Диплом на тему Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-06-22Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Федеральное агентство по образованию
Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах
Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Куршакова О.В.
__________________
Научный руководитель:
кандидат физ.-мат. наук,
профессор кафедры алгебры и геометрии
Понарин Я.П.
__________________
Рецензент:
ст. преподаватель кафедры алгебры и геометрии
Суворов А.Н.
__________________
студентка V курса
математического факультета
Куршакова О.В.
__________________
Научный руководитель:
кандидат физ.-мат. наук,
профессор кафедры алгебры и геометрии
Понарин Я.П.
__________________
Рецензент:
ст. преподаватель кафедры алгебры и геометрии
Суворов А.Н.
__________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ________________ Вечтомов Е.М.
« » _______________
Декан факультета ______________ Варанкина В.И.
« »_______________
Киров 2005
Оглавление
\t "Заголовок 1;2;Заголовок 2;1" Предисловие. 2
Глава i. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах.. 3
§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах 3
1.1. Определение аффинного преобразования. 3
1.2. Формула аффинного преобразования. 3
§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании. 4
§ 3. Формула обратного преобразования. 5
§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований. 6
§5. Свойство площадей треугольников. 7
§6. Род аффинного преобразования. 8
6.1. Ориентация плоских фигур. 8
6.2. Ориентация пар векторов. 8
§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований. 10
7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований. 10
7.2. Двойные прямые аффинных преобразований. 12
глава ii. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах.. 15
§1. Преобразование подобия. 15
§2. Преобразование родства. 16
2.1. Понятие преобразования родства. 16
2.2. Сжатие и его частные виды.. 18
2.3. Сдвиг. 19
§3. Эллиптический поворот. 21
§4. Параболический поворот. 24
§5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов. 25
Библиографический список. 28
Теория аффинных преобразований впервые была рассмотрена Дарбу. В данной работе эта теория изложена методом комплексных чисел.
В работе рассмотрена общая теория для всех аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах, а также такие частные виды аффинных преобразований, как подобие, родство, эллиптический поворот, параболический поворот. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго рода, и теория для него разработана Скопецом З.А. совместно с Понариным Я.П. Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, у которого есть частные виды, также рассмотренные в работе. Теория этого аффинного преобразования для комплексных чисел разработана Понариным Я.П. Эллиптический и параболический повороты – это эквиаффинные преобразования, являющиеся композицией других аффинных преобразований. Они также определены научным руководителем.
Для каждого из четырёх рассмотренных аффинных преобразований и частных видов некоторых из них получены координатные формулы в сопряжённых комплексных координатах, изучены их простейшие свойства.
Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1]
Известно, что аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы:
где (1)
Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z’=x’+iy’ точки M’(z’) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z’ подставим вместо x’ и y’ их выражения из формул (1) : , раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части этого равенства, получим . Теперь произведём тождественное преобразование над коэффициентами при x и iy:
Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее:
. Введя обозначения , , и учитывая, что и , имеем выражение комплексной координаты z’ точки M’ через комплексную координату её образа z точки M: . Осталось найти определитель этого преобразования. После некоторых преобразований определитель примет вид: , откуда, воспользовавшись введёнными обозначениями коэффициентов аффинного преобразования, имеем: . Таким образом, формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах имеет вид:
, где (2)
, где . (3)
Любая точка M(z), принадлежащая этой прямой, при аффинном преобразовании (2) перейдёт в некоторую точку M’(z’), комплексная координата которой . Выразим из этого равенства и сопряжённого к нему : откуда получаем , то есть
, где . (4)
Это формула преобразования, обратного аффинному преобразованию (2).
Но вернёмся к нашим рассуждениям и подставим в (3) выражение z через z’ и в результате чего получим следующее равенство :
. Теперь раскроем скобки и сгруппируем множители перед z’ и , а оставшиеся слагаемые будем считать свободным членом, получим уравнение образа прямой:
. (5)
Очевидно, что это уравнение прямой: коэффициенты при z’ и сопряжены, а свободный член является действительным числом. Таким образом, получили уравнение образа прямой при аффинном преобразовании (2).
Рассмотрим определитель преобразования (4), он равен: , приведём к общему знаменателю и сократим на общий множитель, получим: , где , следовательно, определитель обратного преобразования (4) находится в следующей зависимости с определителем преобразования (2): и он не равен нулю. Следовательно, обратное преобразование (4) также является аффинным, что и требовалось доказать.
Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А’, B', C', также не лежащие на одной прямой.[3]
Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, и c выражаются однозначно через координаты точек А( ), В( ), С( ) и A'(a’), B’(b’), C’(c’).
Так как точки A', B', C' являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:
Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A', B’, C’:
Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.
,
. (6)
Для координат точек M’, N’ и K’ выполняются равенства
Преобразуем формулу площади второго треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим:
После последовательных преобразований полученного выражения имеем: , то есть . Таким образом, площадь треугольника пропорциональна площади его прообраза с коэффициентом пропорциональности, равным определителю аффинного преобразования, что и требовалось доказать.
Следствие. Отношение площади треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования.
Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные -угольники.
к вектору (на угол, меньший 1800). В связи с этим введём также понятие ориентации пары векторов: будем называть пару векторов и ориентированной положительно, если направление вращения (на наименьший возможный угол) от к совпадает с направлением вращения от к ; в противном случае пару векторов и назовём ориентированной отрицательно.
Рис. 1
Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов и , заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если угол между векторами положительно ориентирован, то его синус положителен, в противном случае – отрицателен.
Используем формулу синуса угла между векторами, заданными своими комплексными координатами: . Найдём синус угла между векторами (p) и (q): . Здесь числитель – чисто мнимое число, следовательно, знак синуса угла зависит от знака числа .
Образом вектора (p) при аффинном преобразовании (2) будет вектор с комплексной координатой , вектор , являющийся образом вектора (q) при этом же аффинном преобразовании будет иметь комплексную координату . Найдём теперь синус угла между векторами и : . Упростив правую часть равенства, получим: . Знак синуса угла между векторами и зависит от знаков выражений и так как второе из них присутствует в выражении , то именно от выражения зависит, будет ли знак синуса угла между векторами и отличаться от знак синуса угла между векторами и . То есть если значение выражения положительно, то ориентация пары векторов и будет совпадать с ориентацией пары векторов и . В противном случае при аффинном преобразовании (2) ориентация пары векторов сменится на противоположную.
Таким образом, аффинное преобразование (2) сохраняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель положителен. В этом случае преобразование (2) является аффинным преобразованием первого рода. Иначе, аффинное преобразование меняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель отрицателен. И в таком случае преобразование (2) является аффинным преобразованием второго рода.
. (7)
Выразим отсюда z. Для этого решим следующую систему
( где ) (8)
Получили координату точки, являющейся инвариантом аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c.
Тогда для аффинного преобразования возможны три случая [1]:
1) неподвижных точек не существует;
2) неподвижная точка единственная;
3) неподвижных точек бесконечно много.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Неподвижных точек не существует тогда и только тогда, когда для коэффициентов преобразования выполняется условие: Преобразовав второе условие системы, получим . (9)
Выполнимость этой системы и является условием того, что для данного аффинного преобразования неподвижных точек не существует.
2. Неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда
, то есть (10)
3. Неподвижных точек бесконечно много тогда и только тогда, когда выполняется условие что равносильно системе
(11)
Возьмём условие неподвижности точки: (12)
и рассмотрим два случая:
1) Пусть с≠0, тогда умножим (12) на с, получим: . Воспользовавшись системой (11), получим равенство:
, (13)
где коэффициенты при z и сопряжены, а свободный член является действительным числом, следовательно, равенство (13) при условии (11) задаёт прямую неподвижных точек.
2) Пусть теперь с=0, тогда (12) представится в виде . Выразим отсюда z: , откуда Приравняем правые части и получим равенство , что равносильно условию . Поделим на z≠0, в результате чего получим . То есть условие (11) задаёт прямую неподвижных точек (12), которая называется осью аффинного преобразования. Если такая прямая есть, то аффинное преобразование называется родством.
Если а=1, то Зав. кафедрой ________________ Вечтомов Е.М.
« » _______________
Декан факультета ______________ Варанкина В.И.
« »_______________
Киров 2005
Оглавление
\t "Заголовок 1;2;Заголовок 2;1" Предисловие. 2
Глава i. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах.. 3
§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах 3
1.1. Определение аффинного преобразования. 3
1.2. Формула аффинного преобразования. 3
§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании. 4
§ 3. Формула обратного преобразования. 5
§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований. 6
§5. Свойство площадей треугольников. 7
§6. Род аффинного преобразования. 8
6.1. Ориентация плоских фигур. 8
6.2. Ориентация пар векторов. 8
§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований. 10
7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований. 10
7.2. Двойные прямые аффинных преобразований. 12
глава ii. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах.. 15
§1. Преобразование подобия. 15
§2. Преобразование родства. 16
2.1. Понятие преобразования родства. 16
2.2. Сжатие и его частные виды.. 18
2.3. Сдвиг. 19
§3. Эллиптический поворот. 21
§4. Параболический поворот. 24
§5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов. 25
Библиографический список. 28
Предисловие
Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.Теория аффинных преобразований впервые была рассмотрена Дарбу. В данной работе эта теория изложена методом комплексных чисел.
В работе рассмотрена общая теория для всех аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах, а также такие частные виды аффинных преобразований, как подобие, родство, эллиптический поворот, параболический поворот. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго рода, и теория для него разработана Скопецом З.А. совместно с Понариным Я.П. Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, у которого есть частные виды, также рассмотренные в работе. Теория этого аффинного преобразования для комплексных чисел разработана Понариным Я.П. Эллиптический и параболический повороты – это эквиаффинные преобразования, являющиеся композицией других аффинных преобразований. Они также определены научным руководителем.
Для каждого из четырёх рассмотренных аффинных преобразований и частных видов некоторых из них получены координатные формулы в сопряжённых комплексных координатах, изучены их простейшие свойства.
Глава I. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах
§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах
1.1. Определение аффинного преобразования
Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1]
1.2. Формула аффинного преобразования
Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z’ образа данной точки M(z) через координату z этой точки М.Известно, что аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы:
Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z’=x’+iy’ точки M’(z’) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z’ подставим вместо x’ и y’ их выражения из формул (1) :
Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее:
§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании
Как известно из определения аффинного преобразования, прямая переходит на прямую. Возьмём уравнение прямойЛюбая точка M(z), принадлежащая этой прямой, при аффинном преобразовании (2) перейдёт в некоторую точку M’(z’), комплексная координата которой
Это формула преобразования, обратного аффинному преобразованию (2).
Но вернёмся к нашим рассуждениям и подставим в (3) выражение z через z’ и
Очевидно, что это уравнение прямой: коэффициенты при z’ и
§ 3. Формула обратного преобразования
В предыдущем параграфе нами была найдена формула (4) преобразования, обратного аффинному преобразованию (2). Покажем, что данное преобразование также является аффинным. Для этого достаточно доказать, что его определитель не равен нулю.Рассмотрим определитель преобразования (4), он равен:
§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований
Докажем следующую теорему:Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А’, B', C', также не лежащие на одной прямой.[3]
Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, и c выражаются однозначно через координаты точек А(
Так как точки A', B', C' являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:
Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A', B’, C’:
Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.
§5. Свойство площадей треугольников
Докажем, что площадь треугольника пропорциональна площади его образа при некотором аффинном преобразовании (2) с коэффициентом пропорциональности, равным определителю этого аффинного преобразования. [1]
Пусть точки M, N и K неколлинеарны, тогда точки M’, N’ и K’, являющиеся образами точек M, N и K при некотором аффинном преобразовании (2), также неколлинеарны. Найдём отношение площадей ориентированных треугольников MNK и M’N’K’. Воспользуемся формулой площади положительно ориентированного треугольника:Для координат точек M’, N’ и K’ выполняются равенства
Преобразуем формулу площади второго треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим:
После последовательных преобразований полученного выражения имеем:
Следствие. Отношение площади треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования.
Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные
§6. Род аффинного преобразования
6.1. Ориентация плоских фигур
Введём понятие ориентации плоских фигур, причём здесь можно ограничиться лишь рассмотрением ориентации треугольников: каждый треугольник может быть ориентирован двумя способами, то есть обход его контура может совершаться в двух взаимно противоположных направлениях – «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Аффинные преобразования первого рода сохраняют ориентацию всех треугольников, а аффинные преобразования второго рода меняют её на противоположную.6.2. Ориентация пар векторов
Если на плоскости задана система координат, то одну из двух ориентаций плоских фигур называют обычно положительной, а другую – отрицательной. За положительную принимается ориентация, определяемая обходом координатного треугольника ОЕ1Е2 (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора |
|
Е1 |
Е2 |
О |
Рис. 1
Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов
Используем формулу синуса угла между векторами, заданными своими комплексными координатами:
Образом вектора
Таким образом, аффинное преобразование (2) сохраняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель
§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований
7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований
Найдём координаты неподвижных точек аффинного преобразования (2). Для неподвижных точек, то есть для точек, переходящих в себя при аффинном преобразовании, должно выполняться следующее условие: z’=z, то естьВыразим отсюда z. Для этого решим следующую систему
Получили координату точки, являющейся инвариантом аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c.
Тогда для аффинного преобразования возможны три случая [1]:
1) неподвижных точек не существует;
2) неподвижная точка единственная;
3) неподвижных точек бесконечно много.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Неподвижных точек не существует тогда и только тогда, когда для коэффициентов преобразования выполняется условие:
Выполнимость этой системы и является условием того, что для данного аффинного преобразования неподвижных точек не существует.
2. Неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда
3. Неподвижных точек бесконечно много тогда и только тогда, когда выполняется условие
Возьмём условие неподвижности точки:
и рассмотрим два случая:
1) Пусть с≠0, тогда умножим (12) на с, получим:
где коэффициенты при z и
2) Пусть теперь с=0, тогда (12) представится в виде
Если b=0 и c≠0, то аффинное преобразование является параллельным переносом.
Если b=0 и c=0, то аффинное преобразование является тождественным.
7.2. Двойные прямые аффинных преобразований
Найдём условие, при котором прямая при аффинном преобразовании (2) перейдёт сама в себя, то есть будет являться инвариантом аффинного преобразования.1) Первая система совокупности приводится к виду
2) Рассмотрим вторую систему совокупности (15)
Преобразуем отдельно каждое равенство системы (16).
А) Первое равенство системы после некоторых преобразований примет вид
Б) Рассмотрим теперь второе равенство, преобразуем его правую часть
Докажем, что если для коэффициентов прямой (3) p и q верно равенство (17), то она является двойной прямой аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c и определителем
Глава II. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах
§1. Преобразование подобия
Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P и Q отображает в такие две точки P’ и Q’, что P’Q’=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2]Введём в рассмотрение аффинное преобразование (2). Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы M’(z’), P’(p’), Q’(q’) при некотором аффинном преобразовании (2). Преобразование подобия задаётся тремя парами точек M"M’, P"P’, Q"Q’ так, что треугольник M’P’Q’ подобен треугольнику MPQ.
Существует два рода преобразований подобия. Подобие первого рода сохраняет ориентацию каждого отображаемого треугольника, а подобие второго рода отображает каждый треугольник в треугольник, противоположно ориентированный с ним. Рассмотрим теперь подобие каждого рода отдельно.
I. Пусть MPQ и M’P’Q’ – одинаково ориентированные подобные треугольники, тогда выполняются равенства
Рассмотрим равенство
II. Рассмотрим теперь подобные и противоположно ориентированные треугольники MPQ и M’P’Q’. Для них верны равенства:
§2. Преобразование родства
2.1. Понятие преобразования родства
Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек. Его задаёт формула :Осью этого преобразования является прямая
|
M’(z’) |
l |
M(z) |
Рис. 2
Выясним особенности этого преобразования. Перепишем его следующим образом
Если (а-1) – чисто мнимое число (то есть
Если же направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия:
2.2. Сжатие и его частные виды
Найдём собственные числа λ преобразования сжатия (24) из условияПримем без доказательства следующую теорему [1]: если λ – собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении
Р |
L |
l |
N’ |
M’ |
N |
M |
Рис. 3
Очевидно, что прямые MM’ и NN’ (рис. 3) являются двойными прямыми и λ2– действительное число, то точка Р делит отрезок MM’ в отношении
Рассмотрим частный случай сжатия – косую симметрию [1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:
Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда
Если а=0, получаем осевую симметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия – аффинное преобразование также второго рода (
2.3. Сдвиг
Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенстваи посмотрим, чем является каждый модуль в (26).
N’ |
M’ |
N |
M |
l |
Рис. 4
Преобразуем правую часть (26):
Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично тому, как составляли для сжатия:
Определитель преобразования сдвига
§3. Эллиптический поворот
Эллипс – это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.
Его задают условия:
а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу:
При ортогональном сжатии окружность
Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол
Y
P N1
N
M
K M1
C O D X
Т
Q
Рис. 5
Пусть точки М и М1 – образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом:
1)
2)
3)
Тогда
1. Сначала найдём формулу преобразования
2. Найдём формулу для преобразования f:
Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя
Так как определитель рассматриваемого аффинного преобразования положителен, то эллиптический поворот – это аффинное преобразование первого рода.
Это преобразование имеет единственную неподвижную точку О, значит оно является центроаффинным. При этом преобразовании каждая точка М плоскости (М≠О) переходит в другую точку, которая принадлежит соответствующему эллипсу. Этот эллипс при рассмотренном преобразовании переходит сам в себя. Преобразование с объявленными свойствами называется эллиптическим поворотом.
Выясним, имеет ли эллиптический поворот инвариантные пучки параллельных прямых. Для этого найдём дискриминант характеристического уравнения этого преобразования. Комплексные координаты векторов
Формулу (29) эллиптического поворота можно записать в виде системы условий:
§4. Параболический поворот
Покажем, что параболу можно перевести в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига. Пусть М – произвольная точка параболы П с осью l (рис. 6), примем эту ось за действительную. Произведём сдвиг с этой же осью l: l |
М’ |
О1 |
О |
М1 |
М |
П |
|
Рис. 6
Теперь произведём параллельный перенос параболы П1:
Таким образом получили, что парабола переходит в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига [1,3]. Это преобразование называется параболическим поворотом и имеет формулу
Определитель найденного преобразования
Найдём собственные числа параболического поворота аналогично тому, как делали это для других рассмотренных аффинных преобразований. Найдём собственные числа λ из условия
§5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов
Выше мы имели целый ряд примеров аффинных преобразований. Мы знаем также ряд свойств, которыми обладают все аффинные преобразования. Найдём общую конструкцию, позволяющую получить любое аффинное преобразование. Такая конструкция указывается следующей теоремой:Любое аффинное преобразование может быть представлено в виде композиции родства и подобия.
Докажем это утверждение. Любое аффинное преобразование имеет формулу (2) вида
Очевидно, что выражение в скобках задаёт родство, а коэффициенты (a+b) и c являются коэффициентами преобразования подобия.
Выясним, сохраняет ли аффинное преобразование вида (31) ориентацию плоских фигур. Внешнее преобразование (31) сохраняет ориентацию, поэтому найдём определитель внутреннего преобразования:
Таким образом, мы представили произвольное аффинное преобразование (2) в виде композиции родства и подобия первого рода. Но возможно представить (2) и в виде композиции родства и подобия второго рода, тогда (2) примет вид
Внешнее преобразование полученной композиции – подобие второго рода – меняет ориентацию плоских фигур на противоположную. Рассмотрим внутреннее преобразование. Его определитель равен
Следовательно, любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции родства и подобия, что и требовалось доказать.
Библиографический список
1. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. – М.: МЦНМО, 20042. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990
3. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия. М.: - Учпедгиз, 1962