Приведем в качестве примера арифметическую задачу для IV класса: «В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. Первая бригада собрала по 30 ц, вторая по 26 ц с гектара. Продано государству 5500 т с первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в семенной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?»
Обычно анализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, доведенный до элементарных задач. Здесь элементарной считается задача, решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (то есть элементарной считается и задача, решение которой находится среди данных, например: «Сколько зерна продано государству с первого участка?»).
Возможен и иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осуществляется последовательным решением подзадач в обратном порядке.
Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются аналогия, обобщение и конкретизация.
Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения новых знаний. Это осознание формируется на основе практики целенаправленного применения методов научного познания. Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математических задач.
1.2.2 Сравнение и аналогия
Сравнение и аналогия – логические приемы мышления, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении.
С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, то есть наличие у них общих и не общих (различных) свойств.
Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника – четыре. Сравнение обыкновенных и алгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя, отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т. д., – и различие: в одном случае числитель и знаменатель – числа, в другом – алгебраические выражения.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:
1) сравниваемые понятия однородны и 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Эти два условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник и четырехугольник – однородные понятия (многоугольники), обыкновенные и алгебраические дроби – выражения. Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам. Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство (или новые свойства).
Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:
А обладает свойствами А, В, С, D,
В обладает свойствами А, В, С,
Вероятно (возможно) В обладает и свойством D.
Как видим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, то есть рассуждением, которое может служить доказательством. («Как правило» потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии, о котором речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, то есть служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.
В приведенном выше разъяснении того, что такое аналогия, используется понятие «сходство», которое само нуждается в разъяснении. Когда говорят, например, о сходстве между людьми, между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т. п., интуитивно понимают, что означает сходство. Но можно ли в таком же смысле говорить, например, о сходстве между множеством учащихся класса и множеством А = {1,2,3, ..., 30}, или между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, или между множеством объектов на некотором участке и планом этого участка? Применение же аналогии в математическом исследовании, а поэтому и в обучении математике, часто характеризуется именно тем, что оно основано на глубоком, внутреннем «сходстве», а по существу на одинаковости структуры множеств предметов различной природы с отношениями, имеющими совершенно различный смысл, при отсутствии всякого внешнего «сходства» (в обычном смысле) между этими множествами. Это «структурное сходство», получившее точное математическое описание с помощью понятия изоморфизма, лежит в основе особого вида аналогии, приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям.
Например, в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек прямой (плоскости или пространства) и множеством действительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношения между точками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяющим осуществить однозначный перевод свойств с языка, описывающего структуру множества точек прямой (плоскости или пространства), на язык, описывающий структуру множества R, и обратно.
Возможность применения аналогии, казалось бы, к совершенно различным объектам основана на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу.
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичных дробей раньше обыкновенных объясняется не только тем, что именно десятичные дроби широко применяются в практике, но и возможностью использования при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел. При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметической и геометрической прогрессий.
Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение а || b и а || с => b || с (1) верно (является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение а || c и b || с => a || b (2) верно на плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, что предложение (2) верно и в пространстве, и приходят, таким образом, к ложному заключению.
Надо, однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобие и поэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).
Следует отметить как недостаток, что (в практике обучения) опровержению мы почти не учим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательном отношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.
Исходя из истинности предложения (2) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли место аналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим, то для его опровержения достаточно найти такие прямые а, b, с, чтобы условие (а || c и b || с) выполнялось, а заключение (а || b) не выполнялось.
Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и ошибок». В установившейся практике обучения, как правило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродуктивной, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить необходимо безошибочно.
В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить.
Находить сходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений по аналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объектов одинакова.
Возьмем для примера: параллелепипед – пространственный аналог параллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны параллельны, в параллелепипеде противоположные грани параллельны. Рассуждая по аналогии, можно прийти к гипотезе, что в параллелепипеде, так же как и в параллелограмме, диагонали, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам. Но если видеть только сходство и не замечать различия, в частности, что в параллелограмме всего две диагонали, а в параллелепипеде – четыре, то мы упустим важное свойство, подлежащее доказательству, а именно, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке. Как видим, применению аналогии должно предшествовать сравнение, с помощью которого выявляется как сходство, так и различие.
Обнаружение общих черт в объектах или явлениях позволяет высказать гипотезы. Реализация сопоставления и противопоставления способствует осознанию и лучшему запоминанию свойств, признаков изучаемых объектов и явлений. Вот почему при изучении нового материала по возможности нужно использовать сопоставимый с ним ранее изученный материал. По тем же причинам сравнение целесообразно осуществлять и при изучении различных, но сопоставимых и противопоставимых объектов или явлений, рассматривая их, по выражению П. М. Эрдниева, совместно, параллельно [18].
1.2.3 Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Обобщение и абстрагирование – два логических приема, применяемые почти всегда совместно в процессе познания.
Обобщение – совокупность мыслительных операций, логический прием, состоящий в выделении, фиксировании каких-либо общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений [15].
Абстрагирование – совокупность мыслительных операций, логический прием, состоящий в отделении общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание последних [15].
Когда мы говорим «несущественные свойства», то имеется в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться, например, и физикой, и математикой. Для физики существенны одни его свойства (твердость, теплопроводимость, электропроводимость и другие физические свойства), для математики эти свойства несущественны, она изучает лишь форму, размеры, расположение предмета.
Из приведенного краткого разъяснения видно, что абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.
Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переход от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический метод.
Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.
Под конкретизацией понимают обратный переход - от более общего к менее общему, от общего к единичному.
Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Так, если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить через S(А) (в традиционной формальной логике А называется объемом понятия, а S(А)-содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение: если А В, то S(В) S(A).
Обратный переход от более общего к менее общему, или выделение некоторого подкласса А класса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладают некоторые элементы В, другие же не обладают им. Те элементы В, которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В.
Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств, характеризующих класс В, получаем множество свойств, характеризующих подкласс А, то есть S(В) {Р} = S(A), или S(В) S(А).
В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных переменными (в переходе от записи отдельных фактов к записи общих закономерностей), а конкретизация - с подстановкой вместо переменных их значений (в обратном переходе).
Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения, который ранее мы изучили в ином аспекте.
Исходным эмпирическим материалом здесь служат непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легко обнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или, наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варьируя число элементов этих множеств, получаем ряд конкретных равенств: 2+3=3+2; 5+7=7+5; 4+8=8+4 и т. п.
Внимательно присматриваемся к этим равенствам с целью выявления содержащегося в них общего и отделения его от частного содержания. Замечаем: в левой части каждого из этих равенств записана сумма двух чисел, в правой - сумма этих же чисел, но записанных в другом порядке. Как же сохранить только это общее, отвлекаясь от конкретных чисел, входящих в эти равенства?
Если просто отбросить эти числа, мы получим форму с «пустыми местами»: «... + ... = ... + ...»,
которая не отражает выявленной общей закономерности, так как не отмечено, какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранить этот недостаток полученной формы, изображают пустые места, которые должны заполняться именами одних и тех же чисел, в виде пустых «окошек» одинаковой формы. В результате получаем: « x + о = о + x ».
В дальнейшем разъясняется, что в математике для большего удобства вместо пустых «окошек» различной формы применяются различные буквы и получается, например, а + b = b + а или х+у = у+х.
Эти буквы, играющие роль пустых мест, и называются переменными, а числа, имена которых можно поставить вместо этих букв, - их значениями.
Как видно, обобщение и абстрагирование привело к открытию закона коммутативности сложения и одновременно к важному понятию переменной. Переходом от имен конкретных чисел к числовым переменным и осуществляется обобщение и абстрагирование.
Конкретизация основана на известном правиле вывода

называемом правилом конкретизации.
Смысл этого правила интуитивно ясен: из того, что свойством Р обладают все элементы некоторого множества, .следует, что этим свойством обладает произвольный элемент а этого множества. Применяя, например, закон ассоциативности сложения
   (*)
к устному вычислению суммы 7+(93+15), мы применяем (неявно) правило конкретизации: мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативности кванторы общности, подставляем вместо переменных х, у, z постоянные «7», «93» и «15» соответственно и получаем равенство 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, следующее из (*) по правилу конкретизации.
Как видно, с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к единичному.
Обобщение, абстрагирование и конкретизация находят широкое применение в специальных методах обучения математике, о которых речь пойдет дальше.
Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей.
Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование. Применение же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использование конкретизации.
Например, пусть некоторая задача описывается с помощью квадратного уравнения 2x² – 9х + 2 = 0, (1)
когда учащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.
Это является стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)
ax² + bх + с = 0. (2)
Переход от конкретной модели (1) к классу моделей (2), то есть от единичного к общему, осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел, числовыми переменными.
После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса) с помощью конкретизации (подстановки в формуле корней вместо а, b, с конкретных коэффициентов) решаем исходное и другие уравнения этого класса.
Процесс – абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природы изучаемых объектов, характера и целей их изучения. Поэтому естественно, что характеристические особенности абстрагирования в математике неизбежно должны находить некоторое отражение и в методах обучения математике.
Наиболее распространенные в математике виды абстракций – обобщающая абстракция (или абстракция отождествления), идеализация и различные абстракции осуществимости – используются и в школьном обучении математике. Однако методически формирование этих абстракций не разработано. Поэтому часто эти и другие математические абстракции вызывают серьезные затруднения, с ними связаны и многие допускаемые учащимися ошибки.
Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности. При установлении отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.
Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие (эквивалентные множества). От множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества) из данного класса.
Так формировалось понятие натурального числа в длительном историческом процессе, так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников.
Абстрагирование в математике часто выступает как многоступенчатый процесс, результатом которого являются абстракции от абстракций.
Рассмотрим пример.
Отношение подобия фигур разбивает множество всех фигур на классы эквивалентности (классы подобных фигур). Все фигуры одного класса характеризуются одинаковостью формы. По существу каждый такой класс можно называть формой. Но эта форма определяется любой фигурой (любым представителем) этого класса.
В школьном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования. В частности, образование классов эквивалентности, как правило, протекает неявно. Наблюдается свойство у некоторых предметов данного рода или отношение между ними, которое затем абстрагируется от этих предметов и становится самостоятельным понятием. Часто, ничего не говоря о классах эквивалентности, мы сразу же пользуемся представителями этих классов.
Педагогический подход, состоящий в замене класса его представителем, направлен на понижение уровня абстрактности понятий (направленный отрезок – менее абстрактное понятие, чем класс таких отрезков).
Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительности, а следовательно, и при обучении математике используется и такой специфический прием абстрагирования, как идеализация.
Под идеализацией имеется в виду образование понятий, наделенных не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и некоторыми воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов.
Разъяснение этого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспитательное значение, раскрывая связь абстрактных, идеализированных понятий с реальным миром. Оно способствует также пониманию способа математизации, построения математических моделей реальных ситуаций.
Действительно, нигде в природе не встречается «геометрическая точка» (не имеющая размеров), но попытка построения геометрии, не использующей этой абстракции, не приводит к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без таких идеализированных понятий, как «прямая линия», «плоскость», «шар» и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности, а некоторые несколько отклоняются от «идеальной» формы шара (как, например, земля), но если бы геометры стали заниматься такими выбоинами, неровностями и отклонениями, они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара. Поэтому мы изучаем «идеализированную» форму шара и, хотя получаемая формула в применении к реальным фигурам, лишь похожим на шар, дает некоторую погрешность, полученный приближенный ответ достаточен для практических потребностей. Это должно быть доведено до сознания учащихся.
Особым видом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например, при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможно написать или назвать число, содержащее в десятичной записи слишком много цифр (например, 10). Нам достаточно допустить возможность, как только дошло до некоторого числа п, написания и следующего за ним числа n + 1. Точно так же при изучении геометрии, пользуясь изображениями лишь конечных участков (отрезков) прямой, мы допускаем возможность неограниченного продолжения их в обе стороны или допускаем возможность безграничного деления отрезка или других фигур.
1.2.4 Индукция и дедукция
Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.
Дедукция в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, то есть по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).
Как в любых процессах познания (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, то есть идем от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукции ход рассуждения противоположный, то есть от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности. В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве. Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, но когда в результате беседы они сами смогут сделать определенное заключение обобщающего характера, или сформулировать правило, или доказать теорему, или вскрыть некоторую закономерность. Индуктивный метод больше активизирует учащихся, но от учителя требует творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.
Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, то есть иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения приводит к двум способам объяснения материала:
1) индуктивно-дедуктивному способу, когда объяснение начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции);
2) дедуктивно-индуктивному способу, когда сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями.
В математике имеется много приверженцев как индуктивного, так и дедуктивного метода. На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход, ибо индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, способствуют более активному усвоению материала
Однако, как при индуктивном, так и при дедуктивном методах при изложении новых понятий или новых общих теорий необходимо значительное время отводить на конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. В методике преподавания каждое высказывание в категорической форме легко можно довести до абсурда. От самого учителя зависит оптимальный выбор метода, позволяющего на высоком уровне самостоятельности организовать познавательную деятельность учащихся.
В математике используются различные виды индукции: полная, неполная и математическая. Применение математической индукции покажем на следующем примере. Надо определить сумму n первых нечетных чисел: 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1).
Обозначив эту сумму через S(n), положим n == 1, 2, 3. 4, 5; тогда будем иметь:
S(1)=1,
S (2)=1+3=4,
S(3)=1+3+5=9,
S(4)=1+3+5+7=16,
S(5)=1+3+5+7+9=25.
Мы наблюдаем интересную закономерность: при n = 1, 2, 3, 4, 5 сумма n последовательных четных чисел равна n². Но заключение по аналогии, что это имеет место при любом n, сделать нельзя, ибо оно может оказаться ошибочным. Применим метод математической индукции, то есть предположим, что для какого-то числа n наша формула верна, и попытаемся доказать, что тогда она верна и для следующего числа n + 1. Итак, мы полагаем, что S (n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n².
Вычислим
S (п + 1) = 1+3+5 +...+(2n-1)+(2n+1).
Но по предположению, сумма п первых слагаемых равна п², следовательно,
S (n + 1)= n² + (2 п + 1) = (n + 1)².
Итак, предположив, что S (п) = n² , мы доказали, что S(n + 1) = (n + 1)². Но выше мы проверили, что эта формула верна для п = 1, 2, 3, 4, 5, следовательно, она будет верна и для п = 6, и для п = 7 и т. д. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых. Этот метод доказательства называется методом математической индукции.
Умозаключения делятся на логически необходимые и вероятностные (правдоподобные). Некоторые виды неполной индукции дают лишь вероятностные (или правдоподобные) заключения.
Единство дедукции и индукции, как в обучении, так и в научном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математике – науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук, как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.
1.3 Математические методы познания
Математическое моделирование
Большинство психологов под «моделью» понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую некоторые существенные свойства системы-оригинала. Наличие отношения частичного подобия («гомоморфизм») позволяет использовать модель в качестве заместителя или представителя изучаемой системы.
Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.
Вот некоторые примеры моделей:
1) архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель.
2) на стене висит картина, изображающая бушующее море. Это модель [4].
«Моделирование – это есть процесс использования моделей (оригинала) для изучения тех или иных свойств оригинала (преобразования оригинала) или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности» (например, для преобразования арифметического выражения можно его компоненты временно обозначить буквами) [24].
Математическое моделирование – частный случай моделирования. Является важнейшим видом знакового моделирования и осуществляется средствами языка математики. Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек или машина (преобразования математических, логических, химических формул и т. п.).
Понятия «математическая модель» и «моделирование» широко используются в науке и на производстве. Роль знаковых моделей особенно возросла с расширением масштабов применения ЭВМ при построении знаковых моделей. Современная форма «материальной реализации» знакового (прежде всего, математического) моделирования – это моделирование на цифровых электронных вычислительных машинах, универсальных и специализированных.
Математическое моделирование предполагает использование в качестве специфического средства исследования оригинала его математическую модель, изучение которой дает новую информацию об объекте познания, его закономерностях (Н. П. Бусленко, Б. А. Глинский, Б. В. Гнеденко, Л. Д. Кудрявцев, И. Б. Новик, Г. И. Рузавин, К. А. Рыбников, В. А. Штофф). Предметом исследования при математическом моделировании является система «оригинал – математическая модель», где системообразующей связью выступает изоморфизм структур оригинала и модели. Структура служит инвариантным аспектом системы, раскрывающим механизм ее функционирования (Н.Ф. Овчинников) [22].
Известно, что для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо суметь описать их на языке математики, то есть построить математическую модель процесса, явления. Математические модели и являются объектами непосредственного математического исследования.
Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений.
Математическая модель – это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта.
Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций. С содержательной точки зрения интересны модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений.
С математическими моделями тесно связан математический метод познания отображаемых моделью объектов – метод математического моделирования.
Соотношение между элементами a, b и c, выражаемое формулой , – это математическая модель. Она изоморфно отображает операцию объединения двух «куч камней» с их числами a и b в общую «кучу камней», которых окажется . В этом смысле операция сложения изоморфна этому слиянию.
Этот пример поясняет общий математический метод познания. Он состоит в построении для объекта, процесса или явления изоморфной математической модели, изучении этой математической модели и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходный объект [5]. Другими словами, метод математического моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.
Математическое моделирование – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Это мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления [7].
Математическое моделирование расширяет творческие возможности специалиста в решении целого ряда профессиональных задач, существенно изменяет его профессиональную подвижность. Современному специалисту следует «хорошо знать» математику, то есть не просто уметь использовать ее для различных расчетно-вычислительных операций, а понимать математические методы исследования и их возможности. Только понимание сущности математического моделирования позволяет адекватно использовать этот метод в профессиональной деятельности.
Развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира является программным требованием к обучению математике. Доминирующим средством реализации этой программной цели является метод математического моделирования. Этот метод имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Применительно к обучению математике воспользуемся определением моделирования, которое предлагает И. Г. Обойщикова, и будем понимать под моделированием обобщенное интеллектуальное умение учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений, способов деятельности моделями в виде изображений отрезками, числовыми лучами, схемами, значками [11].
Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы.
При решении сюжетных задач особенно часто используются их алгебраические и аналитические модели. Такой моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, система уравнений и неравенств и др. При составлении модели задача, таким образом, переводится на язык алгебры или математического анализа.
Вывод: Итак, мы рассмотрели в первой главе методы научного познания и их применение в обучении математики. В связи с этим можно сделать следующий вывод:
Методы научного познания нашли свое применение в обучении математике. Их можно использовать на протяжении всего процесса обучения математики. Учителю нужно уметь применять их на различных этапах обучения математики, для того чтобы способствовать логическому мышлению учащихся.

Глава II. Методические аспекты изучения темы «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы
2.1 Анализ учебников по теме «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы
К 12-13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, непосредственный интерес к ее освоению уже практически утрачен, еще по-настоящему не проявившись. Ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием (по отношению к психологически благоприятному периоду), как геометрию. Наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста.
Наглядная геометрия предполагает изучение свойств геометрических форм только на отдельных геометрических предметах путем непосредственного их восприятия и представления. При этом учитель не прибегает к общим отвлеченным понятиям этих форм. Для обоснования справедливости находимых свойств может широко использоваться индуктивный метод.
Впервые, в школьном курсе математики, с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Если обучение идет по учебникам Л.Г. Петерсона, то это второй класс. Если по учебникам М.И. Моро, то это третий класс. Изучение четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата, идет поверхностно. В основном изучается периметр и площадь, так как при решении задач на нахождение площади и периметра отрабатывается умение применять операции сложения, вычитания, умножения и деления. А это одно из основных умений, которые должны выработаться в начальной школе.
В 5 и 6 классах школьники также встречаются с четырехугольниками. Как и в начальной школе, изучение идет поверхностно. К прямоугольнику и квадрату добавляются параллелограмм и трапеция.
Более подробно тема «Четырехугольники» изучается в курсе геометрии в восьмом классе. Рассмотрим, как предлагается изучение данной темы разными авторскими коллективами в учебниках геометрии, рекомендованных Министерством образования РФ.
2.1.1 «Геометрия, 7-11», авт. А. В. Погорелов
Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе. Этой теме в учебнике посвящен шестой параграф.
В первом пункте параграфа (п. 50) дается определение четырехугольника и предлагается задача на усвоение определения. Рассказывается, какие стороны и вершины называются соседними и противоположными. Дают определение диагоналей и периметра четырехугольника
В следующих пунктах (п.п. 51 – 56) дается определение параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Доказывается признак параллелограмма. Доказываются свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Рассматривается по одной задаче на каждое свойство параллелограмма. Для ромба и прямоугольника предлагаются задачи на использование определения. Определение квадрата дается на основе прямоугольника. Так же говорится, что квадрат является ромбом, так как стороны квадрата равны. На основе этого делается вывод, что квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба. Приводится пример использования определения при решении задачи.
Так же в данном параграфе изучается теорема Фалеса (п. 57) и средняя линия треугольника (п. 58). После приведения доказательства теоремы Фалеса автор делает замечание, что в качестве сторон угла можно взять любые две прямые. Предлагается задача разделить отрезок на n равных частей. При изучении средней линии треугольника дается определение и доказательство теоремы о средней линии треугольника.
В следующем пункте (п. 59) рассматривается еще один вид четырехугольника – трапеция. Вводятся определения трапеции и средней линии трапеции. Доказывается теорема о средней линии трапеции.
В последних пунктах параграфа (п.п. 60 – 61) доказывается теорема о пропорциональных отрезках и рассказывается, как построить четвертый пропорциональный отрезок.
Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:

Параллелограмм

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Трапеция

2.1.2 «Геометрия, 7-9», авт. Л. С. Атанасян
Тема «четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Дается определение многоугольника (п. 39), а также что называют вершинами и сторонами многоугольника. Говорится, что называется n-угольником. Приводятся примеры фигур, которые являются многоугольниками и тех, которые не являются многоугольниками. Дается определение соседних вершин и диагоналей многоугольника. В конце данного пункта говорит о том, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части (внутренняя и внешняя область многоугольника).
В следующем пункте первого параграфа (п. 40) автор рассказывает о выпуклых многоугольниках. Приводит пример выпуклого и невыпуклого многоугольника. Рассматривая выпуклый n-угольником A₁A₂A₃…A_n-1A_nA₁ автор говорит, что углы A_nA₁A₂, A₁A₂A₃, …, A_n-1A_nA₁ называются углами этого многоугольника и показывает чему равняется сумма углов выпуклого n-угольника.
Последний пункт данного параграфа (п. 41) посвящен четырехугольнику. Автор не дает определения четырехугольника, он просто говорит, что четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Дает определение противоположных сторон и вершин. Приводит пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника. На основании суммы углов выпуклого n-угольника делается вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º.
Второй параграф посвящен параллелограмму и трапеции. При изучении параллелограмма (п. 42) дается его определение, и доказываются его свойства. Л. С. Атанасян предлагает другой способ доказательства свойств параллелограмма по сравнению с учебником [14]. Данные доказательства являются меньшими по объему и легче усваиваются учениками.
В следующем пункте параграфа (п. 43) рассказывается о признаках параллелограмма. В отличие от А. В. Погорелова Л. С. Атанасян рассматривает три признака параллелограмма. Это позволяет быстрее решать задачи на доказательство.
Последний пункт параграфа (п. 44) отводится трапеции. В этом пункте дается определение трапеции и рассматриваются виды трапеции. В этом учебнике также предлагается для изучения теорема Фалеса, но в явном виде она не выделена отдельным пунктом (по сравнению с учебником [14]).
Третий параграф посвящен прямоугольнику, ромбу и квадрату. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма (аналогично с учебником [14]). Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма (этот факт не оговаривается в учебнике [14]). Также в учебнике рассматривается особые свойства прямоугольника и ромба. Определение и свойство квадрата рассматриваются подобно, что и в учебнике [14], добавляются особые свойства квадрата.
В конце параграфа отдельным пунктом (п. 47) выделена осевая и центральная симметрия. В конце главы предлагаются задачи на отработку ЗУН.
Изучение четырехугольников в учебнике Л. С. Атанасяна идет по следующей схеме:

Параллелограмм

Трапеция

Прямоугольник

Квадрат

Ромб

2.1.3 «Геометрия, 8-9», авт. А. Д. Александров
Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе в главе «Площади многоугольных фигур».
В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В первом пункте данного параграфа дается определение ломанной, рассматриваются различные особенности ломанной (замкнутая, пересекающая сама себя, косающая сама себя, простая ).
Следующие два пункта рассказывают о многоугольниках. Дается определение многоугольника, его сторон, вершин, диагоналей. Рассматривают выпуклые и невыпуклые многоугольники. Автор отмечает, что из всех многоугольников самые важные – выпуклые. Далее на примерах показывают, что любой треугольник является выпуклым многоугольником, а для четырехугольника это уже не всегда так. Также рассматривают свойства выпуклого многоугольника. Автор указывает наглядно очевидные свойства.
В пункте 1.4, который называется «Четырехугольники», автор рассказывает, что у четырехугольника 4 вершины, 4 угла, 4 стороны. Как принято обозначать четырехугольник. Рассказывает, какие стороны называются смежными, какие противоположными. Какие вершины являются соседними и противоположными. Также рассказывает про диагонали четырехугольника и автор напоминает, что сумма углов любого четырехугольника равна 360⁰.
Пункт 1.5 посвящен многоугольным фигурам. Дается определение многоугольной фигуры. Приводится пример многоугольных фигур составленных из многоугольников, не имеющих общих точек и имеющие только отдельные общие точки на границе. Также рассматриваются не пересекающиеся многоугольные фигуры, и дается определение составленной фигуры из многоугольных фигур.
Второй параграф посвящен площади многоугольных фигур. Дается определение площади многоугольной фигуры. Отмечается, что фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.
Далее переходят к измерению площади. Измерение площади определяется как сравнение площади данной фигуры с площадью фигуры принятой за единицу измерения. В конце параграфа рассматривается площадь прямоугольника, приводится доказательство, что величина a*b удовлетворяет любому прямоугольнику.
В третьем параграфе рассказывается о площади треугольника и трапеции. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого одна пара параллельных сторон. Эти стороны называются основанием, а две другие боковыми. Дается определение равнобедренной (или равнобокой) трапеции. В конце параграфа доказывается теорема о средней линии трапеции. Автор отмечает, что треугольник можно считать вырожденной трапецией, когда одно из оснований становится точкой.
Последний параграф данной главы называется «Параллелограмм и его площадь». В первом пункте данного параграфа дается определение параллелограмма. Свойства параллелограмма рассматриваются в виде теоремы.
В пункте 4.2 доказывается теорема о признаках параллелограмма. Далее дается определение высоты параллелограмма и доказывается теорема о площади параллелограмма. Следующий пункт посвящен частным видам параллелограмма.
Первым частным видом параллелограмма является прямоугольник. Говорится, что прямоугольник является параллелограммом и доказывается важное свойство прямоугольника (в прямоугольнике диагонали равны) и признак прямоугольника (параллелограмм диагонали которого равны, является прямоугольником).
Вторым частым видом параллелограмма является ромб. Ромб определяется как четырехугольник, все стороны которого равны. Отмечается, что ромб является параллелограммом по признаку последнего (четырехугольник, имеющий две пары равных противоположных сторон является параллелограммом). Приводится доказательство свойства ромба и предлагается самостоятельно доказать два признака ромба.
Последний частный вид параллелограмма – квадрат. Здесь говорится, что квадрат является прямоугольником и ромбом одновременно, следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны и равны.
В последнем пункте данного параграфа речь идет о характерных свойствах фигур. Дается определение характерного свойства. Приводится пример характерных свойств параллелограмма, прямоугольника и ромба.
В конце каждого параграфа и главы приводятся вопросы и задачи для проверки ЗУН учащихся.
Изучение четырехугольников идет по следующей теме:

Трапеция

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Параллелограмм

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
2.1.4 «Геометрия, 7-9», авт. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе в главе «Параллельность».
В первом параграфе рассматриваются параллельные прямые. Дается определение параллельных прямых, секущей. Определяются соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы. Доказывается признак параллельности двух прямых, и рассматриваются три следствия данной теоремы. Также доказывается теорема о равенстве внутренних накрест лежащих углов.
Следующий параграф посвящен сумме углов многоугольника. Сначала доказывается, что сумма углов треугольника равна 180⁰, а затем переходят к доказательству общего случая.
В третьем параграфе рассматривают параллелограмм. Дается определение параллелограмма, доказывается три его свойства. Рассмотрен пример на применение свойств параллелограмма. На признаки параллелограмма отводится четвертый параграф, в котором доказываются первый и второй признаки параллелограмма. Приведено два примера на применение данных признаков.
В пятом параграфе рассмотрены прямоугольник, ромб и квадрат. Прямоугольник и ромб определяются через параллелограмм. Авторы отмечают, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма и приводят доказательство признака прямоугольника (если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник).
Ромб также является параллелограммом, следовательно, он обладает всеми его свойствами. Приводится доказательство признака ромба (если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб).
Квадрат определяется через прямоугольник. Авторы отмечают, что квадрат также является ромбом, у которого все углы прямые. На основании этого следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Перед изучением трапеции авторы рассматривают теорему о средней линии треугольника. Дают определение средней линии треугольника и приводят доказательство теоремы. Этот шаг оправдан, так как при доказательстве теоремы о средней линии трапеции используется теорема о средней линии треугольника. Определение трапеции такое же, как и в других учебниках (см. [1], [2], [14]). Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Дается определение равнобокой, прямоугольной трапеций, средней линии трапеции. Приводится доказательство теоремы о средней линии трапеции и рассматривается следствие из данной теоремы.
В конце главы приводится доказательство теоремы Фалеса, которая является обобщением теорем о средней линии треугольника и трапеции. В конце каждого параграфа и главы приводятся вопросы и задачи для проверки ЗУН учащихся.