МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ  ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
                                                                        Выполнила студентка 5 курса
математического факультета Лоптева О. Н.
_____________________________/подпись/
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доц. Варанкина В. И.
_____________________________/подпись/
Рецензент:
к.ф.-м.н., доц. Здоровенко М. Ю.
_____________________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК                                                         
Зав. кафедрой_______________________                     Крутихина М. В.
                                                                                            «____»______________________________
Декан факультета____________________                     Варанкина В. И.
                                                                                            «____»______________________________
КИРОВ, 2003
                                           ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

Глава 1    

Исходные определения

§1. Порядковые определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§2. Топологические определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 2

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

§1. Вполне упорядоченные множества и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
§2. Конечные цепи и их порядковые типы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§3. Порядковый тип  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§4. Свойства ординальных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
§5. Пространство ординальных чисел W( ₁) и его свойства. . . . . . . . . . . .18
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  25
                                                ВВЕДЕНИЕ
   Идеи топологии были высказаны ещё выдающимися математиками 19 века: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом и Бауэром. Однако общая топология, как её понимают сейчас, ведёт начало от Хаусдорфа («Теория множеств», 1914).
   Истоки теории упорядоченных и частично упорядоченных алгебраических систем лежат в геометрии, функциональном анализе и алгебре.
   Линейно упорядоченные пространства, в том числе и линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, объединяют в себе две структуры: порядковую и топологическую. Систематического изложения теории пространства ординальных чисел не существует. Этим объясняется актуальность выбранной темы.
      Целью дипломной работы является исследование пространства ординальных чисел, его порядковых и топологических свойств. В первой главе будут даны основные понятия теории множеств и общей топологии, а во второй главе будет введено понятие порядкового типа, установлены свойства порядковых чисел, а также проведено исследование пространства ординальных чисел, имеющее важное значение для данной работы. Будет доказана хаусдорфовость, нормальность, локальная компактность, счётная компактность, неметризуемость и некоторые другие свойства линейно упорядоченного пространства ординальных чисел.
      
                      
ГЛАВА 1. Исходные определения и теоремы.
§1. ПОРЯДКОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
   Определение 1.1. Упорядоченным множеством называется непустое множество Х вместе с заданным на нём бинарным отношением порядка , которое:
   рефлексивно: а  a;
   транзитивно:  a  b  c  a  c;
   антисимметрично: a  b  a  a = b ( для любых a, b, c X ).
   Элементы упорядоченного множества называются сравнимыми, если
а < b, a = b или b < a.
   Замечание: по определению будем считать, что a < b, если a  b и a  b.
   Определение 1.2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые его два элемента сравнимы.
   Определение 1.3. Элемент а упорядоченного множества Х называется наименьшим  (наибольшим)  элементом  множества  А Х, если а А и а  х
 (х  а) для любого х А.
   Определение 1.4. Элемент а упорядоченного множества Х называется минимальным (максимальным) элементом множества А Х, если в А нет элементов, меньших (больших) а, то есть если х  а (а  х) для некоторого х , то х = а.
   Определение 1.5. Пусть А – непустое подмножество линейно упорядоченного множества Х. Элемент а из Х называется верхней (нижней) гранью множества А, если он больше (меньше) любого элемента из А.
   Определение 1.6. Если множество А имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, то А называется ограниченным сверху (ограниченным снизу).
   Определение 1.7. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
   Определение 1.8. Точной верхней гранью множества А называется наименьший элемент множества всех верхних граней множества А. Обозначается sup A.
   Определение 1.9. Точной нижней гранью множества А называется наибольший элемент множества всех нижних граней множества А. Обозначается inf A. 
   Определение 1.10. Пусть <X, > - линейно упорядоченное множество, содержащее,  по  крайней  мере,  два  элемента. Для а, b X,  a < b положим
(a, b) = {x X: a < x < b}. Такие множества будем называть интервалами в Х. Множество [a, b] = { x X : a  x  b} называется отрезком в Х.
   Определение 1.11. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.
   Определение 1.12. Пусть М и М₁ – упорядоченные множества и пусть f – взаимно однозначное отображение М на М₁. Отображение сохраняет порядок, если из того, что a  b ( a, b M ), следует, что f (a)  f (b) (в М₁). Отображение f называется изоморфизмом упорядоченных множеств М и М₁, если соотношение f (a)  f (b) выполнено в том и только в том случае, если a  b. При этом множества М и М₁ называются изоморфными между собой.
§2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
   Определение 1.13. Топологическим пространством называется пара (Х, ), состоящая из множества Х и некоторого семейства  подмножеств множества Х, удовлетворяющая следующим условиям:
1)   множество Х и  Æ принадлежат  ;
2)   пересечение конечного числа множеств из  принадлежат ;
3)   объединение любого числа множеств из  принадлежит .
Условия 1 – 3 называются аксиомами топологического пространства, его элементы – точками пространства. Подмножества множества Х, принадлежащие семейству , называются открытыми в Х. Семейство  открытых  подмножеств пространства Х называется также топологией на Х.
   Определение 1.14. Замкнутым множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.
   Определение 1.15. Окрестностью точки х топологического пространства называется любое открытое множество U, содержащее х.
   Определение 1.16. Топологическое пространство Х называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
   Определение 1.17. Топологическое пространство Х называется компактным, если любая его центрированная система замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.
   Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).
   Определение 1.18. Пространство Х называется  локально компактным,  если каждая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
   Определение 1.19. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если из каждого счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное подпокрытие.
    Определение 1.20. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.
   Определения 1.19 и 1.20 равносильны ([5]).
   Определение 1.21. Пространство  называется компактификацией топологического пространства Х, если:
         1)  компактно;
                2) Х – подпространство ;
          3) Х плотно в .
   Определение 1.22. Топологическое пространство Х называется Т₁-пространством, если для каждой пары различных точек х₁, х₂  существует открытое множество , такое, что х₁  и х₂ .
   Определение 1.23. Если любые две различные точки х и у топологического пространства Х имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым пространством или Т₂-пространством.
   Определение 1.24. Топологическое пространство Х называется регулярным пространством, или Т₃-пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого  и каждого замкнутого множества , такого, что , существуют открытые множества U₁ и U₂, такие, что ₁, ₂ и U₁ U₂ = Æ.
   Определение 1.25. Топологическое пространство Х называется тихоновским пространством, или Т₃ -пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого  и любого замкнутого множества , такого, что , существует непрерывная функция f: , такая, что f(x)=0 и f(y)=1 для .
   Определение 1.26. Топологическое пространство Х называется  нормальным, или Т₄-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А U, B V.
  
ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.
     §1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.
   Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства.
   Предложение 1.1. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядоченное множество (очевидно).
   Предложение 1.2. Если f – изоморфизм вполне упорядоченного множества А в себя, то для любого элемента х А выполняется неравенство f (x) x.                                                                                       (1)                            
   Доказательство.
   Будем доказывать методом от противного и предположим, что в А есть элементы х, не удовлетворяющие неравенству (1). Тогда среди этих элементов есть наименьший, так как А является вполне упорядоченным. Обозначим его через х₁ : f (x₁)<x₁. Обозначим f (x₁) = x₀ и перепишем неравенство: х₀<х₁. Так как f – изоморфизм, то выполняется неравенство: f(x₀)<f (x₁) = x₀.
   Таким образом, получили следующие неравенства: х₀ < x₁ и f (x₀) < x₀ . Эти неравенства противоречат определению элемента х₁, как наименьшего из элементов х множества А, не удовлетворяющих условию f (x) < x. ■
   Определение 2.1.   Начальным   отрезком,   отсекаемым  элементом   а А от    линейно     упорядоченного   множества   А,    называется    множество А_а = {x | x  A, x < a}.
  Предложение 1.3. Пусть А’ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество А не изоморфно никакому отрезку множества А’.
   Доказательство:
   Будем доказывать методом от противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного множества А в некоторый отрезок А_х’ подмножества А’ А. Тогда f (x)  A_x’. Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением 1.2. ■
   Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.
   Доказательство.
   Пусть А_х и А_у – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как А_х и А_у различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом х у. Пусть для определённости x < y. Тогда А_х – отрезок множества А_у и по предложению 1.3 А_х и А_у не могут быть изоморфными. ■
   Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.
   Доказательство.
   Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное   множество   В.  Так как  f  и  g различны, то существует а А: b = f (a)  b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок А_х  А переходит в отрезок   В_у  В,   где  у = f (х).  Поэтому отрезок  А_а А   подобен  отрезкам
В_b  В и В_b’  B, т. е. B_b изоморфен A_a  и А_а изоморфен В_b’. Следовательно, отрезок В_b  изоморфен отрезку B_b’ , но это противоречит следствию 1.4. ■
   Определение 2.2.  Если  для  элемента  а  А  существует   элемент  а’ =
= inf {x | a < x, x  A}, то а’ называется непосредственно следующим за а.
   Предложение 1.6. Если А – вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.
   Доказательство.
   Возьмём некоторый элемент а А, пусть а не является наибольшим элементом. Рассмотрим множество {x | x  A, x > а}. По предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’, который является точной нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а. ■
                 §2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ.
   Предложение 2.1. Множество из n элементов можно линейно упорядочить n! способами.
   Доказательство.
   Для доказательства достаточно применить формулу числа перестановок для n-элементного множества: Р_n=n! ■
   Предложение 2.2.  Любое конечное линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.
   Доказательство.
   Пусть есть множество А – конечное линейно упорядоченное множество. Надо доказать, что А является вполне упорядоченным, то есть любое его подмножество имеет наименьший элемент. Рассмотрим произвольное множество В, являющееся подмножеством множества А. Предположим, что оно не имеет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В. Обозначим его через b₁. Так как в В нет наименьшего элемента, то в нём есть элемент b₂, такой, что b₂ < b₁. Элемент b₂  не  является наименьшим элементом в В, поэтому  имеется элемент b₃<b₂. Повторяя это рассуждение, строим для каждого натурального n элемент b_n+1  B, причём  b_n+1 < b_n.
   Таким образом, получили бесконечное множество {b₁, b₂, . . . ,b_n, . . } , но это противоречит тому, что В – подмножество конечного множества А и, следовательно, само является конечным. ■
   Предложение 2.3. Любые две конечные цепи, состоящие из n элементов, изоморфны.
   Доказательство.
пусть есть две конечные цепи из n элементов:
                              a₁ < a₂ <…< a_n,
                              b₁ < b₂ <…< b_n.
Для каждого а_i  положим f (a_i) = b_i. Очевидно, что  отображение f является изоморфизмом. ■
   Замечание: бесконечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности могут и не быть изоморфными. Например, множество натуральных чисел и множество целых чисел с естественными порядками. Мощности этих множеств равны, но они не являются изоморфными, так как в N есть наименьший элемент, а в Z наименьшего элемента нет.
   Определение 2.3. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, изоморфных множеству А.
   Будем считать, что порядковый тип пустого множества есть 0.
   Обозначим   через  n  порядковый   тип  n – элементного    множества
N_n = {0, 1, 2,…, n - 1} с порядком 0 < 1 < 2 <…< n-1.
                               §3.ПОРЯДКОВЫЙ ТИП .
   Определение 2.4. Множество натуральных чисел с естественным порядком и все изоморфные ему линейно упорядоченные множества называются  множествами порядкового типа .
   Предложение 3.1. Бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип  тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

Таким образом, W( ₁) = .
  Заметим, что  |W( ₁)| = ₁. Тогда ₁ |S| ₀. Следовательно, |S|= ₁, чего быть не может, так как S – счётное множество. ■
6. Счётная компактность.
   Предложение 5.6. Любое счётное множество из W( ₁) содержится в компактном подпространстве пространства W( ₁).
   Доказательство.
   Пусть А - счётное подмножество в W( ₁). По предложению 5.5 оно не является кофинальным, то есть А ограничено сверху в W( ₁). Пусть = supA. Тогда W( ₁) и А W( +1), где W( +1) на основании леммы 5.3 компактно, так как +1 не предельное ординальное число. Таким образом, нашлось компактное подпространство пространства W( ₁), в котором содержится множество А. ■
   Следствие 5.7. Любое счётное замкнутое множество в W( ₁) компактно.
   Доказательство.
   Пусть А – счётное замкнутое множество в W( ₁). Так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно ([8]), а множество А по условию замкнуто, и по предложению 5.6 оно содержится в компактном подпространстве пространства W( ₁), то А компактно. ■
   Предложение 5.8. Пространство W( ₁) счётно компактно.
   Доказательство.
   Пусть S – произвольное бесконечное подмножество в W( ₁), а ( _n) – его строго возрастающая последовательность. По предложению 5.5 множество { _n} не является кофинальным, то есть оно ограничено сверху. Пусть =sup _n. В любой окрестности ( ) точки , где , есть точки последовательности _n множества S. Тогда  - предельная точка множества S. ■
7. Пространство W( ₁) не метризуемо, так как оно не компактно, но счётно компактно, а в метрических пространствах любое счётно компактное пространство компактно.
8. Компактификации.
   Лемма 5.9. Из любых двух не пересекающихся замкнутых множеств в W( ₁) хотя бы одно ограничено.
   Доказательство.
   Будем доказывать методом от противного и предположим, что H и K – кофинальные замкнутые не пересекающиеся множества. Мы можем выбрать возрастающую последовательность ( _n), n N, где _n H для n – нечётных, и  _n К для n – чётных. Так как множества Н и К замкнуты, то предельные точки им принадлежат, то есть  = sup _n , чего быть не может, поскольку множества Н и К не пересекаются. ■
   Предложение  5.10. Любая функция f С (W( ₁)) постоянна на «хвосте» W( ₁)\W( ) (  зависит от f ).
   Доказательство.
   Заметим, что любой «хвост» W( ₁)\W( ), где W( ₁), счётно компактен, так как он является замкнутым подпространством счётно компактного пространства W( ₁) ([3]). Следовательно, каждое  множество  образов  f [W( ₁)\W( )] – это  счётно  компактное подмножество  R (поскольку функция f непрерывна, а непрерывный образ счётно компактного множества счётно компактен ([3]) )  и,   следовательно,   компактно,   поэтому     пересечение [W( ₁)\W( )] центрированного семейства замкнутых множеств непусто. Выберем произвольное число r из этого пересечения. Докажем, что  f ^-1(r) кофинально в W( ₁). Так как r [W( ₁)\W( )], то r f [W( ₁)\W( )] для любого W( ₁). Следовательно,  f ^–1(r) W( ₁)\W( ) для любого .
   Рассмотрим  для  каждого  n N  замкнутое  множество   А_n = {x W( ₁):
| f (x) – r |   }. Оно  не   пересекается   с  f ^–1(r), а f ^–1(r) кофинально, поэтому по лемме 5.9 А_n имеет точную верхнюю грань в W( ₁). Обозначим  _n = sup A_n. Возьмём произвольное ординальное число >sup _n. Пусть  W( ₁)\W( ), тогда > . Предположим, что f ( )  r, тогда |f ( ) - r|  для некоторого n. Следовательно, А_n и  _n< , т. е. , но >  - противоречие.
   Таким образом,  f ( ) = r  для любого  W( ₁)\W( ), > . ■
   Определение 2.12. Пусть сХ – произвольная компактификация тихоновского пространства Х. Множество сХ\Х, то есть множество всех точек, которыми сХ отличается от Х, называется наростом компактификации сХ.
   Определим упорядочение на семействе ζ(Х) всех компактификаций пространства Х.
   Определение 2.13. Пусть с₁Х и с₂Х – компактификации пространства Х. Положим с₂Х с₁Х, если существует непрерывное отображение f: с₁Х с₂Х такое, что f (х) = х для всех х с₁Х.
    Известно, что каждое некомпактное локально компактное хаусдорфово пространство Х обладает компактификацией Х с одноточечным наростом. Эта компактификация является наименьшим элементом семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х по отношению к упорядочению  и называется одноточечной компактификацией (александровской компактификацией) ([3]). Отсюда следует, что пространство  W( ₁) { ₁} является александровской компактификацией пространства W( ₁).
   Определение 2.14.  Пусть Х. -  произвольное тихоновское пространство. Наибольший элемент семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х называется стоун-чеховской компактификацией (или стоун-чеховским расширением) пространства Х.
   Предложение 5.12. Пространство W( ₁) имеет единственное компактное хаусдорфово расширение (а именно W( ₁) { ₁}).
   Доказательство.
   Докажем, что W( ₁) { ₁} является стоун-чеховской компактификацией пространства W( ₁). Известно, что если каждое непрерывное отображение тихоновского пространства Х в компактное хаусдорфово пространство можно непрерывно продолжить на некоторую компактификацию Х пространства Х, то Х является стоун-чеховской компактификацией пространства Х ([3]). Таким образом, достаточно доказать, что любая непрерывная функция, определённая на W( ₁), продолжается по непрерывности на W( ₁) { ₁}.
   Каждая непрерывная вещественная функция, определённая на W( ₁), финально   постоянна,  то есть  для  некоторого а W( ₁) и всех х, у > a имеем  f (x) = f (y) (по предложению 5.10). Следовательно, если f продолжить на пространство W( ₁) { ₁}, являющееся одноточечной компактификацией пространства W( ₁), положив  ( ₁) = f (х), где х >a, |_{W( 1)} = f , то мы получим непрерывную функцию  на W( ₁) { ₁}. Значит, W( ₁) { ₁} – расширение Стоуна-Чеха пространства W( ₁). ■
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чиркова Н. В.  Выпускная квалификационная работа «Линейно упорядоченные пространства», научный руководитель Варанкина В. И., Киров, 2002.
2. Александров П. С. «Введение в теорию множеств и общую топологию». М.: Наука, 1977.
3.  Энгелькинг Р. «Общая топология». М.: Мир, 1986.
4.  Келли Дж. Л. «Общая топология». М.: Наука, 1981.
5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа». М.: Наука, 1968.
6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М.: Физматлит, 1995.
7. Р. Столл «Множества. Логика. Аксиоматические теории». М.: Просвещение, 1968.
8. Ч. Коснёвски «Начальный курс алгебраической топологии». М.: Мир, 1983.