Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка  5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
                                            (подпись)
                                                                                 «_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.                                                                                        
                                            (подпись)
                                                                                 «_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004

Содержание     
  Введение. 3
Глава I.  Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24

Введение

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое  пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве  выполняется первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.
5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:
1)  сепарабельно,
2)  имеет счетную базу,
3)  финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
     

Глава I.  Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)  элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых  и  из и удовлетворяющей трем условиям:
1)         (аксиома тождества);
2)     (аксиома симметрии);
3)     (аксиома треугольника).
Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в  называется любая система  его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:
1.     Само множество  и пустое множество принадлежат .
2.     Объединение  любого (конечного или бесконечного) и пересечение  любого конечного числа множеств из  принадлежат .
Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.
Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.  
Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .
Определение. Совокупность  открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в  может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .
Теорема 1. Всякая база  в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:
1)    любая точка содержится хотя бы в одном ;
2)    если  содержится в пересечении двух множеств  и  из , то существует такое , что . 
Определение. Открытым шаром или окрестностью точки  радиуса    в метрическом пространстве  называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом  – центр шара,  – радиус шара.
Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в  -окрестность точки .
Доказательство. Выберем в качестве  : .
Достаточно доказать для произвольного  импликацию . Действительно, если , то
Получаем, что , что и требовалось доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).
·        Свойство первое очевидно, так как для любого  выполняется  для любого .
·        Проверим второе свойство.
Пусть ,  и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что  Теорема доказана.
Определение. Топологическое пространство  метризуемо, если существует такая метрика  на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома .  Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.     
Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение.  является - пространством тогда и только тогда, когда для любого   множество  замкнуто.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Так как  является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .
Рассмотрим
Докажем, что . Применим метод двойного включения:
·        Очевидно, что  по построению множества .
·        .
Пусть  отсюда для любого  отличного от  существует окрестность , значит , тогда .
Множество - открыто, как объединение открытых множеств.
Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность.  Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
 Аксиома  ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
 Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам  ( ) называются -пространствами ( -пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).
Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности  точки  найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .
Определение. Если точка  топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.
Определение. Две метрики  и  на множестве  называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример. На плоскости  для точек  и  определим расстояние тремя различными способами:
1. ,
2. ,                                                               
3. .
·        Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1)

     2) так как  и , то вторая аксиома очевидна:
     3) рассмотрим точки  , ,  и докажем следующее неравенство:
          
Возведем это неравенство в квадрат:

.
Так как  и  (поскольку ) и выражение  есть величина неотрицательная, то неравенство  является верным.
2. 1)
    2) так как  и , то вторая аксиома очевидна: .
    3) рассмотрим точки  , ,  и докажем следующее неравенство: .


Тогда и .
3. 1)
    2) так как  и , то вторая аксиома очевидна:
    .
    3) рассмотрим точки  , , .
Неравенство:  - очевидно.                                    
·        Введенные метрики  и  эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика  порождает топологию , - топологию  и - топологию . Достаточно показать два равенства.
Покажем, что .
Рассмотрим множество,  открытое в  и покажем, что  открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда  открыто и в .
Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.
Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .
Предположим, что , тогда существует , т.е.  и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .
Следствие. Метризуемое  пространство является    - пространством.
Определение. Расстоянием от точки  до множества  в метрическом пространстве называется .
Утверждение 2. Пусть множество  фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке  расстояние , непрерывна на пространстве .
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция  называется непрерывной в точке , если .
Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .
Для произвольного  возьмем . Тогда из неравенства  следует . Непрерывность  доказана.
Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого  расстояние от  до множества  положительно.
Доказательство.
Множество  замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка  принадлежит открытому множеству , то существует такое , что . Так как , то  для некоторого . Поэтому   для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Свойство 2. Метризуемое  пространство нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является
-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества  и  имеют непересекающиеся окрестности.
Так как  и множество  замкнуто по условию, то для любого  по лемме .
Обозначим  и  для произвольных  и .
Множества и  открыты как объединения открытых шаров в  и содержат соответственно множества  и .
Следовательно,  - окрестность множества ,  - окрестность множества .
Докажем, что .
Предположим, что , то есть . Тогда из условия  следует, что   для некоторого . Отсюда .
Аналогично получаем  для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .
Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно . Таким образом,  является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3. В метризуемом пространстве  выполняется первая аксиома счетности.
Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то  содержится в  вместе с некоторым открытым шаром, то есть  для некоторых  и . По утверждению 1 найдется такое , что .
Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары ,  образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение. Множеством типа   или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.
Определение. Множеством типа  или просто  - множеством пространства  называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых  (в ) множеств.
Очевидно, что множества типа  и  являются взаимно дополнительными друг для друга.
Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа  , называется совершенно нормальным.
Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .
Свойство   4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.
Доказательство. Пусть  - непустое замкнутое множество в . Тогда  для непрерывной функции  (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества  открыты в  как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .
Пусть , тогда . Так как  для любого , то  для любого . Отсюда .
Обратно. Пусть , тогда  для любого . Отсюда  для любого , поэтому  для любого , тогда , значит . Таким образом множество  является множеством типа .
Определение. Множество  всюду плотно в , если любое непустое открытое в  множество содержит точки из .
Определение. Топологическое пространство  называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение. Семейство γ открытых в  множеств образуют покрытие пространства , если  содержится в объединении множеств этого семейства.
Определение. Топологическое пространство  называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.
Свойство 5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:
1)  сепарабельно,
2)  имеет счетную базу,
3)  финально компактно.
Доказательство.
Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей  счетно. Докажем, что  - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в  множество, . Тогда  для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого   и точку , для которой .

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного  и открытого множества  нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.
 Пусть  - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого  ( - индексное множество). Для любого  существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база  счетна, то  покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.
 Для каждой точки  рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности  из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек  счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда  для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в  содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.
Определение. Диаметром непустого множества  в метрическом пространстве  называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества  и обозначается .
.
Если , то множество  называют неограниченным.
Определение. Метрика  метрического пространства  называется ограниченной, если .
Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство. Пусть метрика  порождает топологию топологического пространства . Положим  для любых .
Докажем следующее:
1.     -метрика на ;
2.     метрики  и  эквивалентны;
3.     .
1. Проверим выполнимость аксиом.
    1) ;
    2) ;
    : Докажем, что .
Известно, что .
·        Если  и , то  и , тогда . Так как , то .
·        Если  или , то , а , тогда .
2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .
Пусть - открытое множество в , докажем, что множество  открыто в . Для любого  существует  такое, что . Можно считать, что . Тогда  является окрестностью в  того же радиуса . Следовательно,  открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше сказанного следует, что метрики  и  эквивалентны.
3.  Из формулы  следует, что  для любых . Отсюда .
Определение.  - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств  называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где  открыто в  для любого  и  для всех индексов кроме конечного их числа.
Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
 Доказательство. Пусть  - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве  существует ограниченная метрика  соответственно.
Рассмотрим .                                                               
Покажем:
1.  является метрикой на  и  .
2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1) (так как  - метрика по условию).
2) , .
Так как ( -метрика по условию), то , тогда .
3) Докажем, что .
, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:
, тогда .
   Теперь докажем, что .
, где  геометрическая прогрессия, а , тогда .
2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число  и открытые множества , такие, что .
Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:
.                                                                                                     
Для  положим  и  для .
Для каждой точки   . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где  , то . Так как  для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество  открыто в тихоновской топологии произведения.
2) Пусть множество  открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .
Требуется доказать, что для любой точки  найдется такое , что .
Так как множество  открыто в топологии произведении, то  для некоторого множества , где  - открыто в  и  для любого  и  для всех индексов  кроме конечного их числа. Поскольку  и  открыто в , то  для конечного числа индексов, для которых . Пусть  - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда  для любого . Это означает, что  для любого . Получили . Следовательно, множество  открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств

1. Дискретное топологическое пространство.
 - произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим   Для любого  множество  открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в  как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.
2. Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на .
1)  - простое двоеточие.
2)  - связное двоеточие.
3)  - слипшееся двоеточие.
 - метризуемо, так как топология  - дискретная.
,  - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.
3. Стрелка ( ).
В  открытыми назовем  и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство  не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.
4. Окружности Александрова (пространство ).
Открытые множества в :
первого рода: интервал на малой окружности  плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.
второго рода: каждая точка на большой окружности открыта.
1. Множество  замкнуто в  тогда и только тогда, когда  - конечно.
Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество  замкнуто как дополнение открытого. Пусть  и  - бесконечно. Докажем, что  - незамкнуто.
Так как  - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как  замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть  - точка, для которой  является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в  множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что  содержит бесконечно много точек множества , т.е.  является предельной точкой множества . При этом . Следовательно,  - незамкнуто.
2. Множество  не совершенно нормально.  
Доказательство. Пусть дуга   . Множество  открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в  являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно  открыто и не является множеством типа . Таким образом множество  неметризуемо.

Библиографический список

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.