Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Сингулярные интегралы.
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Сколова Ирина Юрьевна
____________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
____________________
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент
Подгорная Ирина Иссаковна
____________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой       ___________________   Крутихина М. В.
«     »  _______________
Декан факультета ___________________   Варанкина В. И.
«     »  _______________
Киров 2005

Оглавление

Введение………………………………………………………………………...с. 3
§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11
§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18
§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23
Литература……………………………………………………………………...с. 27

Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье. 
Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла  при  со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.
В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.    
Определение. Если в точке x будет  и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t).
Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .
Если, в частности, , то и .
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.    
Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E( , h)=E∙[ -h, +h]. Это тоже измеримое множество.
Предел отношения  при h→0 называется плотностью множества E в точке  и обозначается через .
Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и . Если существует такое измеримое множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку  точкой плотности, что f (x) вдоль E непрерывна в точке , то говорят, что f (x) аппроксимативно непрерывна в точке .        
Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если
                            .
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε>0 отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой  оказывается
,                                                 (3)
то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна.
Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если .
Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной, если .
Определение. Система функций , , , …, заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение. Пусть  есть ортонормальная система и f (x) некоторая функция из . Числа  называются коэффициентами Фурье функции f (x) в системе .
Ряд  называется рядом Фурье функции f (x) в системе .

§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.
Рассмотрим функцию
                            .                                            (1) 
Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) ( ) можно образовать величину
                            .                                             (2)
         Докажем, что во всякой точке x (0<x<1), в которой функция f(t) непрерывна, будет
                                               .                                               (3)
         Для этого прежде всего отметим, что при
.                 (4)
         Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при  стремится к нулю разность
         .
         Возьмем произвольное  и найдем такое , что при  будет . Считая, что , представим  в форме
.
Интеграл  оценивается следующим образом:
.
         В интеграле  будет , поэтому

,
где  не зависит от n. Аналогично  и, следовательно,                                                 ,
так что при достаточно больших n будет , т. е.  стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.
         Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x. Но около точки x функция f (t) почти равна f (x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t) на f (x), т. е. он почти равен интегралу
                           
и, в силу (4), почти равен f (x).
         Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра.
         Определение. Пусть функция  (n=1, 2, …), заданная в квадрате ( , ), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если  при условии, что .
        
Определение. Интеграл вида , где  есть ядро, называется сингулярным интегралом.
         В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла  при  со значением функции
f (t) в точке x. Так как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f (x) функции f (t) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t), и т. п.
         Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [a,  b] задана последовательность измеримых функций , ,  , … Если существует такая постоянная K, что при всех n и  t будет
                                     ,                                                            (5)
и если при всяком c ( ) будет
                                      ,                                                 (6)
то, какова бы ни была суммируемая на [a, b]  функция f (t), справедливо равенство
                                     .                                           (7)
Доказательство. Если  есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что
                                      .                                                  (8)
         Рассмотрим непрерывную функцию f (t), и для наперед заданного  разложим [a, b] точками  на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t) было меньше, чем ε.
Тогда .        (9)
Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε(b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для  окажется меньшей, чем ε. Для этих n будет
                   ,
так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).
         Пусть f (t) измеримая ограниченная функция .
         Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что , .
         Тогда .
         Но .
Интеграл  по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε. Значит, для этих n будет
                                      ,
что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть f (t) произвольная суммируемая функция.
Возьмем ε>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого измеримого множества  с мерой me<δ было .
         Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было . Это возможно по
Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что . 
Можно считать, что на множестве  функция g(t) равна нулю.
Тогда .
         Но .
Интеграл же  при достаточно больших n будет меньше ε, и при этих n окажется , что и доказывает теорему.
Пример. Пусть . Тогда  и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
         Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции
 f (t) будет .
В частности, коэффициенты Фурье ,  произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при . 
         Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность  слабо сходится к нулю.

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

         Во всем дальнейшем будем считать, что ядро  при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл  имеет смысл при любой суммируемой функции f (t).
         Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<b) и любом δ>0 ядро  слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ],
[x+δ, b] и , где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x, справедливо равенство
                                      .
Доказательство. Так как  есть ядро, то ,                 
и достаточно обнаружить, что
                            .
         С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при  будет
                                      .
Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x.
Тогда при любом n .
Но каждый из интегралов ,  при  стремится к нулю, т. к.  слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для  каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.
И для этих n окажется , что и требовалось доказать.
         Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.
         Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.
         Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что
                           .                                               (1)
         Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b],  интеграл
                                                                                              (2)
существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство
                                      .                                               (3)
         В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.
         Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g*(t), определив ее равенствами
                                                   g(t), если ,
                                      g*(t)=
                                                   0, если t=b.
         Доказав теорему для g*(t), мы затем смогли бы всюду заменить g*(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.
         Пусть a<α<b. На сегменте [α, b] функция g(t) ограничена, и интеграл
                                                                                              (4)
заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса
                                      ,
откуда, после интегрирования по частям, находим
                   .
         Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a] выполняется неравенство  и следовательно
  ,                                         (5)
а так как g(t) убывает, то
                            .                                                    (6)
Значит . С другой стороны, функция –g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что
                            .
Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:
                   .
Отсюда, учитывая (6), следует, что
                            .
         Сопоставляя все сказанное, получаем:
                            .                                     (7)
         Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α<β<b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим                                                     ,
чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t)=1 в (3) достигается равенство.)
         Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро  положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте
[x, b].
         Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет                                                            .

         Доказательство. Так как  есть ядро, то  и достаточно проверить, что .
         Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте
[a, x] и [x, b], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.
         Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при  будет
                            ,
что возможно, так как f (t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть  и .
         Тогда по предыдущей лемме
         .
         Так как  есть ядро, то .
         Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что .
         Таким образом,
                            .
         С другой стороны, если , то
                   .
         Значит функции  на сегменте [x+δ, b] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к.  является ядром. Следовательно  на сегменте [x+δ, b] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет .
         При этих n окажется
                            ,
так что
                            .
Теорема доказана.
         В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса .
         Функция  есть ядро, т. к. при α<x<β
                   .
         Эта функция положительна, и она возрастает при  и убывает при . Значит, для всякой  будет  в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла.
         Определение. Функция Ψ(t, x) называется горбатой мажорантой функции , если  и если Ψ(t, x) при фиксированном x возрастает на сегменте [a, x] и убывает на сегменте [x, b].
         Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро  при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что
                            ,
где K(x) зависит лишь от x, то для любой , имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо равенство
                                      .
Доказательство. Достаточно доказать, что
.
Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при  будет
                            .
         По лемме имеем
.
         С другой стороны, в сегменте [x+δ, b] последовательность  слабо сходится к нулю, т. к. при  будет
         .
Следовательно для достаточно больших n будет
.
         При этих n окажется ,
так что .         Теорема доказана.     

§3. Приложения в теории рядов Фурье

         Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе
                            ,                                 (1)
то рядом Фурье функции f (x) служит ряд
                                      ,                                 (2)
где
                   , .                             (3)
         Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье  функции f (x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.
         Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .
Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства
                        (k=0, 1, …, n-1),
                            .
Это дает , откуда следует равенство
                                     ,                                    (4)
Пользуясь этой формулой, придадим сумме  вид
                            .                               (5)
         Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.
         Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм :
                            .                               (6)
         В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность  сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.
         Для исследования  преобразуем ее с помощью формулы (5)
                   .
Но .                                                           (7)
         Действительно, складывая равенства
            (k=0, 1, …, n-1),
находим , откуда и следует (7).
         С помощью (7) получаем .           (8)
         Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.
Для этого рассмотрим функцию f (t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим  (k=1, 2, …).
Значит, для этой функции  (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .
         Но выражая  интегралом Фейера, получим, что
                                      .                                               (9)
         Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A(x, α) не зависит от n.
Отсюда следует, что .
         Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку   [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим, что
                            ,
так что функция  есть ядро.
         Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .
Следовательно  и
.                                           (10)
С другой стороны, когда , то , так что
                                      .                                           (11)
         Так как , , то  может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом
                           
при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при  будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .
Из (10) и (11) следует, что
.
Функция  есть горбатая мажоранта ядра Фейера.
Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n.
         Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы
Д. К. Фаддеева. Отсюда следует
         Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [-π, +π] будет
                                      .                                                         (12)
         Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t), лежащих внутри [-π, +π].
         Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива следующая
         Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции
f (x) равны нулю, то f (x) эквивалентна нулю.
         В самом деле, в этом случае  и, следовательно, f (x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.
         Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что
                   ,
так что .                                 
Отсюда .
        

§4. Сингулярный интеграл Пуассона

         Пусть точка x есть точка d суммируемой функции f (t), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f (t) равна f (x) (причем ).
Интеграл  (0<r<1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если x (-π<x<π) есть точка d суммируемой функции f (t), то  (П. Фату).
1) Докажем, что  - ядро. Т. к. ядро является 2π-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от x. Рассмотрим  при x=0.
.
Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим
.                                                        (1)
Обозначим , тогда , а .
Выражение (1) будет равно


 при 0<r<1.
Получили, что  и  - ядро.
         2) Докажем, что .
, .
Тогда . Следовательно достаточно проверить, что .
Найдем такое, что на интервале [x- , x] ядро  возрастает, а на [x, x+ ] убывает. Это возможно, т. к. производная функции  меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x: .
Возьмем ε>0 и найдем такое δ (0<δ< ), что при  будет , что возможно, так как x есть точка d, т.е.  f (t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла.
        
Тогда по лемме И. П. Натансона
         , т. к.  есть ядро, и .
         Таким образом, на интервале [x, x+δ] справедливо неравенство . На [x-δ, x] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [x-δ, x+δ] относительно точки x.
Рассмотрим  за пределами [x-δ, x+δ], т.е. на
[-π,  x-δ,] и на [x+δ, π].
         В этих случаях выполняются неравенства
         , .
Тогда  и .
Следовательно , т. к. , и знаменатель дроби не равен нулю.
Аналогично .
То есть  на интервалах [-π,  x-δ,] и [x+δ, π].
При r, достаточно близких к 1, получим
    и .
При этих r окажется , 
так что  и .
         Таким образом, доказано, что  (0<r<1) есть сингулярный интеграл.

Литература

1.     Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
2.     Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. –
3.     Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.