Так как в окружающем мире замкнутые, симметричные контуры обычно ограничивают предметы, то участок поверхности, ограниченный такими контурами, воспринимается как фигура, имеющая характер вещи.
Целостность восприятия выражается в том, что образ воспринимаемых предметов не дан в полностью готовом виде со всеми необходимыми элементами, а как бы мысленно достраивается до некоторой целостной формы на основе наибольшего набора элементов. Это происходит в том случае, если некоторые детали предмета человеком непосредственно в данный момент времени не воспринимаются.
С целостностью восприятия тесно связана его константность, под которой понимается относительная независимость воспринимаемых характеристик объекта от их отображений на рецепторные поверхности. Благодаря константности предметы воспринимаются как относительно постоянные по форме, цвету, величине и положению. Существует значительное число различных видов константности. Она имеет место практически для любого воспринимаемого свойства предмета. Наиболее фундаментальный вид константности – стабильность окружающего нас мира. Хотя всякое наше движение приводит к относительному движению воспринимаемого предметного фона, мы воспринимаем предметы неподвижными, а себя и свои глаза – движущимися. Точно также постоянен воспринимаемый нами вес предмета. Независимо от того, поднимается ли груз одной или двумя руками, ногой или всем телом – оценка его веса оказывается приблизительно одинаковой. Константность восприятия имеет огромное биологическое значение. Адаптация и выживание были бы невозможны в окружающей среде, если бы восприятие не отражало ее стабильных, постоянных свойств и отношений.
Здесь можно отметить манипулятивные способности восприятия. Роль перцептивных действий заключается в том, что с их помощью происходит сопоставление предметов с оперативными единицами восприятия, приводящее к созданию константного предметного образа. Способность манипулировать образом позволяет воспринимать стабильными и константными предметы, поворачивающиеся к нам разными сторонами.

Рис. 1

Примером константности может служить дверь, которая сохраняет для наших глаз свою форму независимо от того, закрыта она или открыта (рис. 1).
Высшей формой предметного восприятия является осмысленное восприятие. Благодаря осмысленности наше восприятие перестает быть биологическим процессом, каким оно было у животных. Усваивая в процессе развития общественно-исторический опыт, человек отражает также значения предметов, выработанные в практической деятельности предшествующих поколений. Поэтому вместе с восприятием предмета происходит осознание его функций, благодаря чему восприятие становится обобщенным и категоризованным.
Осмысленное восприятие дает возможность познать действительность глубже, чем это возможно с помощью отражения отношений между объектами, воздействующими на органы чувств. На стадии осмысленного восприятия достигается высшая ступень объективации перцептивного образа. Большую роль в становлении осмысленности восприятия играет речь, с помощью которой происходит обобщение и категоризация получаемой органами чувств информации.
Восприятие человека, таким образом, неразрывно связано с мышлением, оно выступает как активный поиск наиболее осмысленной интерпретации данных.
Следует различать восприятие и ощущение. Основные отличия восприятия и ощущения хорошо изложил Лурия А.Р. [3] В отличие от ощущений, восприятие всегда выступает как субъективно соотносимое с оформленной в виде предметов, вне нас существующей действительностью. Ощущения находятся в нас самих, воспринимаемые же свойства предметов, их образы локализованы в пространстве. Этот процесс, характерный для восприятия в его отличии от ощущений, называется объективацией. Еще одно отличие восприятия в его развитых формах от ощущений состоит в том, что итогом возникновения ощущения является некоторое чувство (например, ощущения яркости, громкости, равновесия, сладкого и т.п.), в то время как в результате восприятия складывается образ, включающий комплекс взаимосвязанных различных ощущений, приписываемых человеческим сознанием предмету, явлению, процессу. Для того чтобы некоторый предмет был воспринят, необходимо совершить в отношении его какую-либо встречную активность, направленную на его исследование, построение и уточнение образа.
Восприятие выступает как осмысленный (включающий принятие решения) и означенный (связанный с речью) синтез разнообразных ощущений, получаемых от целостных предметов или сложных, воспринимаемых как целое, явлений. Этот синтез выступает в виде образа данного предмета или явления, который складывается в ходе активного их отражения. Единого общепринятого определения восприятия в психологии нет, тем не менее, можно привести примеры некоторых определений, которые встретились в литературе.
«Сравнительно с чистым ощущением все, что воздействует на наши органы чувств, вызывает в нас нечто большее: оно возбуждает в мозговых полушариях процессы, которые отчасти обусловлены модификациями в строении нашего мозга, произведенными в нем предшествующими впечатлениями; в нашем сознании эти процессы вызывают идеи, которые так или иначе связаны с данным ощущением. Первой такой идеей является представление того предмета, к которому относится данное чувственное свойство. Осознание известных материальных объектов, находящихся перед нашими органами чувств, и есть то, что в настоящее время называется в психологии восприятием» ([2], с. 211).
«Результат сложной аналитико-синтетической работы, выделяющей одни существенные и тормозящей другие несущественные признаки, и комбинирующий воспринимаемые детали в одно осмысленное целое. Этот сложный процесс отражения целых вещей или ситуаций и называется в психологии восприятием» ([3], с. 46).
«Восприятие является чувственным отображением предмета или явления объективной действительности, воздействующей на наши органы чувств. Восприятие человека – не только чувственный образ, но и осознание выделяющегося из окружения противостоящего субъекту предмета. Осознание чувственно данного предмета составляет основную, наиболее существенную отличительную черту восприятия» [4].
Основываясь на физиологических принципах восприятия человеком окружающего мира, а также учитывая психологические особенности восприятия психологами было разработано несколько теорий восприятия.
Ассациативная теория восприятия достигла наибольшего влияния во второй половине 19-го века. Ее виднейшими представителями были немецкие ученые И. Моллер, Э. Мол, Г. Гельмгольц, Э. Геринг, В. Бундт, Г.Э. Мюллер и американский психолог Э.Б. Титченер. Несмотря на значительные различия в объяснении частичных проблем, эти психологи придерживались общих взглядов на природу восприятия. По их мнению, воспринимаемый нами образ является на самом деле сложным объединением первичных элементов сознания – ощущений. При этом само ощущение понималось как осознанное состояние органа чувств, подвергнувшегося воздействию внешнего раздражителя.
Объединение ощущений в восприятие осуществляется посредством ассоциаций по смежности или по сходству. Этот ассоциативный механизм определяет ведущую роль прошлого опыта для возникновения восприятия.
Основная ошибка ассоциативной теории заключалась в том, что она привлекала для объяснения одних субъективных данных другие, пытаясь тем самым вывести сознание из самого себя.
Структуралисты считали, что раз восприятие является комплексом ощущений, то задача состоит в том, чтобы путем самонаблюдения найти в своем субъективном опыте элементарные ощущения, а затем изолировать и описать их. Этот метод был назван методом аналитической интроспекции.
С резкой критикой ассоцианизма выступила группа немецких психологов: М. Вертхаймер, В. Келлер, К. Коффка и другие. Они исходили из положения, что все процессы в природе изначально целостны. Поэтому процесс восприятия определяется не единичными элементарными ощущениями, а всем «полем» действующих на организм раздражителей, структурной воспринимаемой ситуации в целом. Данное направление стало называться гештальтпсихологией. Психология восприятия, по их мнению, должна отвечать на вопрос – почему мы видим мир таким, каким мы его видим? Еще один недостаток – отрицание историчности восприятия. Прошлый опыт не способен, по их мнению, изменить восприятия объектов, раз они образуют «хорошую» структуру. Гештальтпсихологи собрали большое количество экспериментальных данных, позволивших установить основные закономерности возникновения структур при восприятии. Элементы поля объединяются в структуру в зависимости от таких отношений как близость, сходство, замкнутость, симметричность и так далее. Были открыты закономерности разделения зрительного поля на фигуру и фон. Новые пути теоретического анализа восприятия были намечены в работах ряда зарубежных психологов, согласно которым восприятие является результатом активной деятельности субъекта, обеспечивающей получение информации о внешнем мире. Согласно этой теории восприятие объекта как единого целого не дано изначально. На ранних этапах развития восприятие не так целостно и организованно, как предполагали сторонники гештальтпсихологии.
Формирование восприятия объекта начинается с избирательного внимания к частям фигуры, а затем уже всей фигуры. Эту теорию нельзя считать общей теорий восприятия. В ней остаются нераскрытыми такие важнейшие проблемы, как восприятие пространства, специфика человеческого восприятия и так далее.

1.2. Модель формирования пространственного образа

Первым шагом на любом этапе познания, в том числе и при формировании представлений, является восприятие, «живое созерцание» определённой визуальной информации, например, чертежа, схемы, модели, рисунка и т.п. Для того чтобы сделать его действенным, необходимо не просто смотреть на предлагаемые для восприятия зрительные образы, а видеть заложенную в них информацию, то есть осуществлять анализ визуальной информации.
Анализ визуальной информации начинается с создания общей структуры информационного сообщения, заложенного в данном зрительном образе (модели, рисунке, чертеже, схеме и пр.) и выделения его элементов. Учебная математическая информация, задаваемая наглядный образом, довольно четко подразделяется на элементы. Например, при изображении пространственных или плоских геометрических конфигураций, в одних случаях к элементам можно отнести сами это фигуры, в других – выделенные на чертеже их составляющие (высоты, углы, стороны, вершины и пр.). Таким образом происходит расчленение, в котором важную роль играет опознание отдельных ее фрагментов (узнавание), отождествление одинаковых, сходных по форме или по смыслу ее элементов. Система связей выделенных элементов будет составлять структуру данной визуальной информации. Осознание структуры исходной визуальной информации заключается в определении связей между ее элементами.
В ходе активного зрительного восприятия визуальной информации учащийся отождествляет отдельные ее фрагменты с известными ему достаточно простыми объектами и понятиями. Распознавание стандартной ситуации, стандарта может происходить как при постановке задачи (применить признак параллельности для построения сечения куба), так и неявно, в процессе выделения знакомого представления в новых условиях (стороны треугольника – отрезки, вершины – точки), уяснения частного вида более общего знакомого понятия (треугольник – равносторонний треугольник).
Таким образом, в посильном для изучения материале обучаемый находит некоторые известные ему объекты в виде элементов чертежа, схемы, графика, модели; выделяет их, дифференцирует по степени сходства, определяет известный ему структурный стандарт по отношению ко всей представленной визуальной информации. Получение начальных, явным способом предлагаемых данных информации приводит к вычленению признаков геометрического объекта, которые являются основой для формирования его первичного образа.
Далее учащийся приступает к уточнению и детализации исходной визуальной информации, сравнивает ее с некоторым обобщенным образом (стандартом, эталоном). Вследствие проделанной работы происходит получение (выявление) новой, дополнительной информации, при этом еще раз уточняются и проверяются знания об объекте, оценивается его отличие от стандарта. Таким образом, в памяти учащегося происходит окончательное закрепление – образование содержательных образов (пространственных представлений).
Вся деятельность пространственного мышления при работе с наглядным материалом направлена на формирование обобщенных пространственных представлений. Созданные пространственные представления не должны быть чем-то застывшим. Их внедрение в учебный процесс предполагает не только последовательное восстановление созданных представлений (воспроизведение), но и их расчленение, сборку отдельных элементов в единое целое, включение пространственных представлений в новые связи. Все это будет способствовать формированию обобщенных пространственных представлений, близких к понятиям.
Для обобщения и систематизации всего вышесказанного, нами выработана общая схема формирования пространственного образа. (рис. 2).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Реальный объект окружающего мира или его модель

Информация, поступающая от рецепторов

ощущения

Внимание + пространственные представления

восприятие

Внимание + пространственное мышление + пространственные представления

Пространственный образ объекта

рис. 2
Как видно из схемы, не последнюю роль в формировании пространственного мышления играет внимание, пространственное мышление и пространственные представления. Остановимся подробнее на этих понятиях.
Внимание. Для восприятия любого явления необходимо, чтобы оно смогло вызвать ориентировочную реакцию, которая и позволит нам «настроить» на него свои органы чувств. Подобная произвольная или непроизвольная направленность и сосредоточенность психической деятельности на каком-либо объекте восприятия и называется вниманием. Без него восприятие невозможно.
Природа и сущность внимания вызывают серьёзные разногласия в психологической науке. Некоторые специалисты даже сомневаются в существовании внимания как особой самостоятельной функции, считают его только стороной или моментом других психических процессов. Но открытие нейронов внимания, клеток-детекторов новизны, изучение особенностей функционирования ретикулярной формации и особенно образования доминант, являющихся физиологическим коррелятом внимания, позволяет утверждать, что оно представляет собой психическое образование, чьи структуры анатомически и физиологически относительно независимы от сенсорных процессов. Сложности объяснения феномена внимания вызваны тем, что оно не обнаруживается в «чистом» виде, функционально оно всегда «внимание к чему-либо». Поэтому внимание следует рассматривать как психофизиологический процесс, состояние характеризующее динамические особенности познавательных процессов. Внимание и обусловливает избирательность, сознательный или полусознательный отбор информации, поступающей через органы чувств.
Выделим основные свойства внимания. Внимание обладает определёнными параметрами и особенностями, которые во многом являются характеристикой человеческих способностей и возможностей. К основным свойствам внимания обычно относят следующие.
1. Концентрированность. Это показатель степени сосредоточенности сознания на определённом объекте, интенсивности связи с ним. Концентрированность внимания означает, что образуется как бы временный центр (фокус) всей психологической активности человека.
2. Интенсивность. Характеризует эффективность восприятия, мышления и памяти в целом.
3. Устойчивость. Способность длительное время поддерживать высокие уровни концентрированности и интенсивности внимания. Определяется типом нервной системы, темпераментом, мотивацией (новизна, значимость потребности, личные интересы), а также внешними условиями деятельности человека. Устойчивость внимания поддерживается не только новизной поступающих стимулов, но их повторением. Устойчивость – временная характеристика внимания.
4. Объём – показатель количества однородных стимулов, находящихся в фокусе внимания (у взрослого человека от 4 до 6 объектов, у ребёнка не более 2-3). Объём внимания зависит не только от генетических факторов и от возможностей кратковременной памяти индивида. Имеют также значения характеристики воспринимаемых объектов (их однородность, взаимосвязи) и профессиональные навыки самого субъекта.
5. Распределение, то есть способность сосредоточивать внимание на нескольких объектах одновременно. При этом формируется как бы несколько фокусов (центров) внимания, что даёт возможность совершать несколько действий или следить за несколькими процессами одновреме6нно, не теряя ни одного из них из поля внимания.
6. Переключение внимания понимается как возможность более или менее легкого и достаточно быстрого перехода от одного вида деятельности к другому. С переключением функционально связаны и два разнонаправленных процесса: включение и отключение внимания.
Виды внимания. Классификация основных типов внимания обычно производится путём разделения его реакции на: а) генетически и социально - обусловленные; б) непосредственные или опосредованные; в) происходящие автоматически или требующие волевого усиления и контроля. В первом случае можно выделить «природный», естественный тип внимания, связанный обычно с проявлением инстинктов размножения и самосохранения или с саморегуляцией организма. Социально-обусловленное внимание – продукт обучения и воспитания.
Особый интерес психологов всегда привлекало произвольное внимание, требующее сознательного самоконтроля и сопровождаемое чувством усилия над собой, в некотором смысле самопринуждением индивида, который в этом случае подавляет свои непроизвольные реакции во имя долга, высших целей, разумной необходимости. Дело в том, что произвольное внимание в значительной мере и продукт, и условие нашей цивилизации, сделавшей необходимым непривлекательный труд – и физический, и умственный.
Психологические особенности пространственного мышления. Пространственное мышление – вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. Пространственное мышление есть такое психологическое образование, которое формируется в различных видах деятельности (практической и теоретической). Для его развития большое значение имеют продуктивные формы деятельности: конструирование, изобразительное (графическое). В ходе овладения ими, целенаправленно формируются умения представлять в пространстве результаты своих действий и воплощать их в рисунке, чертеже, постройке, поделке. Мысленно видоизменять их и создавать на этой основе новые, в соответствии с созданным образом, планировать результаты своего труда, а также основные этапы его осуществления, учитывая не только временную, но и пространственную последовательность их выполнения.
Пространственное мышление в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного мышления. Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции. Общее, что характеризует любой пространственный образ - это отражение в нём объективных законов пространства. Однако это отражение определяется деятельностным отношением субъекта к окружающему его пространству, разнообразием условий, форм и способов отражения, что определяет различия в конкретном содержании пространственного образа. Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов – их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.
В современной психологии понятие пространственных представлений связывается с понятием образа объекта или явления, который возникает в результате восприятия. При этом большое внимание уделяется зрительным образам, так как их информационная ёмкость особенно велика. Они позволяют мгновенно схватывать отношения между реальной и представляемой ситуацией. Пространственные представления являются целостными субъективными образами пространственных объектов или явлений, которые отражены и закреплены в памяти на основе восприятия наглядного материала в процессе деятельности. Тогда формирование и развитие пространственных представлений можно рассматривать как процесс создания образов и оперирование ими.
Такой взгляд на пространственные представления был взят за основу многими учёными-методистами [1, 11, 14 и др.] при разработке методики формирования и развития пространственных представлений обучаемых. Под пространственными представлениями они чаще всего понимают образ той или иной пространственной (геометрической) конфигурации, отношения между ее элементами. Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации и изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами.
Познавательная природа представлений раскрывается в том, что они являются промежуточным звеном при переходе от ощущения к мысли. Ясные и отчётливые представления о геометрических объектах, последовательно образованные в сознании обучаемых, являются прочной основой для усвоения научных знаний. Представление, как важный элемент познания, призвано связывать образы предметов и явлений со смыслом и содержанием понятия о них. Но, в свою очередь, формирование представлений требует овладения понятием, поскольку понятие определяет содержание образа. Пространственные представления по отношению к мышлению являются исходной базой, условием развития, но, в то же время, и формирование представлений требует предварительного овладения понятиями и фактами. Можно сказать, что процесс формирования пространственных представлений о геометрических объектах проходит на основе знаний о них [14].
На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат визуального мышления, сочетающего в себе взаимосвязанные пространственный и логических компоненты мышления.
Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.
Следует также уточнить, что понимается в схеме (рис 2) под моделью объекта. В этой связи рассмотрим наиболее часто используемые виды учебной наглядности, которые можно разделить на три основные группы [14]:
-  натуральные вещественные модели (реальные предметы, муляжи, геометрические тела и т.п.), сюда же можно отнести их перспективные изображения (фотографии, художественные репродукции);
-  условные графические изображения, отличающиеся разнообразием форм и содержания (чертежи, разрезы, сечения, эскизы и т. п.);
-  знаковые модели (графики, географические карты, топографические планы, диаграммы, химические формулы и уравнения, математические символы).
Все эти виды наглядности по-разному связаны с объектом изображения и имеют неодинаковую функцию в раскрытии его пространственных свойств и отношений. Будучи наглядными, они существенно различаются своим содержанием и создают разные условия для возникновения адекватных образов.
Натуральные модели и их перспективные изображения являются простыми заменителями реальных объектов, с которыми они сохраняют полное сходство. На основе этих моделей создаются образы реальных объектов, вполне доступных непосредственному наблюдению. Эти образы богаты деталями, ярки. Натуральные модели и их перспективные изображения являются наглядной опорой для формирования у учащихся конкретных образов изучаемых объектов, на основе которых формируются научные понятия. Они являются также средством активизации мысли учащихся, поскольку с их помощью могут быть наглядно выделены те свойства изучаемого объекта, которые не выражены словесно. Эти виды наглядности передают, как правило, конкретные свойства отдельных объектов во всей их полноте и многообразии и грают роль иллюстрации при усвоении знаний. Однако их функция ограничивается в основном передачей лишь внешних, очевидных свойств объекта (внешнего облика, конкретных особенностей, что выражается в форме, размерах, соотношениях частей и целого).
Условные графические изображения в отличие от натуральных моделей способствуют передаче более скрытых от непосредственного восприятия свойств изучаемого объекта. Освобожденные от конкретных особенностей объекта, они передают главным образом конструкцию объекта, его геометрическую форму, пропорции, пространственное положение его отдельных частей. Условные графические изображения объектов являются тем самым более абстрактными, чем натуральные модели этих объектов. Они дают возможность выявить скрытые пространственные связи и отношения, как бы перейти от явления к сущности. Степень схематизации, условности графических изображений может быть тоже разная.
Особенностью знаковых моделей является то, что они утрачивают всякую непосредственную связь с изображаемым объектом. Знаковые модели воспроизводят не отдельные свойства объектов и даже не их конструктивные особенности, а абстрактные (теоретические) зависимости, присущие многим объектам, но не выводимые из отдельного объекта. Использование знаковых моделей особенно важно тогда, когда объектом познания являются предельно формализованные общие связи и отношения.
Всё сказанное позволяет поставить некоторые проблемы, связанные и использованием принципа наглядности в обучении. Выбор наглядного материала в учебных целях должен осуществляться обязательно с учётом психологической природы пространственного образа, возникающего на его основе.
У данного, конкретного, объекта существует множество моделей различной степени абстракции, поэтому внимание нужно уделить также переходу от одной модели к другой отличной по своей структуре. При таком переходе происходит своего рода перекодирование пространственных образов, возникающих в различных условиях. Важно отметить, что образ предмета и графический образ здесь находятся в сложных соотношениях. Применительно к одному и тому же предмету могут создаваться различные графические образы, поскольку предмет изображается по-разному. В зависимости от функции в образе фиксируются не все свойства и признаки отображаемого объекта, а лишь те, которые необходимы для реализации деятельности, её успешного осуществления.

1.3. Основные показатели и условия
развития пространственного мышления

В нашем исследовании важную роль играет оценка показателей развития пространственных представлений. Для выделения показателей развития пространственных представлений обратимся к психолого-педагогической литературе. Так, например, И.С. Якиманская [16] выделяет такие показатели развития пространственных представлений: устойчивость, широта, гибкость, глубина, полнота, динамичность образов геометрических объектов, целенаправленность, а также типы оперирования созданными пространственными представлениями при решении математических задач (характеристика этих показателей будет приведена далее). Совокупность этих показателей, по нашему мнению, наиболее полно и разносторонне характеризует сформированность пространственных образов у учащихся.
Такое качество визуального мышления, как глубина характеризуется целостностью восприятия, то есть способностью видеть весь объект в целом, а также определять структуру объекта, связи между его элементами, взаимосвязь данного объекта с другими, понимать способ возникновения той или иной конфигурации, предвидеть ее дальнейшее развитие. Данное качество визуального мышления проявляется в процессе формирования пространственных представлений на этапах анализа визуальной информации, выявления стандартов, определения дополнительной информации и включения пространственных представлений в новые связи.
Широта пространственного мышления характеризуется способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применимым к частным нетипичным случаям. Это качество проявляется в готовности принять во внимание (выявить) новую информацию в знакомой ситуации. Данное качество участвует в формировании и развитии пространственных представлений при обучении геометрии на этапе анализа визуальной информации, в процессе выявления стандартов, а, особенно, в процессе получения новой дополнительной информации.
Гибкость пространственного мышления характеризуется способностью к варьированию способов действия; легкостью перестройки при изменении условий действия; легкостью перехода от одной точки отсчета к другой; от одного способа действий к другому; умением переносить качества одного предмета на другой; выходить за границы привычного способа действия; умением видеть несколько возможных ситуаций, в которых сохраняются существенные свойства объекта, но изменяются несущественные.
Данное качество мышления проявляется на всех этапах формирования и развития пространственных представлений при обучении геометрии.
Устойчивость пространственных представлений представляет степень свободы манипулирования образом с учетом той наглядной основы, на которой образ первоначально создавался. Свобода такого оперирования проявляется в легкости и быстроте перехода от одного вида наглядности к другому, в своеобразном перекодировании их содержания, что требует умения удерживать в памяти образ пространственного объекта и фиксировать изменения, происходящие в нем, умения анализировать образ пространственного объекта. Такая свобода оперирования характерна для развитых пространственных представлений, в то время как скованность каким-либо одним изображением, неумение увидеть то же самое на другом изображении свидетельствуют о недостаточном их развитии.
К действиям, овладение которыми будет способствовать развитию устойчивости пространственных представлений, отнесём следующие:
-  умение сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);
-  умение анализировать образ геометрической конфигурации;
-  умение синтезировать образ геометрической конфигурации.
При изучении геометрии устойчивость пространственных представлений способствует рассмотрению множества различных геометрических образов, в которых сохраняются существенные признаки и изменяются несущественные.
Развитию этого показателя способствует широта и гибкость пространственного мышления
 Полнота пространственных представлений характеризует структуру пространственного образа, то есть набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственное размещение (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов). Следовательно, в структуру образа геометрического объекта включаются представление о форме, величине геометрического объекта, взаимном его расположении относительно других объектов, или взаимном расположении его частей относительно друг друга.
Таким образом, для того, чтобы формируемое пространственное представление было полным, необходимо овладение следующими действиями:
-  умение вычленять форму образа геометрического объекта;
-  умение определять величину образа геометрического объекта;
-  умение определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;
-  умение определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;
-  умение осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин;
-  умение передавать в образе форму, размеры и взаимное расположение его элементов.
Развитию этого показателя способствует глубина и широта визуального мышления.
Динамичность пространственных представлений выражается в способности к произвольной смене точек отсчета, к произвольному изменению положения пространственного объекта, его элементов. Изменение систем отсчета позволяет найти такую позицию наблюдателя, с которой субъект, рассматривая пространственную фигуру, знакомиться и с плоскими фигурами, полученными как проекции пространственных на определенные плоскости.
Динамичность образа геометрического объекта проявляется в способности не только его видоизменять, но и видеть в статическом изображении движение, перемещение объектов, способ их соединения, получения. Все эти преобразования выполняются уже в «мысленном пространстве», в то время как графические изображения остаются объективно неизменными. Итак, к действиям, способствующим развитию динамичности пространственных представлений, отнесем:
-  умение выбирать и произвольно менять точку отсчета (позицию наблюдения);
-  умение мысленно фиксировать изменения в содержании образа геометрической конфигурации.
При изучении геометрии такое качество, как динамичность пространственных представлений лежит в основе познания геометрического пространства, требующего умения переходить из одной системы отсчета к другой. Динамичность лежит в основе формирования понятия проекции, позволяет использовать идею фузионизма - совместного изучения плоских и пространственных фигур - в процессе развития пространственных представлений. Наиболее отчетливо данное качество проявляется при решении тех задач, где требуется мысленное изменение точки отсчета, отказ от ранее принятой системы отсчета и выбор другой. Умение рассматривать объект с разных точек зрения является основополагающим умением при решении многих геометрических задач: на построение сечений пространственных фигур, на выполнение геометрических преобразований, проекционных задач и др. Развитию этого качества способствует гибкость визуального мышления
Целенаправленность визуального мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении задач, постоянно ориентируясь на поставленную цель, в стремлении отыскать кратчайший путь ее решения. Наличие этого качества важно при поиске плана решения задачи, при извлечении дополнительной визуальной информации из наглядности.
Тип оперирования образами пространственных объектов относится к одному из основных показателей развития пространственных представлений.
Под типом оперирования понимают способ преобразования формированного пространственного представления. Все многообразие случаев оперирования пространственными представлениями можно свести к трем основным; тарирование, приводящее к изменению положения воображаемого объекта (1тип), к изменению его структуры (2 тип) и комбинации этих преобразований (3 тип). На формирование типов оперирования оказывают непосредственное влияние все из выше перечисленных показателей.
Первый тип оперирования характеризуется тем, что исходный геометрический образ, уже созданный на наглядной основе, мысленно видоизменяется в процессе решения задачи, причем эти изменения касаются пространственного положения и не затрагивают структурных особенностей образа. К первому типу оперирования относятся различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа как в пределах одной плоскости, так и с выходом из нее. Такое оперирование приводит к существенному видоизменению исходного образа, созданного на наглядной основе, которая объективно остается при этом неизменной. Данный тип оперирования используется при решении задач, требующих выполнения геометрических преобразований заданных объектов. Например, задач на построение образов геометрических фигур при осевой, центральной симметрии, симметрии относительно плоскости, при повороте, параллельном переносе на плоскости и в пространстве.
Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный геометрический образ под влиянием задачи преобразуется по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления, усечения и т.п. При втором типе оперирования образ изменяется настолько, что становится мало похожим на исходный. Степень новизны создаваемого образа намного выше той, которая наблюдалась при первом типе оперирования, так как исходный образ подвергся здесь более радикальному преобразованию. Намного выше также и умственная активность, поскольку все преобразования образа осуществляются, как правило, в уме, без непосредственной опоры на изображение. Все производные преобразования и их результаты приходится удерживать в памяти, как бы видеть их мысленным взором. Приведем пример задачи на данный тип преобразования: «Из двух равнобедренных треугольников с равными основаниями составить фигуру, имеющую ось симметрии, если:
а) треугольники равны,
б) треугольники не равны».
Задача требует мысленных преобразований плоских фигур. Можно привести пример аналогичных задач на оперирование объемными фигурами.
Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного геометрического образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразование исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре. Вот пример такого типа задач: «Что собой представляет множество точек, симметричных данной точке А, относительно всех плоскостей, проходящих через данную прямую?»
Требуемые преобразования осуществляются здесь по определенной логике, где четко предусматривается содержание, характер и последовательность каждого пространственного преобразования. К действиям, которые способствуют совершенствованию типов оперирования пространственными представлениями, отнесем следующие:
-  умение мысленно изменять положение образа геометрической конфигурации (1-й тип оперирования);
-  умение мысленно изменять структуру образа геометрической конфигурации (2-й тип оперирования);
-  умение изменять образ геометрической конфигурации одновременно по положению и по структуре (3-й тип оперирования);
-  умение конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания (высший тип оперирования).
Данные качества проявляются на всех этапах формирования пространственных представлений при обучении геометрии, но наибольшее значение они имеют на этапе включения пространственных представлений в новые связи и новые условия, заданные задачей. Таким образом, очевидно влияние качеств визуального мышления на показатели развития пространственных представлений. В результате визуальной деятельности формируются пространственные представления, поэтому качества визуального мышления проецируются в определенные свойства пространственных представлений.
В совокупности все качества визуального мышления способствуют совершенствованию типов оперирования пространственными представлениями, конструированию новых образов пространственных объектов, а также характеризует сформированность полных, устойчивых, динамичных пространственных представлений.
Деятельность, лежащая в основе формирования того или иного показателя пространственных представлений, характеризуется выделенными действиями, наличие которых гарантирует его (показателя) развитие.
При разработке содержания, ориентированного на формирование и развитие пространственных представлений при обучении математике, необходимо учитывать свойства пространственных представлений, используя упражнения, в процессе решения которых формируются и совершенствуются выделенные действия. Они могут быть использованы при разработке типологии упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых (с учетом их возрастных и индивидуальных особенностей), а также для диагностики сформированности пространственных представлений обучаемых.
Подводя итоги, следует отметить, что процесс формирования пространственного образа объекта является достаточно сложным процессом. На него влияет очень много факторов как объективных (недостатки наглядных моделей, трудность самого процесса объективного восприятия действительности), так и субъективных (активность обучаемого, его внимательность, сформированность пространственных представлений и т.д.). В то же время без хорошо сформированных пространственных представлений невозможно эффективное изучение геометрии. Возникает необходимость разработки эффективной методики формирования пространственных образов геометрических объектов, которая свела бы до минимума негативное влияние вышеназванных факторов.

Глава 2
Методика применения компьютерной анимации
на уроках геометрии

2.1. Организация процесса формирования пространственного образа
с помощью компьютерной анимации

При формировании пространственного образа, c использованием  компьютерной анимации, целесообразно выделить следующие шаги, на каждом из которых используются свои модели реального объекта:
1. Реальная модель изучаемого объекта (макет, пример из окружающего мира, рисунок).
2. Динамическая анимационная модель.
3. Статическое изображение (чертёж).
4. Пространственный образ.
Каждый следующий шаг отличается от предыдущего гораздо большей степенью абстрагирования. Как уже было отмечено, на каждом из этих шагов используется своя модель реального объекта, но в то же время неизменной остаётся схема восприятия каждой из модели обучаемыми. В качестве схемы мы предлагаем схему представленную в пункте 1.2 данной выпускной квалификационной работы (рис. 2). Таким образом, весь процесс формирования пространственного образа геометрического объекта на уроках геометрии можно представить в виде следующей схемы (рис. 3).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Реальная модель изучаемого объекта (1 этап)

Статическое изображение чертёж (3 этап)

Пространственный образ

Схема формирования пространственного образа

Динамическая анимационная модель (2 этап)

Рис. 3

Таким образом, пройдя первые три этапа, на четвёртом, должен быть получен объективный пространственный образ объекта. На каждом из этих трех этапов должна происходить тщательная проработка схемы формирования пространственного образа с помощью системы упражнений. На четвертом этапе происходит работа непосредственно с самим пространственным образом без опоры на наглядное изображение.
В отличие от традиционного процесса формирования пространственного образа, здесь добавляется ещё один шаг – динамическая анимационная модель (ДАМ). Он позволяет сделать плавный переход от реальной модели изучаемого объекта к его статическому изображению на плоскости. ДАМ – это модель объекта, которая теряет материальную основу, но по-прежнему остаётся наглядной и не сложной для восприятия. ДАМ позволяет отображать особенности не только внешнего строения объекта, но и внутреннего, позволяет оперативно подстраиваться под конкретный урок, особенности учеников.
В настоящее время компьютерная графика широко используется при подготовке специалистов различного профиля. Результаты проведенного нами исследования существующих подходов и методик использования компьютерной графики показали, что, в основном, она применяется как средство визуализации принимаемых решений и практически не используется как средство для получения новых знаний и сведений об окружающем мире. Однако современные графические пакеты могут быть использованы дополнительно, как средство интенсификации процесса получения новой информации об окружающих нас реальных объектах.
Правомерность использования компьютерной графики в качестве вспомогательного средства в процессе обучения геометрии основывается на том факте, что рисунок любого объемного тела является имитацией трехмерного пространства на плоском двумерном листе бумаги. Применение же трехмерного компьютерного моделирования позволяет облегчить процесс понимания конструкции реального трехмерного тела, а также дает возможность проследить пространственные линии связей с помощью каркасной модели объекта и, в конечном счете, получить реалистическую визуализацию с помощью наложения текстур и фактур.
Перспективы использования компьютерной графики в преподавании математики связаны, прежде всего, с эффективной реализацией дидактического принципа наглядности в обучении. Его воплощение в обучении различным предметам, наряду с другими принципами дидактики, является одним из ведущих факторов обучения и развития. Отметим тот факт, что опыт применения компьютера на уроках геометрии сводится, в основном, к использованию компьютерной графики в виде статичных изображений, или рисунков. Опыта же применения компьютерной анимации на уроках геометрии на данный момент методика  преподавания математики не имеет, но, как мы полагаем, именно такой вид наглядности дает значительно больший эффект, нежели использование статичных изображений. Программные продукты, реализующие возможность работы с компьютерной графикой, дают, во-первых, возможность создания динамических образов, иллюстрирующих математические понятия в пространстве и времени, во-вторых, возможность интерактивной работы, когда обучаемый сам становится участником события. Во втором случае речь идет о создании самими учащимися наглядных образов геометрических понятий (точка, фигура, преобразование и т.п.) в процессе обучения программированию. При этом многие понятия, известные из математики или представляемые пока интуитивно, более глубоко раскрывают свою сущность и становятся понятными именно на основе своего образного восприятия.
Для разработки методики одним из важных этапов являлся выбор графического пакета, отвечающего требованиям методики обучения. В качестве основных требований нами были определены следующие:
-  разнообразный круг инструментов для моделирования объемных  объектов;
-  визуализация модели с любых точек зрения;
-  доступные инструменты редактирования формы и пропорций модели;
-  использование графических текстур;
В качестве дополнительных требований были приняты:
-  дружественный интерфейс;
-  ограниченные машинные ресурсы;
-  доступная для учебных заведений цена.
По указанным требованиям был проведен сравнительный анализ пакетов 3D компьютерной графики (Cinema 4D XL 6*, Мауа 3.0, 3D Studio MAX, Houldini 4,0*, LightWave 6*, SoftimagelXSI), позволивший выявить, что различные программы решают аналогичные задачи, используя при этом функции под различными названиями.
В результате анализа графических пакетов по указанным признакам выявлено очевидное преимущество системы 3D Studio MAX. Этот пакет используют для 3D моделирования объектов многие Российские вузы. 3D Studio МАХ обладает достаточно полным набором инструментов, пригодных для моделирования основных геометрических тел, который не уступает, а в некоторых случаях и превосходит программы-конкуренты, и обладает самой низкой ценой. Таким образом, именно 3D Studio МАХ был принят в качестве среды функционирования разработанной методики.

2.2 Методика формирования
пространственного образа на уроках геометрии

Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения геометрии является использование упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. В ходе визуального анализа формируется тактика переработки этой информации в соответствии с поставленными задачами, оперирование созданными пространственными представлениями в процессе их решения, происходит мысленное составление плана работы. По своим целям и учебным возможностям этот этап можно отнести к поисковой деятельности. Обучаемый определяет порядок действий, пытается в уме выполнить некоторые из знакомых ему операций, рассмотреть возможные варианты решения задачи, прогнозировать результат. Каждый геометрический образ имеет определенную структуру, позволяющую зрительно выделить и проанализировать его логический «фундамент».
В процессе решения задач, ориентированные на развитие пространственных представлений, представления приобретают новые формы, направляющие мыслительную деятельность обучаемого так, что из исходных данных он может извлечь ориентиры и подсказки, построить догадку, приводящую к получению правильного ответа. В ходе поиска решения задачи осуществляется порождение новых пространственных представлений, несущих определенную визуально-логическую нагрузку и делающих видимым значение исходного объекта или его свойства. Отправными моментами и точками опоры такого процесса является запас готовых, пространственных представлений, их элементы и структура, визуально обозримые связи между ними.
Следует выделить основные типы упражнений, ориентированные на формирование и развитие пространственных представлений при обучении геометрии [15]:
-  упражнения на исследование свойств геометрических объектов (узнавание).
-  упражнения на изображение геометрических конфигураций (воспроизведение).
-  упражнения на преобразование образов геометрических конфигураций (оперирование).
-  упражнения на конструирование новых образов геометрических конфигураций.
Разработка данной типологии основана на видах деятельности, составляющих содержание процесса формирования и развития пространственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение, оперирование и конструирование пространственных представлений). Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать упражнения, решение которых требует использования средств наглядности (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словесным описанием и решаемые в воображении. В контексте данной работы данная типология получила некоторое обобщение и более подробное описание типов упражнений, а также внедрением в процесс решения задач наглядной основы – динамической анимационной модели.
I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов
Суть этой группы упражнений состоит в следующем: пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Требуется исследовать его свойства – выделить форму, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.
а) Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или словесному описанию. Их основная цель – определить, принадлежит ли данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные пространственные представления и знания о них.
Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?
Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?
Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани – квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

C

M

A

D

K

E

B

O

б) Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.
Пример. ABCDEKMO – изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.
в) Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.)

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются развертками данного куба?
г) Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.
Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости β, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно β стороны AD и CD параллелограмма?
Пример 2. Как могут быть расположены относительно плоскости β основания трапеции, если плоскость проходит через среднюю линию трапеции?
Пример 3. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей β и γ. При этом р принадлежит γ. Как она может быть расположена относительно плоскости β?
Пример 4. Прямая а пересекается с прямой b, лежащей в плоскости γ и перпендикулярна этой прямой. Перпендикулярна ли а плоскости γ?
Использование приведённых заданий способствует совершенствованию умений, характеризующих процесс создания и оперирования пространственными образами. Например, решение задач на вычленение из состава чертежа требуемых фигур, на определение взаимного расположения пространственных объектов или их элементов, требует не только зрительного выделения фигур, но и применения различных критериев анализа пространственного образа, что дает возможность мысленно переставлять элементы чертежа и выделять на этой основе новые фигуры. Таким образом, задания этой группы способствуют развитию умений удерживать образ в памяти, рассматривать его с различных точек зрения, анализировать пространственный образ, вычленять его форму и т.д.
Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.
В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.
Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.
Кроме того, для формирования и совершенствования вышеназванных действий, характеризующих развитые пространственные представления, большое значение имеет деятельность преподавателя. В процессе обучения, направленного на развитие пространственных представлений, кроме общих методов и методических приемов, могут использоваться специальные приемы, способствующие этой работе. Такие, например, как создание ситуации, способствующей активному оперированию пространственными представлениями, творческое конструирование новых образов геометрических конфигураций.
Так при изучении темы «Многогранники» преподаватель, демонстрируя модель куба, предлагает мысленно удалить одну его грань и, заглянув в куб через эту грань, изобразить в тетрадях тот геометрический образ, который они при этом увидят. Студенты изображают субъективно новый для них пространственный образ. В качестве самопроверки учащимся предлагается динамическая анимационная модель [Приложение ДАМ-1].
Далее предлагается мысленно представить модель тетраэдра и проделать в уме те же действия, что и с моделью куба. Получается еще один субъективно новый для учащихся образ.
При этом второе задание выполняется без опоры на наглядную основу. Успешное выполнение этого задания требовало от учащегося создания исходного геометрического образа (модели тетраэдра), мысленного изменения позиции наблюдения по восприятию модели тетраэдра, создания нового пространственного образа. В целом эта деятельность направлена на творческое конструирование нового пространственного образа, она предполагает активное оперирование образом, его трансформацию, изменение положения в пространстве. Все эти умения являются основными характеристиками развитого пространственного мышления человека.
Целенаправленное и систематическое использование методических приемов будет, очевидно, способствовать развитию пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.
II. Упражнения на изображение геометрических объектов
Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.
К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.
а) Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.
Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?
Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму [Приложение ДАМ-2].
б) Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.
Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам:
а) треугольная пирамида:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
б) треугольная призма:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
в) Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.
Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.
Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D₁ (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?
Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.
г) Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.
Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?
Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?
Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n – 1 вершины.
д) Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.
Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.
Как уже было сказано, чертеж является важнейшим средством формирования и развития пространственных представлений. При этом необходимо обращать внимание на рассмотрение различных изображений одного и того же тела. Дело в том, что, привыкая работать с шаблонными изображениями пространственных фигур, учащиеся оказываются беспомощными, когда им надо создать образ по чертежу, на котором пространственный объект расположен нетрадиционно. Выполнение таких изображений и работа с ними способствуют совершенствованию умения рассматривать объект с различных точек зрения, удерживая его образ в памяти, анализировать созданный пространственный образ, менять пространственное положение объекта.
Развитию этих умений также способствуют задачи, в которых требуется достроить пространственную фигуру или восстановить чертеж, выполняя который необходимо сначала представить пространственный объект, потом сопоставить его с данными элементами чертежа. При этом по одним и тем же элементам (отрезкам, точкам) иногда возможны различные изображения фигуры.
Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ – развертка.
При изучении темы «Изображение пространственных фигур на плоскости» целесообразно на практическом занятии рассмотреть решение проекционных задач. Например, такой.
Какая фигура получится при проектировании двух скрещивающихся перпендикулярных прямых а и b на плоскость?
III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований
на плоскости и в пространстве
Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.
а) Задачи на отыскание множеств точек – образов при определенном геометрическом преобразовании точки.
Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?
б) Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.
Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на плоскости и в пространстве.
Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?
Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра симметрии.
в) Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.
Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.
Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.
Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.
г) Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.
Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К – середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?
При решении стереометрических задач, являющихся аналогами соответствующих им планиметрических, целесообразно от пространственной задачи перейти к плоскостной, заменяя в условии задачи пространственную фигуру на аналогичную ей плоскостную, и решив задачу на плоскости, снова перейти к пространственным фигурам.