Характеристика чертежа-задания показывает, что за­дачи на построение делятся на два существенно различ­ных вида:                         
Задачи «метрические», в которых требуется построить геометрический образ по данным элементам, имеющим определенные размеры, но не определенными по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в задаче геометрический образ может занимать произволь­ное положение на плоскости (пример 1).
Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического образа выполняется на осно­ве данных элементов, из которых хотя бы один определен по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический образ должен занимать определенное по­ложение на плоскости (относительно данных элементов, пример 2).

 

2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений.

В теории геометрических построений каждый инстру­мент выполняет свойственную только ему операцию. Описание этой операции является его абстрактной характеристикой и дает возможность указать на те эле­менты чертежа, которые могут быть построены при од­нократном использовании того или иного инструмента.
Обычно на практике несколько «абстрактных» инст­рументов объединяются в один (например, чертежный треугольник является комбинацией односторонней ли­нейки, прямого и двух острых углов). Часто также один инструмент используется для выполнения двух (или не­скольких) совершенно различных операций (например, линейка используется для построения прямой, проходя­щей через две заданные точки, и общих касательных к двум данным окружностям). Это дает возможность зна­чительно сократить число используемых инструментов.
Укажем характерные операции для наиболее распро­страненных в школьной практике чертежных приборов и на те элементы чертежа, которые могут быть получены при однократном их использовании.
 Циркуль. Характерная для циркуля операция – проведение окружности данным (или произвольным) ра­диусом с центром в данной (или произвольной) точке.
Таким образом, циркулем могут быть построены:
а)   окружность данного радиуса с центром в данной точке (радиус может быть задан двумя точками);
б)   дуга окружности данного радиуса с центром в данной точке.
Линейка. Характерная операция для чертежной линейки – проведение прямой через две дан­ные точки.
На практике линей­кой пользуются также для построения к дан­ной окружности каса­тельной (рис. 8), проходящей через за­данную вне ее точку, и для построения общих внешних и внутренних касательных к двум окружностям.

Рис. 8
Теоретически эти опе­рации так же строги, как и проведение прямой через две данные точки. Практическая точность в большинстве случаев вполне удовлетворительна. Этот прием часто используется в чертежных работах и при разметке. Итак, при помощи линейки могут быть построены:
а)   прямая, проходящая через две данные точки;
б)   отрезок  прямой,   ограниченный   двумя   данными точками;
в)   луч, проходящий через данную точку и имеющий начало в другой данной точке;
г)  касательная к данной окружности, проходящая через данную вне окружности  точку;
д)   внешние и  внутренние касательные  к двум данным окружностям.
Чертежный треугольник обладает всеми свойствами односторонней линейки. Следовательно, с помощью чертежного треугольника могут быть получены те же элементы, что и с помощью линейки, а также прямая, проходящая через данную точку и образующая с данной прямой угол, равный одному из углов чертежного треугольника.
Транспортир. Характерной операцией для тран­спортира является построение точки, лежащей на луче, проходящем через данную на прямой точку и образующем заданный угол с этой прямой (рис. 9).

Рис. 9
Абстрактная характеристика каждого инструмента может быть использованы для выяснения вопроса о разрешимости задач на построение теми или ины­ми инструментами.
С этой целью в теорию геометрических построе­ний вводится понятие класса конструктивных элементов. К этому клас­су относятся все заданные элементы, а также: прямая, если она определяется двумя конструктивными точками; окружность, если она определяется конструктивным цен­тром и конструктивным радиусом (пара конструктивных точек); точка, лежащая на луче, проходящем через за­данную на конструктивной прямой точку и образующем с этой прямой заданный угол, и, наконец, точки, являю­щиеся пересечением конструктивных линий (прямых и окружностей).
Очевидно, что каждый набор инструментов имеет свой класс К конструктивных элементов.
На основании этого может быть установлен следую­щий критерий разрешимости задачи на построение.
Если искомый элемент (или элементы) принадлежит классу К, определяемому выбранным набором инстру­ментов, то задача является разрешимой при выполнении этими инструментами конечного числа операций.
Отсюда, естественно, следует, что возможность ис­пользования большого числа различных инструментов расширяет, вообще говоря, класс конструктивных эле­ментов и тем самым увеличивает число задач, допускающих точное решение.
В теории геометрических построений вопрос о необ­ходимости привлечения произвольных элементов для ре­шения (точного или приближенного) задач на построе­ние рассматривается в ряде работ; на основании тео­ремы, утверждающей, что при наличии среди заданных элементов двух различных точек класс конструктивных элементов, полученный при использовании циркуля и ли­нейки, образует счетное, всюду плотное множество, до­казывается, что любая задача на построение может быть решена при помощи циркуля и линейки без при­влечения произвольных элементов либо точно, либо при­ближенно с любой степенью точности, если среди задан­ных элементов имеются по крайней мере две различные точки.

 

2.2.3. Выполнение геометрических построений.

Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели: обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению задач на построение.
Естественно, что каждому из этих вопросов в различ­ных классах должно быть уделено различное внимание. Рассмотрим первый из них.
В VI классе основное внимание обращается на обуче­ние учащихся выполнению простейших геометрических построений и их систематическому использованию при формировании и закреплении важнейших понятий: перпендикулярность и параллельность прямых, главнейшие линии в треугольнике, симметрия относительно прямой и т. д.
К концу VI класса учащиеся должны получить уже довольно прочные навыки в решении ряда конструктив­ных задач, включенных в программу VI класса, цен­ных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего изучения материала.
К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия над отрезками (в том числе деление отрезка пополам) при помощи масштабной линейки или циркуля и линейки (немасштабной); приближенное деление угла пополам циркулем; построение угла, равному данному, транспортиром или циркулем и линейкой; построение прямого угла чертежным треугольником; действия, производимые над углами малкой, транспортиром, цирку­лем и линейкой (немасштабной); построение парал­лельных и перпендикулярных прямых различными при­емами.
Умение фактически выполнять указанные выше по­строения является совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению кон­структивных задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить внимание со­держанию и методам их решения, а не только технике выполнения самого построения.
Кроме того, овладение рядом построений способствует лучшему усвоению новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий, как высота треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся умели строить прямые углы, перпендикулярные прямые и т. д.
Правильно выполненный чертеж имеет большое зна­чение для отыскания плана решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный чертеж часто не позволяет «увидеть» нужные соотноше­ния. Более того, неверный чертеж часто направляет мысль учащихся по неверному пути.
В VII классе перед учителем стоят более широкие задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых построений и проводится систематическое закрепление приобретенных в VI классе умений; как и ранее, геомет­рические построения используются при формировании и закреплении геометрических понятий, а также для дока­зательства существования некоторых геометрических фигур. (Начало этой работы, доказательство существова­ния определяемых объектов, проводилось в VI классе; понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника, параллельных прямых вводились там на основе построе­ния.)
Новыми построениями для учащихся VII класса яв­ляются: построение центрально-симметричных фигур, деление отрезка на равные части, построение окружно­сти по трем ее точкам, деление дуг окружности на рав­ные часта, деление дуг и хорд окружности пополам, про­ведение касательной к окружности через данную точку.
Все эти построения, выполнение которых в большин­стве случаев основывается на материале, изученном в VI классе, используются затем при решении конструк­тивных задач. Необходимо, чтобы учащиеся умели фак­тически выполнять их при любом взаимном положении заданных элементов.
В VII классе продолжается формирование умений учащихся выбирать различные приемы построения в за­висимости от условия задачи. Так, например, перед ними может быть поставлен вопрос, каким способом они будут проводить через данную точку касательную к дан­ной окружности, если:
а)   точка лежит вне окружности и центр окружности неизвестен,
б)   точка лежит на окружности и центр окружности неизвестен,
в)   точка лежит на окружности, а центр окружности находится  вне чертежа.
Построение касательных для всех этих случаев уча­щиеся не должны заучивать. Они должны лишь пред­ставлять, как нужно поступить в зависимости от условия задачи, какие соотношения между искомыми и данными, элементами надо использовать для построения.             
В VIII классе число новых построений весьма ограничено – это деление отрезка в данном отношении, по­строение фигур, подобных данным, построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций и построение правильных многоугольников. Таким образом, основное внимание здесь уделяется закреплению ранее изученных построений и решению задач на построение.

 

2.2.4. О некоторых вопросах методики обучения решению задач на  построение.

При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.
Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотли­вой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение – совер­шенно новый для учащихся вид работы. Во многих слу­чаях отыскание хода  решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.
Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоя­тельности в отыскании решения.
С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на построение, надо обеспечивать им неко­торую самостоятельность, а тогда, когда это необходи­мо, направить мысль учащихся на желаемый путь. Иногда, может быть, даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать им уверенность в работе, заинтересовать их решением за­дач.
Мера самостоятельности в работе, выполняемой уча­щимися,  должна определяться  учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности решаемой задачи.

 

2.2.5. Введение задач на построение.

Продумывая систему работы по обучению школьников геометрическим построениям, особое внимание следует уделить методике обучения решению задач на построение.
Для подготовки учащихся к возможно более самостоятельному решению задач на построение целесооб­разно в ряде случаев вначале предлагать учащимся за­дачи подготовительного характера. Они могут быть как на построение, так и на вычисление, и на доказатель­ство. Ниже приводятся три примера использования вспомогательных задач.
Пример:
Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.
Угол АВС равен 62⁰. Через вершину угла про­ведена прямая МN, перпендикулярная его биссек­трисе. Вычислить углы, которые образует эта пря­мая со сторонами угла.
Пример:
Через точку Р, данную внутри угла АВС, про­вести прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки.
Стороны угла пересечены прямой, перпендику­лярной его биссектрисе. Доказать,  что  отрезки сторон угла, отсекаемые этой прямой, равны.
Пример:
Две точки А и В находятся по одну сторону прямой L. На прямой L найти такую точку С, что­бы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.
Отрезок АС перпендикулярен прямой L и де­лится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой L. Доказать, что точ­ка В находится на одинаковом расстоянии от то­чек А и С.
Такая подготовительная работа важна в начале обу­чения решению задач потому, что у учащихся VI-VII классов еще очень слабы связи между различными фактами, изучаемыми в геометрии. Кроме того, на первых порах нельзя допускать нагромождения трудностей. Необходимо работу учащихся сделать насыщенной, но посильной.
Иногда полезно от решения практической задачи перейти к задаче на построение. Здесь некоторая сюжетная задача (а стало быть, более понятная) будет сведена к математической.
В некоторых случаях к одной и той же задаче полез­ло обращаться несколько раз, с тем чтобы показать уча­щимся различные способы ее решения.
В ряде случаев различные по содержанию практические задачи сводятся к одной и той же математической. Так, решение следующих двух задач сводится к реше­нию первой задачи предыдущего примера.
В каком месте следует построить переправу, чтобы расстояние от пункта А до пункта В было наименьшим (рис. 19).
Шириной реки в данном случае пренебрегаем.
Луч из источника света А отражает от экрана Е так, что отраженный луч проходит через точку В. Найти точку экрана, в которой отразился луч света.
Еще пример (первая задача – геометрическая, три последующие – практические):
 Две точки А и В расположены по одну сторону прямой МN.   На этой  прямой  найти  такую  точ­ку С, чтобы АСМ = ВСN.
В какую точку нужно направить луч света из точки А, чтобы он, отразившись от непрозрачного экрана а, попал в точку В (рис 20)?

                              Рис. 19                                         Рис. 20
В какую точку нужно направить упругий шар А, чтобы он, отразившись от упругой стенки, прошел через точку В (рис. 20)?
К двум точкам А и В подвешена гибкая нерастяжимая нить, на которую надето тяжелое коль­цо. Найти положение равновесия кольца на нити.
Часто оказывается, что математическая задача весь­ма проста, но если вложить в нее практическое содержа­ние, то она становится недоступной. Поэтому полезно в VI–VIII классах рассматривать с учащимися примеры того, как различные практические задачи сводятся к одной и той же математической.
Большое образовательное значение имеет ознаком­ление учащихся с приборами, применяемыми на практи­ке при решении некоторых конструктивных задач. Обычно эта работа проводится после решении соответствующих задач на построение. Так, например, после рассмотрения свойства перпендикуляра, проведенного к хорде через ее середину, учащимся предлагается найти центр изображенной на чертеже окружности (возможный порядок решения задачи дан на рис. 21 и 22).

Рис. 21
                                  

Рис. 22

 

2.2.6. Этапы решения задачи на построение.

Анализ.
Анализ – это важный этап решения задачи, так как здесь мы составляем план построения, по существу, находим решение. Устанавливаются такие зависимости между данными и искомыми элементами, которые дают возможность построить искомую фигуру. При обучении решению задач па построение целесообразно подчерки­вать аналогию, существующую между отысканием ре­шения задач по арифметике, алгебре и геометрии ни вычисление и доказательство и анализом задач на по­строение. Ученик не должен считать, что для нахождения решений задач на построение нужны совершенно новые приемы. Поэтому следует помочь ученикам увидеть ана­логию в применяемых приемах для отыскания решении задач на построение и задач из других дисциплин.
При решении задач по алгебре на составление и ре­шение уравнений мы устанавливаем такие зависимости между искомыми и данными величинами. Вначале вни­мательно изучается условие задачи, рассматривается смысл той или иной данной величины. Для более трудных задач используем иллюстрации в виде чертежа или схемы. Предполагая задачу решенной, мы некоторую величину обозначаем буквой х (или другой буквой) и считаем ее известной. Устанавливаем зависимости между этой величиной и величинами, данными в условии задачи, причем из многообразия различных зависимостей выби­раем те, которые позволят решить задачу, в данном случае составить уравнение.
Сделаем подобный анализ задачи на по­строение: «Построить треугольник, зная    основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон».
Чтобы найти решение, нужно вначале изучить усло­вие задачи, посмотреть, какие элементы искомого тре­угольники даны. Для этого начертим произвольный тре­угольник А₁В₁С₁ (рис. 25) и отметим элементы, соответ­ствующие данным по усло­вию. Пусть это будет сторо­на А₁С₁ и  угол С₁А₁В₁. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нуж­но показать и разность.

Рис. 25
Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки С₁ или от точки В₁ либо на большей отложить меньшую и вновь отклады­вать как от точки В₁, так и от точки А₁. Если разность будет около точки В₁, то тогда данные не связаны между собой и нельзя наметить план решения. Если же В₁ А₁ отложим от точки В₁ на В₁С₁, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон – будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможно­сти наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру Д₂C₁A₁B₁. Лучше всего ввести разность, откладывая B₁D₁ = B₁C₁, так как в этом  случае мы уже сможем восстановить фигуру С₁А₁Д₁. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.
Построив в произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А₁ и С₁. Зная  угол С₁А₁В₁, мы можем найти и положение точки D₁, где D₁А₁ = В₁А₁ – В₁С₁. Остается рассмотреть, как построить точку В₁ зная положение точки D₁. Так как С₁В₁ = В₁D₁, то точка В₁ равноудалена от точек С₁  и D₁,  поэтому она должна лежать на перпендикуляре Р₁Q₁, проведенном к отрезку С₁D₁  через его середину. Точка пересечения прямой Р₁Q₁ и луча А₁D₁ и будет точкой В₁. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вер­шина совпадает с концом этого отрезка. На второй сто­роне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих кон­цов основания и построенного отрезка. Точку пересече­ния этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основании и получаем искомый треугольник.
Из этого примера видно, что при отыскании реше­ния задачи на  построение,  как и для  арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Сле­дуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру. Название этапа анализ не означает, что для отыскания решения при­меняется только аналитический метод, подобно тому как и при доказательстве, которое иногда называют синтезом, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
Анализ задачи связан с исходным чертежом, по­этому его необходимо выполнять аккуратно, а фигура должна иметь наиболее общую форму. Если речь идет о треугольнике, то нужно брать разносторонний тре­угольник; о трапеции, то не равнобочную трапецию; если о четырехугольнике вообще, то и чертим четырехуголь­ник, который не был бы ни параллелограммом, ни трапе­цией. Если, например, решая задачу на построение тре­угольника, выберем для анализа равносторонний тре­угольник, то учащиеся вместо нужных зависимостей между данными и искомыми элементами могут исполь­зовать и другие связи, которые возникнут у них под впе­чатлением равносторонности треугольника.
Чертеж необходимо выполнять аккуратно чертежны­ми инструментами, и лишь после приобретения навыков в вычерчивании отрезков без линейки можно выполнять его от руки. Навыки выполнения чертежей или рисунков от руки особенно необходимы для учащихся, которые в будущем будут иметь дело с техникой, где они должны уметь делать эскизы деталей. С этим они не смогут спра­виться, не имея простейших навыков технического рисо­вания и черчения.
Чертеж должен строго соответствовать условию зада­чи. В ряде случаев целесообразно при анализе построе­ние чертежа начинать не с данных, а с искомых элемен­тов фигуры. Если, например, искомая окружность по условию касается некоторой прямой и некоторой окруж­ности в данной на ней точке, то и на чертеже для анализа мы должны видеть их касающимися. Следовательно, вначале надо построить окружность, изображающую искомую, и пристроить касающиеся ее произвольные прямую и окружность.
Таким образом, для отыскания решения задач на построение первое время необходимо использовать на­выки, приобретенные учащимися при решении арифме­тических задач, а затем уже и навыки, приобретенные при решении основных задач на построение и других математических задач. Используем также теоретический материал, в том числе и специальные методы геометри­ческих построений.
Построение.
1. Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выпол­нить, согласно анализу, для решения задачи; 2) непо­средственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов – значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, вы­полнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи. Например, до­пустимыми построениями, которые определяют понятие «с помощью циркуля и линейки», являются следующие: 1) построение прямой, проходящей через две данные точки; 2) построение точки пересечения двух данных прямых; 3) построение окружности данного радиуса при заданном центре; 4) построение точек пересечения двух данных окружностей; 5) построение точек пересечении данной прямой и данной окружности.
Уже при решении простейших задач мы встречаемся с такими случаями, когда последовательность элемен­тарных построений, нужных для построения искомой фигуры, указана, а практически осуществить их нельзя. Например, требуется построить треугольник по трем сторонам. Всегда можно указать последовательность построений для решения этой задачи, но если одна из сторон больше суммы двух других, то треугольника не получим. И в стереометрии при решении конструктивных задач мы не всегда можем, например, выполнить постро­ение плоскости или сферы так, как мы строим на пло­скости прямые и окружности. И тогда главным является уже не фактическое построение, а указание, в какой последовательности нужно выполнять определенные построения, чтобы решить задачу. Например: «Через дан­ную точку А провести прямую, параллельную данной прямой МN, не. проходящей через точку А». Для этого через точку А и прямую МN  проводим плоскость и в ней через точку А проводим прямую, параллельную прямой МN. Задача считается решенной, хоти эти построения мы выполнить не можем.
2. Перечисление элементарных построений в разделе «Построение» не всегда является повторением анализа. При анализе мы находим лишь план решения (как и при решении арифметических задач), а потом уже осущест­вляем его, записывая в форме вопросов с выполненными соответствующими действиями; недостаточно лишь уста­новить, как мы будем решать задачу, а нужно привести и само решение.
И при решении конструктивных задач, наметив план построении, нужно еще указать, как оно выполняется, так как нередко одно и то же построение, указанное в ана­лизе, можно осуществить различными способами.
Решение одной и той же задачи несколькими спосо­бами усиливает интерес учащихся к задачам на построе­ние и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении раз­личных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные за­дачи. Они применяют в первую очередь знания изучае­мого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изобретут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем ре­шение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.
Конечно, если это делать до того как ученики при­обретут прочные навыки в отыскании решений различ­ными способами, то результаты окажутся отрицатель­ными. Внимание учащихся каждый раз будет распылять­ся между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.
Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.
Сам учитель должен выбирать тот способ решения, который является наилучшим и с теоретической и с мето­дической точек зрения. Нельзя руководствоваться только простотой построения, понятием геометрографии. Следует учитывать не только трудность выполнения построе­ния, но и трудности анализа, доказательства и исследо­вания.
3. Из приведенных примеров видно, что решение не всегда сводится к элементарным построениям, а чаще всего к так называемым основным построениям или основным задачам на построение. Подобно тому, как при доказательстве теорем используются и результаты ранее изученных теорем, а не только аксиом, так и при решении задач на построение при анализе и описании построения используются ранее решенные задачи. Задачи, решение которых в дальнейшем часто используется, обычно отно­сят к основным задачам на построение. Список основных задач на построение определяется учебником, но надо помнить, что задача на построение может или не может быть отнесена к основным и в зависимости от степени подготовки учащихся.
В средней школе нецелесообразно при решении каждой задачи требовать от учащихся в письменной или устной форме подробного описания построений. Такое описание, особенно в VI-VII классах, требует большой затраты времени. Интерес учащихся к решению задач на построение понижается, ибо главной трудностью стано­вится изложение решения, сводящееся иногда к целым «сочинениям».
Если анализ задачи выполнен достаточно подробно, то и при устном пояснении к решению, и в письменных работах достаточно, если ученик указывает, например: «Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе и ка­тету», – и верно выполняет это построение. Учитель все­гда в состоянии проверить, правильно ли выполнил ученик построение, если даже описание и отсутствует. Нередко, разобрав с учащимися условие задачи и на­метив план построения, предлагаем учащимся выполнить это построение в тетрадях, не требуя каких-либо поясне­ний в письменной форме.
Важна и цель, для достижения которой решается та или иная задача на построение. Если на данном уроке, например, главная цель решения задач – обучение отыс­канию решений, то мы стремимся научить учащихся анализировать условие задачи, уметь видеть на чертеже нужные фигуры и имеющиеся отношения между фигура­ми и их элементами. В таком случае незачем усложнять работу требованием подробного описания построения. Все внимание учащихся должно быть сосредоточено на главном, и не нужно распылять его на второстепенные вопросы, не имеющие прямого отношения к поставленной цели.
Если на первых порах решения задач на построение мы всегда требуем непосредственного выполнения по­строения инструментами, то нередко, когда убеждены, что все учащиеся класса сумеют выполнить чертеж с по­мощью инструментов, разрешаем учащимся указывать лишь план построении, выполняя чертеж от руки, а ино­гда просто ограничиваемся лишь составлением плана построения, то есть анализом, или с проведением еще исследования.
4. С введением геометрического материала в курс арифметики учащиеся уже в V классе приобретают навыки в применении таких инструментов, как линейка, циркуль, чертежный треугольник, знакомятся с устройством и применением транспортира. При вычерчивании секторных диаграмм, а также на уроках географии они закрепляют свои знания об устройстве транспортира и приобретают навыки в применении его для измерения углов и для построения заданных углов. На уроках труда в школьных мастерских пятиклассники при разметке при­меняют линейку, циркуль, угольник. Эти навыки закреп­ляются в VI классе при изучении первой темы курса геометрии «Основные понятия».
При изучении свойств прямой учащиеся выполняют построения всевозможных прямых через одну, две, три, четыре точки. Выполняя необходимые построения, они убеждаются, что через одну точку можно провести сколь­ко угодно прямых, через две – только одну, через три точки можно провести три прямые или только одну, четы­ре точки могут определять только одну прямую, или четыре прямые, или шесть прямых. Это содействует раз­витию пространственных представлений.
Учащиеся должны приобрести прочные навыки в вы­полнении действий над отрезками и в выполнении нало­жения одного отрезка на другой, что существенно важно для дальнейшей работы. Здесь они закрепляют навыки в применении линейки и циркуля, так как часто нужно уметь «взять» отрезок циркулем, отложить его на произ­вольной прямой, сравнить отрезки путем наложения одного на другой. Применение транспортира, причем не только в качестве малки, но и для измерения углов, облегчает усвоение раздела «Сравнение углов. Действия над углами: сложение, вычитание, умножение на целое число. Биссектриса угла».
Доказательство.
1. После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элемен­тов определенным построением, удовлетворяет всем усло­виям задачи. Значит, доказательство существенно за­висит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от наме­ченного при анализе пла­на построения, а поэтому, и доказательство в каж­дом случае будет свое, Рассмотрим задачу: «По­строить трапецию по четы­рем сторонам» (рис. 26).
 Рис. 26
Проведя СК||ВА, решение задачи сводим к построению треугольника КСD по трем   сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АК = КС),  а  КD = АD – ВС.   Построим треугольник КСD, и, считая сторону АD построенной, допол­ним его до трапеции различными способами:
1) Проведем ВС||АD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А Доказательство све­дется к установлению равенства: АВ = КС.
2)   Если провести   АВ||КС  и ВС||АD,  то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.
3)   Если   провести   прямую СВ||DА   и на ней найти точки В и В₁, отстоящие от А на расстоянии, равном бо­ковой стороне, то в этом случае точка В₁ будет посторон­ней и лишь точка В будет искомой, причем доказатель­ство (ВС = АК) уже усложняется.
4)   Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В₂  только точка В будет искомой.
Третий и четвертый случаи подчеркивают необходи­мость доказательства. В анализе мы находим необходи­мые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и доста­точными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.
2.  При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане по­строения, нет необходимости доказывать,  что фигура, полученная из данных элементов таким построением, является искомой. Например: «Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними». Здесь доказатель­ство сводится к простой проверке, такие ли взяли сторо­ны, как данные, и будет ли построенный угол равен дан­ному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием  построения анализу и данным условия задачи.
Но иногда не все условия отражаются в плане анали­за и при построении. Например, в случае (3) точка В действительно должна лежать на ВС и отстоять от точки А на данном расстоянии. Но этого недостаточно, так как отрезок АВ должен быть параллельным СК.
Так как доказательство зависит от избранного реше­ния, то, не ознакомившись с анализом и построением, нельзя сказать, правильно пли неправильно проведено доказательство.
3.  Доказательство не просто зависит от анализа и по­строения, между ними     существует взаимосвязь и взаимообусловленность.  Построение проводится по пла­ну,  составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являют­ся своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказыва­ется нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения.
4. Для упрощения доказательства целесообразно предлагать учащимся и такие задачи на доказательство, которые не только служат для развития математического мышления или для пополнения объема знаний, но и могут быть использованы при решении задач на построение. Например, при изучении частных видов параллелограм­ма решаем задачи:
1)   Если у параллелограмма диагонали взаимно пер­пендикулярны, то такой параллелограмм есть ромб.
2)   Если у параллелограмма диагональ делит один из углов пополам, то такой параллелограмм есть ромб.
3)  Если у параллелограмма диагонали равны, то та­кой параллелограмм есть прямоугольник и т. п.
При решении задач на построение методом подобия, выбрав центр подобия и найдя коэффициент подобия, выполняем подобное преобразование многоугольника, подобного искомому, почти всегда не тем способом, который изложен в учебнике А. П. Киселева, и всякий раз вынуждены проводить отдельное доказательство, что по­лученный многоугольник – искомый. Целесообразно ознакомить учащихся с общепринятым способом по­строении, основанным на том, что у гомотетичных многоугольников сходственные стороны попарно параллельны. Благодаря этому при решении почти всех задач на по­строение многоугольников методом подобия доказательство, что полученный многоугольник искомый, значи­тельно упрощается.
5.  Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое раз­личие. При доказательстве теорем в большинстве случа­ев без труда выделяют условие и заключение. При ре­шении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении кон­структивных задач в классе целесообразно иногда спе­циально выделять, что дано и что требуется доказать. Например, при решении задачи: «Построить ромб по двум его диагоналям» предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). Однако при решении задач дома и в кон­трольных работах мы не требуем оформления доказа­тельства с выделением отдельно условия и заключения.
Нет надобности требовать проведения особого дока­зательства в задачах, где правильность решении очевид­на. А иногда, если даже правильность решении и не усматривается непосредственно, учитель, учитывая на­значение решаемых задач, может не требовать доказательства, предупредив об этом учащихся.
Исследование.
Сущность и значение исследования.
Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовле­творяющую определенным условиям, которые в боль­шинстве своем задаются размерами или положенном некоторых геометрических образов. Условия задач фор­мулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения.
Допустимые значения определяются наиболее есте­ственным образом. В задаче: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними» допусти­мыми значениями для а и b будут всевозможные отрез­ки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать все­возможные значения от 0° до  180°.
В задаче: «Построить окружность, касающуюся длиной окружности в данной на ней точке и данной прямой» прямая может занимать любое положение на плоскости; окружностью также может быть любая окружность на плоскости, но так как окружность характери­зуется положением центра и величиной радиуса, то мож­но сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого 0 < R < ∞. (Иногда   рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным чистом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи.) Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плос­кости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.
Иногда невозможность построения искомой фигу­ры очевидна, если хоть один из данных элементов не принадлежит области допустимых значений. Например: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу между ними в 240°». Такая задача решения не имеет, так как любой угол треугольника всегда меньше 180°.
Но если все данные принадлежат соответствующей области существования, то в большинстве случаев много­образие возможных положений, характер изменения данных приводит, как и в алгебре при решении задач с параметрическими данными, к постановке вопросов: При каких данных задача не имеет решения? Как изме­няется ответ при определенном характере изменения дан­ных? Каковы должны быть значения исходных данных, чтобы получить намеченный ответ?   и  т.   п.
При анализе, а значит, и при построении всегда исходим из предположения, что искомая фигура сущест­вует, не учитывая всего многообразия данных, их разме­ров и взаимных соотношений. Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необхо­димые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы долж­ны установить, при всяком ли выборе данных задача имеет решение и если имеет, то сколько. Например: «Построить окружность, проходящую через три данные раз­личные точки». Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача реше­ния не имеет.
Если при определенном сочетании данных общее ре­шение не применимо, то необходимо дать новое решение, которое часто не незначительно отличается от общего или является его вырожденным случаем. Иногда план реше­ния сохраняется, по его осу­ществление с помощью ин­струментов выполняется не так, как   в общем случае.
В  средней школе обычно ограничиваются лишь двумя моментами: 1)  выясняют число решений в зависимости от данных и 2) изменяют или упрощают решение для отдельных случаев. Правда, для некоторых задач в исследовании дается еще и ответ па вопрос: при каких условиях искомая фигура удовлетворяет тем или иным дополнительным условиям. Например: «Около данного треугольника описать окружность. Выяснить, когда центр этой окружности находится внутри треугольника, вне треугольника или принадлежит одной из его сторон». Ответ на последний вопрос также дается при исследовании.
Исследование является составной частью реше­ния. Решение задачи на построение можно считать за­конченным, если узнаем, сколько искомых фигур полу­чим при определенных данных, и, в частности, указано, когда не получим искомый геометрический образ. Но ис­следование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное  значение.
В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мы­шления. Они видят, что изменение данных задачи вызы­вает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с за­костенелыми, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением  других.
Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на по­строение является хорошим материалом для развития логического мышления  учащихся.
Заметим, что и при решении задач на доказательст­во или вычисление учащимся нередко нужно для по­строения правильного чертежа также проводить иссле­дование. Часто необходимо предварительно выяснить, какой вид данного треугольника (остроугольный или ту­поугольный), какие стороны принять равными данным отрезкам. Например, при решении задачи: «Определить периметр равнобедренного треугольника со сторонами в 7 см и 3 см» вначале нужно установить, что основанием является отрезок длиной 3 см, а не 7 см.
Нередко уже при анализе задач на построение мы вынуждены учитывать различные положения данных и искомых элементов. Например, решая задачу: «Дана окружность и на ней три точки М, N и Р, в которых пере­секаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, исходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник», в первую очередь нужно выяснить, что точка N (соответ­ствует биссектрисе) расположена между М и Р, рассмат­ривая дугу  MP,  меньшую полуокружности.
Приведем еще такой пример: «На окружности даны две точки А и В. Из этих точек провести две параллель­ные хорды, сумма которых дана». Решение задачи легко свести к построению вписанной трапеции с заданной сум­мой оснований, вершинами которой являются точки А и В. Но решение зависит от того, будет ли АВ боковой сто­роной трапеции или ее диагональю. Вновь анализ вклю­чает в себя элементы исследования.
Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, ему и в школе, и в методической литературе уделяется недоста­точно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этап при решении задач на построение: не найдя реше­ния, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наи­большее количество ошибок допускается именно при исследовании.

2.2.7. Методы решения задач на построение.

Метод геометрических мест.
1. Понятие «геометрическое место точек», являющее­ся синонимом понятия «множество», одного из основных понятий современной математики, вводится в элементар­ной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово «место» как бы отвечает на вопрос, где «помещаются» точки, обладающие тем или иным свойством.
Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение реше­ния для многих практических задач. Например, для ре­шения задач на сопряжение окружностей и прямых, с ко­торыми учащиеся встречаются довольно часто на уро­ках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготов­лении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места. Без знания геометрических мест центров окружностей, касающихся данных прямых или окружностей при определенных ограничениях, семиклассники не смогут на уроках чер­чения понять способы решения задач на сопряжение углов дугами, сопряжение окружности с прямой при помощи дуги данного радиуса и т.п.
Следует учитывать, что понятие «геометрическое ме­сто точек» необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функции определяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графический метод.
В VI-VII классах нельзя отказываться и от решения задач на построение методом геометрических мест, од­ним из основных методов конструктивной геометрии.
Решая задачи на построение, учащиеся учатся при­менять свои знания, ибо они должны сами отвечать на поставленные вопросы. В настоящее время главной задачей учителей математики является не столько сообще­ние математических фактов, определений, формул, тео­рем, сколько необходимость учить детей мыслить, учить их самостоятельно  работать.
2.  Учащиеся VI класса не сразу сознательно, глубоко усвоят понятие «геометрическое место точек». Важно, чтобы они с данными словами связывали более полную группу геометрических фигур, чтобы понятие охваты­вало целый класс, а не один – два отдельных примера. Учащиеся должны видеть различные примеры геометри­ческих мест точек в различных формулировках, чтобы на основе анализа и синтеза осознать общность этого понятия, охватывающего обширный класс геометриче­ских фигур, создать себе соответствующее представление об  этом понятии.
Трудным для понимания шестиклассников является и абстрактное понятие «множество». Приводимые при­меры множеств (множество учащихся, деревьев в саду и т.п.), в большинстве своем, есть конечные множества, а почти все геометрические места точек, рассматривае­мые в школьном курсе геометрии, являются бесконечны­ми точечными множествами.
3.  Понятие геометрического места точек, обладаю­щих некоторым свойством, вводим на примере геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. После изучения признаков равенства прямоуголь­ных треугольников решаем задачу: «Найти точку, рав­ноудаленную от двух данных точек А и В» (рис. 27).
       Рис. 27  
Учащиеся обычно указывают лишь точку О, середину отрезка АВ. А нет ли на плоскости еще точек, равноуда­ленных от А и В? При построе­нии с помощью циркуля не-  скольких таких точек учащиеся самостоятельно  припоминают свойство точек оси симметрии и говорят, что точек, равноудаленных от А и В, будет много, все они лежат на оси симмет­рии данных точек А и В.
Можно непосредственно, основываясь на признаках ра­венства прямоугольных тре­угольников, доказать, что всякая точка, равноудаленная от данных точек А и В, лежит на их оси симметрии, то есть на перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ через его середину, и наоборот, всякая точка этого перпендику­ляра равноудалена от точек А и В.
После этого даем определение геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, как множест­ва всех точек, обладающих этим свойством, и только та­ких точек, и предлагаем учащимся сформулировать ре­зультат решения задачи и записать в тетради, что гео­метрическое место точек, равноудаленных от двух точек, есть ось симметрии данных точек.
Здесь впервые встречаемся не с отдельной, фиксиро­ванной точкой, а с любой точкой прямой. До этого уча­щиеся почти всегда имели дело с неподвижными, опре­деленными по положению точками, а здесь точка может перемещаться некоторым образом, но все время она об­ладает определенным свойством. Поэтому большую пользу окажет учащимся наглядное пособие с непо­движными точками А и В и перемещающейся по их оси симметрии точкой О, соединенной резинкой с точками А и В, с помощью которого хорошо разъяснить смысл выражения: «Любая точка оси симметрии равноудалена от А  и  В».
Примечание. Включение в определение лишних с научной точки зрения слов «и только таких точек» вызвано педагогическими соображениями. В противном случае в определении явно не выделяется необходимость доказательства двух взаимно обратных теорем для утверждения, что та или иная фигура является геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством.
4. Целесообразно в качестве домашнего задания к этому уроку предложить учащимся повторить определе­ние окружности (§ 12 по учебнику Н. Н. Никитина). То­гда на уроке, уточнив, что все точки окружности нахо­дятся от центра на одном и том же расстоянии, а всякая точка, взятая внутри (вне) окружности, находится от ее центра на расстоянии, меньшем (большем) радиуса, делаем вывод, что окружность можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О.
Предлагаем учащимся самостоятельно найти все точки, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем чем R. И при разборе этого задания подчерки­ваем, что геометрическим местом точек может быть пря­мая, окружность и даже круг, а в дальнейшем будет показано, что геометрическим местом точек, обладаю­щих некоторым свойством, может быть луч, отрезок прямой, две прямые или две окружности и даже отдельные точки. Разбирая такие конкретные примеры, мы пока­зываем учащимся разнообразие видов тех множеств то­чек, которые могут быть геометрическими местами точек.
Затем надо показать учащимся, что одно и то же гео­метрическое место точек может встречаться в различ­ных формулировках, для чего сравниваем, например, из­вестное им геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, с такими, как геометрическое место точек, равноудаленных от концов дачного отрезка; геометрическое место вершин равнобедренных треуголь­ников с общим основанием (середина основания уже исключается).
5. Применяя эти геометрические места точек, решаем задачи методом геометрических мест, начиная с простей­шей задачи. Какие же задачи считать простейшими?
Сущность метода геометрических мест состоит в сле­дующем:
1)   Решение задачи сводим к отысканию точки, удо­влетворяющей  определенным  условиям.
2)   Отбрасываем одно из этих условий, получим гео­метрическое место точек, удовлетворяющих оставшимся условиям.
3)   Отбрасываем затем какое-нибудь другое условие, получим  новое геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.
4) Искомая точка, удовлетворяющая всем условиям, является точкой пересечения полученных геометрических мест.
Какую задачу ни возьмем, одновременно второй и третий этапы отсутствовать не могут, ибо тогда это не была бы задача на метод геометрических мест. Но без одного из этих этапов можно обойтись, если в условии указать геометрическую фигуру, которой должна при­надлежать искомая точка. Чтобы избежать и первого этапа, достаточно задачу сформулировать в виде: «Най­ти  точку...».
Следовательно, простейшими задачами на метод гео­метрических мест будут задачи вида: «На какой-либо фигуре найти точку, удовлетворяющую определенным условиям.
Метод осевой симметрии.
1. Осевая симметрия – это первый из видов движе­ния, преобразования, с которым учащиеся встречаются в  систематическом   курсе  геометрии.
В настоящее время в геометрии большое значение имеют конструктивные навыки, при помощи которых учащиеся овладевают методами преобразования одних геометрических фигур в другие, и постепенно знакомятся с важной идеей геометрического преобразования, кото­рое является аналогом функциональной зависимости в геометрии.
Курсы алгебры и арифметики подчинены одной идее, идее функциональной зависимости. Мы стремимся воспи­тывать у учащихся функциональное мышление, умение находить законы связей между величинами. Подчинив курс геометрии идее геометрических преобразова­ний, аналогу функциональной зависимости, подчиняем все изложение курса математики одной руково­дящей  идее.
В новой программе по геометрии значительное внима­ние уделено геометрическим преобразованиям, то есть таким операциям, когда каждой точке одной фигуры по некоторому закону ставится в соответствие определенная точка другой фигуры. В средней школе из геомет­рических преобразований рассматриваются различные виды движений, а также подобие фигур.
Изучение движения в средней школе принесет ощутимые плоды, если эти преобразования станут осно­вой курса геометрии, а не придатком, органически не связанным с ним. Движение должно служить одним из основных методов доказательства многих теорем геомет­рии в VI-VII классах. Более того, идея движения может быть положена в основу построения значительной части курса геометрии. Излагаемый материал приобретает кинематический характер, значительно облегчается по­нимание учащимися образования и построения геомет­рических фигур. Применяя понятие осевой симметрии, можно значительно усовершенствовать школьный курс геометрии. Например, применение свойств оси симметрии позволяет довольно просто изложить три признака ра­венства треугольников, специальные случаи равенства прямоугольных треугольников и ряд других тем из главы «Треугольники».
2.   Различные виды движений дают возможность ре­шать практически важные задачи на построение, дока­зательство и задачи вычислительного характера. Поэтому все изложение должно сопровождаться упражнениями, среди которых предпочтение следует отдавать задачам на построение и на доказательство. Нужно решать и за­дачи на вычисление, особенно с практическим содержа­нием, но в большинстве случаев при решении таких за­дач геометрическая сторона вопроса в значительной сте­пени поглощается арифметическими и алгебраическими операциями.
3.  Известно, что осознанные знания могут быть полу­чены только в процессе активной и творческой деятель­ности самостоятельно или под руководством учителя. При изучении осевой симметрии имеются большие возможности привлечь учащихся к формированию самого понятия. Действительно, учащиеся неоднократно наблю­дали в жизни примеры симметричных фигур, многие из таких предметов они рисовали или изготовляли на уро­ках в начальной школе и в V классе: вырезали симмет­ричные фигуры из бумаги, рисовали симметричные орнаменты, листья и цветы, изготовляли симметричные предметы из дерева и металла, применяя симметричные инструменты.
Анализируя эти знакомые учащимся примеры, осо­бенно примеры предметов, которые были объектом или орудием трудa учащихся в школьных мастерских, на уроках домоводства или общественно полезного труда, мы постепенно формируем представление о симметрич­ных   фигурах.
Часть работ (изготовление мотыги, планки для граб­лей и т. п.), требующих построения точек, симметричных относительно определенной оси, учащиеся изготавливают до изучения соответствующего материала в курсе геометрии. поэтому при объяснении осевой симметрии, чтобы подчеркнуть значение этого понятия, в качестве симметричных фигур использовали пособия, изготовленные учащимися этого же класса в школьных мастерских, причем выбирали всегда два однотипных пособия 9молотки, стамески), одно из которых сделано аккуратно, точно по чертежу, а второе такое, у которого все размеры выдержаны, но нарушена симметричность. Совместными усилиями учащиеся выяснили, почему второе пособие получилось плохим, и как нужно было правильно сделать разметку.
4.  В школьном курсе геометрии выражение «симмет­рия» имеет двоякий смысл: оно обозначает и вид движе­ния (преобразование) и свойство плоской фигуры, обла­дающей симметрией, которая при соответствующем дви­жении переходит сама в себя. Это различие мы должны учитывать, ибо в преподавании приходится иметь дело с каждым из этих истолкований симметрии. И одна из задач учителя – добиться того, чтобы учащиеся воспри­няли симметрию как один из способов преобразования одной фигуры в другую, а не как свойство неподвижной фигуры.
Поэтому после введения определения симметричных относительно оси точек, внимание учащихся переклю­чаем на практику построения взаимно симметричных относительно оси фигур, для чего решаем задачи  вида:
1) Построить точку, симметричную данной точке от­носительно данной прямой.
2) Построить отрезок (прямую), симметричный дан­ному отрезку (прямой)  относительно данной прямой.
3) Построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной прямой.
4) Построить окружность, симметричную данной ок­ружности относительно  данной  прямой.
5) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно а) его ка­тета;  б) его гипотенузы.
При решении этих задач одновременно устанавливаем и равенство взаимно симметричных отрезков, углов и других фигур, иллюстрируя наши утверждения пере­гибанием чертежа по оси симметрии, что помогает най­ти и сделать понятным способ решения задачи. Напри­мер, при решении задач вида: «Даны две прямые. Най­ти на них точки, симметричные относительно третьей прямой» очень удобно нанести все три прямые на кальку и перегнуть чертеж по третьей прямой. Тогда решение задачи становится очевидным и понятным для всех учащихся. Таким же образом решаем задачи: а) Даны прямая и треугольник. Найти на одной прямой и на кон­туре треугольника точки, симметричные друг другу от­носительно другой прямой, б) Даны окружность и тре­угольник. Найти на окружности и на контуре треуголь­ника точки, симметричные друг другу относительно данной  прямой.
Чтобы показать учащимся важность и необходимость умений и навыков в построении симметричных относительно оси точек, кроме разбора известных уже им при­меров, полезно выполнить разметку какого-нибудь из­делия, которое нужно будет изготовлять в ближайшее гремя.
5.  Обучение должно вестись так, чтобы учащиеся усвоили знания не как изолированные, оторванные от других, а как подготовленные предшествующими зна­ниями, и которые естественно включаются в после­дующие. Поэтому в дальнейшем, где только возможно, следует использовать понятие и свойства осевой симмет­рии и правила построения симметричных фигур при изу­чении новых геометрических образов и при решении до­ступных учащимся задач на построение.
Знание свойств симметричных относительно оси фи­гур позволяет рассматривать решение основных задач на построение с помощью циркуля и линейки до изучения признаков равенства треугольников и понятия геометри­ческого места точек. Сами построения являются для учащихся понятными и естественными.
Действительно, чтобы построить точку, симметричную относительно некоторой прямой данной точке А, не ле­жащей на этой прямой, построим две окружности, про­ходящие через точку А с центрами в произвольных точ­ках О₁, и О₂ данной прямой. Так как для окружностей данная прямая является осью симметрии, то вторая их общая точка А₁ будет искомой точкой. Но этим самым мы решили и задачу: «Через точку А, не лежащую на данной прямой, пронести  перпендикуляр  к этой  прямой,
Аналогичным образом решается и задача о построе­нии оси симметрии двух данных точек; одновременно по­лучаем решение задачи о делении данного отрезка по­полам.
Так как биссектриса угла есть ось симметрии его сторон, то для построения ее достаточно найти на сторонах угла две точки, симметричные относительно искомой оси, каковыми будут точки, находящиеся на равных расстояниях от вершины угла, принадлежащей оси симметрии. В результате задача свелась к предыдущей с той лишь разницей, что достаточно найти одну точку оси, так как вторая точка – вершина угла – нам известна.
Этим же построением решается и задача о проведении к прямой перпендикуляра через данную на ней точку, так как искомый перпендикуляр по существу есть биссектриса развернутого угла с вершиной в данной точке.
Применение осевой симметрии значительно упро­щает и облегчает усвоение таких разделов темы «Окруж­ность», как свойство диаметра, перпендикулярного к хорде, свойство дуг, заключенных между параллельными хордами. Без большой затраты времени можно тщатель­но рассмотреть весьма важный для приложений вопрос о взаимном расположении окружностей, если обратить внимание учащихся на симметричность общих точек двух окружностей относительно их линии центров. Уча­щиеся смогут самостоятельно указать необходимые и до­статочные условия касания двух окружностей, что нуж­но при изучении соответствующих геометрических мест центров окружностей,  касающихся данной.
В VII-VIII  классах  метод осевой симметрии часто применяется вместе с другими методами.
Метод центральной симметрии.
1. В течение двух лет мы знакомили учащихся с цен­тральной симметрией примерно так, как в учебнике Н.Н. Никитина. Рассматривали построение и свойства точек, отрезков и треугольников, симметричных соответствующим данным фигурам относительно некоторой точки О. Затем рассматривали вопрос о центре симмет­рии параллелограмма, решая предварительно задачу: «Если в параллелограмме через точку О пересечения его диагоналей провести произвольную прямую, то отрезок прямой, заключенный между его сторонами, делится в точке О пополам». Получив соответствующий вывод о центре симметрии параллелограмма, вводим понятие центрально-симметричных фигур, подчеркивая, что каж­дой точке М фигуры, имеющей центр симметрии в точ­ке О, соответствует другая точка М₁ этой же фигуры, отстоящая от О на такое же расстояние, как и точка М, и лежащая на прямой МО.
Решали такие задачи на построение с применением центральной  симметрии;
1) Построить треугольник по двум сторонам и ме­диане, проведенной к третьей стороне.
2) Дан угол и точка Р внутри него. Провести через эту точку прямую так, чтобы отрезок ее, заключен­ный между сторонами угла, делился в данной точке пополам.
У большинства учащихся не создавалось правильного представления о применении здесь центральной сим­метрии, они рассматривали эти решения, как решения задач дополнением искомых треугольников до паралле­лограммов.
Причины того, что это понятие оказалось трудным при таком изложении, следующие: во-первых, понятие центральной симметрии точек и фигур вводилось фор­мально, без активного участия учащихся в формирова­нии этого понятия; во-вторых, примеры задач на постро­ение для иллюстрации применения центральной симмет­рии подобраны неудачно; в-третьих, в курсе геометрии по установившейся традиции центральная симметрия не находит должного  применения.
2. Результаты оказались значительно лучшими, когда понятие центральной симметрии начали вводить так же, как и понятие осевой симметрии. Объяснение этого по­нятия сопровождалось показом соответствующих на­глядных пособий, а также изделий, для которых учащи­еся данного класса выполняли разметку, принимая точку пересечения базисных линий за центр симметрии и от­кладывая на одной и той же прямой по разные от этой точки  стороны равные отрезки.
Затем решаем задачи вида: «Построить точку (отре­зок, треугольник), симметричную данной точке (отрезку, треугольнику) относительно данного центра О», устанав­ливая одновременно равенство центрально-симметричных отрезков и треугольников. Чтобы учащиеся поняли, что любые центрально-симметричные фигуры равны, предлагаем им начертить произвольную прямолинейную фигуру и найти центрально-симметричную ей фигуру по отношению к некоторому центру. Поворачивая одну из них на 180^о около центра О, учащиеся убеждаются, что эти фигуры совпадают. Затем, как и в прежнем вариан­те, вводим понятие центрально-симметричных фигур, рас­сматривая предварительно симметрию параллелограмма. Чтобы показать приложение центральной симметрии к решению задач на построение, подбираем задачи, для решения которых требуется применить действительно центральную симметрию, а не дополнение до параллело­грамма.
Метод параллельного переноса.
В средней школе умножение движений не рас­сматривается, и мы не можем вводить параллельный перенос как произведение двух отражений около парал­лельных осей, а вынуждены исходить из свойств парал­лелограммов.
Целесообразно с параллельным переносом знакомить учащихся в процессе решения задач па построение при изучении темы «Четырехугольники».
Имеются задачи вычислительного характера и на доказательство, требующие проведения прямых, парал­лельных боковой стороне трапеции, или в которых уже проведена такая прямая, например:
1)   В трапеции ABCD из вершины В проведена пря­мая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с большим основанием АD. Периметр треугольника АВЕ равен 1м, а длима ED равна 3дм. Определить периметр трапеции.
2)  Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Для решения этой задачи учащиеся проводят прямую, параллельную боковой стороне, чтобы свести доказываемое предложение к свойству равнобед­ренного  треугольника.
Но перенос части фигуры, искусственно отделенной от других элементов, для учащихся более сложен, чем пере­нос всей фигуры. Поэтому можно было бы начинать с ре­шения задачи, требующей переноса окружности. В этих задачах очень простое построение, так как фактически нужно перемещать в заданном направлении на данное расстояние лишь одну точку – центр окружности. Но при таком решении учащиеся не видят, как перемещаются точки окружности, ибо допустимо вращение окружности около центра, а это может привести к неправильному пониманию параллельного переноса. Например, в изве­стном пособии И. И. Александрова первым примером на метол параллельного переноса является задача: «Между двумя окружностями провести отрезок ХУ, делящимся пополам в данной точке А». Приведенное там решение показывает, что вместо параллельного переноса окруж­ности фактически выполнено отражение от точки А, ко­торое можно в данном случае рассматривать как про­изведение параллельного переноса и поворота окруж­ности  вокруг своего центра на 180°.
Таким образом, при решении задач па построение мы применяем метод параллельного переноса, сущность ко­торого состоит в следующем: при анализе какую-нибудь фигуру подвергаем параллельному переносу на некото­рое расстояние в определенном направлении, в результа­те чего получаем вспомогательную фигуру, построение которой или очевидно, или не представляет затруднений. После этого производим обратный перенос и получаем искомую фигуру. Здесь же разъясняем, что параллель­ный перенос фигуры на некоторое расстояние означает, что все ее точки смещаются на одинаковое расстояние в определенном направлении. Следовательно, для опре­деления параллельного переноса нужно знать направ­ление и  величину переноса.
Параллельным перенос можно задать вектором переноса, которым одновременно определял бы и направле­ние и интервал данного переноса, но понятие вектора для семиклассников неизвестно, поэтому мы вынуждены выделять отдельно направление и величину переноса. В дальнейшем при решении всех задач па построение методом параллельного переноса требуем от учащихся указывать как направление переноса, так и расстояние, на которое перемещается каждая точка фигуры.
Метод подобия.
1. Понятие о подобии фигур в курсе геометрии VIII класса обычно иллюстрируется многочисленными примерами подобных фигур, встречающихся в быту, в науке и технике. Используется и имеющийся у учащихся опыт применения подобия при изготовлении планов и карт на уроках географии; при проведении мензульной съемки, если она была проведена до изучения этой темы; при выполнении рабочих чертежей на уроках черчения; при разметке деталей в школьных мастерских по черте­жам,  выполненным  в  некотором  масштабе.
Для лучшего усвоения метода подобия при изучении теоретического материала необходимо проводить подго­товительную работу, в частности, разъяснять, хотя бы в простейших случаях (треугольники, параллелограм­мы), условия, определяющие форму фигуры с точностью до подобия. Так как учащиеся должны уметь выполнять построения вспомогательных фигур, подобных искомым, то нужно повторить изученные ранее методы и приемы геометрических построений, в особенности, метод геомет­рических мест, что можно сделать при изучении пропор­циональности отрезков в связи с новым материалом.
Учащиеся, повторив материал, относящийся к методу геометрических мест, легче воспринимают метод подо­бия. При решении задач методом подобия, как и при ре­шении задач методом геометрических мест, отбрасываем одно из условий, в результате чего задача становится неопределенной. Ее решением при применении метода геометрических мест является бесконечное множество точек, удовлетворяющих оставшимся условиям, а в слу­чае метода подобия получаем бесконечное множество фигур, объединенных одним свойством; все они подобны искомой фигуре. Взяв одну из них, мы с помощью по­добного преобразования, учитывая ранее отброшенное условие, получаем искомую фигуру. Эта аналогия помо­гает  лучше  усвоить  метод  подобия.
2.  При изучении   понятия «центр   подобия» и при построении многоугольника, подобного данному, разъясняем уча­щимся, что соответственные точки всегда лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия, а прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в парал­лельную ей прямую. После того как учащиеся ознакомят­ся с построением многоугольника, подобного данному, разбираем сущность метода подобия, решая несложную задачу, в которой были бы ярко выражены характерные признаки этого метода. Например: «Построить треуголь­ник, знай два его угла А  и С и высоту h_b».
Эту задачу можно решить различными способами, например методом параллельного переноса или методом геометрических мест. Разобрав предлагаемые   учащи­мися решения и повторив сущ­ность применяемых методов, указываем  на  возможность ре­шения еще одним способом: с применением подобия фигур.
Если не учитывать высоту искомого треугольника, то по двум данным углам мы можем построить бесконечное множество треугольников, но все они будут                          подобны искомому. Построим один из них, например треуголь­ник А₁В₁С₁ (рис. 50).

Рис. 50
Чтобы выяснить, будет ли он искомым, проведем высоту B_lD₁ и сравним ее с данной высотой. В общем случае полученная высота не будет равна данной. Если, например, B_lD₁ меньше данной высоты в два раза, значит, и стороны треугольника нужно увеличить в два раза, ибо сходственные высоты в подобных треугольниках относятся как сходственные стороны. Если высота B_lD₁ больше данной в несколько раз, тогда нужно во столько же раз уменьшить и стороны треугольника. Следовательно, треугольник А₁В₁С₁ нужно подобно преобразовать так, что­бы высота была равна данному отрезку h_b, для чего до­статочно определить коэффициент подобия и выбрать центр подобия.   Коэффициент подобия   равен   отношению   данной высоты к настроенной высоте B_lD₁, то есть . За центр   подобия   выберем,   например,   точку B₁, тогда очень легко построить точку, соответствующую точке D₁, для чего достаточно отложить отрезок B₁D = h_в. Проведя пря­мую СА || С₁А₁, получим искомый треугольник АВ₁С, который действительно удовлетворяет  всем условиям задачи.
Построения, выполняемые с применением транспор­тира и треугольника, просты, доказательство и исследо­вание элементарны, и все внимание учащихся концен­трируется на уяснении сущности нового для них способа решения  задач  на построение.
Повторяем решение задачи: не учитывая высоты, по данным углам построили треугольник, подобный иско­мому; учитывая затем заданную высоту, подобно пре­образовали построенный треугольник в искомый. Такой способ решения задачи называется методом подобия. Этим методом можно решать лишь такие задачи па по­строение, условия которых можно разбить на две части, одна из которых определяет фигуру с точностью до по­добия (два утла треугольника), а вторая часть условия определяет  размеры   фигуры   (высота).
Таким образом, метод подобия при решении задач на построение состоит в следующем; отбросив условие, определяющее размеры фигуры, по оставшимся усло­виям строим фигуру, подобную искомой; учитывая затем ранее отброшенное условие, подобно преобразовываем построенную фигуру в искомую.
Алгебраический метод.
1. Одним из важных методов, применяемых в школь­ном курсе геометрии, является алгебраический метод ре­шения задач на построение. Уже в VI-VII классах уча­щиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказатель­ство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.
В VI классе целесообразно рассказать, что некоторые сведения по алгебре были известны еще в глубокой древ­ности, но вопросы алгебры не отделя­лись от вопросов арифметики и геоме­трии. Позже греческие ученые, такие, как Пифагор, Евклид, которые занима­лись преимущественно геометрией, по­лучили значительные результаты и в алгебре. Но многие алгебраические то­ждества доказывались ими геометри­чески. На доске в качестве примера ил­люстрируем доказательство тождества: (a + b)² = a² + 2ab + b²   (рис. 56).
Рис. 56
Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна сумме площадей двух квадратов со сторо­нами а и b и площадей двух прямоугольников со сторо­нами а и b. В IX в. н. э. узбекский
ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы мо­ментом оформления науки алгебры. В дальнейшем ал­гебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных за­дач других математических дисциплин, в том числе и ге­ометрии.
2. Алгебраический метод решения задач на построе­ние рассматривается как дальнейшее расширение приме­нения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанав­ливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ..., а длины данных отрезков – через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь из­вестными геометрическими соотношениями между иско­мыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравне­ние или систему уравнений. 4) Исследуем получен­ные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.
Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении геометрических задач на вычисление и алгеб­раических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на по­строение, решаемые таким методом, можно рассматри­вать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического ме­тода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на постро­ение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.
4.   Целесообразность рассмотрения этого метода в средней школе не определяется только тем, что учащиеся ознакомятся с еще одним видом задач, для ре­шения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на по­строение более доступен учащимся, ибо достаточно по­лучить соответствующую формулу для определения иско­мой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.
Алгебраический метод позволяет легко установить условия возможности решения задачи, а также наличие определенного числа решений при тех или иных значе­ниях и положениях данных.
5.  Однако в средней школе не следует чрезмер­но увлекаться этим методом за счет других важных раз­делов. Нужно решать доступные и интересные для учащихся задачи.

2.3. Влияние задач на построение на развитие логического

 мышления.

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствии с Основными направлениями реформы общеобразовательной и профессиональной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.
При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач.
При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей совершенно необходимо сопровождать логические конструкции фактическими построениями при помощи определенных инструментов (линейка, чертежный треугольник, циркуль),а также изображениями, выполняемыми от руки.
Весь процесс решения задачи на построение сопровождается выполнением соответствующих чертежей («чертеж-задание», «чертеж-набросок», «чертеж-построение», «чертеж для исследования»).
Решение задач на построение развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение.
Действительно, задачи вычислительного характера в планиметрии, не требующие в большинстве своем вспомогательных построений и сложных логических рассуждений, служат для закрепления фактического материала: формулировок теорем, свойств фигур и т.п. чтобы развивать логическое мышление учащихся, а этим сделать их знания более систематизированными, прочными и глубокими, решаются задачи на доказательство.
Большое значение для логического развития учащихся имеют и задачи на построение. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура.
Весь комплекс, состоящий из четырех стадий решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование), является хорошей школой решения и исследования проблем в области точных наук. В процессе решения таких задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.
Логические трудности главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи. Известные методы решения задач на построение изучаются здесь, прежде всего как средства анализа.

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

3.1. Замысел эксперимента. Программа эксперимента.

Среди учащихся 10-го класса был проведен тест на выполнение логических операций над геометрическими объектами.
Тест предназначен для выявления умения выполнять основные логические операции над геометрическими фигурами (аналогии, классификации, построение закономерности) и рассчитан на ра­боту с учащимися старших классов, студентами математических факультетов.
Материалом заданий являются плоские геометрические фигуры (углы, многоугольники, окружности, комбинированные формы).
Данные тестирования могут использоваться преподавателями математики, практическими психологами для отбора в математи­ческие классы и школы для разработки коррекционных обучаю­щих программ в целях дифференциации учащихся.
Тест предназначен для диагностики умственного развития уча­щихся подросткового и юношеского возраста; позволяет выявлять индивидуально-психологи-ческие различия в овладении логиче­скими операциями с геометрическими объектами. Он со­держит три набора заданий (субтестов) на выполнение «анало­гии», «классификации», «закономерности построения» геомет­рических объектов, в качестве которых выступают углы, треу­гольники, четырехугольники, неоднородные «комбинированные фигуры». Каждый субтест состоит из 12 вариантов заданий, отли­чающихся усложнением материала.
OCHOBHOE СОДЕРЖАНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ ТЕСТА
Как уже отмечалось, предлагаемый тест может быть использован для диагностики умственного развития учащихся. Критерием этого развитая служит успешность (правильность) выполнения логических операций: «аналогии», «классификации», «закономерности построения» геометрических объектов. Работа с тестом предполагает, что испытуемый знает основные признаки (свойства) геометриче­ских фигур, умеет ими пользоваться. Однако тест не предусматрива­ет проверку программных требований к усвоению учебного матери­ала (знания теорем, аксиом, правил решения задач и т.п.). Он не ориентирован также на проверку графических знаний, умений. Все задания теста даются в готовом виде. Испытуемый выполняет требу­емые логические операции, опираясь на восприятие объектов (в виде плоскостных изображений), заданных графически.
Выполнение заданий теста предполагает мысленное преобразование геометрических объектов. Однако содержание и характер этих преобразований теста не определяется построением задания. По­этому испытуемый может придти к правильному ответу, исполь­зуя различные мысленные преобразования. При групповом тести­ровании определяется количество правильно выполненных зада­ний в целом и в каждом субтесте отдельно. Учитывается также вре­мя, затраченное на выполнение, как отдельного задания, так и общего их объема. При индивидуальном тестировании можно оце­нить не только результативность выполнения заданий теста, но и сам процесс работы. Например, установить, как выполняет испы­туемый геометрические преобразования объектов: ориентируется на изменение величины, пространственного положения объектов, осуществляет повороты, достраивание фигуры, произвольно выделяет вписанные и описанные фигуры, меняет соотношение «фи­гуры и фона» и т.д. Получение таких сведений о работе испытуе­мых важно для выявления их индивидуальных возможностей для построения коррекционного обучения. Однако это связано с использованием дополнительных методов: специально организован­ной беседы, контролем за каждым этапом выполняемого преобразования, их анализом, что не может (и не должно) обеспечиваться групповым тестированием.
Данный тест разработан как групповой. Он позволяет выявлять и оценивать каждого учащегося по общей результативности его рабо­ты. Однако очень высокие (низкие) результаты могут быть подверг­нуты более тщательному и содержательному анализу, что требует индивидуальной работы экспериментатора с каждым учащимся.
Своим содержанием тест «ЛОГО» обеспечивает анализ успеш­ности выполнения трех основных логически операций.
В первом субтесте («аналогия») испытуемому предлагается три однородных геометрических объекта. Между первым и вторым объек­тами имеется определенная связь, которую испытуемый должен выявить. Сообщается, что между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная связь. Испытуемый должен найти из четырех объектов тот, который соответствует по аналогии третьему. Этот субтест содержит четыре варианта заданий, отличаю­щихся типом геометрических объектов, каждый из которых представлен в трех различных видах.
Во втором субтесте («классификация») предлагается пять геометрических объектов, четыре из которых объединены одним общим признаком. Пятый («лишний») объект, который не подходит к остальным, нужно найти. Субтест также имеет несколько вариантов заданий, отличаю­щихся типом геометрических объектов, представленных различным образом.
В третьем субтесте испытуемому предлагается три геометрических объекта, расположенных в определенной закономерности. Необходимо найти и использовать эту закономерность, подобрать к трем объектам четвертый, который продолжал бы данную закономерность. Субтест содержит четыре варианта заданий, отличаю­щихся постепенным усложнением типа геометрического объекта (один объект, их сочетание, сложность конфигурации).
Таким образом, каждый субтест включал 12 заданий. Одна фор­ма теста состояла из 36 заданий. Всего по двум эквивалентным формам было разработано 72 задания.
Тест «ЛОГО» позволяет дифференцировать учащихся по уме­нию выполнять основные логические операции над геометриче­скими объектами (фигурами), что является существенным для ов­ладения математикой. Он может использоваться при отборе уча­щихся в математические школы, классы с углубленным изучени­ем этого предмета, для оценки логического мышления учащихся. Поскольку оперирование геометрическими объектами существен­но не только при усвоении математики, но составляет основу про­екционного черчения, тест может использоваться на занятиях гра­фическими дисциплинами.
На работу с тестом отводится 45 минут. Перед началом работы сообщается ее цель и порядок.

3.2. Описание проведения эксперимента и его результаты.

Описание и пример работы с субтестом 1.
Вам предлагаются три геометрических объекта. Между первым и вто­рым объектом существует определенная связь. Между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная, та же самая связь. Этот геометрический объект вам следует найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.
Пример:

Правильный ответ – г). Его нужно записать.
СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 1
СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 2.
СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 3.
СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 4.
Описание и пример работы с субтестом 1.
Вам предлагаются ПЯЧЬ геометрических объектов. четыре из них объединены общим признаком. пятый объект к ним не подходит. Его нужно найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.
Пример:

Правильный ответ – в. Его нужно записать.
СУБТЕСТ2. ЗАДАНИЕ 1
СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 2.

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 3.

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 4.
Описание и пример работы с субтестом 3.
Вам предлагаются три геометрических объекта, расположенных на основе определенной закономерности. Вам нужно выбрать из представленных внизу вариантов ответов четвертый объект, который продолжал бы данную закономерность построения геометрического ряда, и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ – а. Его нужно записать.
ФОРМА А. СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 1.

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 2.

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 3.

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 4.
КЛЮЧ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ

Обработка результатов тестирования
По итогам количественной обработки теста получили следующие результаты:
Далее мы провели качественную обработку тестирования, выяснив:
1.                Вид заданий (на величину, форму и тип оперирования образами), который вызывает наибольшее количество ошибок;
2.                Вид деятельности (создание образа, оперирование образами), вызывающий наибольшее количество ошибок.
По результатам качественного анализа мы выделили задания, которые при решении вызывают у учащихся трудности. В течение трех недель мы с учащимися разбирали и прорешивали задания, подобные заданиям из теста «ЛОГО».
В конце третьей недели тест «ЛОГО» был проведен повторно и получили следующие результаты.
Сравнив результаты первого и второго тестирования можно сделать вывод: при периодическом стимулировании логического мышления процент его развития повысился.
Таким образом, чтобы максимально повысить процент развития логического мышления, нужно непрерывно выполнять стимулирующие упражнения, увеличивая их сложность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив и проанализировав психологическую и методическую литературу мы выполнили следующие задачи:
1.                Выделили пути развития математического мышления учащихся;
2.                Дали характеристику задач на построение и описали их влияние на развитие логического мышления школьников;
3.                Разработали систему уроков с рекомендациями по развитию логического мышления через решение задач на построение.
В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися.
Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии.
Наличие анализа, доказательства и исследования при решении задач на построение показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать.
В результате проведенного педагогического эксперимента можно сделать вывод о том, что развитию логического мышления у учащихся способствует систематическое нарешивание, начиная с простейших, постепенно переходя к более сложным заданиям.
Задачи на построение – это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

БИБЛИОГРАФИЯ

Александров, А.Д. Геометрия: Учебное пособие для студ. вузов, обучающихся по спец. «Математика» / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. – М.: Наука, 1990. – 672 с.
Александров, А.Д. Основание геометрии: Учеб. пособие для вузов по спец. «Математика». – М.: Наука, 1987. – 288 с.
Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Пособие. Изд. 19-е, – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1954. – 176 с.
Антонов, Н.С.  Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учебное пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.
Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие. / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1955. – 268 с.
Атанасян, Л.С. Курс элементарной геометрии. Ч I. Планиметрия.: Учебное пособие. / Л.С. Атанасян и др.
Блудов, В.В. К изучению темы «Геометрические построения» (в школе) / В.в. Блудов // Математика в школе. – 1994 – №4 – с. 14-15.
Боженкова, Л.И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом подобия / Л.И. Боженкова // Математика в школе. – 1991 – №2 – с. 23-25.
Брушлинский, А.В. Общая психология: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.В. Брушлинский, В.П. Зинченко, А.В. Петровский и др.; Под редакцией А.В. Петровского – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1986. – 464 с., ил.
Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение. – М.: Знание, 1983. – 96 с.
Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач: [О развитии мышления на уроках математики] // Математика в школе. – 1988 – №5 – с. 37-38.
Варданян, С.С. Задача оп планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. – М.: Просвещение, 1989.
Векслер, С.И. Найти и преодолеть ошибку: [О развитии мышления школьников на уроках математики] // Математика в школе. – 1989 – №5 – с. 40-42.
Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие / Л.В. Виноградова – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005 – 252 с., ил.
Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987.
Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики – М.: просвещение, 1990. – 224 с., ил
Гусев, В.А. Методика обучения геометрии / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия» – 2004. – 368 с.
Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / Сост. В.А. Гусев – М.: Просвещение, 1979. – 287 с.
Далингер, В.А. Чертеж учит думать: [К методике шк. курса геометрии] // Математика в школе. – 1990 – №4 – с. 32-36.
Дьюи, Дж. Психология и педагогика мышления – М.: Просвещение, 1999.
Зетель, С.И. Геометрия линейки и геометрия циркуля, 1957.
Клименченко, Д.В. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. / д.В. Клименченко, Т.Д. Цикунова // Математика в школе. – 1990 – №1 – с. 19-21.
Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем, 1984.
Кушнир, И.А. Об одном способе решения задач на построение. // Математика в школе. – 1984 – №2 – с. 22-25.
Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе, 1967.
Маслова, Г.Г. Методика обучения решению задач на построение в восьмилетней школе, 1961.
Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика; сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 414 с.
Никитина, Г.Н. проверим построение. // Математика в школе. – 1988 – №2 – с. 55-56.
Овезов, А. Особенности рассуждений в  приложениях математики: [О развитии логического мышления на уроках математики] // Математика в школе. – 1991 – №4 – с. 45-48.
Петров, К. Метод гомотетии в решении задач // Математика в школе. – 1984 – №1 – с. 63-64.
Пичурин, Л.Ф. Воспитание школьников в процессе обучения математике: из опыта работы. Сборник / сост. Л.ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1981 – 159 с.
Погорелов, А.В. Геометрия в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова): Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990 – 334 с., ил.
Погорелов, А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993 – 383 с.
Погорелов, А.В. Элементарная геометрия / А.В. Погорелов. – 3-е изд., доп. – М.: «Наука», 1977 – 279 с., ил.
Сенников, Г.П. Решение задач на построение в VI-VIII классах: пособие для учителей, 1955.
Смогоржевский, А.С. Линейка в геометрических построениях, 1957.
Степанов, В.Д. Актуальные вопросы обучения геометрии в средней школе: Межвуз. сб. науч. тр / Владимир. гос. пед. ин-т им. П.И. Лебедева-Полянского; [ред. кол.: В.Д. Степанова (отв. ред.) и др.] – Владимир: ВГПИ, 1989 – 94 с., ил.
Столяр, А.А. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Учеб. пособие по спец. «Математика» и «Физика»; сост. А.А. Столяр, Р.С. Черкасов. – М.: просвещение, 1985 – 336 с.
Тесленко, И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе: (По учеб. пособию А.В. Погорелова «Геометрия 6-10») Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1985 – 95 с., ил.
Фетисов, А.И. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / под ред. А.И. Фетисова: пособие для учителя – М.: Просвещение, 1967 – 272 с.
Фурман, А.В.  влияние особенностей проблемной ситуации на развитие мышления учащихся. // Вопросы психологии, 1985 – №2 – с. 68-72.
Четверухин, Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: пособие для учителей и студентов – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1958.
Четверухин, Н.Ф. Методы геометрических построений, 1952.
Чистякова, Г.Д.  Мышление: его закономерности и условия развития. // Биология в школе – 1989 – №5 – с. 18-21.
Чистякова, Г.Д.  Учить думать: [О развитии мышления школьников] // Биология в школе – 1989 – №6 – с. 23-26.
Шерпаев, Н.В. Графическая система для геометрических построений. // Математика в школе. – 1988 – №5 – с. 44-48.
Якиманская, И.С. Знания и мышление школьника. – М.: Знание, 1985 – 80 с.
Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования: учеб. пособие для студ. вузов – М.: Академия, 2004 – 319 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ТЕМА 1. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ (1 Ч)
Комментарий для учителя
В результате изучения пунктов учащиеся должны:
знать алгоритм решения задачи па построение треугольника по трем сторонам;
уметь его применять при решении конкретных задач с числовы­ми или геометрически заданными условиями.
Методические рекомендация к изучению материала
Учащиеся уже знакомы из курса математики VI класса с ре­шением задачи на построение треугольника по трем сторонам. По­этому изучение нового материала можно начать с решения зада­чи 17 (1):
«Постройте треугольник с данными сторонами а = 2 см, b = 3 см, с =4 см».
Построенный треугольник обозначить ΔАВС, обратив внима­ние учащихся на традиционное соответствие обозначений, – сто­рона а лежит против угла А, b –против В, с – против С.
Затем можно показать учащимся, что стороны треугольника могут быть заданы геометрически – данными отрезками а, b, с (рис. 1), и разобрать с ними общий алгоритм решения задачи.

Рис. 1
Следует обратить также внимание учащихся, что последняя фраза в решении: «Треугольник АВС имеет стороны, равные а, b, с – есть не что иное, как доказательство того, что построен имен­но искомый треугольник. После этого можно предложить учащим­ся решить задачу:
«Постройте равносторонний треугольник по его стороне».
Примерное планирование изучения материала
В классе – провести краткую беседу о том, что такое за­дачи на построение, разобрать решение задачи 5.1. решить за­дачи 17 (1), 19; дома – вопрос 10, задачи 17 (2), 18.
Указания к задачам
К пункту относятся задачи 16 – 20.
19. Задачу рекомендуется решить в классе. Если она будет за­дана на дом, то следует дать указание: решение начать с постро­ения окружности.

Рис. 2
Дано:  а, b, R.
Решение. Проведем окружность данного радиуса (рис. 2). Выберем на окружности точку С и из этой точки как из центра сделаем две засечки радиусами а и b. Получим точки А и В. Δ АВС искомый. У него данные попоны ВС = а, АС = b. Описанная окружность имеет радиус R.
Для того чтобы задача имела решение, стороны а и b должны быть меньше диаметра окружности (a<2R, b<2R).
Завершающим этапом процесса мышле­ния являются осмысление того, что полу­чено, его оценка и обоснование. Осмысле­ние позволяет соотнести решение задачи с системой понятий: подвести его под определенную категорию или конкретизи­ровать ранее известное положение, рас­крыть механизм взаимодействия объектов, явлений. Тем самым мышление продви­гается на более высокий уровень обобще­ния. Оценка полученного результата поз­воляет определить, насколько он отвечает поставленной задаче, полностью или ча­стично ее решает. В ходе обоснования решения выделяются его сильные и слабые стороны, допущенные ошибки. Проверка, критика, контроль характеризуют мышле­ние как сознательный процесс. Критичность мышления проявляется также в чувстви­тельности к проблемам, умении их рас­познавать.
Таким образом, мышление – это всегда активный процесс преобразования ситуа­ции, имеющей личностную значимость для человека, процесс, включающий в себя эле­менты творчества, связанные с новизной решаемой задачи, мысленное оперирова­ние образами, осознание и оценку итогов работы. Умение думать означает развитие всех этих компонентов мышления.
Степень сложности решаемой задачи определяет уровень активности мышления.
Мыслительные задачи различаются по своей трудности в зависимости от раз­личных факторов. Привычность или непривычность ситуации определяет, можно ли применить уже известный способ действий или необходим поиск новых знаний. В пер­вом случае роль мышления невелика, во втором  мышление становится творческим.
Чем более стандартным и типичным для данного объекта является его качество, нужное для решения проблемной ситуации, чем больше оно соответствует его обыч­ному применению, тем легче решается мыслительная задача. Так, мы не задумыва­емся, когда пользуемся гирей как мерой веса. Это ее прямое и привычное назначе­ние. Чтобы использовать гирю как средство для забивания гвоздя, надо прежде увидеть в ней тяжелый предмет, т. е. выделить ее внутреннее свойство. Это поворачивание предмета все новыми сторонами, вычерпы­вание из него новой информации, при котором предмет включается в разные си­стемы связей и отношений с другими пред­метами, характеризует активную, творче­скую сторону мышления. Наиболее твор­ческими являются задачи, решение которых связано с открытием нового, ранее не­известного человеку знания: способа реше­ния задачи, обнаружения закономерности или некоторой зависимости между явле­ниями и пр.
Важную роль играет также и то, в каком виде сформулирована задача: дана она в наглядном практическом плане, допуска­ющем действия с предметами, наглядном, но символическом (рисунок, чертеж и т. п.) или словесном. Сравните решение шахмат­ной задачи с помощью доски и стоящих на ней фигур, на бумаге с условным обозна­чением доски и фигур, путем одного только ее словесного описания. Сложность процесса мышления значительно выше в третьем случае, когда весь процесс поиска решения протекает целиком в умственном плане.
В школьном возрасте под влиянием обучения мышление проходит сложный путь развития от эмпирического мышле­ния, которое оперирует конкретными пред­ставлениями единичных предметов и часто опирается на случайные признаки предме­тов, к теоретическому мышлению, исполь­зующему научные понятия и отношения между ними. Овладевая знаниями, ребенок учится расчленять слитые в восприятии признаки предметов и явлений, выделять среди них однородные, характеризу­ющиеся определенной общностью. Растет количество суждений, в которых наглядные моменты сводятся к минимуму. Происходит овладение обобщенным понятийным со­держанием научного знания, формируется умение рассуждать гипотетически, крити­чески рассматривав свои суждения как нуждающиеся в проверке и обосновании. Анализ задач начинается с предвари­тельного мысленного их решения.
Какие бывают недостатки в развитии мышления!
На всех этапах развития мышления, независимо от вида мышления, т. е. от того, на каком уровне обобщения знаний про­текает процесс, встречаются одни и те же недостатки, приводящие к ошибочным ре­шениям. Первый - осуществление слишком широких обобщений, приводящее к обеднению знаний и их формальному усвоению. Второй - осознание только части ситуации, когда внимание обращается лишь на отдельные элементы ситуации, как правило, более знакомые, на основе которых строится объяснение материала и делаются выводы. Третий - направлен­ность процесса мышления на обоснование суждения о ситуации, возникшего на основе стандартного, привычного подхода без анализа специфики рассматриваемой ситуации, сходство которой с известными может быть только кажущимся. Четвертый источник ошибок связан с необходимостью обращаться к более широкому представле­нию, частью которого служит рассматри­ваемая ситуация, включать ее в достаточно широкий контекст, чтобы выявить истинные связи между предметами, их причинную обусловленность. Все эти недостатки воз­никают из-за неумения управлять процес­сом мышления. Научиться думать – это значит овладеть теми умениями – элемен­тами мыслительного процесса, которые обеспечивают обнаружение проблемы, поиск ее решения, осознание достигнутого. Это также означает научиться контроли­ровать процесс мышления.
Развитие мышления как умения думать связано с вовлечением детей в активную деятельность, позволяющую приобрести необходимые навыки исследования проб­лемной ситуации и определения неизвест­ного, навыки выдвижения и проверки гипотез, анализа получаемых результатов.
Вовлечению детей в активную умствен­ную деятельность способствует проблемно-диалогический метод обучения. При этом методе процесс усвоения знаний протека­ет не в форме изложения материала учителем и постановки им вопросов, на которые дети должны отвечать, а в форме обсуждения проблемы - диалога уча­щихся с учителем. В ходе такого диалога под руководством учителя дети самостоя­тельно исследуют ситуацию, определяют те   знания,   которые   им   необходимы   для уяснения связей и отношений между эле­ментами ситуации. Роль учителя состоит в поддержании активности детей, акцентиро­вании их внимания на существенных вопросах рассматриваемого материала. При этом следует обращать особое вни­мание на те перечисленные выше мо­менты, которые служат источниками оши­бок, и стремиться обеспечить полный учет той информации, которой располагают учащиеся, включая их знания, установление как можно более широких связей с известным, точность обобщения. Очень важно, чтобы дети учились доводить процесс решения до конца: не только на­ходили какое-либо решение, но и умели его объяснить на доступном им уровне, выде­лить его достоинства и недостатки.
Проблемно-диалогический метод обуче­ния, предоставляя детям, возможность в начале изучения каждой темы свободно задавать и обсуждать любые вопросы по изучаемому материалу, позволяет им выде­лить и четко сформулировать основные проблемы рассматриваемой темы. Сопри­частность детей к постановке проблем де­лает их личностно значимыми, стимулирует познавательную активность, связанную с решением намеченных проблем, при­общает ребят к исследовательской дея­тельности.
Наряду с этим полезны и специальные задания, позволяющие детям отдельно тре­нировать те умения, о которых шла речь: искать неизвестное, задавать вопросы, строить догадки и предположения, пред­сказывать последствия, устанавливать сход­ство и различие предметов и явлений и т. д.
Существенным моментом в развитии мышления детей является атмосфера, поощряющая их познавательную актив­ность, одобрение разных ее проявлений. В такой атмосфере дети начинают верить в возможности своего ума, способность решать проблемы.

1.2. Математическое мышление.

 

1.2.1. Общая характеристика развивающегося математического

мышления школьников.

Роль математического мышления в процессе обучения
Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированостью умений выявлять, усваивать и запоминать основное из того большого объема информации, который содержит школьный курс математики.
Таким образом, у школьников должны быть сфор­мированы определенные качества мышления, твердые навыки рационального учебного труда, развит познавательный интерес. Поэтому естественно, что среди многих проблем совершенствования обучения математике в средней школе большое значение имеет проблема формирования у учащихся математического мышления.
Специфика математики такова, что изучение этого учебного предмета, пожалуй, наиболее сильно влияет на развитие мышления школьников. В самом деле, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учеб­ной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обоб­щение, абстрагирование и т. д.) выступают также как специфиче­ские методы научного исследования, особенно ярко проявляющие­ся при обучении математике (и в частности, при решении задач).
«Решение задач – вовсе не привилегия математики. Все чело­веческое познание есть не что иное, как непрекращающийся про­цесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, проблем. И лишь тогда человек усвоит научные формулы и поло­жения, когда увидит в них не просто фразы, которые надлежит за­помнить, а прежде всего с трудом найденные ответы на живые вопросы, на вопросы, естественно вырастающие из жизни. Ясно, что человек, увидевший в теоретической формуле ясный ответ на заинтересовавший его вопрос, проблему, трудность, эту теоретическую формулу не забудет. Ему не нужно будет ее зазубривать, он ее за­помнит легко и естественно. А и забудет – не беда, всегда выведет снова, когда ему встретится ситуация – задача с тем же составом условий. Это и есть ум».  
Поэтому, в отличие от традиционного обучения, современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышле­ния – специальным  предметом  усвоения.
В процессе эволюции математики-науки и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие «математическое мышление», существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.
Несомненно, между системой обучения и ходом умственного раз­вития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в на­стоящее время одной из центральных проблем педагогической пси­хологии.
Практика школьного обучения настойчиво требует от учителя проводить конкретную работу по развитию у учащихся математического мышления.
Математическое образование представляет собой сложный процесс, основными целевыми компонентами которого являются: а) усвоение школьниками системы математических знаний; б) овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками; в) развитие мышления учащихся.
Еще не так давно считалось, что успешная реализация первой и второй из этих целей математического образования автоматически повлечет за собой успешную реализацию  и  третьей цели, т.е. считалось, что развитие математического мышления происходит в процессе обучения математике стихийно (спонтанно). В какой-то мере это верно, но только в какой-то мере!
Математическое мышление является не только одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно достичь эффективных результатов в овладение школьниками системой математических знаний, умений и навыков.
Что такое математическое мышление?
К сожалению, в настоящее время в психологии мышления не выявилось единого подхода к трактовке мышления, к объясне­нию тех «механизмов», которые им управляют. В педагогической психологии отсутствует общепринятая концепция, на основе ко­торой обучение и развитие школьников (в частности, математиче­ские обучение и развитие) могло быть организовано заведомо эф­фективно.
В современной психологии мышление понимается как «соци­ально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практи­ческой деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы».
Известно, что всякая познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятий, переходя затем в мышление (сначала на 1 уровне представлений, а затем на уровне понятий). Понятия, вы­ступая одновременно и как формы отражения реальных объектов, и как средства мысленного, идеализированного их воспроизведе­ния, конструирования (т. е. как особое мыслительное действие), образуют микроэлементы научного знания.  Человек продолжает познавать окружающий мир опосредованно, выявляя такие свой­ства изучаемого реального объекта и такие его связи с другими объ­ектами, которые им непосредственно не воспринимаются, не ощущаются и   не   наблюдаются.   Так   возникают   элементы научного знания.
«Науки в их современном  виде... не имеют своим пред­метом сами вещи и их непосредственные проявления. Их познание требует построения специальных теоретических абст­ракций, выделения какой-либо определенной связи вещей и превращения ее в особый предмет изучения». 
Тем самым расширяется круг  познания   человеком различных явлений реальной действительности, что в свою очередь ведет к рас­ширению его восприятий и представлений.
Под математическим мышлением будем пони­жать, во-первых, ту форму,   в которой проявляется диалектиче­ское мышление в процессе познания   человеком конкретной науки математики или в процессе применения  математики в других науках, технике, народном хозяйстве и т. д.; во-вторых, ту специфику,   которая обусловлена самой природой мате­матической науки,  применяемых  ею методов  познания  явлений реальной действительности, а также теми общими приемами мыш­ления, которые при этом используются.
Очевидно, что математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще. Вместе с тем «учить специфически человеческому мышлению – значит учить диалектике...». Последнее характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, един­ства, взаимосвязи и взаимозависимости понятии и соотношений. Мыслить диалектически, кроме того, означает проявлять способ­ность к нешаблонному разностороннему подходу при изучении объектов и явлений, при решении возникающих при этом проб­лем; для диалектического мышления характерны также понимание различий между умозаключениями достоверными и вероятными (правдоподобными) и осознание единства и противоположности в проявлении конечного и бесконечного.
Одной из разновидностей диалектического мышления является мышление научно-теоретическое (или мышление абстрактное). От­мечая, что «все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу  глубже,  вернее,  полнее».
В.В. Давыдов, исследовавший вопросы формирования научно-теоретического мышления у школьников, показал, что «лишь такое математическое, физическое и прочее теоретическое мышление мо­жет истинно отразить свой объект, которое выступает как логи­ческое мышление, перерабатывающее свой опытный материал в категориях логики... Так, лишь задавая человеку содержатель­ное обобщение, можно полагать, что он будет ориентиро­ваться именно на существенные свойства вещи и вычленять их из массы несущественных свойств, т. е. будет обладать «чутьем про­цесса». Критерий же такого обобщения (как и всех других катего­рий) формулирует диалектическая логика, высту­пающая тем самым и главным «критерием» теоретиче­ского мышления...»
Таким образом, полноценное математическое мышление есть, прежде всего, мышление диалектическое.
Математическое мышление, являясь мышлением диалектиче­ским, есть вместе с тем мышление естественнонаучное и потому обладает многими свойствами, присущими последнему.
Естественнонаучное мышление может быть охарактеризовано со стороны соответствующих ему умений осуществлять поэтапное решение научных проблем. Совокупность таких умений определяет так называемый естественно научный метод познания, который состоит из следующих элементов: понимание проблемы; точное определение ее и отграничение от других проблем; изучение всех ситуаций, связанных с данной проблемой; планирование поиска решения проблемы; выбор наиболее вероятной гипотезы; планирование и проведение эксперимента по проверке гипотезы; проведение контрольного эксперимента; выводы и их обоснование, выбор оптимального способа решения; распростра­нение выводов на новые ситуации, в которых действуют те же фак­торы.
Многие конкретные методы обучения естественным наукам разрабатываются в соответствии с ее указанным методом познания; ха­рактеристика его основных этапов, специфика соответствующих этим этапам умений могут и должны учитываться и в обучении ма­тематике, в частности при постановке учебных математических задач с прикладной направленностью.
О качествах научного (математического) мышления
Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. 
Прежде всего, отметим,   что  математическое мышление  часто характеризуют проявлением так называемых математических спо­собностей. В психолого-дидактической и методической литературе в структуру математических способностей включаются многие ка­чества мыслительной деятельности, именуемые либо как собствен­но математические     способности    (В. А.    Крутецкий), либо как особенности   мышления ма­тематика (А. Н. Колмогоров), ибо как качества ума  (К. К. Платонов), либо как компонен­ты обучаемости  (3. И. Калмыкова) и т.д.
Существует общее мнение об активной работе в процессе мате­матического мышления определенных качеств мышления (напри­мер, гибкость, пространственное воображение, умение выделять существенное и т. д.), которые в равной степени могут быть соот­несены как к математическому мышлению, так и к мышлению фи­зическому, техническому и т. д., т. е. к научному мышлению вообще.
Эти особенности мышления мы будем называть качества­ми научного мышления.  Они представляют особую дидактическую значимость: формирование их у школьников способ­ствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам естественно-математического цикла.
Последняя мысль подтверждается  результатами исследований советского педагога Ю. К. Бабанского, показавшего, что успеш­ность учения школьников тесно связана с сформированностыо y них таких качеств мышления, как самостоятельность мышления (коэффициент  корреляции 0,89),   умение  выделять  существенное  (0,87), рациональность мышления (0,85), гибкость мышления (0,85), логичность речи (0,85), критичность мышления (0,84), зависимость успешности учения от уровня развития памяти и внимания оказалась меньшей.
К числу таких качеств научного мышления относятся гиб­кость (нешаблонность), оригинальность, глуби­на, целенаправленность,    рациональность, широта (обобщенность), активность, критичность, доказа­тельность мышления, организо­ванность памяти, четкость и лаконичность  речи и записи.
Все эти качества мышления сильно кор­релируют друг с другом, часто выступают в органическом единстве. Поэтому ранжи­рование их по значимости весьма затруд­нительно, да и вряд ли целесообразное ди­дактической точки зрения. Важнее попытаться охарактеризовать их проявления практически.
Будем считать характерным для проявления гибкости мышле­ния умение целесообразно варьировать способы решения познава­тельной проблемы, легкость перехода от одного пути решения про­блемы к другому; умение выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблем при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта.
Таким образом, гибкость мышления обнаруживается в быстро­те ориентировки в новых условиях, в умении видеть новое в из­вестном, выделять существенное, выступающее в скрытой форме. Интересно отметить, что А. Эйнштейн указывал на гибкость мышления как на характерную черту творчества.
Антиподом гибкости мышления является косность мышления, чаще называемая шаблонностью мышления или психологической инерцией.
Знания и опыт весьма часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для данного индивидуума «проторенным путям». Возникает предрасположение к какому-либо конкретному методу или образу мышления, желание следовать известной системе правил в процессе решения задач, – шаблонность мышления.
Шаблонность  мышления является весьма серьезной помехой изобретательству  и вообще   творческой   деятельности;   нередко шаблонность мышления выступает как следствие обучения. И действительно, опыт показывает, что шаблонность мышления весьма характерна для многих школьни­ков (как часто, например, школьники на­чинают решать незнакомую им задачу тем способом, который им «первым пришел в голову»). Именно на преодоление этого качества  мышления  направлены   известные эвристики типа: «Забудь о том, что знаешь», «Помни, что методов много, а не один», «Не иди по прото­ренному пути» и т. п.
С шаблонностью мышления связан и эффект, называемый функ­циональной устойчивостью, согласно которому в большинстве случаев объекты, используемые в данной ситуации в обычных для них функциях, не используются в новом качестве.
Этим, в частности, объясняются те трудности, которые связаны с переосмысливанием школьниками условия задачи, являющимся необходимой предпосылкой ее успешного решения. Вот один из характерных примеров.

                                          рис. 1
Параллельные прямые АВ и CD пересечены прямой EF, величина одного из внутренних углов при точке О (рис. 1 ) равна 130°. ОМ  – биссектриса этого угла. Определить величину угла, обра­зованного ею с прямой CD.
Здесь прямая ОМ выступает одновременно и как биссектриса, и как секущая. Ее роль как биссектрисы угла создает функциональ­ного устойчивость, в силу которой учащиеся часто затрудняются в: использовании этой прямой в качестве секущей.
Следует отметить, что шаблонность мышления, присущая многим школьникам, имеет как негативный, так и позитивный харак­тер. Она избавляет школьника от необходимости заново усваивать те или иные операции, решать задачи тех типов, которые неодно­кратно им встречаются, безусловно, положительно сказывается на результатах обучения.
Однако шаблонность мышления мешает школьникам мыслить оригинально, отделять главное от второстепенного, отыскивать новые пути решения задач, применять известные им знания в но­вой ситуации. Понятно, что все это не способствует развитию твор­ческих потенций школьника.
Поэтому в обучении математике весьма важно помогать школьникам преодолевать этот «психологический барьер», развивать у них гибкость мышления.
Высший уровень развития нешаблонного мышления проявляет­ся в оригинальности мышления, которая в школьном обучении математике, как правило, выступает в необычности спо­собов решения известных учащимся задач. Оригинальность мышле­ния, чаще всего, проявляется как следствие глубины мышления. Глубина мышления характеризуется умением про­никать в сущность каждого из изучаемых фактов, в их взаимосвязи с другими фактами; выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале (в условии задачи, способе ее решения, ре­зультате); умением конструировать модели конкретных ситуаций. Глубину мышления нередко называют умением выделять существенное.
Известно, что познание регулируется по двум каналам отраже­ния реальной действительности (объекта познания): по весьма узкому каналу отражения самого объекта и весьма широкому ка­налу отражения его фона (совокупности связанных с этим объек­том различных свойств его самого и других, связанных с ним объ­ектов); при этом второй канал часто функционирует бессознатель­но. Это вызвано тем, что знания и опыт откладываются в памяти (и воспроизводятся в ней) своеобразными комплексами понятий и представлений – «готовыми фрагментами ответов» на соответствую­щие вопросы. В процессе воспроизведения вспоминается не только то, что требуется вспомнить, но и многие бесполезные в данной си­туации положения, так или иначе связанные в сознании с основным объектом.
Процесс отделения фона от самого объекта – сложный процесс. Величина фона в значительной степени зависит от тех условий, в которых происходит изучение объекта, равно как и от умений изу­чить этот объект в его существенных свойствах достаточно глубоко. Поэтому глубину мышления (умение выделять существенное) пра­вомерно считают качеством, формирование которого у школьников является важнейшим условием успешности обучения математике.
Таким образом, глубина мышления проявляется прежде всего в умении отделить главное от второстепенного, обнаружить логическую структуру рассуждения, отделить то, что строго доказано,  от того, что принято «на веру», извлекать из математического текста главное из того, что в нем сказано (и не более того), и т.д.
Антиподом глубины мышления является поверхность мышления. Именно этим можно объяснить обычное для учащихся затруднение, возникающее у них при ответе на следующий вопрос: «Является ли последовательность вида 2,2,2, … прогрессией, если является, то какой?» Усвоив поверхностно определение про­грессии, учащиеся не понимают, что ответ на этот вопрос целиком полностью зависит от того, оговорена ли в определении возможность равенства  нулю  разности  (или  единице знаменателя   прогрессии).
Целенаправленность мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную той проблемой цель, а также в стремлении отыскать наиболее крат­чайшие пути ее достижения.
Наличие у школьников этого качества мышления особенно важно  при поиске плана решения математических задач, при изучении нового материала и т. д.
Этому способствуют специально подобранные учителем задачи, вводящие в изучение новой темы, посредством которых перед уча­щимися раскрывается целесообразность ее изучения и последовательность рассмотрения относящихся к ней вопросов.
Целенаправленность мышления дает возможность более эконо­мичного решения многих задач, которые обычным способом реша­ется если не сложно, то слишком долго.
Целенаправленность мышления тесно связана с таким нравст­венным  качеством   личности,   как   любознательность, своеобразным антиподом которому является любопытство. В основе того и другого качества личности лежат условные реф­лексы, в силу которых избирательная активность человека всегда имеет целенаправленный, намеренный характер.
Первое из этих качеств (любознательность) обогащает знания и опыт человека именно в силу своей целенаправленности; любопытство, превращаясь в самоцель, гасит стремление человека к познанию, как только оно удовлетворено. Поэтому в обучении математи­ке следует всячески поощрять любознательность учащихся и не поощрять любопытство.
«Чтобы обучаться, нам нужно только понимать то (приспосаб­ливаться к тому), чему нас учат. Но, чтобы с пользой применять знания, нужно уметь задавать вопросы типа: «Так ли это?», «По­чему?» – и особенно самый мощный из них: «А что, если...?» Чело-пек, который постоянно задает такие вопросы, уже не просто учится».
Антиподом целенаправленности является бесцельность мышления. Как уже отмечалось, целенаправленность мышле­ния дает возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком долго. Тем самым целенаправленность мышления способствует проявлению такого качества, как рациональность мышления, характеризуемого склонностью к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремлением отыскать оптималь­но простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения.
Рациональность мышления часто проявляется при наличии широты мышления, которая характеризуется способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих широ­кий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным слу­чаям; умение охватить проблему в целом, не упуская при этом имеющих значение деталей; обобщить проблему, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения. Поэтому широту мышления часто называют обобщенностью мышления.
Это качество мышления проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для них факты в процессе деятельности в известной (знакомой им) ситуации.
Широта мышления учащихся проявляется также в умение классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты, обобщать их, использовать обобщение и аналогию как методы решения задач.
Антиподом широты мышления является узость мышления. Именно этим, например, объясняется распространенная ошибка учащихся, считающих единицу простым числом, и т. п.
Все рассмотренные выше качества мышления могут проявиться лишь при условии проявления активности мышления, кото­рая характеризуется постоянством усилий, направленных на ре­шение некоторой проблемы, желанием обязательно решить поставленную проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т.д.
Активность мышления у учащихся проявляется также в желание рассмотреть различные способы решения одной и той же задачи, различные определения одного и того же математического понятия, обратиться к исследованию полученного результата и т.п.
Качество мышления, которое является антиподом данному качествy, есть пассивность мышления. Отметим, что пассивность мышления является одной из основных причин слабого математического развития некоторых школьников и, в частности, формального усвоения содержания обучения математике.
В числе качеств научного мышления важное место занимает критичность мышления, которая характеризуется умением оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы, получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости.
В процессе обучения математике это качество мышления у учащихся проявляется склонностью (и умением) к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного (искомого) результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индук­ции, аналогии и интуиции.
Критичность мышления школьников проявляется также в уме-ми найти и исправить собственную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы натолкнуться на противоречие, помогающее осознать причину ошибки.
Отметим, что антипод данного качества мышления – некритичность   еще свойственна многим учащимся средней школы.
С критичностью  мышления   тесно   связана доказательность мышления, характеризуемая умением терпеливо и скрупулезно относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремлением к обоснованию каждого шага решения задачи, умением отличать результаты достоверные от правдоподобных; вскрывать подлинную причинность связи посылки и заключения.
Наконец, к числу важных качеств научного мышления относит­ся организованность   памяти.
Память каждого школьника является необходимым звеном в его познавательной деятельности, зависит от ее характера, целей, мо­тивов и конкретного содержания.
Организованность   памяти означает способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому  и  правильному воспроизведению основной учебной информации и упоря­доченного опыта.
Понятно, что в обучении математике следует развивать у школь­ников как оперативную, так и долговременную память, обучать их запоминанию наиболее существенного, общих методов и приемов решения задач, доказательства теорем; формировать умения сис­тематизировать свои знания и опыт.
Антиподом этого качества мышления является неоргани­зованность памяти, в силу которой происходит как запоми­нание несущественной учебной информации, так и забывание основ­ной. Правда, при забывании мелких и незначительных фактов становится возможным запоминать достаточно большую по объему и богатую по содержанию информацию.
Организованность памяти дает возможность соблюдать принцип экономии в мышлении. Поэтому нецелесообразно загружать память учащихся ненужной или незначительной информацией, не накап­ливать у них опыт учебной деятельности, бесполезной для дальней­шего. Так, например, до недавнего времени школьники «разучива­ли» решения типовых текстовых задач, не имеющих большого по­знавательного значения; это весьма отрицательно сказывалось и на развитии их памяти.
Опыт показывает, что организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на понимании этих фактов. Поэтому зубрежка школьниками многочисленных правил является не только непро­дуктивной деятельностью, но и попросту вредной.
В процессе обучения математике развитию и укреплению памяти школьников способствуют: а) мотивация изучения; б) составление плана учебного материала, подлежащего запоминанию; в) широкое использование в процессе запоминания сравнения, аналогии, классификации и т. п.
Такие качества научного мышления, как ясность, точность, лаконичность речи и записи, не нуждаются в особых комментариях.

 

1.2.2. Основные компоненты математического мышления и дидактические пути их развития у учащихся.

Конкретное мышление
Специфика математического мышления проявляется не только в том, что ему присущи все качества научного мышления, но и в том, что для него характерны особые формы (разновидности проявления мышления), которые в ходе их описания обычно выделяются специальными терминами: конкретное и абстрактное мышление, функциональное мышление, интуитивное мышление и т.п.
Так как в процессе обучения математике обычно используют­ся так называемые конкретно – индуктивные или абстрактно-дедук­тивные методы обуче­ния, то, естественно, возника­ет необходимость (из дидакти­ческих соображений) говорить о конкретном (предметном) или абстрактном мышлении школьников.
Конкретное (предметное) мышление – это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта.
Различаются две формы конкретного мышле­ния:
1)  неоперативное (наблюдение, чувственное восприя­тие);
2)  оперативное (непосредственные действия с конкрет­ной моделью объекта).
Неоперативное конкретное мышление чаще всего проявляется у дошкольников и младших школьников, которые мыслят лишь наглядными образами, воспринимая мир лишь на уровне пред­ставлений. То, что школьники на этом уровне развития не владе­ют понятиями, ярко иллюстрируется опытами психологов школы Ж. Пиаже. Рассмотрим некоторые из них:

1.  Детям демонстрируются два сосуда (рис. 2 , а) одинаковой формы и размеров, содержащие поровну темную жидкость. Дети легко устанавливают равенство жидкостей в первом и втором сосуде. Далее, на виду у детей жидкость из одного сосуда перели­вают в другой более высокий и узкий (рис. 2 , б) и предлагают срав­нить количество жидкости в этом сосуде и оставшемся нетронутым. Дети утверждают, что в новом сосуде жидкости стало больше.
2.  Детям демонстрируют цветы: васильки и маки (например, 20 маков и 3 василька) и спрашивают, чего больше: цветов или ма­ков? И хотя дети как будто бы знают, что и васильки и маки суть цветы, они отвечают, что маков больше.
3. Через полую непрозрачную трубку (рис.3) на виду у детей пропускают проволоку с фиксированными на ней шариками (красным, белым, синим, зеленым), пока все шарики не скроются в трубке.
Дети наблюдают порядок «вхождения» шариков в трубку. Затем начинают обратное движение проволоки, предлагая детям назвать цвет шарика, который теперь выйдет первым, вторым и т. д. Дети обычно называют шарики в том порядке, в каком они «вхо­дили» в трубку.
Дело в том, что неоперативное мышление детей еще непосред­ственно и полностью подчинено их восприятию и потому они по­ка не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматривае­мого предмета. В частности, думая о первом сосуде (см. первый опыт Ж. Пиаже), дети смотрят на новый сосуд и им представляет­ся, что жидкость в нем занимает больше мест а, чем раньше (уровень  жидкости  стал  выше).
Их мышление, протекающее в форме наглядных образов, приводит к выводу (следуя за восприя­тием), что жидкости в сосудах стало непоровну.
В процессе обучения математике в среднем и старшем звене школы воздействие на неоперативное конкретное мышление уча­щихся проявляется при использовании различных наглядных » пособий, диафильмов, кино и телевидения.
Возвращаясь к описанным выше трем опытам Ж. Пиаже, от­метим, что сам Пиаже объясняет ошибочные ответы детей отсутст­вием у них способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого, устойчивое отношение части к целому и обрати­мость), без формирования которых невозможно овладение поня­тием натурального числа.
Вместе с тем Ж. Пиаже утверждает (и это утверждение согла­суется с мнениями многих советских психологов), что оператив­ное конкретное мышление является более действенным для под­готовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоя­тельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере развития практической деятельности, лежащей в основе развиваю­щейся психики ребенка.
Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий,  в конструировании  особых свойств математического мышления, развитие которых способствует познанию математических абстракций.
Поэтому психологи рекомендуют широко использовать различ­ные дидактические пособия (например, геоплан Гаттеньо, лине­ечки Кюзинера и т. п.), с которыми школьники могут действовать непосредственно в процессе обучения. В процессе обучения мате­матике роль конкретного мышления особенно велика в младших и средних классах. В целях развития у учащихся этого типа мы­шления, помимо традиционного применения наглядных средств в обучении, необходимо учить школьников общим рассуждениям на конкретных (частных) примерах.
В старших классах мера конкретного в процессе познания убывает, в то время как само конкретное меняет свою форму, на смену конкретному приходит абстрактное, которое должно выступать как целесообразное обобщение конкретного.
Особенно полезно использовать это положение при введении в новую тему. В учебном пособии И. К. Андронова и А. К. Окунева таким путем рассматривается, например, вопрос о введении понятия о тангенсе острого угла (решается задача о целесообразном наклоне  крыши  здания,  затем вводится  понятие тангенса  угла наклона и,  наконец,  изученные круговые функции  применяются  к определению расстояния Земля – Луна).
Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретно­го мышления, полезно помнить о том, что постоянное обращение к наглядным представлениям может иногда оказаться вредным. Так, например, чрезмерное увлечение наглядностью преподавания начал стереометрии может затормозить формирование у учащихся пространственного воображения.
Абстрактное мышление
Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной опе­рацией, называемой абстрагированием. Напомним, что абстраги­рование имеет двойственный характер: негативный (от­влекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта)  и позитивный   (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).
Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, ко­торое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подле­жащих изучению.
Абстрактное мышление может проявляться в про­цессе обучения математике:
а) в   явном  виде.   Например, рассматривая в курсе геометрии  понятие геометрического тела,  мы явно отвлекаемся от и всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров и положения в пространстве;
б) в неявном виде. Например, при счете предметов. конкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого ; отдельного предмета, полагая, что все предметы одинаковы (тож­дественны).
Абстрактное   мышление   можно подразделить на:    
1) аналитическое мышление;
2)  логическое мышление;
3)  пространственное мышление.
1. Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так и применяемых операций. Оно проявляется в процессе обучения через:
а) аналитический способ доказательства теорем и решения задач (чтобы узнать, надо знать);
б) решение задач методом уравнения;
в) исследование результата решения некоторой задачи и т.п.
В свою очередь, побуждая школьников к упомянутой выше ма­тематической деятельности, учитель может способствовать раз­витию у учащихся аналитического мышления.
Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мысли­тельной операцией анализа .
2. Логическое    мышление   характеризуется   обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, уме­нием теоретически предсказывать конкретные результаты,  обоб­щать полученные выводы и т. п. Известно, что развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обу­чения  математике логическое  мышление  проявляется  (и   разви­вается) у учащихся, прежде всего в ходе различных математиче­ских выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задачи т.п.
3. Пространственное мышление характе­ризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые дол­жны были быть выполнены над самими  объектами.
Известно, что невысокий уровень развития пространственного воображения и мышления, учащихся обычно является для них камнем преткновения при изучении стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся. В определен­ной степени развитию пространственного мышления способствует использование в обучении таких технических средств обучения, как кинофильмы, диафильмы, диапозитивы, кодоскоп.
Широкое применение наглядных пособий (в частности, анагли­фов) при изучении стереометрии, конечно, в какой-то мере способствует развитию у учащихся пространственного мышления (и воображения).
С этим типом мышления тесно связана способность учащихся выразить при помощи, какой – либо схемы тот или иной математический объект, операции или отношения между объектами. Схемы, которые при этом составляются, могут иметь самый разнообразный характер.
Интуитивное мышление
 «Интуиция (лат. intuito – при­стальное всматривание) – особый способ познания, характеризующийся непосредст­венным постижением истины. . . К облас­ти интуиции принято относить такие явле­ния, как внезапно найденное решение зада­чи, долго не поддававшейся логическим уси­лиям, мгновенное нахождение единственно верного способа избежать опасности, быст­рое и безотчетное отгадывание замыслов или мотивов поведения человека и т. д.»
В современной   педагогике  специфику интуитивного мышления в его отличии от аналитического мышления пытался рассмот­реть Дж.  Брунер. «Можно более конкрет­но охарактеризовать аналитическое и ин­туитивное мышление.   Аналитическое  мышление   характеризуется тем, что его отдельные этапы отчетливо выражены и думающий мо­жет рассказать о них другому человеку. Такое мышление обычно осуществляется с относительно полным осознанием как его содер­жания, так и составляющих его операций...
В противоположность аналитическому, интуитивное мышление характеризуется тем, что в нем отсутствуют четко определенные этапы. Оно имеет тенденцию основываться, прежде всего, на свер­нутом восприятии всей проблемы сразу. Человек достигает ответа, который может быть правильным или ошибочным, не осознавая при этом (если вообще такое осознание имеет место) тот процесс, посред­ством которого он получил искомый ответ... Обычно интуитивное мышление основывается на знакомстве с основными знаниями в данной области и с их структурой, и это дает ему возможность осуществляться в виде скачков, быстрых переходов, с пропуском отдельных звеньев; эти особенности требуют проверки выводов аналитическими средствами – индуктивными или дедуктивными».
В процессе традиционного школьного обучения математике иногда основное внимание уделяется точному воспроизведению школьником полученных им знаний. Поэтому нередко своеобразный ответ одаренного учащегося ценится меньше, чем хорошо заучен­ный ответ другого. В первом случае, хотя учащийся не в состоянии четко изложить ход своих мыслей, он приходит к правильному ре­зультату, показывая хорошее умение применять свои знания, во втором – учащийся много и правильно говорит, но по существу не умеет пользоваться понятиями, выраженными в его речи.
Часто преподавание математики строится именно так. Школь­ник учится не столько понимать математические отношения, сколь­ко просто применять определенные схемы или правила без понима­ния их значения и связи. После такого неудачного начала обуче­ния учащийся приходит к убеждению, что самое важное – быть «точным», хотя точность относится скорее к вычислениям, чем вообще к математике. Американский педагог-психолог Д. Брунер пишет, что «...Быть может, самым поразительным примером такого подхода является первоначальное изложение евклидовой геометрии учащимися средней школы в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометри­ческими формами. Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде «интуитивной» геометрии, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее».
В настоящее время развитие интуитивного мышления привлекло внимание многих прогрессивных педагогов-математиков. На роль интуиции в обучении математики указывает А. Н. Колмогоров, Который пишет: «...Везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными.
 ...Геометрическое воображение, или, как говорят, «геометриче­ская интуиция», играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлечен­ных. В школе обычно с особенным трудом дается наглядное пред­ставление пространственных фигур. Надо, например, быть уже очень хорошим математиком (по сравнению с обычным школьным уровнем), чтобы, закрыв глаза, без чертежа ясно представить себе, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, про­ходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диаго­налей».
Правда, значение интуиции нельзя переоценивать. Конечно, человек с хорошо развитой способностью к интуитивному мышле­нию обычно обладает определенными математическими способно­стями, но сама по себе интуиция не может обеспечить хорошего зна­ния предмета.
Д. Брунер высказывает мысль, что «может быть, прежде всего, нужно создать интуитивное понимание материала и только тогда знакомить учащихся с более традиционными и формальными мето­дами дедукции и доказательства».
То же самое отмечает и Э. Кастельнуово в книге «Дидактика математики».
Говоря об обучении геометрии, она указывает, что надо сделать так, чтобы курсу «рациональной» геометрии предшествовал курс «интуитивной» геометрии. Этот курс должен быть построен таким образом, чтобы к 14 годам дети имели полное представление о мире геометрических фигур и вопросы, изученные в начале на интуитив­ной основе, были затем повторены с более абстрактной точки зрения, т. е. предлагается метод действия с объектом, а не метод наблюдения над ним.
Автор ставит вопрос: «Если ясно, что надо начинать с изложения курса интуитивной геометрии, исходя из конкретного развития понятий и свойств, то какой смысл следует придавать опоре на конкретное?» И приводит пример, рассказывающий о различном подходе к конкретному: представим, что с детьми 11 лет мы изучаем квадрат. Чтобы дать определение этой фигуры, впрочем, уже из­вестной всем детям этого возраста, исходя из конкретного, можно вырезать квадраты из листа бумаги и дать детям задание наблюдать за сторонами и диагоналями вырезанных квадратов. Можно при­вести примеры предметов, имеющих форму квадратов, сравнить квадраты с другими видами четырехугольников. Все это делается для того, чтоб ученик смог самостоятельно дать определение. Отправляясь от небольшого числа наблюдений неподвижных фигур, учащийся 11 лет, как правило, не способен сделать это самостоя­тельно.
Автор предлагает другой, более естественный путь, используя не наблюдения над объектом, а действия с объектом.
Детям дают равные между собой планки и винты для их скреп­ления. Скрепив планки, учащиеся замечают, что фигура, которую они получили, может изменятся, преобразовываться в ромб.
Если сосредоточить внимание ребенка на элементах, которые не изменяются и которые изменяются при переходе от одной фигуры к другой, то он сможет интуитивно почувствовать постоянство суммы величин углов и изменение суммы длин диагоналей через рассмотрение предельных случаев, когда ромб «стремится» к отрезку. В этом случае наблюдение за большим числом фигур образующихся при преобразовании квадрата, приводит к характеристике и квадрата через ромб и, следовательно, к определению фигуры.
Д. Брунер задает вопрос: «Является ли более вероятным раз­витие интуитивного мышления учащегося в тех случаях, когда пре­подаватель сам мыслит интуитивно?.. Кажется невероятным, что­бы учащийся мог развить у себя или имел доверие к интуитивному методу мышления, если он никогда не видел, как его эффективно используют взрослые. Учитель, который готов по догадке давать ответ на вопрос, заданный классом, и затем подвергнуть свою до­гадку критическому анализу, быть может, с большим успехом сформирует у своих учащихся умение пользоваться интуицией, чем тот учитель,  который анализирует все свои   впечатления   заранее...
...Следует ли стимулировать учащихся к догадкам? Как созда­вать ситуации,  требующие  напряжения   интеллектуальных   про­цессов? Возможно, что имеются определенные условия, в которых догадки желательны и могут в некоторой степени   способствовать нормированию интуитивного мышления. Такие догадки нужно заботливо развивать. Однако в школе выдвижение догадки часто тяжело наказывается и как-то ассоциируется с леностью учащихся. Конечно, никому бы не понравилось, если бы наши учащиеся не отмели совершать иных интеллектуальных операций, кроме догадок, как за догадками всегда должны следовать проверка и подтвер­ждение в той мере, в какой это необходимо...   Не лучше ли для учащихся строить догадки, чем лишаться дара речи, когда они не могут немедленно дать правильный ответ?»
Поэтому в процессе обучения математике следует всячески по­ощрять у учащихся желание и способность к догадке. При этом сле­дует каждый раз обращать внимание учащихся на то, что каждая гипотеза, выдвинутая при помощи догадки, нуждается в проверке на правдоподобность и в обосновании (если она не будет опровергнуты каким-либо примером).
Интуитивное мышление нередко проявляется в процессе умозаключений по аналогии.
Так, например, пусть нам известно, что центр тяжести одно­родного треугольника совпадает с центром тяжести трех его вер­шин (т. е. трех материальных точек одинаковой массы, помещенных в трех вершинах треугольника).
Зная это, мы можем предположить, что центр тяжести одно­родного тетраэдра совпадает с центром тяжести его четырех вершин. Такая догадка представляет собой «догадку по аналогии». Зная, что треугольник и тетраэдр похожи друг на друга во многих отно­шениях, мы и высказываем эту догадку. Предоставляем читателю самостоятельно проверить, насколько верна высказанная только что догадка.
Функциональное мышление, характеризу­емое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих  идей школьного  курса математики – идеи  функции.
Как известно, одним из центральных требований начальной стадии международного движения за реформу математического обра­зования (возглавлявшегося Ф. Клейном) было требование обращать особое внимание на развитие у школьников функционального мыш­ления, наиболее характерными чертами, которого являются:
а) представление математических объектов в движении, изме­нении;
б) операционно-действенный подход к математическим фактам, оперирование  причинно-следственными  связями; 
в) склонность к содержательным интерпретациям математичес­ких фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам мате­матики.
Как показывают исследования, наглядно кинематические и физические представления, лежащие в основе функционального мышления, органически сливаются с формально-логическими ком­понентами  мышления.
Одним из средств развития функционального мышления могут служить системы задач на математическое выражение и исследова­ние конкретных ситуаций с ярко выраженным «функциональным Содержанием».
В общем случае решение такой задачи содержит в себе три мо­мента:
1. В  изучаемом  явлении   выделяют  основные,   существенные связи, отбрасывая второстепенные, несущественные детали, вводят различного  рода  упрощения   и  допущения.
2. Связав объекты, выступающие в изучаемом явлении, с чис­лами или геометрическими образами,  переходят от зависимостей между этими объектами к  математическим  соотношениям – фор­мулам, таблицам, графикам.
3. Полученные математические соотношения исследуют, поль­зуясь уже известными, выработанными и изученными математическими правилами действий над ними, а результаты исследования истолковывают в терминах и понятиях изучаемого явления.
К сожалению, на практике из-за  недостатка времени нередко приходится ограничиваться неполными задачами, содержащими только некоторые из перечисленных выше элементов. Какими именно, зависит от возраста учащихся и преследуемых учителем целей.
Нетрудно обнаружить, что разновидности математического мышления являются не чем иным, как специфическими формами - проявления диалектического мышления в процессе изучения мате­матики. Можно, например, указать на тот факт, что так называемое функциональное мышление является адекватным осознанию из­менчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических понятий и соотношений, что характерно для диалектического мышления.
Известно также, что наряду с задачей развития логического мыш­ления, составляющей одну из задач обучения математике, в школьном обучении должна решаться не менее важная, хотя и более общая задача – задача   воспитания   логической   гра­мотности.    Содержание   понятия   «логическая   грамотность» доставляют такие логические знания и умения, которые дают воз­можность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни. Исследования Л. Никольской показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и уме­ниями: умения определять известные понятия, классифици­ровать,  понимать смысл основных логических связок,  распозна­вать логическую форму математических предложений, доказывать утверждения и обнаруживать логические ошибки, организовывать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации, мыслить  критически,   последовательно,   четко  и   полно,   владеть основными мыслительными приемами. Нетрудно обнаружить, что в понятие логической грамотности вкладываются не только  со­ответствующие знания и умения, но и сформированность многих качеств научного мышления. Поэтому задача воспитания логической грамотности правомерно рассматривается как важный элемент общей   культуры  мышления.
Развитие же логического мышления учащихся в процессе обучения математике есть, прежде всего, развитие тео­ретического мышления, которое представляет собой один из важнейших аспектов развития диалектического мышления. В самом деле, не только в ходе обучения и развития, но и в ходе воспитания, и в особенности в процессе формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников, предполагается целенаправленная работа учителя по развитию логического мышле­ния, основанная на самом содержании учебного материала и его методологии. Конечным итогом обучения любому предмету (в том числе и математике) должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования ма­терии. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сде­ланы самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий, в процессе изучения конкретного учебного предмета, под руководством учителя.
Таким образом, с научной точки зрения говорить о вышеуказан­ных типах мышления как о компонентах, присущих только мате­матическому мышлению, было бы неверно.
Вместе с тем с дидактических позиций выделение этих компонен­тов математического мышления возможно и даже целесообразно, т. е. целенаправленная работа учителя по формированию у школь­ников функционального, логического, интуитивного и т. д. мышле­ния реализует задачу математического развития учащихся в целом.
Использование условной терминологии дает возможность ориен­тировать учителя на ту или иную сторону развития математиче­ского мышления у школьников в соответствующих методических рекомендациях. Так, обратимся еще раз, к примеру, упомянутому ранее. Говоря о необходимости развития у учащихся абстрактно­го мышления, можно рекомендовать учителю, приступающему к преподаванию систематического курса геометрии, начать с рас­смотрения реальной ситуации – задачи проведения трубопровода между двумя пунктами. Сам трубопровод представляет собой ре­альный объект, обладающий самыми различными, важными в практическом смысле свойствами: весом отдельных звеньев, ка­чеством металла, размерами, формой, протяженностью, качеством покрытия, пропускной способностью и т. д.
Начиная проектировать строительство трубопровода, инженер-конструктор, прежде всего, будет интересоваться протяженностью и трассой, по которой он будет проложен. На этом уровне конструктор отвлекается от всех других свойств этого объекта, обращая вни­мание лишь на названные выше свойства; возникает абстракт­ная модель трубопровода в виде геометрической линии. Руководствуясь оптимальными условиями эффективной работы трубопровода, инженер начинает изучать вопрос о необхо­димой для этого форме и размерах трубопровода, не интересуясь теперь тем, по какой трассе он будет проложен. Возникает новая абстрактная модель этого же объекта, представленная в виде геометрического тела. Прораб, который руководит обкладкой трубопровода изоляционным материалом (или окраской трубопровода, защищающей его от коррозии), имеет дело уже с другой абстрактной моделью трубопровода: он рассматривает его как геометрическую поверхность. Решение этой и других аналогичных ей задач устанавливает полезность рассмотрения среди многообразных свойств объекта таких свойств, как размеры, форма и положение в пространстве. Возникает целая отрасль научного знания об объек­тах реальной действительности, в которой изучаются именно эти свойства реальных объектов, называемая геометрией.
Таким образом, тезис В. И. Ленина о том, что «диалектика вещей создает диалектику идей...»,  имеет отношение, но только к анализу природы абстракции, но и к методам обучения математике. Говоря о том, что в процессе обучения математике необходимо развивать абстрактное мышление школьников, мы, в частности, имеем в виду широкое использование методических приемов, аналогичных вышеприведенному.
В состав математического мышления включаются мыслит ильные умения, адекватные известным методам научного познания. В практике обучения математике от выступают не столько как методы математической деятельно­сти, сколько как комплекс средств, необходимых для усвоения у^чащимися математики и развития у них качеств, присущих ма­тематическому мышлению. Эти мыслительные умения могут проявиться (и формироваться) в обучении на уровнях эмпириче­ского    и    научно-теоретического   мышления.
Наряду со спецификой математического мышления справедливо P3Дичать специфику физического, технического, гуманитарного и других видов мышления. Именно в силу этой специфики в про­цессе познания конкретных наук (и обучения конкретным учебным предметам) активизируется развитие того или иного компонента мышления вообще, усиливается роль того или иного приема мы­слительной деятельности, того или  иного метода  познания.
Формирование математического мышле­ния школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного позна­ния, в органическом единстве с формами проявле­ния мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.
В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных пред­мета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обу­чение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышле­ния, которые с точки зрения математического образования счи­таются второстепенными.
Органическое сочетание и повышенная активность разнообраз­ных компонентов мышления вообще и различных его качеств про­являются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческо­го характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.
Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.

1.3. Развитие мышления при обучении математике.

 

1.3.1. Средства и условия развития мышления.

Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оперировать в процессе реализации цели.
Среди теорий, рассматривающих проблемы развития мышления, интеллекта, следует выделить ассоцианистскую теорию, стоящую у истоков многих других теорий развития (Д.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн и др.). Мышление, согласно этой теории, – это процесс.
Мыслительный процесс делится на акты, этапы, каждый из которых имеет результативное выражение – «продукт». Последний включается в дальнейшее протекание процесса. Предметом психологического исследования являются не продукт, а процесс, процессуальное мышление.
Внутренние закономерности мышления – это закономерности мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования и др. и их взаимосвязей.
Согласно этой теории и ученик и ученый овладевают новыми знаниями с помощью мыслительных операций, формы и уровень которых различны. По мере формирования операций формируется интеллект.
Каждый учебный предмет имеет свою специфику, и каждая умственная операция преломляется через специфику содержания предмета. Эти операции не привлекаются извне, они порождают­ся процессом мышления в результате анализа задачи, ее условий.
Одним из ключевых моментов поиска решения задачи, соглас­но рассматриваемой теории, является перенос уже имеющегося способа решения на новую задачу. Перенос решения предпола­гает аналитико-синтетическую деятельность относительно реша­емой и решенной задачи. Использование вспомогательной зада­чи может быть осуществлено только при достаточном анализе основной задачи. Раскрытие общего в обеих задачах - необходи­мое условие переноса. Перенос не осуществляется решающим в силу следующих обстоятельств: не знает, забыл вспомогатель­ную задачу, не умеет в задачах найти общее, недостаточная обоб­щенность результата решенной задачи. Если, например, учащие­ся, изучившие теорему Пифагора, не могут перенести ее условия на ситуацию, связанную с ромбом, значит, ими не проведена аналитико-синтетическая деятельность по анализу задачи, выделе­нию главного, определяющего метод решения задачи.
Содержанием процесса переноса является анализ через син­тез, т. е. рассмотрение ситуации с различных точек зрения.
Говоря о теориях развивающего обучения нельзя не сказать о теории Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, получившей особенно широкое распространение в начальной школе, в том числе при обучении математике. Эта теория постепенно завоевывает свое место и в средней школе. В чем суть рассматриваемой концеп­ции? В чем выражается эффект развития и за счет чего он получа­ется?
Исходные установки концепции Д.Б. Эльконина – В.В. Давы­дова касаются всех сторон обучения. Это – создание условий для развития личности ребенка, смена содержания обучения, измене­ние форм работы с детьми. Изменение содержания курса диктует­ся основным положением концепции - изучением содержания на уровне теоретического обобщения. Теоретические знания, соглас­но концепции, должны отражать внутренние существенные связи материала, не данные в рамках чувственного опыта. Произвести содержательное обобщение - значит открыть некоторую законо­мерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Теорети­ческие обобщения возникают не путем простого сравнения пред­метов, а с помощью выявления генетической основы всех конк­ретных проявлений целостной системы.
Основная форма организации изучения материала в этой тео­рии – постановка и решение учебных задач в рамках проблемно­го подхода. Понятие «учебная задача» введена авторами кон­цепции. Она означает обобщенное знание, обобщенное умение. Примеры обобщенных знаний: как устроено определение поня­тия, почему необходимы неопределяемые понятия, как устроена дедуктивная теория. Примеры обобщенных умений/анализиро­вать условие задачи, составлять прием решения типовой задачи, применять любое правило на практике, читать математическую книгу и многое другое.
Учебная задача существенно отличается от многочисленных частных задач, входящих в программу того или иного класса при традиционном обучении. При решении учебной задачи школьник первоначально овладевает общим способом решения част­ных задач на уровне теоретического обобщения. Задача решает­ся для всех однородных случаев сразу. Разрешение учебной зада­чи всегда заканчивается построением программы, предписания, алгоритма - получением ориентировочной основы для решения сходных задач.
Эта ориентировочная основа является основанием для анали­за условия, планирования, осуществляемых учеником при реше­нии частных задач, для рефлексивных действий, для развития со­ответствующих особенностей мышления, которые являются по­казателями развитого мышления.
Итак, каждая из рассмотренных концепций предлагает свой путь развития мышления, свой путь организации обучения, свои формы и методы работы, свой подход к содержанию материала. Представляется, что, во-первых, в практике обучения нельзя ис­ходить из одной, пусть даже очень эффективной, концепции. Процесс обучения многогранен, поэтому необходим подход к нему с точек зрения различных теорий, различных концепций. Во-вто­рых, теории развивающего обучения не только не противоречат друг другу, но имеют много общего. Все они предполагают обу­чение учащихся ориентированию в неопределенных ситуациях, анализу этих ситуаций, уточнению целей, поиску выхода из за­труднительной ситуации, осознанию путей выхода из ситуации.
Рассмотренные теории могут найти свое место в процессе обу­чения - в организованном процессе передачи старшим поколени­ем младшему своего опыта.                                      
Многие педагоги и психологи в качестве важнейшего показа­теля развития личности выделяют наличие систематизированных знаний, накопление фонда знаний относят к одной из важнейших задач умственного воспитания, считают, что если школа не доби­вается от учащихся глубоких, прочных знаний, то она не может развивать мышление и творческие способности. Знания как пред­мет обучения являются лишь одной из целей обучения, но этот такая цель, в которой концентрируются другие цели обучения. Без знаний не может быть умений. Знания являются предпосылкой, средством и результатом творчества. Без глубоких систе­матизированных знаний невозможно формирование мировоззре­ния. Достаточно полный и систематизированный запас знаний об окружающем мире является важнейшим показателем разви­тия личности учащегося. Знания - не только фонд для осуществ­ления мышления. Усвоение содержания не есть акт простого при­своения знаний. Осознание содержания даже при предъявлении его в готовом виде объяснительно-иллюстративным методом предполагает понимание его внутренней логики, различных вза­имосвязей элементов знаний, соотнесение новых знаний с имею­щейся системой знаний, ее дополнение, изменение. Усвоение зна­ний при любых методах обучения предполагает осуществление мыслительных операций, заложенных в содержании, результа­том выполнения которых и является осознание содержания. Логика содержания в значительной мере определяет логику позна­ния. И развитие происходит при всех формах передачи знаний, хотя и в разной степени. При передаче знаний также предполага­ется и деятельность прогнозирования при восприятии материала, предвосхищение взаимосвязей в этом материале. Происходит со­поставление нового с собственным опытом, критический его ана­лиз. Возникают различные аналогии. И если ученик впервые в каком-либо содержаний встречается, например, с отношением транзитивности и понимает его в соответствующем контексте, то это хоть и небольшое, но продвижение в развитии его мышления.
Итак, создание системы знаний, наличие этой системы являет­ся и условием, и средством, и показателем развития мышления.
Но знания важны не сами по себе. Важно функционирование знания в мышлении, выработка собственных практических ре­шений под воздействием знаний. Необходимо заботиться не про­сто о системе знаний, а об интеграции знаний в такую систему, которая соответствует логике решения задач. Гибкость, подвиж­ность, обобщенность, осознанность, систематизированность зна­ний приобретается и проявляется в применении знаний, в умениях применять знания.
Умение есть овладение «технологией» деятельности, т. е. про­цессом ее построения, контроля, коррекции и оценки. Многие пе­дагоги и психологи под развитием личности субъекта понимают процесс становления его готовности к самостоятельной органи­зации своей работы в соответствии с возникшими или поставлен­ными задачами различного уровня сложности, в том числе выхо­дящими за рамки ранее усвоенного. А готовность субъекта к са­мостоятельной деятельности напрямую зависит от сформирован­ности умений.
Если исходить из классификации умений, разделяющей уме­ния на организационные, практические и интеллектуальные, то последние можно разделить на общие и специальные.
В связи с нашим подходом к анализу процесса мышления среди общих интеллектуальных умений выделим умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, характеризуемые значительной мерой жесткости, алгоритмичности, и умения эвристического поиска.
Тогда к первой группе умений можно отнести умения обоб­щать, сравнивать, анализировать и т. д. Ко второй группе – уме­ние рассуждать доказательно, предъявляя аргументы для подтверждения каждого факта, правильно формулировать определения понятий, подводить под определение, распознавать свойства и признаки, и многое другое. К умениям вести эвристический поиск можно отнести умения видоизменять цель, разбивать задачи на подзадачи, рассматривать один и тот же объект с различных сто­рон, выделять частные случаи для получения общей закономер­ности и т.д.
Ко второй группе умений – специальных можно отнести уме­ния по использованию координатного, векторного метода реше­ния задач, умение решать задачи с помощью составления уравне­ний и т.д.

1.4. Развитие логического мышления при обучении математике.

 

1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся.

Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.
Во-первых, проблема развития логического мышления долж­на иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу боль­шого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усва­иваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.
Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать про­блему в силу того, что разные авторы под развитием логического мышления подразумевают различные задачи. В статьях, рекомен­дациях, как правило, поднимаются отдельные аспекты, обшей за­дачи развития логического мышления. Есть необходимость в це­лом сформулировать проблему.
Существуют различные трактовки терминов «логика мышле­ния», «логическое мышление». В педагогике, в методике препо­давания математики эти понятия отдельными авторами понима­ются очень широко как обеспечение связей в мыслях. Такое пони­мание охватывает и логику поиска нового знания (диалектичес­кую логику) и логику оформления имеющегося знания и логику здравого смысла. Также имеет место смешение элементарных психологических операций процесса мышления и логических форм. Нередко к логическим операциям относят элементарные операции мышления: анализ, синтез, сравнение и т.д.
Кроме того, часто понятия диалектическое и логическое мыш­ление четко не разделяются.
В данном изложении принята точка зрения на логическое мыш­ление как отличное от диалектического, творческого, мышления поиска нового знания.                                             
В реальном процессе мышления творческое и логическое мыш­ление тесно переплетены, взаимопроникают, но нетождественны.
В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мыш­ление - мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мыш­ление в таком понимании не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посы­лок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие про­цесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психо­логи, изучавшие процесс мышления (Я. А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически мышление. Логи­ческие рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, про­пуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е. озарения, инсайта, интуиции.
Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена – развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислении.
Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать в обычном учебном про­цессе, не привлекая дополнительного содержания, лишь расстав­ляя в обычном учебном материале определенные акценты.
Выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее, если обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные логические формы. С осознанием отдель­ных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.
Существующее положение дел в усвоении норм логического мышления не может считаться удовлетворительным в массовой школе, т. к. многие учащиеся, выпускники школ допускают мно­гочисленные логические ошибки при определении понятий, их классификации, путают прямую и обратную теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под определение, не уме­ют строить отрицания высказываний и т. д. Приведем примеры типичных ошибок учащихся. Например, при обосновании, что треугольник со сторонами 3,4,5 является прямоугольным, назы­вается теорема Пифагора, а не ей обратная. При определении понятий неверно указывается родовое понятие: «Диаметр – пря­мая, проходящая через центр окружности». Неверно или не пол­ностью указываются видовые отличия: «Параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого боковые стороны равны». Отсутствует родовое понятие или видовое отличие: «Средняя ли­ния трапеции – это отрезок», «Параллелограмм – это когда сто­роны параллельны». Формулировки определений избыточны: «Равнобедренный треугольник – это треугольников котором сто­роны, лежащие против равных углов, равны».
Учащиеся путают определение понятия, признак, свойство. Вместо признака, требуемого при решении задачи, приводится определение или свойство, вместо определения – признак и т.д.
Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении свя­зи между понятиями, при классификации понятий, при выяснении, которая из двух теорем является следствием другой. Пример не­верной классификации: «Прямые в пространстве могут быть па­раллельными, перпендикулярными, пересекающимися, скрещива­ющимися». И т. д.
Как можно видеть, существует необходимость в процессе обу­чения обращать специальное внимание на развитие логического мышления. В настоящем пособии тема развития логического мышления учащимся рассматривается после того, как основные вопросы курса методики изучены. Представляется, что когда предмет методики преподавания математики лишь начинается, цели развития логического мышления при обучении математике могут быть лишь обозначены примерно в том плане, как это сде­лано в программе по математике.
По мере изучения вопросов общей и частных методик проблема развития логического мышления раскрывается более деталь­но. Требования к формулировкам определений понятий, к по­строению доказательств и т. д. рассматриваются в соответству­ющих темах. Однако разрозненные сведения необходимо систе­матизировать, обобщить, углубить, довести до такого уровня, что­бы постанова целей развития логического мышления, постанов­ка соответствующих учебных задач не представляла бы трудно­стей.
Почему проблема развития логического мышления чаще все­го поднимается в школьном курсе математики? Существуют ме­тодические работы по развитию мышления, в том числе и ло­гического, в школьных курсах русского языка, истории и т. д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных граммати­ческих ошибок, приходится постоянно рассуждать логически. Ло­гически мыслить можно учить через любую науку, любой школь­ный предмет. Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка. Ни в одном школьном предмете нет це­почек получения новых суждений, т. е. нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах доказательства фрагментарны, состоят из одного - двух шагов. Наличие много­шаговых доказательств – одно из проявлений специфики матема­тики – науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса математики существенно отражается на логи­ческом, и, соответственно, на общем развитии человека.
Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гумантаризации школьного математического образования.

 

1.4.2. История проблемы развития логического мышления

учащихся.

История проблемы развития логического мышления при обу­чении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике/Известные из истории математики первые доказательства таковыми не явля­ются с современной точки зрения. В древней индийской книге Ганеши доказательство формулы площади круга ограничивалось рисунком (см. рис.4) и надписью: «Смотри».

Рис. 4
Логика формальных рассуждений – формальная логика до­шла до настоящего времени из древних времен благодаря рабо­там древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), в которых разработана теория дедукции, т. е. правил логическо­го вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристоте­лю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формаль­ной логики.
Формальная логика возникает тогда, когда развитие специ­альных наук и вообще человеческого мышления сделало акту­альным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать пра­вильные выводы.
В связи с появлением неэвклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возни­кает потребность в совершенствовании аппарата доказательств! В IXX веке в результате применения в формальной логике мате­матических методов возникает математическая логика.
Математическая логика существенно обогатила курс фор­мальной логики, введя большую строгость в математические доказательства на основании новых требований к получению но­вых суждений.
Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мыш­ления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный в отличие от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развития логических структур от обучения.
Методист И.А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирова­ния умений учащихся: по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определения, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами «необходимо» и «дос­таточно», использовать различные приемы и виды доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист А. А. Сто­ляр, который считал необходимым на определенном этапе обуче­ния знакомить учащихся с элементами математической логики.
В работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова выделены зна­ния и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение свя­зок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержа­щих кванторы, понимать смысл терминов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

 

1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при         обучении математике в школе.

Основной задачей формальной логики является отделение пра­вильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суж­дений – посылок нельзя получить ложное суждение - ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заклю­чения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную инфор­мацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.
Совокупность общественной практики, являющейся критери­ем истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассужде­ний, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил выво­да. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.
Говоря о логической составляющей в обучении учащихся ос­тановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в поря­док, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в извест­ные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.
Установить порядок на некотором множестве объектов – зна­чит пронумеровать их. Существуют определения строгого и не­строгого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на мно­жестве суждений можно установить с помощью отношения «сле­довать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треуголь­ника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» – отношение строгого порядка, отношение «следовать» – пример отношения нестрогого порядка.
Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математи­ки и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.
Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информа­ция была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в рабо­те А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме челове­ка неупорядоченной, т.е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в каче­стве исходного материала для получения новых знаний. Во-вто­рых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразо­вываться им, не использоваться для получения новых знаний ло­гическим путем, с помощью рассуждений».
Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащи­мися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:
Учащиеся должны уметь:
♦   формулировать определения понятий с использованием раз­личных связок и кванторов;
♦  приводить примеры понятий, подводить объекты под опреде­ления различных логических конструкций;
♦  приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определе­ний различных логических конструкций;
♦  понимать отношения между двумя понятиями;
♦  проводить классификацию известных понятий;
♦  понимать свойства конкретных отношений – рефлективность, симметричность, транзитивность – без употребления соответ­ствующей терминологии;
♦   понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;
♦  выделять условия и заключения теоремы;                              
♦  строить отрицание утверждений различной структуры;
♦  различать свойства и признаки понятий;                             
♦  понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;
♦  уметь проводить полученное доказательство;
♦   понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;
♦   понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;
♦ использовать отдельные методы доказательства – метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;
♦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.
Овладение перечисленными действиями  по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

 

1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся.

Для решения задач развития логического мышления не требу­ется включения в курс дополнительного математического мате­риала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.
В системе работы учителя по развитию логического мышле­ния учащихся могут иметь место различные уровни.
I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным факто­ром, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.
II. Организация деятельности учащихся по осознанию логи­ческой составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.
III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определе­ние, подведение под понятие и многое другое.
Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях система­тизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.                                                                  
I. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания вза­имосвязей между компонентами системы.
II. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.
III. Уровень логично организованных знаний.
Последний уровень характеризуется пониманием целостнос­ти системы знаний, пониманием места отдельных элементов сис­темы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного ма­териала.
Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.
ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равносторон­него треугольника наряду с другими заданиями можно предло­жить учащимся следующие вопросы:
– Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у кото­рого две стороны равны и два угла равные, называется равно­бедренным?
– Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?
–Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники яв­ляются равносторонними?
–Какими могут быть неравносторонние треугольники?
– Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла рав­нобедренного треугольника является его медианой и высотой?
В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению призна­ков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинаю­щими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, на­против, понимание терминов свойство и признак понятия позво­ляет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используют­ся, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки – ког­да необходимо под понятие подвести.
Путаница свойств и признаков обусловлена тем, что кроме как в математике и, может быть, еще в медицине термины «свой­ства» и «признаки» нигде строго не разделяются. Например, в сло­варе русского языка дается такая формулировка: «Свойство – это качество, признак, составляющий отличительную особенность кого – чего – либо.» (С.И. Ожегов. Толковый словарь. М., 1998.) Или: «Свойство - то, что присуще предметам, что отличает их от других предметов или делает их похожими на другие предметы.» (Н.И. Кондаков. Логический словарь. М., 1971.)
В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки – как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как  необходимое и достаточное условие.
Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. «Свойство – каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими.» (Энциклопедиче­ский словарь. М., 1964.) «Признак – показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо». (СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1996.)
По сути дела свойство понятия, объекта – это все то, что мож­но сказать об объекте, изучая его. Признаки – это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определен­ному классу объектов, к понятию.
В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема «Отноше­ние периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.
Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие попарного равен­ства противоположных сторон четырехугольника является при­метой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.
Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком jc или свойством некоторого понятия является рассмат­риваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы (если треугольник является прямоугольным, то...), – теорема вы­ражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы (..., то данный четырехуголь­ник является параллелограммом), – теорема является его призна­ком.
При этом называть теорему признаком или свойством безот­носительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема «В подобных треугольниках соответствую­щие углы равны» является свойством понятия подобные треуголь­ники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, на­пример, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.
Как строится теория понятия? Вначале дается формальное оп­ределение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обрат­ные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истин­ность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.

1.5. Развитие логического мышления в геометрии.

 

1.5.1. Задачи преподавания геометрии в школе.

Задача преподавания геометрии – развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понима­ние и логическое мышление.
Разумеется, в задачи курса геометрии входит: дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области гео­метрии. Однако все же главные, глубинные задачи преподавания геометрии заключаются в трех указанных элементах...».
Таким образом, А. Д. Александров указывает на три основные задачи преподавания геометрии в средней школе: наряду (точнее, посредством) с изучением основных геометрических фактов и развитием определенных умений и навыков, учащихся главные задачи составляют развитие их пространственного воображения, логического мышления и понимания того, что геометрия изучает, свойства реального мира. Эта точка зрения нашла яркое воплощение в пробных учебниках геометрии, написанных авторским кол­лективом   во   главе с академиком А.Д. Александровым.
Программа по геометрии дает такие же целевые установки на преподавание геометрии в средней школе. Таким образом, основ­ными задачами курса геометрии являются:
–  систематическое изучение основных фактов геометрии, ме­тодов их получения и возможностей их применения;
–  развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;
–  развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.
При этом основой для развития пространственного воображе­ния и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.
В высказываниях ряда ученых и в учебниках, написанных ими, можно заметить определенные акценты, которые они делают на от­дельных задачах преподавания геометрии в школе. Так, у акаде­мика А. Д. Александрова – это «лед и пламень» органического единства строгой логики и живого восприятия реального мира.
Академик А. В. Погорелов на первое место ставит развитие логического мышления учащихся. Он пишет: «Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания гео­метрии в школе – научить учащихся логически рассуждать, аргу­ментировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать».
Стремлением к форсированному развитию логического мышле­ния учащихся обусловлено в его учебнике «основное учебное требование» доказывать все, особенно в начале обучения; повы­шенное внимание к строгости доказательств «очевидных» фактов (например, спи манных с отношением «лежать между»); широкое использование способа доказательства от противного с первых шагов обучения; сознательный отрыв мышления от чертежа как «эффек­тивное обучающее средство».

 

1.5.2. Чертеж учит думать.

В   школьном   курсе   геометрии   выделяют   три вида чертежей:
чертежи, иллюстрирующие содержание вво­димого понятия;
чертежи, образно представляющие условие задачи или рассматриваемого математического предложения;
чертежи, иллюстрирующие преобразования геометрических фигур.
Мы будем рассматривать главным образом работу с чертежами первых двух видов, по­скольку они имеют более общее назначение.
Формируя у учащихся умение, работать с чертежом, учитель должен помнить, что если ограничиваться стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро начнут связывать формируемое понятие только с фигурами опре­деленного вида и положения. «Стандартный» чертеж вызывает у учащихся неверные ассо­циации, в результате которых в содержание понятия вносятся лишние признаки, являю­щиеся частными признаками демонстрируемой фигуры.
Эффективность формирования у учащихся понятий, которые можно представить наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с ним, т. е.  каким оказался первый зрительный образ, ставший затем носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не существенные признаки понятия.
Конечно, на построение различных вариантов одного  и  того  же  чертежа  уходит  много времени.  Рекомендуем   поступить   следующим образом.  Из  куска  линолеума  вырезать  круг   и закрепить его на классной доске так, чтобы он мог вращаться вокруг своего центра. К этому кругу приделать небольшую ручку, с помощью, чертеж которой можно его поворачивать. Всякий раз уже построенный чертеж учитель захочет показать в другом положении, ему останется лишь повернуть круг, на котором чертеж  изображен. Это приспособление полезно еще тем, что позволяет внедрять в сознание учащихся ту важную мысль, что при движении сохраняются основные свойства фигур.
Ученики обычно привыкают соотносить какую-либо фигуру с одним понятием, не умея переосмыслить фигуру в плане другого понятия. Для развития мышления учащихся нужно потратить много усилий на формирование у ни умения вычленять из элементов новые фигуры, не упомянутые в тексте условия  задачи В. И. Зыкова отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия фигур двум и более понятиям».
Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования у учащихся умения подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, преобразований, сопоставлений. Обращаясь к учителям математики, Д Пойа писал: «Результат творческой работы математики – доказательное рассуждение, доказательство, но доказательство открывают с помощью правдоподобных рассуждений, с помощью догадки… Преподаватель должен показывать, что догадки в области математики могут быть разумными, серьезными, ответственными… Давайте учить догадываться!».
При обучению решению геометрических задач очень важно следить за тем, чтобы формулировка задачи помогла учащимся сделать чертеж. В школьных учебниках текст, с помощью которого сформулирована задача или теорема, не всегда написан доступным, понятным языком. Как показывает практика, ученикам труднее всего даются такие тексты, в которых краткость достигается нанизыванием придаточных предложений или причастных оборотов.
Особое место в развитии мышления зани­мает обучение сравнению, в частности сравне­нию факта, выраженного словесно, с его интер­претацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказыва­ния. Учась опровергать неверные высказы­вания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. Приведем три задания, кото­рые фактически нацеливают учащихся на поиск контрпримеров.
11.   Верно ли утверждение: «Любой четы­рехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом»?
12.   Верно ли утверждение: «Любой четырех­угольник, у которого два противоположных угла прямые, является прямоугольником»?
13.   Изобразите на чертеже случай, для которого неверно высказывание: «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки». (Пропущено указание на то, что речь идет о двух прямых.).
В пропедевтическом курсе геометрии важно воспитывать у школьников понимание необхо­димости того, чтобы изучаемые факты дока­зывались. Целесообразно показывать школь­никам что v людей нет иного пути убедиться в истинности суждения, как только доказать его логическим путем. «Самые тщательные из­мерения - может сказать учитель,— все-таки оставляют повод для сомнений, поскольку в них неизбежны большие или меньшие ошибки. Доверяться очевидности тоже нельзя, так, как широко известно, что зрение человека дает неточную, а иногда и совершенно ошибочную информацию».
Итак, разносторонняя работа с чертежами не только способствует общему умственному развитию школьников, но и подталкивает их логическое развитие, обеспечивая менее болезненный переход от опытно – индуктивного преподавания пропедевтического курса геометрии к дедуктивности основного курса геометрии.
 Для повышения эффективности развивающего обучения геометрии перед учащимися следует систематически ставить серии задач (или отдельные задачи), которые наряду с конкретными обучающими функциями несли бы в себе (также в качестве веду­щих) функции, направленные на формирование у школьников эле­ментов творческого математического мышления.
В качестве таких задач могут выступать,  например, задачи, при постановке которых или в процессе решения которых:
учащимся мотивируется целесообразность изучения нового ма­териала, разумность определений геометрических понятий, полез­ность изучения тех или иных теорем;
учащиеся побуждаются к самостоятельному открытию того или иного геометрического факта, к обоснованию того или иного поло­жения, к установлению возможности применения уже усвоенных ими знаний в новой для них ситуации;
учащиеся подводятся к самостоятельному открытию методов доказательства теорем, общих приемов решения задач, к установле­нию новых связей между известными им геометрическими понятиями;
у учащихся формируются умения использовать ведущие мето­ды   научного   познания   (опыт,   наблюдение,   сравнение,   анализ, обобщение и т. д.) как методы самостоятельного изучения геомет­рии, понимание роли и места индукции, аналогии дедукции в про­цессе познания;
учащиеся обнаруживают взаимосвязь геометрии и алгебры и с другими предметами, устанавливают содержательные и структур­ные связи между различными вопросами самого курса геометрии, получают возможность применить математические знания к реше­нию нематематических задач;
учащиеся приобщаются к самостоятельным поисковым иссле­дованиям (посредством изучения результатов решения задач, из­менения условия задачи, возможных обобщений задачи, отыскания других способов ее решения и отбора того из них, который наиболее полно удовлетворяет заданным условиям, и т. п.);
у учащихся формируются качества, присущие научному мышле­нию (активность, гибкость, глубина, критичность, доказатель­ность и т. п.), умение выражать свою мысль ясно и точно и т.д.

 

2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ, С ЦЕЛЬЮ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО           МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

2.1. Роль задач в обучение, роль задач в развитие логического мышления.

 

2.1.1. Общее понятие задачи.

Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, спо­собности и умения отыскать более или менее оптимальное в данных условиях решение. Поэтому не удивительно то большое значение, которое современная наука придает изучению процесса человече­ской деятельности, поискам эффективных способов управления этой деятельностью, как в сфере производства, так и в обучении.
«Почти всегда изучение любой человеческой деятельности — в труде или игре — можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходится принимать решения, то есть таких ситуаций, когда один человек или группа людей сталкиваются с необходимо­стью выбора какого-нибудь одного из нескольких действий (хотя бы из двух). Поэтому изучение человеческой деятельности можно в основном свести к изучению поведения человека в условиях про­изводимого им выбора, то есть в условиях ситуаций, в которых нужно принимать решение», т. е. в процессе решения человеком различных задач.
Проблема решения задач как чисто математических, так и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоя­щего времени нет общепринятой трактовки самого понятия зада­чи. «Понятие задачи обычно используется только в ограниченном объеме: говорят о научных (математических, физических и т. п.) задачах, о задачах в образовании, о задачах политических, хозяй­ственных, технических. Общее понятие задачи еще не выработано».
Главной причиной такого положения дел, несомненно, являются, прежде всего, объективнее трудности, связанные с характеристикой этого понятия в общем виде. Вместе с тем немалое значение имеет и то обстоятельство, что до недавнего времени для большинства исследователей наибольшую практическую ценность представляло изучение процесса решения задач человеком как важной поведенче­ской проблемы, а также путей повышения эффективности процес­са решения задач человеком).

 

2.1.2. Роль задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют, разнообраз­ны» функции. Учебные математические задачи являются очень эф­фективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математиче­ских теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математиче­ском воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в фактических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется поло­вина учебного времени уроков математики (700—800 академических часов в IV—X классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков уча­щиеся.
В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, приме­няемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводят­ся «практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.

Значение учебных математических задач
При обучении математике задачи имеют большое и многосторон­нее значение.
1.2.1. Образовательное значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теорети­ческие разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приоб­ретает математические знания, повышает свое математическое образовавшие. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточ­ной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень математического образования.
1.2.2. Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается  применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятель­ности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, по­вседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах при­ходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математиче­ских задач. Математические задачи решаются в физике, химии, био­логии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особен­но в их теоретических основах, и др.
Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практиче­ским, жизненным содержанием.

1.2.3. Значение математических задач в развитии мышления. Ре­шение математических задач приучает выделять посылки и заключе­ния, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопо­ставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я. Хинчин, воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной ар­гументации. Решение задачи должно быть полностью аргументиро­ванным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмот­рение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность симво­лики.
1.2.4. Воспитательное значение математических задач. Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяет­ся в различные периоды развития общества. Так, в русских дорево­люционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азарт­ной игре и т. п.
Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.   
Роль задач в обучении математике
Каждая конкретная учебная математическая задача предназна­чается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагоги­ческих, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как Содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее при­менения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.
2.1. Обучающая роль математических задач.
 Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся си­стем л знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.
1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при усло­вии дательной и кропотливой работы над понятиями, их определе­ния» и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его Определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое зна­ние достигается, прежде всего, при решении задач и выполнении упражнений.
2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим язы­ком и, следовательно, математической символикой. Простейшая, сим­вол и  вводится еще в начальной школе и в IV—V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назна­чение.   Приведенные  далее   задачи   способствуют   пониманию    роли скобок и учат их верному употреблению.
Существенное значение в овладение изучаемой символикой имеет правильное ее применение при записи решений задач. Учитель должен внимательно следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными такие, например, записи:
«p < 2 на 3», « Докажем - ность прямых a и b» и др. Следовало бы записать в первом случае: «p меньше, чем 2 на 3», или «2 – p = 3», или «2 – 3 = p», или «p + 3 = 2»,  «2 – 3 = p», а во втором: «Докажем, что a b».
3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказатель­ствам – одна из важнейших целей обучения математике.
Простейшими задачами, с решения которых практически начи­нается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и эле­ментарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.
Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказатель­ства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы пред­ставляет собой цепочку шагов-импликаций.
Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой сим­волики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:
5.  х > у. Обязательно ли x² > у²?
6.  Могут ли две биссектрисы треугольника быть перпендикуляр­ными? А две высоты?
Существенную роль в обучении доказательствам играют упраж­нения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же ма­тематики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет.

 

2.1.3. Роль математических задач в развитии мышления.

1) Мыслительные умения, вос­приятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анали­зировать заданную ситуацию, сопо­ставлять данные и искомые, решае­мую задачу с решенными ранее, вы­являя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и чет­ко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении за­дачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической навыки.
Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Инди­видуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач раз­вивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математи­ческих задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.
2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.
Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятель­ность учеников на уроке.
Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обу­чаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.
Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева – утверждения, выкладки, вычисления, справа – аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.
Разумеется, нет необходимости так записывать решение каждой задачи, допустима и устная аргументация.
Взрослому человеку, как в повседневной жизни, так и в профес­сиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно такое умение и при изучении математики, в противном случае неизбежны ошибки. Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуа­ции свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.
Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истин­ность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение вер­ному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся мате­матически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с язы­ком, речью человека.
Полезно научить школьников, верно, формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при ре­шении задач сведением к противоречию.
Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказатель­ство.   На первых же порах необходимы упражнения в расчленении
некоторых предложений на досылки и заключения.
3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность уча­щихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно,  необходимы матема­тические задачи и упражнения, которые бы активизировали мысли­тельную деятельность школьников.   А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды:   задачи, рассчитанные на воспроизведе­ние (при их решении опираются на память и внимание);  задачи, ре­шение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление  учащихся решение задач двух последних видов.

2.1.4. Значение геометрических задач.

Задачи являются неотъемлемой составной частью курса гео­метрии в средней школе. Действительно, лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу теорем  размещенных более или менее последовательно. Пользы от изуче­ния такого курса очень мало.                                                       
Во-первых, учащимся пришлось бы у «вызубривать» содержа­ние этих теорем, поскольку школьники не видели бы никакого применения изучаемого материала. Был бы нарушен из­вестный дидактический принцип сознательности обуче­ния.
Во-вторых, такой курс не был бы  связан с   другими    дисциплинами,    входящими в программу средней школы, в том числе и с другими математическими дисциплинами.
В-третьих, такой курс ни в малейшей степени не способствовал бы развитию пространственных представлений учеников.
В-четвертых, такой курс не дал бы школьникам подготовки к решению даже простейших практических задач.
Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен различными упражнениями. Как бы ни менялись программа и количество часов, отводим на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.
Разумеется, речь идет не о произвольном наборе задач. Задачи являются первой формой применения знаний, полученных школьниками в процессе изучения геометрии. Поэтому предлагае­мые задачи должны соответствовать подготовке учеников, причем речь идет не только о соответствии общем (программе, учебнику), но и об учете знаний конкретного класса, особенностей про­изводственного обучения и т. д.
Однако задачи играют не только вспомогательную   роль – зак­реплять знания   изученного теоретического материала, но и обучающую роль в процессе решения задач школьники знако­мятся с методами математического рассуждения,    расширяют кругозор.
При подготовке к теме урока учитель особое внимание об­ращает на подбор упражнений. Основным источником для под­бора задач является стабильный задачник. Однако он не может быть единственным источником. Вводной книге нельзя поместить достаточного количества упражнений и для ведения индиви­дуальной работы как с теми учащимися, которые временно стали в учебе, так и с теми, кто определил своих товарищей, и для повторения материала (в конце темы, четверти, учебного года и для проведения контрольных работ).
Поэтому учителя используют, кроме стабильного задачника, другие сборники упражнений, отдельные статьи из опыта препо­давания, содержащие подбор упражнений к отдельным темам курса, а также сами составляют геометрические задачи.

 

2.1.5. Классификация геометрических задач.

Как известно, упражнения в геометрии в зависимости от условия и задания делят на три группы: задачи, на вычисление, дока­зательство и на построение.
В задачах на вычисление требуется выразить неиз­вестные величины (отрезки, углы, площади, объемы) или их от­ношения через известные параметры. Если параметры даны в общем виде, то результат получается в буквах; если же условие со­держит числовые значения параметров, ответ доводится до числа.
Иногда условие таково, что требуется сначала решить задачу в общем виде, а потом подставить в полученное выражение значе­ния параметров. Но порой, независимо от требований условия, за­дачу целесообразно решить в общем виде. Таким образом, решения  «в буквах» и «в числах» не противопоставляются одно другому, они являются лишь двумя формами представления неизвестных величин через известные.                             
В задачах на доказательство необходимо установить наличие определенных соотношений между элементами рассматри­ваемой фигуры: равенство или неравенство отрезков, углов, па­раллельность или перпендикулярность прямых, плоскостей и т. д. Иногда задачи этого типа могут быть оформлены и как задачи на вычисление; например, доказать, что некоторый угол равен 45°, что объем одной фигуры во столько-то раз больше объема другой фигу­ры и т.  п.         
Менее распространены задачи на исследование. В таких упражнениях результат заранее не сообщается. Требуется выяснить лежит ли некоторая точка на данной прямой (на данной плоскости), пересекаются ли данные окружности, * параллельны ли данные прямые и т. п., определить, какой изданных отрезков больше, к какой из сторон треугольника ближе данная точка. Установить зависимость между перечисленными в условие элементами фигуры.    
Обе формы задач  на доказательство важны.
В задачах на построение неизвестные величины опреде­ляются в результате выполнения ряда геометрических построений (с помощью допустимых геометрических инструментов или в обус­ловленной проекции). Как правило, речь идет о построении гео­метрической фигуры по некоторым данным о ней. В стереометрии нередко вместо отрезков и углов дается изображение (например, пирамиды), на котором требуется выполнить построение (напри­мер, найти сечение), т. е. элементы фигуры задаются их положение (на проекционном чертеже).
Мы провели среди учащихся анкетирование для того, чтобы выяснить, как они относятся к решению задач на построение.
Анкета.
1.  Что вам больше нравится:
    а) алгебра
    б) геометрия
2.  Какие геометрические задачи вы обычно решаете успешнее:
    а) на построение
    б) на доказательство
3.  Можете ли работать методом «в воображении», т.е. создавать образы предметов, мысленно представлять их себе с разных сторон, не опираясь на наглядные изображения (картинки, чертежи, схемы)?
    а) да
    б) нет
4.  Как вы используете чертеж в решении геометрической задачи?
    а) в основном на первом этапе работы для меня разобраться в чертеже – это уже решить задачу; на втором этапе записываю ход рассуждений
    б) обращаюсь к чертежу периодически: чередую работу с чертежом и оформление каждого смыслового куска решения
5. Что составляет для вас большую трудность при усвоении геометрии:
    а) представить в уме («по воображению») нужный образ (предмет, чертеж, схему)
    б) восстановить в уме ход рассуждений в какой-нибудь теореме или решенной ранее задачи
6.  При решении геометрической задачи «средней» для вас сложности нужен ли вам чертеж?
    а) большинство задач могу решить в уме, без чертежа
    б) мне было бы достаточно иметь перед глазами чертеж из учебника
    в) всегда удобнее иметь собственный чертеж в тетради, на котором можно сделать дополнительные построения, пометки, обозначения
    г) лучше, когда есть несколько вариантов чертежей: так легче представить задачу «с разных сторон»
7.  Как вы относитесь к необходимости построения чертежа к задаче?
    а) это трата времени, почти всегда могу обойтись без чертежа
    б) черчу с удовольствием, стараюсь выполнить чертеж как можно точнее, это помогает решить задачу
    в) не очень люблю чертить, но стараюсь сделать четкий грамотный чертеж, это облегчает решение задачи
    г) чертеж, наверное, нужен, но не стоит долго им заниматься, вполне достаточно если он приблизительно соответствует условиям задачи
    д) чертеж не обязателен, удобнее делать наброски на черновике и с ними работать.
Обработка результатов

Количество учащихся	\s
	Вопросы

Выводы: По результатам проведенной анкеты можно выделить следующие факты:
1.                Большинство учащихся испытывают неприязнь к выполнению чертежа.
2.                При решении задач «средней» сложности учащимся недостаточно пользоваться чертежом из учебника или изображенным на доске; им необходимо каждому выполнить чертеж в своей тетради.
3.                Для учащихся составляет большую трудность не только выполнение чертежа, но и самостоятельная запись решения. Поэтому решение задачи разбивается на этапы; обсуждая решение по чертежу учащимся необходимо давать время записать его ход после каждого этапа.
4.                 Все учащиеся без исключения не могут мысленно создать образ предмета и рассмотреть его с разных сторон «в воображении».
5.                Как итогом всех этих фактов можно отметить то, что учащиеся больше предпочитают заниматься алгеброй, чем геометрией.

2.2. Характеристика задач на построение.

В преподавании математики большое значение при­обретают вопросы, связанные с обучением учащихся геометрическим построениям  (выполнение наиболее рас­пространенных геометрических построений и обучение решению задач   на построение).
Решая задачи на построение, учащиеся приобретают первые теоретические и практические основы «графической грамотности», знакомятся с наиболее употребитель­ными приемами их решения, с инструментами, исполь­зуемыми в различных условиях работы (о чертежно-конструкторской практике, при разметке, при выполне­нии построений на местности). У них развиваются пространственное воображение, конструктивные способно­сти, сообразительность, изобретательность, т. е. такие качества, которые необходимы работникам многих про­фессий.
Доказательство правильности решения задачи и ее исследование способствуют лучшему усвоению учащими­ся теоретического материала, развитию их логического мышления.
Обучение геометрическим построениям в школе имело до последнего времени много недостатков. Так, уча­щиеся поздно знакомились с геометрическими   построениями (в VI классе ими занимались лишь в конце учебного года). Приемы решения задач на построение часто не отвечали требованиям практики: как правило, изуча­лись построения, выполняемые только циркулем и линейкой, а другие чертежные инструменты практически не использовались; мало уделялось внимания распространенным построениям, хотя обоснование их соот­ветствовало программе по геометрии и целесообразность применения этих построений на уроках математики, чер­чения и других предметов не вызывала сомнения; при рассмотрении геометрических построений не уделялось должного внимания установлению связи между приема­ми построений (на бумаге, при разметке, на местности) и использованием соответствующих инструментов.

 

2.2.1. Определение задачи на построение.

Задачей на построение называется предложение, ука­зывающее, по каким данным, какими средствами (инст­рументами) и какой геометрический образ (точку, пря­мую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, на­метить на местности и т. п.) так, чтобы этот образ удо­влетворял определенным условиям.
Будем считать средствами построения циркуль и одно­стороннюю линейку; вопрос о дополнении этих инстру­ментов чертежным прямоугольным треугольником будет рассмотрен далее.
Задача на построение может быть выражена с по­мощью чертежа-задания. Чертеж-задание включа­ет в себя данные элементы и требование задачи. Рассмот­рим примеры.
1.  Построить треугольник по основанию а, углу при  основании В=β и   высоте   на  основание h_а (рис.6)
2.   Построить   окружность   данного  радиуса r, проходящую через две данные точки А и В (рис.7).
Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) дан­ные элементы являются уже построенными (пример 2, точки А и В), и в этом случае перемещение их по пло­скости невозможно (данные элементы определены по по­ложению); 2) данные элементы лишь могут быть постро­ены (пример 1 – отрезки а и h_а, угол В, пример 2 – от­резок r); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в «любом месте» плоскости (дан­ные элементы не определены по положению).
Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки – значит свести ее к конечной сово­купности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:
1) построение прямой линии через две известные точки:
Дано:                                                            Дано:

Построить треугольник                            Построить окружность
             АВС                                                радиуса r, проходящую
                                                                     через точки А и В
        Рис. 6                                                              Рис. 7
2)  построение точки пересечения двух известных пря­мых (если эта точка существует);
3)  построение окружности известного радиуса с цент­ром в известной точке;
4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности (если эти точки существуют);
5)   построение точек пересечения  двух известных  окружностей (если такие точки существуют).
Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно.
Сведения к каждой задаче к элементарным построениям практически неудобно, так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен.