Диплом на тему Топологическая определяемость верхних полуреш ток
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-06-23Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Топологическая определяемость верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Малых Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение …………………………………………………………………стр. 3
Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4
1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4
2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5
3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8
4. Топологические пространства……………………………………стр.10
Глава 2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11
2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15
Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.
В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
1. Упорядоченные множества.
Определение: Упорядоченным множеством 
называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение 
, удовлетворяющее для всех 
следующим условиям:
1.Рефлексивность: 
.
2.Антисимметричность: если 
и 
, то 
.
3.Транзитивность: если 
и 
, то 
.
Если 
и 
, то говорят, что 
меньше 
или 
больше 
, и пишут 
или 
.
Примеры упорядоченных множеств:
1. Множество целых положительных чисел, а 
означает, что 
делит 
.
2. Множество всех действительных функций 
на отрезке 
и

означает, что 
для 
.
Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для 
имеет место 
или 
.
Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества 
. Изобразим каждый элемент множества 
в виде небольшого кружка, располагая 
выше 
, если 
. Соединим 
и 
отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества 
.
Примеры диаграмм упорядоченных множеств:
2. Решётки
Определение: Верхней гранью подмножества 
в упорядоченном множестве 
называется элемент 
из 
, больший или равный всех 
из 
.
Определение: Точная верхняя грань подмножества 
упорядоченного множества 
– это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом 
и читается «супремум X».
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается 
и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань 
существует, то она единственна.
Определение: Решёткой 
называется упорядоченное множество 
, в котором любые два элемента 
и 
имеют точную нижнюю грань, обозначаемую 
, и точную верхнюю грань, обозначаемую 
.
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к. 
совпадает с меньшим, а 
с большим из элементов 
.
2.
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 
, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 
.
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. 
, 
идемпотентность
2. 
, 
коммутативность
3. 
,

ассоциативность
4. 
,

законы поглощения
Теорема. Пусть 
- множество с двумя бинарными операциями 
, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение 
(или 
) является порядком на 
, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:


Доказательство.
Рефлексивность отношения 
вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):


Если 
и 
, то есть 
и 
, то в силу свойства (2), получим 
. Это означает, что отношение 
антисимметрично.
Если 
и 
, то применяя свойство (3), получим: 
, что доказывает транзитивность отношения 
.
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.
Следовательно, 
и 
Если 
и 
, то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е. 
По определению точней верхней грани убедимся, что

Из свойств (2), (4) вытекает, что 
и 
Если 
и 
, то по свойствам (3), (4) получим:

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

, т.е.
Таким образом, 
. ■
Пусть 
решётка, тогда её наибольший элемент 
характеризуется одним из свойств:
1. 

2. 

.
Аналогично характеризуется наименьший элемент 
:
1. 

2. 

.
3. Дистрибутивные решётки.
Определение: Решётка 
называется дистрибутивной, если для 
выполняется:
1. 
2. 
В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема: Решётка 
с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём 
).
Определение: Непустое множество 
называется идеалом в решётке 
, если выполняются условия:
1. 
2. 
Определение: Идеал 
в решётке 
называется простым, если

или 
.
Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.
Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.
Определение: Решётки 

и 

называются изоморфными (обозначение: 
), если существует взаимно однозначное отображение 
, называемое изоморфизмом, множества 
на множество 
, такое, что

,

.
4. Топологические пространства.
Определение: Топологическое пространство – это непустое множество 
с некоторой системой 
выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:
1. Пустое множество и само пространство 
принадлежит системе 
: 
.
2. Пересечение любого конечного числа множеств из 
принадлежит 
, т.е. 
.
3. Объединение любого семейства множеств из 
принадлежит 
, т.е. 
.
Таким образом, топологическое пространство – это пара < 
, 
>, где 
- такое множество подмножеств в 
, что 
и 
замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из 
называют открытыми, а их дополнения в 
замкнутыми.
Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Топологическое пространство называется 
- пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.
Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых 
включение 
имеет место тогда и только тогда, когда 
.
Определение: Верхняя полурешётка 
называется дистрибутивной, если неравенство 
≤ 

( 
, 
, 
L) влечёт за собой существование элементов 
, таких, что 
, 
, и 
= 
.(рис.1). Заметим, что элементы 
и 
не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1:
(*). Если < 
, 
> - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка 
дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка 
дистрибутивна.
(**). Если верхняя полурешётка 
дистрибутивна, то для любых 
существует элемент 
, такой, что 
и 
. Следовательно, множество 
является решёткой.
(***). Верхняя полурешётка 
дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество 
является дистрибутивной решёткой.
Доказательство.
(*). 
< 
, 
> - дистрибутивна и 
, то для элементов 
, 
, справедливо равенство 
:

значит, полурешётка < 
, 
> - дистрибутивна.


< 
, 
> - дистрибутивна. Пусть решётка 
содержит диамант или пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка 
содержит пентагон, 
. Нужно найти такие элементы 
и 
, чтобы выполнялось равенство 
. Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что < 
, 
> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка 
не содержит пентагона.
2) Пусть решётка 
содержит диамант, 
. Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит, решётка 
не содержит диаманта.
Можно сделать вывод, что решётка 
дистрибутивна.
(**). Имеем 
, поэтому 
, где 
(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, 
является нижней границей элементов 
и 
.
Рассмотрим идеалы, содержащие элемент 
и 
- 
и 
. Тогда 
Ш ,т.к. 
, нижняя граница элементов a и b, содержится там.
Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.
Покажем, что 
совпадает с пересечением идеалов A и B. Во-первых, 
- идеал. Действительно, 
и 
и 
Во-вторых, пусть идеал 
и 
. Тогда 
, т.е. 
- точная нижняя грань идеалов A и B, т.е. 
.
Теперь покажем, что 
совпадает с пересечением всех идеалов 
, содержащих A и B. Обозначим 
. Поскольку 
для 

для 

, то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.
(***). 
Пусть 
– верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что

.
Пусть 
, т.е. 
(рис.3), для некоторых 
Понятно, что 
. По дистрибутивности, существуют 
такие, что 
. Т.к. A – идеал, то
, потому что 
. Аналогично, 
. Т.е. 
. Точно также, 
. Если 
, то легко показать, что 
.
Доказали, что 
- идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C будет содержать элементы 
для любых 
, т.е. 
Поэтому 
, поскольку 
является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.
Теперь покажем, что выполняется равенство:

.

. Пусть 
, где 
, 
. Т.к. 
, то 
, откуда 
и следовательно 
. Аналогично, 
, значит, 

. Пусть 
,где 




.
Отсюда следует дистрибутивность решётки 
.


– дистрибутивная решётка, 
. Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:

( 
,будет нижней границей для 
). Поэтому 
, что и доказывает дистрибутивность полурешётки 
. ■
2. Стоуново пространство.
Определение: Подмножество 
верхней полурешётки 
называется коидеалом, если 
из неравенства 
следует 
и 
существует нижняя граница 
множества 
, такая, что 
.
Определение: Идеал 
полурешётки 
называется простым, если 
и множество 
является коидеалом.
В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в < 
>, то 
. Тогда X обладает максимальным элементом.
Лемма 2: Пусть 
– произвольный идеал и 
– непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки 
. Если 
, то в полурешётке 
существует простой идеал 
такой, что 
и 
.
Доказательство.
Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C – произвольная цепь в X и 
Если 
, то 
для некоторых 
Пусть для определённости 
. Тогда 
и 
, т.к. 
- идеал. Поэтому 
. Обратно, пусть 
, тогда 
, для некоторого 
Получаем 
, откуда 
.
Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е. 
. По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Топологическая определяемость верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Малых Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение …………………………………………………………………стр. 3
Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4
1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4
2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5
3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8
4. Топологические пространства……………………………………стр.10
Глава 2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11
2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15
Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.
В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
1. Упорядоченные множества.
Определение: Упорядоченным множеством
1.Рефлексивность:
2.Антисимметричность: если
3.Транзитивность: если
Если
Примеры упорядоченных множеств:
1. Множество целых положительных чисел, а
2. Множество всех действительных функций
Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для
Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества
Примеры диаграмм упорядоченных множеств:
2. Решётки
Определение: Верхней гранью подмножества
Определение: Точная верхняя грань подмножества
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается
Определение: Решёткой
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к.
2.
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:
Эти операции обладают следующими свойствами:
1.
2.
3.
4.
Теорема. Пусть
Доказательство.
Рефлексивность отношения
Если
Если
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
Следовательно,
Если
По определению точней верхней грани убедимся, что
Из свойств (2), (4) вытекает, что
Если
Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
Таким образом,
Пусть
1.
2.
Аналогично характеризуется наименьший элемент
1.
2.
3. Дистрибутивные решётки.
Определение: Решётка
1.
2.
В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема: Решётка
Доказательство этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём
Определение: Непустое множество
1.
2.
Определение: Идеал
Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.
Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.
Определение: Решётки
4. Топологические пространства.
Определение: Топологическое пространство – это непустое множество
1. Пустое множество и само пространство
2. Пересечение любого конечного числа множеств из
3. Объединение любого семейства множеств из
Таким образом, топологическое пространство – это пара <
Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Топологическое пространство называется
Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.
Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых
Определение: Верхняя полурешётка
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1:
(*). Если <
(**). Если верхняя полурешётка
(***). Верхняя полурешётка
Доказательство.
(*).
значит, полурешётка <
1) Пусть решётка
2) Пусть решётка
Можно сделать вывод, что решётка
(**). Имеем
Рассмотрим идеалы, содержащие элемент
Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B.
Покажем, что
Теперь покажем, что
(***).
Пусть
Понятно, что
Доказали, что
Теперь покажем, что выполняется равенство:
Отсюда следует дистрибутивность решётки
(
2. Стоуново пространство.
Определение: Подмножество
Определение: Идеал
В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <
Лемма 2: Пусть
Доказательство.
Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C – произвольная цепь в X и
Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е.
Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L\P является коидеалом. Пусть 
L\P и 
. Поскольку 
, то 
, иначе в противном случае 
по определению идеала. Следовательно, 
. Если 
, то 
и 
пересекающихся с D в силу максимальности P. Получаем 
и 
для некоторых элементов 
. Существует элемент 
такой, что 
и 
, по определению коидеала, следовательно 
и 
для некоторых 
Заметим, что 
и 
не лежат в P, т.к. в противном случае 
.
Далее, 
, поэтому 
для некоторых 
и 
. Как и прежде 
. Кроме того 
, поэтому 
- нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P. ■
В дальнейшем, через 
будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через 
множество всех простых идеалов полурешётки 
.
Множества вида 
представляют элементы полурешётки 
в ч.у. множестве 
(т.е. 
). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через 
топологическое пространство, определённое на множестве 
. Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L.
Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:

Тогда множества вида 
исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

,
но 0 лежит в любом идеале, а значит 
.
2) Возьмём произвольные идеалы 
и 
полурешётки 
и рассмотрим


Пусть 
. Тогда существуют элементы a 
и 
Отсюда следует, что 
, где L\P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d 
такой, что 
и 
, значит, 
. Т.к. 
, следовательно, 
. Получаем, что 
.
Обратное включение очевидно.
2) Пусть 
- произвольное семейство идеалов. Через 
обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства 
. Покажем, что 
- идеал. Пусть 
, тогда 
, где 
для некоторого идеала 
. Тогда 
лежит в идеале 
, следовательно, 
и 
, т.е. 
. Обратно очевидно.
Доказали, что 
- идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

■
Лемма 4: Подмножества вида 
пространства 
можно охарактеризовать как компактные открытые множества.
Доказательство.

Действительно, если семейство 
открытых множеств покрывает множество 
, т.е. 

, то 
Отсюда следует, что 
для некоторого конечного подмножества 
, поэтому 

. Таким образом, множество 
компактно.

Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда 
и можно выделить конечное подпокрытие 
для некоторых 
.
Покажем, что I порождается элементом 
.
Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в 
. Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с 
. По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий 
и не пересекающийся с [b). Получаем, 
, т.к. 
(т.е. 
), но 
, т.к. 

, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I) будет только в случае, если 
- главный идеал.■
Предложение 5: Пространство 
является 
- пространством.
Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала 
и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что 
. Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является 
- пространством. ■
Теорема 6: Стоуново пространство 
определяет полурешётку 
с точностью до изоморфизма.
Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки 
и 
изоморфны тогда и только тогда, когда пространства 
и 
гомеоморфны.

Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

Пусть 
и 
гомеоморфны ( 
) и 
. Тогда a определяет компактное открытое множество r(a) 
. Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество 
, с однозначно определённым элементом 
по лемме 4. Таким образом получаем отображение 
: 
, при котором 
. Покажем, что 
- изоморфизм решёток. Если a,b – различные элементы из 
, то 
, следовательно, 
, поэтому 
и 
- инъекция.
Для произвольного 
открытому множеству 
соответствует 
и очевидно 
, что показывает сюръективность 
.
Пусть a,b – произвольные элементы из 
. Заметим, что 
. Открытому множеству 
при гомеоморфизме 
соответствует открытое множество 
, а 
соответствует 
. Следовательно, 
= 
. Поскольку 
= 
, то 
, т.е. 
■
Литература.
1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.
2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.
Далее,
В дальнейшем, через
Множества вида
Обозначим через
Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:
Тогда множества вида
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда
но 0 лежит в любом идеале, а значит
2) Возьмём произвольные идеалы
Пусть
Обратное включение очевидно.
2) Пусть
Доказали, что
Лемма 4: Подмножества вида
Доказательство.
Покажем, что I порождается элементом
Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в
Предложение 5: Пространство
Доказательство.
Рассмотрим два различных простых идеала
Теорема 6: Стоуново пространство
Доказательство.
Нужно показать, что две полурешётки
Для произвольного
Пусть a,b – произвольные элементы из
Литература.
1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984.
2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.
3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.