МПа, (1.2)
где Т- абсолютная температура воздуха.
По данным Гольда (1958г.) модуль Юнга при Т = -5°С равен (9,0 9,8)_*10 дин/см². Рекомендуется принимать значение модуля упругости в диапазоне (35000 62000) кг/см². В качестве среднего значения Е рекомендуется величина 4,23*10 Кн/см². Опыты на ледовой трассе Ладожского озера позволили К.Е. Иванову получить для речного льда  значение E=40000 кг/см² [29]
Анализ  экспериментальных исследований позволил получить диапазон вероятных значений Е_Д в пределах (8,0 9,8)*103 МПа. Значения Е_Д по работе В.В. Богородского [20] представлены в Таблице 4.

Плотность, кг/м3	ЕД, Н/м2
910-914	90000*105
900	75000*105
700-800	40000*1О5

Таблица 4. Значения динамического модуля упругости от плотности.
По рекомендации лаборатории ВНИИГа им. В.Е. Веденеева в ледотехнических расчетах Е должен составлять 4* 10 МПа. Обобщив результаты определения Е на 1940г. Б.П. Вайнборг подсчитал, что наиболее вероятное его значение (70 80)* 10 кг/см.
Позднее Б. Д. Карташкин (1947г.) установил, что при сжатии, растяжении и изгибе в интервале температур от -5 до -16°С модуль упругости в среднем равен 40*10 кг/см. В.П. Берденников (1948г.) считал, что модуль упругости монолитного льда равен 90* 10 кг/см.
Анализ имеющихся результатов позволяет сделать заключение, что модуль упругости, характеризующий упругие свойства льда и определяемый в результате упругой деформации является в некоторой степени величиной неопределенной, потому что выделить при деформации ее упругую часть очень трудно. В то же время только при упругих деформациях модуль Юнга может быть определен надежно.
В отличие от деформации упругих тел величина деформации льда зависит от времени приложения нагрузки. Точно также от него зависит и модуль упругости льда, характеризующий зависимость величины деформации от нагрузки. Поэтому модуль упругости для льда следует определять в наиболее короткий промежуток времени приложения нагрузки, а наиболее подходящими методами ее определения следует считать динамические. К.Ф. Войтковский считает наиболее достоверной величиной E=90000 кг/см², которой и рекомендует пользоваться для расчетов упругой деформации льда при динамическом воздействии нагрузок.
При длительном воздействии нагрузок за упругую деформацию иногда целесообразно принимать величину обратимой деформации, возникшую в течение первых секунд, после приложения нагрузки, как величину, более полно отражающую упругие свойства льда. Для расчетов величины такой деформации, определенной статическими методами при сжатии, растяжении или изгибе, величину модуля упругости льда можно принять равной 40000 кг/см. При этом следует учитывать отмеченную зависимость его величины от напряжений и других факторов. Вследствие того, что лед не чисто упругий материал, В.В.Лавров предлагает Е, определенный статическим методом, назвать модулем деформации.
Определенной зависимости модуля от температуры, по рассмотренным значениям обнаружить не удается. Однако, по мнению Савельева Б.А. повышение температур морского льда ведет к уменьшению значения модуля упругости. Такую тенденцию исследователь объясняет увеличением во льду жидкой фазы.
Для сравнения и более удобного практического использования составлена таблица 5, в которой приведены экстремальные и наиболее вероятные значения модуля Юнга для пресноводного льда.
Таким образом, для исследования влияния значения Е на НДС ледяного покрова следует охватить диапазоны изменения модуля упругости в пределах (З 10)*10³МПа.

Метод	Условия нагру- жения	Температура льда, °С	Модуль Юнга
Статический	Сжатие	-3  -5	3000 84000
	Растяжение	0  -8	17000 50000
	Изгиб	0  -21	6000 117000
	Изгиб ледяного покрова	-3  -8	29600 44000
	Изгиб консоль­ных балок	-	24000 45000
Резонансный	По продольным	0 -10	91800 98000
	колебаниям	-10 -40	97000 111000
Сейсмический	-	-5  -10	70000 125000
Наиболее веро­ятное значение	-	-5  -10	85000 90000

Таблица 5. Модуль Юнга для пресноводного льда, кг/см².
1.2.4. Модуль сдвига
Модуль сдвига характеризует сопротивляемость льда сдвиговым деформациям. Он не является самостоятельной величиной, определяющей другие свойства материала, а зависит от Е и μ.
 (1.3)
В качестве непосредственных методов измерения G наиболее приемлемым является статический метод, заключающийся в испытаниях цилиндрических или призматических образцов льда на кручение.
В работе [24] К.Ф. Войтковский приводит значения G, определенные статическим методом при различных температурах в таблице 6.

T, °С	G, кг/см2
0 -10	8*103 34*103
-10 -20	(10 21)*103 34*103

Таблица 6. Значения модуля сдвига при различных температурах.
При сейсмическом методе определения G модуль сдвига вычисляется по формуле (1.3.).
М.И. Сериков [37] определял G динамическим методом. В частности для невского льда при температуре от -3,0 до -8,0°С он получил значения G=(34240 36760) кг/см², а при температуре от -10 до -30°С G= (З6000 37700) кг/см². В.В. Богородский в интервале температур -3,8 до -13°С получил G=(10400 34300) кг/см², и К.Ф. Войтковский [25] для расчетов упругой деформации при динамическом воздействии нагрузок предлагает G=(30 34)*10³ кг/см². По имеющимся данным составлена таблица 7:

Температура льда, °С	Лед
	Морской	Пресноводный
0 -5	15700 30200	24000 36260
-5 -15	10400 34300	35300 49000
-31	-	З6600 37700

Таким образом, реальный диапазон изменения модуля сдвига составляет (2 3,8)* 10³ МПа.
1.2.5. Прочность льда при изгибе
Из всех прочностных характеристик рассмотрим только предел прочности льда на изгиб. Во внимание принимается только этот вид деформации потому, что волновая нагрузка на лед от распространяющихся ИГВ приводит к разрушению ледяного покрова только в результате деформации изгиба.
Прочность льда на изгиб определяется несколькими способами: по разрушению балок, свободно лежащих на двух опорах, по разрушению консолей, либо по разрушению круговых плит.
Подробный перечень результатов по определению временного сопротивления на изгиб пресноводного льда, полученных в 1897г. и 1953г. дает К.Ф. Войтковский [24]. В.В. Лавров приводит свои данные по результатам пресноводного озерного, лабораторного и структурно-моделируемого льда. Временные сопротивления при изгибе балок морского льда в большом количестве определены И.Г. Петровым [39].
В работе М.И. Серикова [37] приведены значения временных сопротивлений при изгибе балок из морского льда и консолей, выполненных в ледяном покрове. Последние показали временное сопротивление на изгиб равное (5,6 6,6) кг/см при температуре воздуха до -5°С.
В.В. Лавров обобщил сведения о прочности льда с 1965г. по 1968г. и определил, что среднее значение временного сопротивления морского льда при изгибе и температуре -7°С равно: зимний лед 5,7 кг/см, осенне-зимний 6,7 кг/см, осенний 8,3 кг/см; пак 13,0 кг/см.
1.2.6. Механические свойства
1.2.6.1. Вязкость
Вязкость льда характеризует сопротивление твердого тела развитию остаточной деформации под действием внешних сил. Количественно коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения) η определяется касательной силой F, которая должна быть приложена к единице площади S сдвигаемого слоя, чтобы поддержать в этом слое ламинарное течение с постоянной скоростью относительного сдвига ε, равной единице:
  (1.4),
где σ_с - напряжение сдвига.
Статическими методами коэффициент вязкости льда определяется многими авторами  при деформации кручения, сдвига, растяжения, сжатия и изгиба. Одним из распространенных способов является метод изгиба свободной балки, лежащей на двух опорах, при котором коэффициент η вычисляется по формуле:
 (1.5),
где b,  l,  h – ширина, длина, высота балки соответственно; v – установившаяся скорость пластической деформации.
При растяжении (сжатии) стержня сечением S:
 (1.6)
При чистом кручении стержня радиусом r:
 (1.7),
где М_кр - закручивающий момент;  - скорость изменения угла закручивания.
Коэффициент динамической вязкости можно определить по декременту механических колебаний  образца Δ на какой-то частоте f и известному модулю упругости Е, используя для этих целей известное соотношение:
 (1.8)
Экспериментальные значения коэффициента вязкости льда, полученные статическими методами, настолько разноречивы (от 10⁹ до 10 Па*с), что трудно установить какую-либо закономерность его изменения. В. В. Лавров [34], указывая девять факторов, влияющих на изменчивость значений η (кристаллическое строение, температура, нагрузка, размер кристаллов и др.), приходит к такому же выводу, как и К. Ф. Войтковский [24], считая, что коэффициент вязкости льда - практически условная величина, характеризующая отношение напряжения к скорости ползучести в заданных условиях деформирования и в заданный момент времени, а вязкость льда не удовлетворяет закону Ньютона из-за отсутствия линейной зависимости между напряжением и скоростью деформации.

1.2.6.2. Время релаксации
Релаксация - необратимый (характеризующийся диссипативными потерями энергии) процесс возвращения в состояние термодинамического равновесия макроскопической замкнутой системы, выведенной из такого состояния. Различают быстрые и медленные процессы релаксации и соответствующие им времена. В первом случае релаксация существенно зависит от микроскопических характеристик системы и, в частности, от параметров, характеризующих взаимодействие между частицами (обычно это время и длина свободного пробега частиц t_c и l). Время релаксации быстрых процессов . К быстрым процессам относятся, например, диэлектрическая, упругая и спин-решеточная релаксации.
Частота максимального уменьшения амплитуды колебаний для каждой температуры определяется как величина, обратная времени релаксации.
Дипольное взаимодействие между протонами различных молекул льда способствует релаксации спина [40]. При определении  спин-решеточной релаксации использовалась формула Онзагера:

здесь b - внутримолекулярное расстояние между протонами (0,162 нм);  - частота Лармора;  - протонное гиромагнитное отношение; ;  коэффициент 0,7 соответствует  уменьшению  из-за внутримолекулярных взаимодействий.
Медленные процессы релаксации выравнивают, например, температуру, давление, средние скорости и другие характеристики всех частей системы. Время релаксации в этом случае пропорционально размерам  системы L  и  велико  по  сравнению  с  t_с  а  именно:

К медленным процессам релаксации относятся также вязкое течение, диффузия, теплопроводность, электропроводность и т. Д. Если отклонение от равновесия мало, то релаксация часто протекает до закону f=f₀*e^-t/τ, где f₀ - равновесное значение некоторой исследуемой функции системы. Время релаксации напряжений во льду, согласно модели твердого тела Максвелла, определяется вязкостью и модулем сдвига:
Таблица 7. Время спин-решеточной релаксации во льду, в секундах, по данным работы Л.К. Раннелса [40].
Например, при η =10¹² 10¹³ Па*с и G = 1500 МПа τ =660 6660 с (от 11 мин. до 1,85 часа) [34].
 Следовательно, время релаксации льда по аналогии с коэффициентом вязкости не является физической константой. Диапазон изменения τ - от малых долей секунды до нескольких часов [24, 40].
Для случая одностороннего сжатия пресноводного льда (в предположении, что G =1500 МПа) получено следующее эмпирическое уравнение релаксации [24]:

где Т- температура без знака «минус», °С; t- время, ч.

1.2.6.3. Прочность
Прочность - это свойство материалов в определенных условиях и пределах, не разрушаясь, воспринимать различные механические нагрузки и неравномерные воздействия физических полей.
Прочность льда в значительной степени зависит от многообразия его структурных особенностей.
На прочность льда сильно влияют внешние условия - характер нагрузок, тепловой  режим, агрессивность среды, поверхностные эффекты и т. д. Реальный лед содержит многочисленные повреждения - от субмикроскопических и микроскопических дефектов до крупных пор и магистральных трещин.
Основы физических теорий течения и разрушения твердых тел стали успешно развиваться лить в последние годы, поэтому сейчас не всегда возможно, даже качественно объяснить некоторые особенности процесса разрушения. Использование этих теорий для количественной оценки прочности такого сложного тела, как лед, пока малоперспективно. В последние годы значение проблемы прочности льда возросло, что и стимулировало интенсивные исследования в этом направлении.
Теоретический расчет прочности на разрыв σ_p (напряжении, при котором наступает разрыв) для реальных тел представляет большие трудности. Значение σ_p  при одновременном разрыве всех межатомных связей на поверхности разрыва оценивается в 0,1E, где Е - модуль Юнга. Обычно экспериментальные значения прочности на несколько порядков меньше теоретических. Причина низкой прочности обычных тел - неравномерное распределение внутренних напряжений. При сложении одноименных внешних и внутренних напряжений возникают локальные перенапряжения и разрыв межатомных связей - так зарождаются разрывы оплошности тела. Рост и слияние разрывов образуют макроскопическую трещину, развитие которой приводит к разрушению тела.
В настоящее время проблема прочности имеет механическую и кинетическую концепции. По механической концепции разрушение есть результат потери устойчивости твердого тела. Считается, что для каждого материала имеется определенное пороговое напряжение. При напряжении ниже порога - тело устойчиво и может сохранять целостность под нагрузкой сколь угодно долго. Это пороговое напряжение принимается за меру прочности тела.
В кинетической концепции основным является процесс развития разрушения. Разрушение происходит постепенно вследствие развития и накопления субмикроскопических трещин. Этот процесс развивается в напряженном теле под действием тепловых флюктуации. Вводится понятие о долговечности под нагрузкой, т.е. о времени τ, необходимом для развития процесса от момента погружения тела до его разрушения.
Долговечность тела τ, находящегося под растягивающей нагрузкой, разрывное напряжение σ и абсолютная температура Т, согласно С. Н. Журкову, связаны соотношением:  
где τ₀,u₀,  - постоянные величины, определяемые физико-химической   природой твердого тела и его структурой; k - постоянная Больцмана, причем энергетический барьер близок по своему значению к энергии связи атомов в кристалле. Для льда энергия активации u₀ =0,6 Дж/кг, τ =4,6*10¹⁷ с, =1,4*16²⁶ м³/молек.[40].
Закономерность Журкова отрицает понятие о пределе прочности. Вопрос о том, какую нагрузку способно выдержать тело, т. е. какова его прочность, без указания времени, в течение которого оно должно сохраниться неразорванным, не имеет однозначного ответа. Это показывает, что термины «предел прочности», «предельное разрывное напряжение» условны. Они теряют смысл при суждении о физической природе прочности твердых тел, но вполне удобны для практики.
Сейчас в качестве критериев прочности применяют следующие характеристики [31]: предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел ползучести, предел прочности (временное сопротивление)  и предел выносливости.
Предел пропорциональности σ_пц - напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжениями и деформациями достигает некоторого определенного значения, устанавливаемого техническими условиями. Критерий σ_пц ограничивает область справедливости закона Гука. При практических расчетах на прочность предел пропорциональности принимается равным пределу текучести.
Предел упругости σ_у - напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторого значения, характеризуемого определенным допуском, устанавливаемым техническими условиями (например, 0,001; 0,003; 0,03%). Критерий σ_у ограничивает область упругих деформаций, при практических расчетах принимается равным пределу текучести.
Предел текучести σ_m - напряжение, отвечающее нижнему положению площадки текучести в диаграмме растяжения для материалов, имеющих такую площадку. Для материалов, не имеющих на диаграмме площадки текучести, принимают условный предел текучести: напряжение, при котором остаточная деформация образца достигает определенного значения, установленного техническими условиями. Если допуск на остаточную деформацию не оговорен, то подразумевается 0,2%. Значение σ_m устанавливает границу между упругой и упруго-пластической зонами деформирования и является основной характеристикой при оценке прочности пластичных ма­териалов.
Предел прочности (временное сопротивление) σ_в - условное напряжение (определяемое по отношению действующей силы к исходной площади поперечного сечения образца), отвечающее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца. Является основной характеристикой материалов, разрушающихся при малых пластических деформациях.
Предел ползучести σ_пл наибольшее напряжение, при котором скорость или деформация ползучести за определенный промежуток времени не превышает значения, установленного техническими условиями. При пользовании термином обязательно указывается условие определения предела ползучести: температура и допуск на скорость или деформацию ползучести за определенный промежуток времени.
Предел длительной прочности σ_дл (или ) - условное напряжение, равное отношению нагрузки, при которой происходит разрушение растянутого образца через определенный промежуток времени, к первоначальной площади поперечного сечении.
Предел выносливости σ_r - наибольшее напряжение цикла, которое материал может выдержать повторно без разрушения N раз, где N -заданное техническими условиями большое число (например, 10⁶, 10⁷, 10⁸), r - коэффициент не симметрии цикла, равный отношению наименьшего напряжения цикла к наибольшему напряжению, взятому с алгебраическим знаком.
Широкое распространение получили следующие виды испытаний прочностных характеристик льда: сжатие образцов различной формы (кубы, призмы, цилиндры) и объема (характерный линейный размер равен примерно 5-50см), растяжение (в основном образцы гантелевидной формы с поперечным сечением порядка нескольких десятков квадратных сантиметров), изгиб балок и консолей с поперечным сечением в месте разрыва от нескольких квадратных сантиметров и примерно до 1 м² и срез (размеры площади разрушения в атом случае обычно не превышали нескольких десятков или сотен квадратных сантиметров). Ниже приводится попытка систематизировать многочисленные экспериментальные данные по прочностным характеристикам льда. Из-за различия в методиках испытаний установить единый критерий прочности затруднительно.
 Прочность на растяжение и изгиб определяется на образцах в лаборатории, ледяных пластинах, балках и консолях в естественных условиях на плаву. Прочность на растяжение определяется экспериментами двух типов:
ледяные образцы гантелевидной формы растягиваются на испытательной машине до разрушения, либо полые ледяные цилиндры сжимаются по диаметру к центру. Обобщенные по опубликованным работам данные о прочности льда на растяжение при кратковременном приложении нагрузки к образцам примерно одного и того же размера приведены в таблице 8:

	Пресноводный лед			Морской лед
0C	0 -10	-10 -20	-20 -35	0 -10	-10 -20
σp, МПа	0,9 1,2	1,2 1,4	1,4 1,8	0,6 1,1	1,4 1,8

Расчет на изгиб производится по формулам:  (балка на двух опорах), где Р - разрушающая нагрузка, l - расстояние между  опорами,  b - ширина образца,  h - его высота; (консоль), здесь l- расстояние от места закрепления балки до точки приложения нагрузки.
 Прочность па сжатие и срез (временное сопротивление) для льда рассматриваемая величина является в некоторой степени условной [24], разрушение льда не обусловлено однозначно определенным пределом напряжений. Вследствие ползучести начало разрушения льда и соответствующее этому моменту значение внутренних напряжений существенно зависят от скорости приложения нагрузки, условий деформирования и других факторов. Это является одной из причин больших различий в значениях предела прочности льда, определенных разными исследователями.
Многочисленные экспериментальные значения предела прочности льда при сжатии получены в основном на образцах кубической и реже цилиндрической формы при «быстром» нагружении. Установлено, что σ_сж увеличивается с понижением температуры льда и имеет большие значения при нагрузке, приложенной перпендикулярно к оси кристаллов. Значение σ_сж уменьшается при скорости нагружения σ^’>0,2 МПа/с и при увеличении размеров образцов. Отмечено увеличение σ_сж с ростом σ^’ (при малых ее значениях) и последующее медленное увеличение прочности с возрастанием σ^’.
Лед подчиняется реологической модели в виде параллельно соединенных тел Шведова (Бингама) и Гука. В. В. Лавров объясняет этот факт пластичностью льда. При малых скоростях деформации процессы сдвига успевают закрыть («залечить») наиболее опасные дефекты (трещины в полости) и сделать напряженное состояние в образце более однородным. Это обусловливает увеличение предела прочности. При больших скоростях деформации такого явления не возникает. Предел прочности льда на срез σ_с вычисляется по формуле , где P - разрушающая нагрузка, S - площадь среза.
1.2.7. Упругие свойства
Известно, что упругое поведение кристаллов в общем виде описывается следующими соотношениями между тензорами деформации (ε_jk) и напряжения (σ_jk):  
ε_{jk =} S_ikjlσ_ji  ; σ_{jk =}C_ikjlε_ji
где  S_ikjl и C_ikjl  - матричные коэффициенты, представляющие собой соответственно константы податливости и жесткости, а i,k,j,l =1,2,3. Для гексогональных кристаллов, подобных льду, имеется только пять независимых модулей упругости, не равных нулю (C₁₁, C₁₂, C₁₃, C₃₃, C₄₄), или соответствующих им коэффициентов S_ikjl. Между ними имеют место следующие соотношения:
; ; ; ;
для
Поликристаллический лед с достаточно малыми размерами входящих в его состав кристаллов (по сравнению с размерами подвергнутых деформациям образцов) можно рассматривать как изотропное тело, упругость которого описывается модулем Юнга Е (модулем нормальной упругости), модулем сдвига G, модулем объемной упругости К и коэффициентом Пуассона v Модули упругости и сдвига определяются через постоянные Ламе μ и λ которые являются коэффициентами, связывающими механические напряжения в твердом теле с возникающими деформациями. Между указанными характеристиками упругости существует известная аналитическая связь:
; ;
;
Различают изотермический и адиабатический модули упругости. При изотермической деформации температура тела не меняется, и модули упругости, соответствующие этому случаю, называются изотермическими. В случае адиабатических деформаций модули с достаточной точностью определяются выражениями:
;
где Т - температура деформируемого тела, α - коэффициент линейного расширения, С_Р - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Для льда различие адиабатических и изотермических модулей мало.
Константы упругости пресноводного льда. Упругое поведение монокристалла обусловливается главным образом изменениями межмолекулярных, расстояний под действием приложенного напряжения. Однако, возбужденные напряжением движения дефектов (дислокаций) также вносят свой вклад в деформацию. При движении дефектов к зонам равновесия твердое тело будет непрерывно деформироваться. Эта деформация, будет не вполне упругой. Однако, если напряжение прикладывается и снимается в течение достаточно короткого промежутка времени (например, при прохождении звуковой волны), дефекты не успевают участвовать в до­статочной мере в деформации, которую в этом случае можно считать упругой. По этой причине константы упругости льда, получаемые при высокочастотных   акустических   измерениях   (будем   называть   их динамическими характеристиками), более надежны, чем те же характеристики, получаемые из экспериментов, в которых измеряется, деформация тела, испытывающего статически приложенную нагрузку.
При температуре от -3 до 40°С лед ведет себя как вполне упругое тело, которое подчиняется закону Гука, если приложенное напряжение все же превышает определенного значения и продолжительность его воздействия достаточно коротка. Это происходит при напряжении сжатия до 0,1 МПа, скорости приложения нагрузки около 0,05 МПа/с и продолжительности воздействия напряжения менее 10 с.
Многочисленные измерения модулей упругости статическими методами (при кратковременном приложении полного цикла нагрузки в течение  порядка 5 10 с)  показывают,  что  модули  Юнга поликристаллического льда лежат в пределах 0,3*10³ 11,0*10³ МПа. Для столбчато-гранулированного пресноводного льда при действии нагрузки перпендикулярно направлению длинных осей кристаллов выведена зависимость «статического» модуля Юнга (МПа) от температуры в интервале от -3 до -40°С.
E_c=(5,69 – 0,0648T_c)*10³
При этом коэффициент Пуассона уменьшается с понижением температуры примерно от 0,5 при -6°С до 0,38 при -40°С. В то же время для монокристалла в диапазоне от 0 до -40°С модуль Юнга и коэффициент Пуассона не зависят от температуры и равны соответственно 8,34*10³МПа и 0,35. Это объясняется тем, что в деформировании поликристаллического льда существенную роль играет зависимость скольжения по границам зерен от температуры, а также возможное обратимое движение дислокаций.
Динамические константы упругости могут быть определены по измерению скорости звука во льду. Скорость продольной звуковой волны c₁  определяется постоянными Ламе λ, μ и плотностью вещества

Скорость сдвиговой   звуковой волны c₁ определяется одной постоянной Ламе, совпадающей с модулем сдвига, и плотностью вещества:

Коэффициент Пуассона рассчитывается   по значениям с_l и с_t по уравнению:

Следовательно, скорости продольных и сдвиговых воли однозначно связаны с константами упругости льда.
В таблице 9 представлены характерные значения динамических констант упругости поликристаллического льда. Динамический модуль Юнга поликристаллического льда увеличивается практически линейно от 7,2*10³МПа при температуре льда -10°С до 8,5*10³МПа при -180°С. По экспериментам с образцами поликристаллического льда, извлеченного из скважины в гренландском леднике, динамический модуль Юнга уменьшается приблизительно на 20% при уменьшении плотности льда с 915 до 903 кг/м.
Были исследованы структурно-моделированного льда и ледяного покрова реки Нева [34]. Все образцы имели различную структуру и ориентировку кристаллов: моделированный лед состоял из кристаллов, средние размеры которых были 1 2мм; кристаллы льда реки Нева были размером от 2 до 8см.

Таблица 9. Динамические константы упругости поликристаллического льда при температуре -5°С, определенные импульсным ультразвуковым методом
Модуль Юнга, 102 МПа	Модуль сдвига, 10 МПа	Коэффициент Пуассона	Модуль объемного сжатия, 102 МПа
89,5	-	-	-
91,7	33,6	0,36	113,0
98,0 >	36,8	0,33	96,1
90,0	-	-	-
91,8 93,8	34,5 35,2	0,33	88,1 89,2
99,4	38,0	0,31	87,2
85,0	32,0	0,34	-
86,9	-	-	-
95,0	36,0	0,3	-
88,0 98,0*	-	-	-
80,0 92,0	30,0 32,0	0,35 0,38	-
* - определен резонансным методом.

Средний модуль Юнга, определенный резонансным методом (размер образцов 3,5 х 4,0 х 33,0 см) при температуре -6°С, имел следующие значения:
-   ледяной покров реки Нева 9,5*10³МПа;
-   лед структурно-моделированный:
образец вырезан параллельно поверхности 8,8*10 МПа;
образец вырезан перпендикулярно поверхности 9,8*10³МПа.
Эти исследования показали, что структурно-текстурная анизотропия упругих свойств льда не превышает 10%.
Измерения были выполнены импульсным ультразвуковым методом на частоте 500 кГц [18]. Блоки льда, выпиленные из ледяного покрова Ладожского озера (толщина 0,6 0,8 м), прозвучивались перпендикулярно к поверхности.
Значения Е1 и G1 соответствуют прозрачному, почти без пузырьков воздуха, крупнокристаллическому льду плотностью 900 кг/м³; верхний мутный слой (с воздушными включениями) срезался. Значения Е₂ и G₂ получены при прозвучивании всей толщи блока вместе с мутным слоем, толщина которого составляла 15 см. Значения Е₃ и G₃ характеризуют наполовину мутный лед, с большим количеством пузырьков воздуха; плотность этих блоков составляла 890 кг/м.
1.3. Несущая способность ледяного покрова
На несущую способность ледяного покрова, т.е. его свойство длительное время противостоять разрушению под действием различных нагрузок, существенное влияние оказывают длительность времени приложения и характер нагрузки. Обычно выделяют три характерных режима нагружения льда: динамический, при котором упругие свойства льда проявляются полностью, а неупругие приводят к диссипации энергии; статический, когда силами инерции можно пренебречь, и режим длительного нагружения, при котором полностью проявляются вязкие свойства льда.
Ледяной покров для большинства статических задач со сравнительно малым временем приложения нагрузки можно рассматривать как упругую однородную пластину, лежащую па упругом основании гидравлического типа. При этом различают грузоподъемность ледяного поля до образования первых сквозных трещин Р_кр и полную несущую способность Р_р. При наличии сквозных трещин грузоподъемность еще далека от предельной. Полная несущая способность исчезает при проломе ледяного поля. Несущая способность льда вблизи открытой трещины существенно уменьшается. Если нагрузка приложена к одному краю трещины, то несущая способность льда составляет всего 43% по сравнению с несущей способностью при расположении груза в центре.
При нагрузке, приложенной одновременно к обоим краям
трещины, несущая способность льда составляет 85% нагрузки,
приложенной           к   ненарушенному   ледяному   полю.   Согласно многочисленным экспериментальным данным, величина Р_кр определяется прочностью льда на изгиб при кратковременном приложении нагрузки. При принятии в качестве критерия прочности при изгибе ледяного покрова предельное растягивающее напряжение методом аналогий получена простейшая зависимость допустимой нагрузки Р_р (Мг) от толщины льда h (см):
P_p=A*h²
где А - эмпирический коэффициент, зависящий от многих факторов, (таблица 10).

Таблица 10. Значения А в формуле Pp=A*h2
А, Мг/см2	Литературный источник
0,0100	[113,143]
0,0166	[97]
0,0070	Инструкция [347]
0,0123	-
0,0082	[347, данные И.Ф. Лысухина]
0,0123

Анализ этой формулы и ее многочисленных видоизменений [13] показывает, что для практических целей ее применение не всегда правомерно.
Анализ несущей способности ледяного покрова, основанный на теории изгиба упругих пластин, позволяет получить лишь приближенное описание, особенно при длительных нагружениях. Строгий расчет разрушающих усилий и оценку влияния трещин на грузоподъемность льда в этом случае необходимо производить с учетом ползучести при наличии градиента температуры по толщине льда и других факторов.
На основании данных полевых испытаний временную зависимость относительной разрушающей нагрузки можно выразить следующим уравнением [13]:

По этому уравнению можно рассчитать время безопасной стоянки груза на ледяном покрове:

здесь Р_р(0) - нагрузка, достаточная для разрушения пластины сразу же после ее приложения в момент времени t_p =0; P_p(t_p) - нагрузка, которая разрушает пластину через некоторое время t_p при t_p>0 P_p(t_p)<P_p(0). Очень важно правильно определить значение Р_р(0). По-видимому, наиболее близкими к истинным являются результаты экспериментальных работ [13]. Осредненная кривая с небольшим разбросом данных описывается уравнением:

где b – поперечный размер площади, на которой действует нагрузка;
; ,
где D - цилиндрическая  изгибная  жесткость; р - плотность воды; v - коэффициент Пуассона.
Для инженерных задач - необходимо знать нагрузки, при которых объект может медленно двигаться или стоять на плавающей ледяной пластине, либо нагрузки, при которых лед обязательно разрушается (проектирование ледоколов). Этим нагрузкам соответствуют верхняя (В) и нижняя (Н) огибающие экспериментальных точек.
Область под нижней кривой - допустимые нагрузки, выше верхней - разрушающие. Они описываются уравнениями:
     
Следовательно, для льда при температуре -10°С допустимую сосредоточенную нагрузку для бесконечной пластины в соответствии с данными Панфилова можно определить из условия:
;
здесь значение σ_p можно брать равным прочности на изгиб консольной балки на плаву.
Согласно данным этого же автора допустимую нагрузку, действующую на края длинной щели в ледяном покрове (например, в случае моста между двумя полубесконечными пластинами), можно определить из условия:

Разрушающая  нагрузка  для  полубесконечной  пластины удовлетворяет условию:
.
В   экспериментах   Панфилова   выдерживалось   соотношение 0,1< <1,0. Он также получил, что (P_p)_H 2P_кр, т.е. трещины во льду появляются при половинной разрушающей нагрузке, соответствующей нижнему пределу.
1.4. Экспериментальные исследования деформаций ледяного покрова, вызываемых движущимися нагрузками
Экспериментальному исследованию деформаций ледяного покро­ва под действием подвижных нагрузок, несмотря на их большой прак­тический интерес, посвящено немного работ.
Первыми работами, касающимися вопросов транспортировки по льду грузов и связанных с этим исследований предельных нагрузок на пресноводный лед, были исследования Г.Я. Седова [41], Б.Н. Сергеева, С.А. Берштейна [16].
Волнообразные колебания ледяного покрова от действия им­пульсной нагрузки впервые записал Н.Н. Кашкин [32]. Однако он при­шел к ошибочному выводу, утверждая, что при расчете прочности льда этими колебаниями можно пренебречь. Профессор Н.Н.Зубов, наблюдая волновой характер колебаний льда под действием движущейся нагрузки [27, 28], высказал предположение о возможности проявления опасных явлений резонанса.
Анализируя данные о волнообразных колебаниях ледяного покро­ва при перемещении грузов, Г.Р. Брегман и Б.В. Проскуряков пришли к выводу о существовании некоторой скорости, превышение которой мо­жет привести к разрушению ледяного покрова [23]. Впоследствии опыт Ладожской трассы подтвердил эти предположения.
Исследования, посвященные изучению разрушения льда вследст­вие движения нагрузки, были проведены: К.Е. Ивановым, П.П. Кобеко и А.Р. Шульманом [29] в связи с постройкой "Дороги жизни" на Ладож­ском озере. Необъяснимые с точки зрения статического воздействия на­грузки случаи пролома льда под движущимися автомашинами застави­ли обратиться к изучению волновых процессов во льду при движении по нему грузов.
Измеренные при помощи прогибографов деформации ледяного покрова в случае быстро перемещающихся грузов позволили исследо­вателям сделать важные выводы, получившие в последующих работах теоретическое обоснование. В частности, было замечено, что при дви­жении автомашин со скоростями меньшими критических значений (см. п. 1.3), возмущение распространяется по льду со скоростью движения машины и практически с той же скоростью исчезает вслед за ней. На рисунке 5 изображена запись приборов, расположенных перпендику­лярно движению автомашин и отстоящих друг от друга на расстоянии 5м. Прибор № 1 был помещен непосредственно у трассы. При этом вели­чина прогиба была примерно в 1,5-2 раза меньше статического. Подоб­ный факт отмечался несколько раньше в работе [23]. Когда скорость движения машин была близка к критической скорости (немногим более 5,6 м/с), в ледяном покрове развивались прогрессивные волны, которые регистрировались приборами, стоящими от трассы на расстоянии сотни метров. Одна из записей прогибографов при скорости движения авто­машин около 12,5 м/с приведена на рисунке 5б.

Рис 5. Прогибы ледяного покрова в зависимости от скорости автомашины  υ:  a- υ< υ_p; δ- υ> υ_p
Путем сопоставления многочисленных записей колебаний ледяно­го покрова при различных скоростях движения и при разных нагрузках были определены скорость волны V и ее длина λ. Так, например, при толщине льда h = 60 см и глубине водоема λ = 5 м длина волны была λ =200 м, а ее скорость, v = 9.7 м/с, при этом величина λ не зависела от скорости перемещения нагрузки и ее величины.
Замеры свободных и вынужденных колебаний ледяного покрова производили А.Д. Сытинский и В.П. Трипольников [42].
Экспериментальные исследования влияния движущихся нагрузок на деформацию ледяного покрова проводились И.С. Песчанским и К.Е. Ивановым [4, 30]. Специальные опыты позволили установить влияние скорости перемещаемой нагрузки на величину и характер про­гиба ледяного покрова. Так, на рисунках 6 - 7 представлены кривые прогибов ледяного покрова толщиной 0,38 м при движении грузов мас­сой 10,5 и 14 т с различными скоростями от 2,6 до 19,4 м/с. Кривые за­писывались с помощью самописцев - прогибографов, размещенных че­рез каждые 50 м вдоль пути следования грузов (в 2 м от оси трассы), и в перпендикулярном направлении к трассе (также на расстоянии 60 м друг от друга). Из сопоставления кривых прогибов видно резкое разли­чие в форме этих кривых. При докритических скоростях (до 2,8 м/с) кривая прогибов подобна статической. По мере увеличения скорости движения вначале увеличивается кривизна ледяного покрова перед гру­зом, а затем возникает "волна вспучивания".

Рис 6. Кривые прогибов ледяного покрова в зависимости от скорости движения χ и массы груза P. Глубина водоема H=5,6 м.

Рис.7. Прогибы льда толщиной h=0,38 м на разных глубинах при движении груза P=14 м; 2-H=6,3 м; 3-H=5,6 м
Одновременно с этим резко возрастают прогиб под грузом и длина волны. Максимального значения прогиб достигает при определенной (критической), скорости V_P, начи­нал с которой дальнейшее увеличение скорости груза приводит к уменьшению прогибов. Как видно из рисунка 6 - 7, для разных глу­бин относительные значения критических скоростей (в рассматриваемых случаях  стремятся к единице.
Запись величин прогибов ледяного покрова при движении груза неизменной массы, но при различной глубине водоема, показала, что на больших глубинах прогибы всегда меньше соответствующих прогибов при меньших глубинах (рисунок 8). Отличия величины и формы про­гибов могут быть объяснены влиянием мелководья на распространение гравитационных волн в жидкости.
Рис.8. Не установившееся колебания ледяного покрова при движении нагрузки со скоростью χ
Из рисунка 9, на котором приведены экспериментальные кривые прогибов льда для покоящегося и движущегося с различными скоро­стями грузов, видно, что как только груз начинает двигаться по ледяно­му покрову с некоторой скоростью, прогибы под грузом уменьшаются по сравнению с прогибами при статическом нагружении. Этот результат совпадает с натурными наблюдениями, описанными в работах [23, 29], и не подтверждает известных теоретических выводов для абсолютно упругих пластин.
 
Рис.9.Кривые прогибов ледяного покрова от неподвижной и движущихся нагрузок.
Некоторое увеличение несущей способности ледяного покрова при движении груза, масса которого была предельной при ста­тическом нагружении, отмечается в работе [43], в работе [44] приведе­ны записи неустановившихся колебаний ледяного покрова при движе­нии грузов со сверхкритическими скоростями (рисунке 10). Колебания льда записывались на пути следования груза. При этом прибор № 1 за­писывал более ранние неустановившиеся колебания, а прибор № 3 со­ответственно - более поздние. Из рисунка видно, что при неустановив­шейся скорости нагрузки, превышающей критическую, и влиянии сво­бодных колебаний ледяного покрова в последнем возникает интерфе­ренция, могущая привести к появлению волн значительной амплитуды. Однако по мере стабилизации процесса максимальные прогибы и высо­та волны перед грузом становятся меньше (см. кривую, записанную прибором № 3).
 
Рис.10. Неустановившиеся колебания ледяного покрова при движении нагрузки со скоростью χ=1,27
На рисунке 10 также представлена серия аналогичных кривых колебаний ледяного покрова, записанных при скорости движения груза 16,7 м/с. Большая скорость, естественно, сокращает время распространения неустановившихся колебаний, поэтому те же приборы, находившиеся на тех же расстояниях от начальной точки движения груза, записали более стабильные колебания ледяного покрова. Последний по ходу движения прибор № 3 записал практически установившиеся колебания.
В этом случае деформированная поверхность ледяного покрова не имеет положитель­ных прогибов, т.е. выпуклость ледяного покрова обращена вверх. Тео­ретические исследования плоских колебаний ледяного покрова, выпол­ненные С.С. Голушкевичем [21] и Д.Е. Хейсиным [40], приводят к ана­логичным результатам.
Экспериментальному изучению вынужденных колебаний длинной плавающей пластины, генерирующей в жидкости систему "нагонных" волн, посвящена работа Ю.В. Писарева [45]. Ее автором выявлена ана­логия между "нагонными" и корабельными волнами. Установлены зату­хающий характер вынужденных колебаний пластины, зависимость ам­плитуды волны от массы движущегося груза и глубины воды. При дви­жении груза по пластине со скоростью V > V_P так же, как и в исследова­ниях других авторов, наблюдалось уменьшение прогибов в пластине.
В.Н. Смирновым проводились эксперименты по исследованию распространения волн в ледяном покрове с целью определения физико-механических свойств льда [46, 47] . В работе [47] показан характер процесса распространения изгибных волн и разработана методика опре­деления групповой скорости волн по диспергирующим цугам. Получен­ные экспериментальные данные хорошо согласуются с теоретическими выводами работы [40].
Из-за большой трудоемкости натурных исследований колебаний ледяного покрова, сложности инструментальных замеров прогибов и напряжений в бесконечной ледяной пластине экспериментаторы часто обращаются к модельным экспериментам. При этом для простоты мо­делирования изучаются плоские колебания пластин, т.е. балок-полосок. Подобная задача о влиянии движущейся нагрузки на НДС бесконечной балка, лежащей на упругом основании, рассмотрена Х.Е. Крайнером [48]. Поставленная в работе задача решалась с помощью электрическо­го моделирующего устройства, разработанного на основе аналоговых методов.
При моделировании изучалось равномерное и неравномерное движение возмущающей силы с учетом затухания колебаний. В резуль­тате исследований автором была получена серия графиков, позволяю­щих выявить характер влияния некоторых параметров движущейся на­грузки и основания на НДС бесконечной балки, лежащей на упругом основании. На рисунке 11 представлены кривые прогибов и мо­ментов в зависимости от безразмерной скорости V и безразмерного ко­эффициента затухания D. При возрастании скорости движения нагрузки точка приложения силы перемещается к узлу волны. Это заметно при увеличении коэффициента затухания. Одновременно частота волны пе­ред нагрузкой увеличивается, а позади - уменьшается. С увеличением скорости движения нагрузки изменяется место возникновения неболь­ших напряжений.


Рис.11.Прогибы пластины в зависимости от скоростей нагрузки  и коэффициента затухания D: a) D=0,20;  б)D=1,0
При докритических скоростях наибольшие изгибающие моменты возникают под нагрузкой. В случаях сверхкритических скоростей пик моментов располагается впереди нагрузки. Большое сходство результа­тов модельных экспериментов с записями натурных колебаний ледяного покрова позволяют использовать выводы работы при анализе тео­ретических решений. Л.В. Гольдом изучались колебания ледяного по­крова, вызванные движущимися нагрузками, с помощью датчиков дав­ления, закрепляемых на границе раздела "лед-вода". Эксперимен­ты показали, что при скорости нагрузки в диапазоне  0 < v < v_p лед имел симметричный прогиб. По мере приближения скорости нагрузки к кри­тическому значению прогибы льда становились все более несимметрич­ными. Было также замечено, что максимальные напряжения во льду возникают при скоростях, несколько превышающих критические. В ра­боте, [48] приводятся результаты модельных испытаний арктического СВП SK-5 над ледяным модельным покровом.
Большой объем экспериментальных и теоретических работ по исследованию распространения ИГВ в сплошном ледяном покрове позволяет представить ясную картину происходящих при этом физических процессов. При действии на лед движущейся нагрузки в ледяном покрове в зависимости от скорости будут возникать либо только изгибные, либо только гравитационные, либо колебания обоих видов. Если изгибной волне в пластине сопутствует гравитационная волна в воде, то такую комбинацию волн называют изгибно-гравитационной волной. Прогрессивные ИГВ не могут распространяться со скоростью, меньшей некоторой критической величины V_p, зависящей от глубины водоема, толщины льда и его физико-механических свойств.
Если нагрузка движется со скоростью V < V_p, то прогрессивные ИГВ не возникают. Форма прогиба льда при этом подобна статической и несколько вытянута в направлении движения. При движении нагрузки со скоростью V > V_p будет возникать две системы затухающих волн. Вперед будут уходить изгибные волны с групповой скоростью U₁ > V, а позади будут распространяться гравитационные волны с групповой скоростью U2 < V [1]. Если V= V_P возникает резонанс, т.е. прогибы льда позади нагрузки сильно возрастают.
При возбуждении волн в сплошном ледяном покрове движущейся нагрузкой под критической или резонансной понимают скорость нагрузки, равную скорости распространения ИГВ. При такой скорости движение нагрузки сопровождается интенсивной подкачкой энергии в колеблющуюся систему, что вызывает увеличение прогибов льда.
Явление возрастания амплитуды ИГВ при таком режиме движения принято называть изгибно-гравитационным резонансом. На мелководье V_p равна фазовой скорости распространения гравитационных волн на поверхности чистой воды V_o с увеличением глубины в зависимости от параметров льда и вида нагрузки критическая скорость может быть меньше, равной или превосходить значение V₀. В зависимости от соотношения, V_p и V_o физические процессы, сопровождающие колебания ледяного покрова, несколько отличаются. Общим будет оставаться сам характер деформации льда.
Размеры существующих СВП и интересующие нас параметры льда позволяют считать действие нагрузки от движущегося с резонансной скоростью СВП аналогичным действию сосредоточенной силы, перемещающейся с такой же скоростью. Поэтому физические процессы, происходящие при генерации СВП ИГВ, в соответствии с теоретическими исследованиями, будут определяться одним из трех возможных в практике случаев.
1. V_p > Vo. В начальный момент движения нагрузки прогиб льда уменьшается по сравнению со статическим. Интенсивность отпора воды по знаку совпадает со знаком интенсивности при статическом действии нагрузки. При V SHAPE  \* MERGEFORMAT V_p амплитуда прогибов льда растет, а интенсивность уменьшается. Когда V = V_o, интенсивность отпора обратится в нуль, т.е. архимедовы силы будут полностью уравновешиваться гидродинамическими усилиями. Вода перестает поддерживать ледяной покров, равновесие которого достигается только за счет упругих усилий, возникающих в ледяном покрове. В интервале скоростей V₀<V<V_p интенсивность сил отпора воды имеет обратный знак. Таким образом, внутренние упругие силы, действующие в ледяном покрове, должны уравновесить не только приложенную нагрузку, но и добавочное давление, создаваемое инерцией воды. При скоростях, близких к: верхней границе рассматриваемого интервала, амплитуды колебаний льда резко возрастают. Случай, когда V = V_p, рассматривают как резонансный. Наконец, когда скорость нагрузки превзойдет критическую, V > V_p интенсивность отпора опять изменит знак, и вода вновь будет поддерживать ледяной покров. Амплитуды прогибов льда при дальнейшем росте скорости будут асимптотически стремиться к нулю.