие методы, как сведение доказываемого неравенства к равносильному, которое осуществляется заменой  данных выражений  обратным им, использование метода от противного и метода математической индукции.
Таким образом, неравенства являются наиболее компактным, легко обозреваемым и доступным для учащихся материалом, на котором отрабатываются сложнейшие математические методы.                                                                              Отметим ряд особенностей изучения темы:
1) Как правило, навыки решения неравенств формируются на более низком уровне, чем навыки решения  уравнений соответствующих классов, так как  теория неравенств сложнее теорий уравнений (при выполнении одного и того же числа упражнений техника решения неравенств какого – либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этого требуется большее число заданий).
2) Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства  к уравнению  и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства (темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений).
3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно – графические средства (изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса – построение графиков и графическое исследование функций).
 Рассмотрим  введение  алгоритма решения неравенств первой и второй степени с одним неизвестным.
§2 Формирование алгоритма « Решение неравенств первой степени с одной неизвестной»
Цель:
·     выработать умение решать неравенства первой степени с одним неизвестным и системы линейных неравенств.
Рассмотрению линейных неравенств и их систем предшествует детальное изучение  числовых неравенств и их свойств.
В отличие от свойств числовых равенств, с которыми учащиеся знакомы ещё с начальной школы, свойства числовых неравенств они изучают практически впервые. Свойства формулируются в общем виде и достаточно строго доказываются. Это часто вызывает дополнительные трудности у учащихся, так как они здесь впервые в алгебре встречаются с теоремами.
Алгоритм решения неравенства с неизвестным сложнее, чем алгоритм решения уравнений, так как на последнем этапе решения приходится учитывать знак коэффициента при неизвестном. Кроме того, в отличие от уравнения неравенство имеет не отдельные решения, а, как правило, множество решений.
  Решение систем неравенств с одним неизвестным тесно связано с числовыми промежутками, с которыми учащиеся знакомятся впервые. Изображению числовых промежутков на координатной прямой нужно уделить особое внимание. В частности, можно предложить следующий алгоритм, который  позволит учащимся правильно отмечать промежутки, соответствующие неравенствам (простым или двойным) на координатной прямой.
Например,   дано неравенство  а ≤ x < b
Нужно отметить соответствующий промежуток на координатной прямой. Для этого воспользуемся алгоритмом.
1.     Если знак первого неравенства нестрогий, то точка будет закрашенной → ставим точку на координатную прямую
( ≤ ( ≥ )→ • → отмечаем точку).
  Если знак первого неравенства строгий, то точка будет выколотая→ отмечаем точку на координатной прямой
 ( < ( > )→ ο  →отмечаем точку)
2.     Аналогично для второго знака неравенства (если неравенство двойное).
3.     Отмечаем область согласно знаку:
-если знак меньше, то отмечаем все точки лежащие левее данной точки (штриховкой).
-если знак больше, то отмечаем все точки лежащее правее относительно  этой точки (штриховкой).
4.     Выделяем общую область (двойная штриховка, это для двойных неравенств). Упражнения на каждый этап работы с этим алгоритмом приведены во второй части работы (практическая часть).
Данный алгоритм используют как составную часть при решении неравенств первой степени, системы неравенств, нахождения области определения и области значений.
В результате изучения темы учащиеся должны:
·     знать определения неравенства и  основные свойства неравенств.
·     уметь решать неравенства с неизвестным и их системы.
Специфические действия:
a)        составление разности выражений стоящих в левых и правых частях неравенств;
b)       выполнение тождественных преобразований выражений;
c)        установление знака разности выражений;
d)       подведение под понятия  «больше» и «меньше»;
e)        изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка «на языке» неравенств;
f)         алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной;
g)        определения границ выражения, если переменные, входящие в него, заданы своими границами.
 «Ядерным» материалом темы является :
·     Понятия: «< » , « > » неравенство, решение неравенства, решение системы неравенств, равносильных неравенств;
·     Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;
·     Операции над числовыми неравенствами ; 
·     Алгоритм решения неравенства с одной переменной и решения системы неравенств;
Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств предлагается ввести индуктивно на конкретных примерах, анализ которых позволяет учителю вместе с учащимися, сделать обобщение, сформулировать алгоритм.
Рассмотрим формирование алгоритма решения неравенства с одной переменной.
Для построения алгоритма как результата теоретического обобщения решения задач может быть эффективно использована групповая форма работы на первом этапе построения алгоритма.
Класс разделён на четыре группы. Каждой группе учитель даёт задание - решить предложенное  неравенство (1 группе – под буквой а; 2 группе под буквой b и так далее). Порядок выполнения действий описан ниже.
a)  x∙(x+1)+2∙(x²+3x)+6 > x∙(3∙x+5)-x+9
b) 7∙t∙ (2∙t-3) –18 ≥ (14∙t+3) ∙ (t+2)
c)  3∙x∙ (2∙x-5)+4 ≤ x∙(6∙x-9)-2∙ (3∙x+3)
d) (2∙y+1)²+2 < 2∙y∙ (2∙y+5)-6∙y+5
Первый шаг: упростите выражение в каждой части неравенства.
Второй шаг: перенесите члены неравенства содержащие переменную, в левую часть, а числа – в правую часть с изменением знака на противоположный (на основании какого свойства числовых неравенств мы это можем сделать?).
Третий  шаг: приведите подобные  члены.
Четвёртый шаг: разделите обе части неравенства на коэффициент при переменной (используются свойства равносильных неравенств),  получите простейшие неравенства:
a)  x>1;
b) t<-16,1;
c)  нет решений;
d) у - любое решение;
Пятый шаг: отметьте решения на координатной прямой.
  Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства 1 степени с одной неизвестной.
1.  Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).
2.  Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.
3.  Привести подобные члены в каждой части.
4.  Разделить обе части неравенства  на коэффициент при переменной (с учётом свойств равносильности при а≠0).
5.  Записать ответ в виде простейшего неравенства.
6. Отметить соответствующие промежутки на координатной прямой.
7. Записать числовой промежуток.
Алгоритм решения неравенства вида ax>b, который является составной частью приведённого выше алгоритма, записывается в виде схемы (рис. 1).
Рассмотрим  работу с алгоритмом решения линейных неравенств поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать следующие знания: тождественные преобразования рациональных выражений, свойства числовых неравенств, изображение промежутков на координатной прямой,  нахождение пересечения и объединения промежутков. После этого проводим описанную выше работу и формулируем  сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм  (приведение подобных членов, решение неравенств при а > или ≤ 0)  и  их последовательность.

a≠0

b<0

Х- любое число

Решений нет

конец

Начало ax>b

да

нет

нет

да

 

                да                                     нет

a>0

 

                                                                          да              
 

                                                                                     

	Рис 1

 

 
Третий этап может быть очень разнообразным. Всё зависит от уровня знаний и умений учащихся.  Но в любом случае надо начать с элементарных задач, а уже после формирования  навыка решения линейных неравенств первой степени с одной неизвестной у учащихся.

I.                                  Этап  (актуализация знаний)

  а) Изобразите на координатной прямой промежутки, соответствующие неравенствам:
·           х≥3,
·           x<-5,
·           x≤2
b)
·           –1.5≤x≤4,
·           2<y<6.1,
·           -3<z ≤ 9.2
c) Запишите неравенства, соответствующие ппромежуткам:
·           [2;+ ∞)
·           (-3;+ ∞)
·           (-∞;4)
·           (-5;3]
·           [-6;8]
·           (-∞;+∞)
2)  Найдите пересечение промежутков
·           (1;8)∩(5;10)
·           [-4;4]∩ [-6;6)
·           (-∞;10) ∩ (-∞;6]
3) Найдите объединение промежутков
·                   [7;10] и (-3;5]
·                   [3;+] и (8;+)
·                       (-;3] и (-5;16]
4)    Запишите в виде неравенства утверждения
·   сумма  чисел х и 17 больше 18;
·     разность чисел 13 и х меньше 2;
·     произведение чисел 17 и х  не меньше 3;
·     удвоенная сумма чисел х  и (-3)  не больше 2;
·     полусумма чисел х и 3 не больше их произведения;
·     удвоенное произведение чисел х и (-4) не меньше их разности
5) Заполните пустые места таблицы

Неравенство	Изображение решения	Запись решения
3<x<6	0  1	(3,6)
-2≤x≤4	x 0 1	…
7<x≤10	x 0 1	…;10]
…x<5	x 0 1	[-3;…
…	x 0 1	[4;+∞)
-4<x…3	x 0 1	…

II этап
1.                   Избавьтесь от дробных чисел в неравенстве и где нужно раскройте скобки
·                     
·                     
·                     
·                     
·                     
2. Перенесите члены с неизвестными в одну часть, а известные в другую и приведите подобные члены
·                     
·                     
·                     
·                     
·                     
3.  Приведите неравенство к виду  x > p  ( или  х ≥ р )
·                     
·                     
·                     
4.Найдите соответствие
·                      1)          а) 
·                      2)                    b)
·                      3)            c) 
     
·                      4)              d)
                                                     
5. Найдите ошибку в решении неравенства.
      a)     5·(3+2с)>4-2·c
   15+2·c>4-2·c
   2·c+2·c>4-15
   4·c>-11
              c>-11/4
     b)     4·(4-x)≥x+21
             16-4·x≥x+21
            -4·x-x≥21-16
             -5·x≥-5
              x≥-1
6. Решите неравенства.
·    
·    
·    
·    
·    
   
III этап
1.Решите неравенства.
a) 
b)
c) 
d)
e) 
f)  
g) 
2.  При каких значениях у выражение принимает отрицательное значение
a)          
b)      
c)       
d)      
3.  При каких а значение дроби  больше значение дроби
4.  При каких х значение дроби  больше значения разности
дробей
5.                   Найдите натуральные решения неравенства
a)       
b)      
6.                   Найдите положительные решения неравенства
a)       
b)      
7.                   Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше чем периметр квадрата со стороной 4см.
8.                   Найдите область определения выражения.
a)       
b)      
c)       
d)      
e)       
f)        
g)       
h)      
i)         
9. Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров.
10. Одна сторона треугольника равна 8 см., другая – 13см.
1)                  каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?
2)                  каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?
11.При каких значениях х точки графика функции у=3х+1.5  лежат выше точек графика функции у=-2х+1.
§3 Формирование алгоритма « Решение неравенств второй степени с одним неизвестным»
Цель:
·                     выработать умение решать неравенства второй степени с одним неизвестным и  системы квадратных неравенств.
Решение квадратных неравенств – это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Например, задача о решении неравенства х²-5х+6<0 может быть переформулирована в задачу о нахождении промежутков, на которых функция у =х²-5х+6 принимает отрицательные значения, а это легко решается с помощью эскиза графика. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа.
Метод интервалов является логическим продолжением решения квадратных неравенств. Он позволяет решать более сложные неравенства, у которых левая часть – многочлен любой степень, представляемый в виде простых множителей, или дробь, у которой числитель и знаменатель также многочлены, разлагаемые на множители.
В результате изучения темы учащиеся должны уметь:
·        решать квадратные неравенства с одной неизвестной графически и методом интервалов
Специфические действия:
1.                       Привидение неравенства к квадратному виду.
2.                       Решение квадратных уравнений.
3.                       Построение графиков функций (схематично).
4.                       Выполнение тождественных преобразований.
5.                       Определение знака выражения на соответствующих промежутках.
6.                       Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной.
«Ядерным» материалом темы является:
1. Понятия «< » , « > » неравенство, решение неравенства решение системы неравенств, равносильных неравенств;
2. Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;
3. Алгоритм решения  квадратных неравенств с одной переменной и решения системы неравенств.
4. Свойства графика квадратичной функции.
Рассмотрим  работу с алгоритмом решения неравенств второй степени (графически) поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать знания: нахождение корней квадратного трёхчлена, дискриминанта, изображение графиков квадратичных функций (схематично). После этого формулируем  сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм: изображение графиков функций, нахождение при каких значениях х функция принимает положительные, а при каких отрицательные значения. На третьем этапе применяем алгоритм при решении более сложных задач.  
I.  Введение алгоритма.
Рассмотрим введение алгоритма “решение неравенств второй степени с одним неизвестным” (графическим методом) с использованием обучающих самостоятельных работ.
 1.Актуализация знаний
Обучающую самостоятельную работу проводим по новому материалу,
но перед этим повторим ранее изученные понятия,  которыми придётся воспользоваться.

0                        х                 -7  -2       0                  х                  0                          х

1.           у                                     у                                 у
                                                  
                                    
                         
а) Куда направлены ветви параболы?
b) Пересекает ли парабола ось ох, если да то сколько раз?
с) При каких х парабола принимает положительные значения?
d)  При каких х парабола принимает отрицательные значения?          
2.  Изобразите схематично график функции.
·   у=х²+5х-6
·   у=-х²+4х-4
·   у=3х²+4х+8
·   у=0,1х²+3х-6
3. Изобразите  схематично параболу, которая на
·    промежутке (-∞;-3]  убывает, а на промежутке [-3;+ ∞) возрастает;
·    промежутке (-∞;6]  возрастает, а на промежутке [6;+ ∞)  убывает;
4. При каких значениях х , функция принимает положительные значения
·   f(x)=-x²+4x-2;
·   f(x)=3х²+2х-1;
5. При каких значениях х , функция принимает отрицательные значения
·   f(x)=-х²+4х-1;
·   f(x)=4x²+2x-1;
2. Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.
 После этого начинается работа с объяснительным текстом. Каждый ученик самостоятельно изучает этот текст. Это предполагает активную работу мысли ученика. Текст составлен таким образом, чтобы учащиеся в меру возможностей самостоятельно выводили формулы, находили нужные приёмы решения задачи.
Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства
 2х²-3х+1≥0, -3х2+4х+5<0 являются квадратными.
Решением неравенства  с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.
Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения.
Например, решим с помощью свойств графика квадратичной функции неравенство 2х²-х-1≤0
График квадратичной функции у=2х²-х-1 – парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём точки пересечения этой параболы с осью ох, для этого решим квадратное уравнение 2х²-х-1=0. Корни уравнения х₁=1, х₂=-0.5
Следовательно парабола пересекает ось ох в точках х₁=1, х₂=-0.5
Покажем схематично как расположена парабола в координатной плоскости.
 

1

у

 

                             
                             

-0.5

                                                          х
                                                     
Из рисунка видно, что неравенству 2х²-х-1≤0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функций равны нулю или отрицательны то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка
 [-0.5;1].
Ответ: -0.5≤х≤1
График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знакомом неравенства, из рисунка видно, что:
1) решениями неравенства 2х²-х-1 < 0 являются числа интервала -0.5<х<1
2) решениями неравенства 2х²-х-1 > 0 являются все числа промежутков
 х<-0.5 и х>1.
3) решениями неравенства 2х²-х-1 ≥ 0 являются все числа промежутков
х ≤-0.5 и х ≥ 1.
После работы с объяснительным текстом учащиеся получают «нулевые» задания. Они предназначены для самоконтроля и к ним предлагаются правильные ответы. Если ответы учеников не совпали с данными ответами, то придётся повторно прочитать объяснительный текст и снова выполнить «нулевые» задания, устранив ошибки.
 1⁰  Решите неравенства:
а) 4х²-5х+6х<0,2(10х²+15)
1. Приведите неравенство к квадратному  виду .
 2  Выясните имеет ли выражение, стоящее в левой части корни.
(Решите уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю.)
Заполните таблицу

	Д>0	Д<0	Д=0
Количество корней
Найдите и отметьте корни на числовой оси (корни разбивают числовую ось на промежутки)
Изобразите схематично параболу
Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и  запишите ответ.

Аналогично решите неравенства
b) х²+2х+1≥0 (Заполните таблицу)
c) -х²+х-1≥0 (Заполните таблицу)
3. Формулировка алгоритма.
2⁰. Сформулируйте этапы решения квадратных неравенств (графическим методом).
Ответы:
1.   а)1<х<1.5
      b) х – любое число;
      c) нет решения.
2. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной (графическим методом)
1.Перенесите все слагаемые в левую часть и решите уравнения, приравняв выражение в левой части к нулю (найдите дискриминант квадратного трёхчлена, и выясните, имеет ли трёхчлен корни).
2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на оси абсцисс и через отмеченные точки проведите схематично параболу ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0, если трёхчлен не имеет корней, то схематично изобразите параболу, которая расположена в верхней полуплоскости при а>0 или в нижней полуплоскости при а<0.
3. Найдите на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ох (если ах²+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах²+вх+с<0).
4.Запишите ответ, взяв эти промежутки в объединение.
II Усвоение.
Составной частью работы с алгоритмом является система упражнений, предназначенных для осознания учащимися изучаемого материала, более глубокого его усвоения, формирования необходимых понятий. По ходу выполнения упражнений в задачах даются дополнительные разъяснения, а к наиболее трудным – ответы.
1. Приведите неравенства к квадратному виду
1) у²+5у²-3у>5(у+1)
2) 0.2(z+4)-0.8≥1.2z+2
3) 6+m²+m<m(2m²-6)
2.(устно) Используя график функции у=ах²+вх+с (см рис). указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения равные нулю.

-2              0                     х            -3         -1   0                                                 0             х                 а)                                                в)                                              c)

 

              у                                      у                                         у

0        2         5      х                  0                        х                         0                     х

д)                                                е)                                                  ж)

 

                                                                                                    -3
3. Построить график функции f(x) (схематично). Определить по графику значения х при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.
1)
2)
3)
4.Решите графически неравенства
  1)
  2)
  3)
  4)
4. Найдите, при каких значениях х  трёхчлен
·    принимает положительные значения;
·    принимает отрицательные значения;
5. Решите неравенства.
a)            х²<16;
b)           х²≥3;
c)            0,2х² >1,8;
d)           -5х²≤х.
6.Найдите множество решений неравенств:
a)      3х²+40х+10<-х²+11х+3;
b)     9х²-х+9≥3х²+18х-6;
c)2х²+8х-111<(3х-5)(2х+6).
7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
a)      4х²+12х+9≥0;
b)     -5х²+8х-5<0.
III.Применение алгоритма
На этом этапе работы с алгоритмом задания предлагаются аналогичные рассмотренным, но с постепенным усложнением. В ходе решения учитель проверяет правильность понимания учащимися изученного вопроса, уточняет формулировки, разъясняет допущенные ошибки.
1.Решите неравенство.
  1)
  2)
  3) 2x (3x-1)>4x²+5x+9
  4) (5x+7)(x-2)<21x² -11x-13
2. Найдите общее решение  неравенств х²+6х-7 ≤ 0  и  х²-2х-15 ≤ 0
3.Докажите, что:
·         х²+7х+1>-x²+10x-1 при любом х;
·         -2х²+10х<18-2x при х≠3.
4. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 см².
5. Найдите область определения функции.
·        у =    12х-3х²
·        у =  1/     2х ² -12х+18
После того как учащиеся познакомились с графическим методом,  предлагается  метод интервалов – как ещё один из способов решения квадратных неравенств.
 Формирование алгоритма решения квадратных неравенств с одним неизвестным (методом интервалов) можно осуществить аналогичным образом.
Алгоритм решения неравенства второй степени  c  одним неизвестным (методом интервалов).
1. Раскройте скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).
2. Перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные члены (если нужно).
3. Решите уравнения, приравняв выражение в левой части к 0 (найдите дискриминант и выясните, имеет ли трёхчлен корни).
4.Найденные корни уравнения нанесите на числовую ось. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом, из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак.
5. Выберите на каждом из  промежутков какое – нибудь значение (пробную точку) и определите знак выражения в этой точке.
6. Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и  запишите ответ,  взяв их в объединение.
1. Актуализация знаний
1.                                    ах²+вх+с=0
1) Решите квадратное уравнение.
2) Разложите левую часть уравнения  по формуле ах²+вх+с=а(х-х₁)(х-х₂), где х₁,х₂ – корни данного уравнения.

2.Найдите корни уравнения, разложите уравнение по корням, отметьте корни на числовой оси.
·  
·  
3.Разложите многочлен на множители
·    
·  
II Усвоение
1. Сведите следующие неравенства к квадратному.
1)
 2)
 3)
2. Найдите при каких значениях х  трёхчлен
·    принимает положительные значения;
·    принимает отрицательное значения;
3. Решите неравенства

4. Длина прямоугольника на 5 см. больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36см².
5. При каких значениях  х  функция у= - х² + 8х + 2  принимает значения больше 9.
6. Разложите многочлен на множители.
·  
·  
·  
7. Решите неравенство методом интервалов.
·  
·  
·  
·  
·  
·  
8. Найдите область определения выражения.
  1)
  2)
9. Решите неравенство
   1) 
   2) 
   3)
III.Применение алгоритма
1. Решите неравенство.
   1)
   2)
   3)
   4)
2. Найдите общее решение  х²+6х-7 ≤ 0  и  х²-2х-15 ≤ 0
3.Решите систему неравенств.
   1)
   2)
   3)
4.Катер должен не более чем за 4 часа пройти по течению реки 22,5км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения равна 3км/ч.
5.Решите неравенство методом интервалов.
 1)
 2)
 3)
6.Решите неравенство.
 1)
 2)
 3)
§4 Опытное преподавание.
Факультативное занятие в девятом классе (решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной).
Цель:
применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении линейных неравенствах  с параметрами.
Задачи:
·                   расширить кругозор учащихся;
·                   воспитание внимания, аккуратности, самостоятельности;
·                   осуществление взаимосвязи теории и практики;
·                   развитие памяти, логического мышления.
 Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся. Причём часто учащиеся испытывают психологические трудности, «боятся» таких задач, так как не видят связи в их решении с решениями линейных неравенств с одной переменной.
 Изучение линейных неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной не возможно без умения решать линейные неравенства с  одной переменной. Так как факультатив проводился в 9 классе, а линейные неравенства изучались в восьмом классе, то возникла необходимость актуализировать знания по решению линейных неравенств, вспомнить этапы их решения. Ученикам можно предложить следующее задание.
Решите неравенство  2(х+5)-3≥4+3х
 Все решают у себя в тетрадях, а один ученик решает у доски. Запись ведёт в два столбика. Решение в одном столбика, а в другом записывают пояснения к своим действиям.
 
2х+7≥4+3х       Раскрыли скобки в обеих частях неравенства
2х-3х≥4-2         Перенесли слагаемые, содержащие переменную в одну
                         часть, а не содержащую в другую.
-х≥2                               Привели подобные члены в каждой части.
х≤-2                  Разделили обе части неравенства  на коэффициент при
                         переменной (учитывая его знак !).

-2             х

                         Отметили соответствующие промежутки на
                         координатной прямой.
х (-∞;-2]          Записали числовой промежуток
После того как повторили этапы решения линейных неравенств с одной переменной, учитель предлагает на доске подробный разбор решения неравенства с параметром. Затем ученики вместе с учителем формулируют алгоритм решения линейных неравенств с параметром.
Пример 1. Рассмотрим решение неравенства (а-4)∙х<12
    Чтобы найти х, обе части неравенства хочется разделить на (а-4). Однако теперь важно положительно, отрицательно или равно нулю  выражение (а-4).
Определим знак выражения

(а-4)

а

4

              
      Рассмотрим три случая:
a)       а-4=0
b)       а-4>0
c)        а-4<0
1)если а-4=0 а=4, то неравенство примет вид 0х<12, которое справедливо для всех х R
2) a-4>0 a>4, то разделим обе части неравенства на положительное выражение (а-4), не меняя знак неравенства, получим х >  (используем свойство числового неравенства).
3) a-4<0 a<4, то разделив обе части неравенства на отрицательное выражение и поменяв знак неравенства, получим х< .
Ответ:
если а=4, то х R;
если а>4, то х > ;
если а<4, то х< .
Таким образом, после разобранного примера учитель формулирует алгоритм, опираясь на знания и умения,  учащихся о решении линейных неравенств с одной переменной.
1.                   Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).
2.            Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.
3. Привести подобные члены в каждой части и получить один из 4 видов неравенств А(а)х<B(a) (**) , А(а)х≤B(a), А(а)х>B(a), А(а)х≥B(a), где х- переменная, А(а) и В(а) – функции параметра а.
4. Рассмотреть три случая:
1) Найти а, при которых А(а)=0, подставить в неравенство(**) вместо параметра а найденные решения и решить соответствующие неравенства.
2) Найти а, при которых А(а)>0, разделить неравенство(**) на А(а), не меняя его знак.
3) Найти а, при которых А(а)<0, разделить неравенство(**) на А(а), поменяв его знак.
5. Записать ответ.
Пример 2. решить неравенство

-1

3-а∙х ≥ х х+а∙х≤3 х∙(1+а)≤3
1)                   1+а=0 а=-1
Подставляем в неравенство 0∙х≤3, х R.
2)                   1+а>0 а>-1
                 х≤
3)                   1+а<0 а<-1
x≥
Ответ: При          а=-1, то х R;
 а>-1, то х ≤ ;
 а<-1, то x ≥ .
Пример 3.
 х∙а² ≤ а+х х∙ (а²-1) ≤ а
1) а²-1=0 (а-1)(а+1)=0  а=1 или а=-1

1

-1

 а = 1; а = -1;   х∙0 ≤ 1 неверно
2) а²-1>0  а>1 или a<1, то x ≤
3) а²-1>0  a , то x
             
Ответ:       а=1, то х R;
                  а= -1, то нет решения;
                  , то  x ≤ ;
                 , то x .
Пример 4.
2а∙(а-2) ∙х  а-2
1) 2а∙(а-2)=0  а=0 или  а=2
  а=0  х∙0 -2 верно

0

2

  а=2  х∙0 0 неверно
2) 2а∙(а-2)>0  а ,
 то  х
3) 2а∙(а-2)<0     , то х
Ответ:
                  а=0, то х R;
                  а=2, то нет решения;
                  а , то  х ;
                  , то  х .
Пример 5.
(а²-9) ∙х а+3

-3

3

1) а²-9=0
а=3 и а=-3
а=3  0х 6  верно;
а=-3 0х 0  верно;
2)   ;
3)   ;
Ответ:
                        а=3 , а=-3 то  х R;
                       , то ;
                       , то ;
Пример 6.
а²х-а ∙х > a-1 x∙ (a²-a) > a-1 x∙(a∙ [a-1]) > a-1
1)                  a∙ [a-1]=0 a=0 и а=1

0

1

а=0 0∙х>-1 верно
а=1 0∙х>0   неверно
2) ; х>
3)а ; х<
Ответ:
                   а=0, то х R;
                   а=1, то нет решения;
                  a , то  х> ;
                  , то  х< .
Пример 7.
а²∙х+4а∙х-а-4≤0
Ответ:
                    а=0 , а=-4 то  х R;
                    , то ;
                    , то .
Пример 8.

Ответ:
          a<-2 а=2, то нет решения;
          а , то  х < ;
          , то  х> .
Примеры для самостоятельного решения:
1)2∙а∙х+5>а+10∙x;
2)a∙x+x+1 <0;
3)x+1≤a∙x+a²;
4)a∙x+16≤a²-4∙x;
5)m∙x>1+3∙x;
6) ;
7) ;
8) (x-1) ∙ (a2-1)>5-4∙a;
9)b-3∙b+4∙b∙x<4∙b+12∙x;
Выводы:
Факультатив “Решение неравенств  с параметром первой степени с одной неизвестной” был проведён в 9 классе в школе №52 г. Кирова. Цель данного факультатива была достигнута. Применение алгоритмического метода позволило сделать изложение данной темы более доступным, учащиеся научились решать линейные неравенства с параметром осознанно.
Заключение
В ходе исследования были решены следующие задачи:
1) Изучена учебно-методическая литература по применению алгоритмического метода в школе;
2) Рассмотрены следующие вопросы, связанные с алгоритмическим методом: история возникновения алгоритма;  определение алгоритма, его свойства, основные этапы алгоритмического процесса и классификация алгоритмов.
3) Разработана методика формирования алгоритмов “Решение алгебраических неравенств 1 и 2 степени с одним неизвестным”.
4) Показано как алгоритмический метод может применяться при решении линейных неравенств с параметром на факультативном занятии.
                                    
Литература
1.     Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров   и др – М: Просвещение, 1999.
2.     Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского  – М: Просвещение, 2002.
3.     Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров     и др – М: Просвещение, 1991.
4.     Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского  – М: Просвещение, 1996.
5.     Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров     и др – М: Просвещение, 1992.
6.     4. Алгебра.8 класс./Под ред. Виленкина Н.Я.- М: Просвещение, 1997.
7.     5.Алгебра.9 класс./Под ред. Теляковского С.А.- М: Просвещение, 1994.
8.     6.Алгебра в 8 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1977.
9.     7.Алгебра в 9 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1978.
10. Бочарова О. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной. // Математика в школе – 2002 - №7 – с. 40 – 42.
11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.И. Математика: Учебник для 5 класса.- М: Мнемозина, 1999.
12. Галицкий М.Л., Гольдман А.Н., Завич Л.И. Курс алгебры 8-го класса в задачах- Львов: Журнал «Квантор», 1991.
13. Горбачёв В.И. Общие методы решения уравнения и неравенства с параметрами не выше 2 степени. // Математика в школе – 2000 - №2 – с. 61-68.
14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства – М: Наука, 1971.
15. Богушевский К.С., Сикорский К.Л. Сборник задач по математике для повторения.: Пособие для учителей 5-8 классов средней школы –М: Учпедгиз, 1955.
16. Варпаховский К.М. Элементы теории алгоритмов.- М., 1997.
17. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Киев
18. Ефремов Д.Н. Алгоритмы.- С.-Петербург, 1993.
19. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие. /Вавилов В.В. –М: Наука, 1988.
20. Здоровенко М.Ю.
21. Косовский М.А. Основы теории элементарных алгоритмов. - М.: 1987.
22. Королева Т. Математический тренажёр по алгебре для 7- 9 классов. // Математика в школе – 2001 - №8 – с.12-30.
23. Коровкин П.П. Неравенства М: Гос. изд-во технтко-теоретич. лит., 1951.
24. Кузнецова Л. Методические указания к теме “Неравенства ” // Математика в школе – 2002 - №6 – с.22-32.
25. Кривоногов В. Квадратные неравенства и уравнения. //Математика – 2002 - №3 (16-22 января) – с.15-19.
26. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. /Под ред. Лященко Е.И. - М: Просвещение,1988.
27. Ланда Л.Н. Алгоритмизация  в обучении.- М.: Просвещение,  1966.
28. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 8 кл: учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998.
29. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 9 кл: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998.
30. Математика: Учебник для 5 класса/ Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. - М.: Просвещение,  1994.
31. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. – М.: Просвещение 1987. Талочкин  П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение,  1970.
32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина , 2001.
33. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2002.
34. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Задачник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000.
35. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000.
36.Мордкович А.Г. Алгебра: Методическое пособие для учителей.- М: Мнемозина, 1997.
37. Невяжский Г.Л. Неравенства. :  Методическое пособие для учителей. – М., 1997.
38. Психология. / Под ред. Ковалёва Л.И., Степанова М.П., Шабалина Г.Т.,
 Талочкин  П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970
39. Симонов А.  Дидактические материалы для 8-9 классов с углублённым изучением математики. // Математика в школе – 2002 - №7 – с.5-10.
40. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней щколы /сост. Никольская И.Л. – М.: Просвещение, 1991.