Л.М. Фридман пишет об этом так: «Весьма часто фронтальную форму организации учебной деятельности отождествляют с коллективной. Между тем это не правомерно...» [31, с. 116].
Х.Й. Лийметс так же отмечает, что коллективная работа существенно отличается от фронтальной, что можно говорить о ней как о самостоятельной форме [17, с. 15].
В дипломной работе принята точка зрения последних авторов, согласно которой фронтальная и коллективная формы деятельности учащихся – это различные самостоятельные способы организации. Они имеют некоторые общие признаки, но в целом они различны. То есть от учителя и учащихся требуются различные умения по организации каждой из указанных форм учебной деятельности на уроке.
2.2 Признаки коллективной формы учебной деятельности на уроках математики
По мнению Р.А. Утеевой [29] коллективной формой учебной деятельности учащихся на уроке называется такой способ организации учебной деятельности класса, если:
1)    пред всеми учащимися одновременно поставлена цель, как общая цель для всех;
2)    учащиеся выполняют одинаковые задания;
3)    в основе формы лежит коллективная деятельность учащихся класса, реализующая отношение «действия учителя – действия класса – действия ученика»;
4)    учащимся оказывается первый вид помощи со стороны учителя и взаимопомощь со стороны друг друга;
5)    руководство по выполнению задания осуществляет учитель и частично сами учащиеся;
6)    подводятся итоги деятельности учащихся класса, как общий достигнутый результат всех учащихся.
Рассмотрим подробнее каждый признак.
1 признак означает, что перед всеми учащимися ставится общая цель. Эта цель должна обязательно предполагать самостоятельное нахождение учащимися новых знаний (фактов, правил, свойств и т. п.) или осуществление переноса имеющихся знаний в новые условия.
Ярким примером такой общей цели на уроках математики может служить доказательство теоремы, которое проводят сами ученики, или самостоятельное выявление каких-либо свойств.
2 признак показывает, что содержание задания одинаково для всех учащихся (хотя иногда общее задание может распадаться на ряд мелких частных задач).
Задания при коллективной форме должны удовлетворять ряду требований:
1)    задание должно обладать достаточной степенью проблемности;
2)    задание должно позволить учащимся сделать какое-либо обобщение;
3)    задание должно предусматривать применение полученных результатов к решению других задач;
4)    основу заданий должны составлять поисковые и проблемные задачи;
5)    для выполнения таких заданий необходимо использовать на уроке самостоятельные работы эвристического и творческого типов.
Исходя из выше указанных требований к заданиям при организации коллективной формы деятельности, можно заключить, что она способствует приобретению учащимися опыта поисковой деятельности, формирует их творческие способности, что особенно важно и необходимо при изучении такой науки, как математика.
3 признак является определяющим признаком коллективной формы как способа организации коллективной деятельности учащихся класса. В основе формы лежит «активное сотрудничество школьников в главном для них труде - учении».
4 признак характеризует некоторые отличия коллективной формы деятельности от фронтальной. При коллективной форме помимо одинаковой помощи со стороны учителя всем учащимся, оказывается взаимопомощь со стороны самих учащихся. Помощь учителя заключается в чёткой постановке перед классом общей для них цели; побуждении учащихся к коллективным действиям, коллективному выполнению задания; подборе соответствующих дополнительных заданий и вопросов, направляющих учебную деятельность учащихся к достижению целей. Взаимопомощь учащихся включает в себя обсуждение задания с рядом сидящими товарищами. Догадка одного ученика, найденный им ответ или подход к решению задачи, подтверждается примерами, пояснениями других.
5 признак показывает, что при коллективной форме учебной деятельности возрастает степень самостоятельности учащихся, по сравнению с фронтальной формой. Учитель при руководстве процессом выполнения задания задает им цель, т.е. указывает конечный результат, к которому они должны прийти, ставит перед ними определенную проблему (создает проблемную ситуацию), но не указывает пути и средств достижения цели. Учащимся предстоит самим определить способ решения задачи или «открыть теорему».
6 признак подчеркивает, что при коллективной форме следует подводить итоги деятельности всего класса, как общий достигнутый результат. Чаще всего учитель высказывает суждения типа: «Какие вы сегодня молодцы, сами открыли теорему (правило, свойство и т. п.)» или «Ваш класс сделал сегодня открытие, которое имеет важное значение в математике. Впервые это открытие было сделано в таком-то году, тем то (далее может следовать краткая историческая справка)».
В свою очередь В.К. Дьяченко выделяет следующие признаки коллективной работы [9]:
1)                наличие у всех ее участников единой цели;
2)                разделение труда, функций и обязанностей, привлечение участников работы к контролю, учету, управлению;
3)                налаженное сотрудничество и товарищеская взаимопомощь;
4)                осознанный общественно-полезный характер всех и каждого ученика в отдельности задается деятельностью;
5)                культивируется забота всех о каждом, и каждого обо всех;
6)                достигается равенство объективных условий для каждого.
Сущность коллективной формы учебной деятельности учащихся на уроке математики, по мнению Р.А. Утеевой [30], заключается в том, что учитель дает всему классу общее задание, удовлетворяющее определенным требованиям. Общая цель достигается путем вовлечения учащихся в обсуждение задания, выдвижения ими гипотезы и проверки ее на конкретных примерах или обобщение ранее приобретенных знаний.

2.3 План организации коллективной формы учебной деятельности на уроках математики
Коллективные виды работы делают уроки математики более интересным, живым, воспитывают у учащихся сознательное отношение к учебному труду, активизируют мыслительную деятельность, дают возможность многократно повторять материал, помогают учителю объяснять и постоянно контролировать знания, умения и навыки у ребят всего класса при минимальной затрате своего времени [11].
Р.А. Утеева предлагает следующий план организации коллективной деятельности:
1.                Постановка перед учащимися задания для самостоятельного коллективного выполнения.
2.                Первичное обсуждение задания, инструктаж учителя.
3.                Организация коллективной деятельности учащихся класса по выполнению задания (взаимодействие учащихся друг с другом), составление учащимися плана решения задач под наблюдением учителя.
4.                Объединение полученных результатов, формирование учащимися нового знания как общего результата деятельности всех.
5.                Оценка учителем выполнения задания. Подведение окончательных итогов.
6.                Применение полученных результатов к решению других задач [29].
Регулярное использование на уроках математики и геометрии коллективной формы учебной деятельности в тех случаях, когда это, возможно, способствует творческому овладению знаниями, повышает интерес учащихся к изучаемой теме, их активность и самостоятельность, формирует у них навыки коллективной работы.

2.4 Значение коллективной формы учебной деятельности на уроках математики
Организация на уроке коллективной формы учебной деятельности учащихся имеет большое психологическое, социальное и дидактическое значение.
Психологическое значение
В процессе коллективного учебного труда на уроках математики создаются наиболее благоприятные возможности для усвоения знаний и наиболее полного психологического развития каждого школьника. Коллективная форма учебной деятельности учащихся учит их деловому общению, дает возможность анализировать действия одноклассников и свои собственные.
Социальное значение
Социальное обоснование коллективной формы учебной деятельности на уроках математики в средней школе народная мудрость выразила в пословице: «Ум – хорошо, а два – лучше». Поэтому на отдельных уроках математики или их этапах ученикам предоставляется возможность общаться друг с другом: обмениваться мнениями, спорить, дополнять, исправлять, оценивать друг друга. Совместная работа в коллективе способствует сближению учащихся, улучшению их взаимоотношений.
Дидактическое значение
Дидактические возможности коллективной формы учебной деятельности учащихся на уроках математики заключаются, прежде всего, в активизации их познавательной деятельности. Главным в деятельности учащихся является чувство моральной ответственности перед коллективом.
У учащихся, даже слабо успевающих, появляются успехи в учении, так как в результате взаимопомощи восполняются пробелы их знаний, развивается интерес к предмету.
Коллективная познавательная деятельность предполагает вместо традиционной формы обучения “учитель – ученик” более сложное соотношение “учитель – коллектив – ученик”.
§ 3. Приемы организации коллективной формы учебной деятельности учащихся на уроках математики
В данном параграфе рассмотрены различные приемы организации коллективной формы учебной деятельности учащихся, на основе которых были самостоятельно разработаны примеры их применения на уроках математики.
Рассмотрим несколько приемов организации коллективной работы на уроках, которые приводит в своей книге В.К. Дьяченко [9].
3.1 Взаимные опросы
Простейшим случаем коллективных учебных занятий могут служить взаимные опросы учащихся, если каждый по очереди работает с разными партнерами и выполняет функции то обучающего (ведущего опрос и проверяющего), то обучаемого. Взаимные опросы в парах постоянного и сменного состава можно проводить начиная с 7 класса.
Пример 1: 1) Закрепление таблицы значений тригонометрических функций – Алгебра и начала анализа, 10 класс.
2) Закрепление производных некоторых функций - Алгебра и начала анализа, 11 класс.
3.2 Смена заданий в четверках
Следующий прием организации коллективной работы – смена заданий в четверках. Для этого объединяются четверо ребят, сидящие за двумя соседними партами, они поворачиваются лицом друг к другу. Обмен карточками-заданиями происходит следующим образом:
1)    по горизонтали;
2)    по диагонали;
3)    по вертикали.
Возможная смена заданий такова: выполнят задания в парах постоянного состава, а затем меняются друг с другом.
Пример 2: Закрепление решения простейших тригонометрических уравнений – Алгебра и начала анализа, 10 класс.
Ребята выполняют задания по карточкам [18].
Карточка №1. Решите уравнения:
a) ;
б) .
Карточка №2. Решите уравнения:
а) ;
б) .
Карточка № 3. Решите уравнения:
a) .
б) .
Карточка № 4. Решите уравнения:
a) ;
б) .
Каждый учащийся решают задания своей карточки и записывают решения в тетрадях, затем меняются друг с другом карточками. Обмен происходит по диагонали.
3.3 «Ручеек»
В «ручейке» идет общение ребят внутри одного ряда, где работают 10 учащихся. Для этой работы учитель заготавливает к уроку карточки по числу учащихся в ряду. Содержание карточек отличается друг от друга. Для ребят второго и третьего ряда составляются аналогичные карточки. Итак, у учителя 3 комплекта карточек, по 10 штук в каждом.
Сначала заготавливаются разные вопросы и задания по изучаемой теме. Каждый ученик получает один из текстов, отличный от всех. Все учащиеся работают в парах сменного состава в следующем порядке:
1.                Один из работающих в паре задает вопросы по карточке, заготовленной учителем (например, дать определение, сформулировать какую-то теорему или свойство, решить задачу), другой пишет ответ на листочке.
2.                Второй ученик (тот, который перед этим отвечал) задает вопросы по другой карточке, а первый отвечает.
3.                Каждый берет листочек своего соседа и без подглядывания в карточку проверяет написанные им ответы.
4.                Открывают карточку и проверяют второй раз (уже вместе).
5.                Ученик, допустивший ошибки, под контролем соседа по парте, разбирается в своих ошибках и записывает их в тетрадь.
6.                Снова берут листочки друг друга, еще раз все просматривают и ставят свои подписи: «Проверил Иванов», «Проверила Петрова».
После того, как задания выполнены, друг у друга проверены, пара распадается. Освободившиеся ученики образуют новые пары. Учащиеся в выборе партнера для совместной работы свободно перемещаются по классу, образуя новые диалогические сочетания обучают друг друга по своим карточкам-заданиям.
Решение задач в динамической паре:

Рис. 1
Переход к обучению в парах сменного состава или динамических парах возможен лишь в том случае, если учащиеся научились работать в постоянных парах и группах. Поэтому в качестве подготовительной работы чаще всего имеет место сочетание общеклассной и индивидуальной формы работы. Но на практике можно наблюдать, что не все активно участвуют в общеклассной (фронтальной) работе, так же как и не все могут индивидуально справиться с тем заданием, которое учитель предлагает для самостоятельной работы, так как всем дается одинаковое задание. Таким образом, учитель не может учесть уровень подготовленности и индивидуальные особенности каждого ученика. Такая работа может быть осуществлена с помощью дифференцированных заданий. Применяя на уроке дифференцированные задания, учитель тем самым выводит класс на коллективную форму обучения.
Пример 3: Повторение таблицы умножения путем решения числового кроссворда – Математика, 5 класс. Кроссворд выдается для каждого ряда. Каждый учащийся ряда решает один пример и передает кроссворд следующему. Ряд, первым верно разгадавший кроссворд – побеждает.

Числовой кроссворд

А		Б	В
	Г
Д		Е
Ж		З

Рис. 2
По горизонтали:
А. 7 · 7 = … Б. 8 · 3 = … Г. 8 · 8 = …
Е. 8 · 7 = … Ж. 4 · 9 = … З. 6 · 7 = …
По вертикали:
А. 6 · 8 = … Б. 6 · 4 = … В. 9 · 5 = …
Г. 7 · 9 = … Д. 9 · 7 = … Е. 9 · 6 = …
Рассмотренные выше приемы форм коллективной работы применяются на отдельных этапах урока. Но на уроках обобщения и закрепления той или иной темы рекомендуется проводить коллективные учебные занятия, используя различные коллективные формы организации на протяжении всего урока.
В своих исследованиях Р.А. Утеева выделяет следующие методические приемы организации коллективной работы на этапе изучения нового материала: проблемная беседа, опыт, эксперимент, лабораторно-практическая работа, решение проблемно-поисковых задач [30]. Рассмотрим некоторые из них.
3.4 Лабораторные и практические работы
Лабораторные и практические работы существуют для усиления прикладной и практической направленности курса математики и развития способностей учащихся к самостоятельным исследованиям. Задания представляют собой относительно завершенный исследовательский цикл: наблюдение – гипотеза – проверка гипотезы. Выделяют следующие типы лабораторных и практических работ:
1) графические упражнения;
2) измерительные работы на местности;
3) работа с персональным компьютером.
Подобные работы могут быть реализованы на уроке и дома. Практически во всех работах учащимся приходится заполнять таблицы знаний. Учиться лучше всего вдвоем. В паре происходит одновременная работа, в которой участвуют сразу оба учащихся. От качества работы в паре зависят во многом итоговые результаты. Внутри пары может совершаться множество различных действий:
·                     обмен наблюдениями;
·                     обсуждение условий задачи;
·                     выработка алгоритма действий;
·                     разделение целого на части;
·                     анализ результатов.
Поэтому практические и лабораторные работы в курсе математики являются той деятельностью, в которой у учащихся рождается истина, новое знание или понимание математических законов на практике.
Пример 4: Лабораторная работа, позволяющая учащимся самостоятельно сформулировать геометрический смысл основного свойства первообразной – Алгебра и начала анализа, 11 класс.
Задания:
1.     Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = x + cos x.
2.     Запишите две различные первообразные для этой функции.
3.     Постройте графики для каждой из первообразных на одной координатной плоскости.
4.     Определите, каким образом график одной первообразной может быть получен из графика другой.
5.     Сформулируйте вывод в виде свойства.

3.5.          Проблемная ситуация
«Проблемные ситуации» возникают в процессе деятельности субъекта, направленной на некий объект, когда субъект встречает какое-то затруднение, преграду. Например, когда для удовлетворения некоторой потребности субъекту недостаточно тех знаний о каком-то объекте, какими он располагает, то он оказывается в ситуации, являющейся проблемной.
Таким образом, проблемные ситуации образуются из следующих компонентов: действий субъекта, объекта его деятельности – преграды на пути осуществления цели его деятельности.
Преграда может быть самой различной природы: это и недостаток или несоответствие знаний, средств и способов их применения, и необходимость произвести какие-то неизвестные действия для достижения цели или сделать выбор между несколькими объектами.
Однако указанное условие возникновения проблемных ситуаций (преграда, затруднение на пути осуществления цели деятельности субъекта) является лишь необходимым, но недостаточным для того, чтобы он осознал, заметил эту проблему и чтобы он захотел ее устранить [31, с. 125].
Исследования проблемных ситуаций в мышлении и в обучении А.М. Матюшкиным показывают, что главная дидактическая трудность в создании проблемного задания заключается в том, чтобы выполнение учеником предлагаемой задачи привело к потребности в том знании или способе действия, который составляет неизвестное. «Искусство учителя заключается в том, чтобы представить подлежащие усвоению знания как систему неизвестных знаний, которые должны открыть учащиеся на уроке» [20, с. 101-102].
При организации коллективной формы учебной деятельности на этапе изучения нового материала (при создании проблемной ситуации) в основу положены три качественных уровня проблемного обучения В.А. Крутецкого [16]:
1.           Учитель ставит проблему, формулирует ее, указывает на конечный результат, ученики самостоятельно ведут поиски решений этой проблемы, зная окончательный результат.
2.           Учитель только показывает на проблему, а учащиеся формулируют и решают ее, при чем конечный результат им заранее не известен.
3.           Ученики самостоятельно ставят проблему, формулируют ее и исследуют возможности и способы ее решения.
В своей статье Т.М. Карелина [12], исходя из собственного педагогического опыта, предлагает учителям математики использовать на уроках следующие проблемные ситуации:
1. Недостаток или несоответствие заданий, средств и способов их применения.
2. Необходимость произвести какие-то неизвестные действия для достижения цели.
3. Выбор между несколькими объектами.
Главное, чтобы учащиеся не просто увидели проблему, а поняли и захотели ее решить. Далее учащийся сам, под контролем учителя, должен пройти ряд этапов:
1) проанализировать ситуацию;
2) точно сформулировать учебно-познавательную проблему;
3) грамотно выдвинуть гипотезу;
4) проверить, хватит ли ему знаний для решения проблемы;
5) доказать гипотезу на основе полученных знаний.
Создание проблемной ситуации требует от учителя овладения следующими методическими приемами:
1. Постановка перед изучением новой темы такого домашнего задания, которое поставит школьника в тупик.
Пример 5: Дана прямая l и две точки А и В вне ее. Найти такую точку С, чтобы угол АСВ был прямой – Геометрия, 7 класс. При проверке задания задается вопрос: «Нельзя ли решить задачу с помощью циркуля и линейки?». Он побуждает учащихся проанализировать свои действия и понять, что они сами того не ведая, выявили новое свойство.
2. На этапе подготовки к изучению новой темы учащимся предлагается выполнить действия на первый взгляд не вызывающие затруднений.
Пример 6: Построить треугольники по трем заданным углам – Геометрия, 7 класс.
1)
2)
3)
Учащимися выдвигается предположение о внутренних углах треугольника. Учитель задает провокационный вопрос: «По вашему мнению, в каком треугольнике сумма углов больше, в остроугольном или в тупоугольном?» Предлагается практически проверить это.
3. Вызов у учащихся на этапе изучения новой темы познавательного затруднения, возникающего в результате побуждения учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, изученных ранее.
Пример 7: При изучении темы о формуле корней квадратного уравнения учитель обращает внимание на примеры, решенные на предыдущем уроке и дома способом выделения квадратного двучлена, и предлагает решить уравнение: x2 + 8x – 10 = 0.
Примеры типа , где b – не является квадратом целого числа, учащиеся не решали. Учитель объясняет, что известный им способ решения квадратных уравнений путем выделения квадратного двучлена универсален, но требует громоздких преобразований, поэтому удобнее решив квадратное уравнение в общем виде вывести формулу его корней и решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объясняет новую тему, а учащиеся уже психологически готовы к ее восприятию.
3.6 Проблемно-поисковые задачи
Существуют различные трактовки понятия проблемно-поисковой задачи, которая рассматривается в рамках:
- исследовательских задач и характеризуется отсутствием не только алгоритма, но и различного рода алгоритмических предписаний; нестандартностью формулировки проблемы и нахождения способа решения; составлением новых задач, вытекающих из решения данной; многовариантностью способов решения и ответов.
- познавательных задач и характеризуется неизвестностью способа решения; самостоятельным добыванием учащимися новых знаний или новых способов решения проблем; достаточной сложностью для того, чтобы
вызвать у учащихся затруднение; взаимосвязью задачи не только с новыми, но и с прежними заданиями; недостижимостью результата при известных средствах его достижения.
- творческих задач и характеризуется неопределенностью проблемы, сформулированной в задаче; отсутствием в условии указаний о том, какие знания необходимо применить; избыточностью или недостаточностью данных условия; неизвестностью результата при известном средстве его достижения.
- собственно проблемных задач и характеризуется возникновением ситуации, в которой у ученика проявляет удивление и ощущение трудности; порождением в сознании ученика проблемной ситуации; получением новых знаний в результате решения задач.
Итак, под проблемно-поисковой задачей будем понимать такую задачу, в информационной структуре которой неизвестны три ее компонента из четырех. Ю.М. Колягин [27] предлагает следующую структуру задачи в виде УОРЗ, состоящую из четырех компонентов: У - условие задачи; О – обоснование задачи, Р – решение задачи, 3 – заключение. Следовательно, проблемно-поисковые задачи включают в себя следующие виды: Уxyz, xОyz, xyРz, xyzЗ, где через х, у, z обозначены неизвестные компоненты.
В своей книге С.С. Варданян [4] приводит пример следующей проблемно-поисковой задачи, используемой при изучении темы «Сумма углов треугольника» - Геометрия, 7класс. «Как измерить изображенный на доске угол, часть которого вместе с вершиной случайно стерли?» Обыграть, что учитель растерян, ему требуется помощь. Учащиеся, с помощью решения данной задачи самостоятельно приходят к теореме о сумме углов треугольника.
§ 4 Особенности организации коллективной формы учебной деятельности на различных этапах урока
При организации коллективных занятий важно учитывать ряд специфических особенностей, о которых говорит в своей книге В.К. Дьяченко [9]:
1. Каждый участник занятий попеременно выступает в своеобразной роли то «ученика», то «учителя».
2. Ближайшая цель каждого участника занятий: и «ученика», и «учителя» – учить всему тому, что он знает или изучает сам.
3. Деятельность каждого участника занятий имеет отчетливо общественно полезную окраску, так как он не только учится, но и постоянно обучает других.
4. Основной принцип работы – все по очереди учат каждого, и каждый всех.
5. Каждый отвечает не только за свои знания, но также за знания и успехи товарищей по учебной работе.
6. Полное совпадение и единство коллективных и личных, индивидуальных интересов: чем лучше и больше я обучаю других, тем больше и лучше знаю сам.
Исследовав обучающие функции коллективной деятельности, в своей работе Р.А. Утеева делает вывод о том, что эта форма эффективна лишь на этапе изучения нового материала, а также при обобщении и систематизации какого-либо изученного раздела. На других этапах урока математики организация коллективной деятельности затруднена в силу ряда причин, в частности разнородности класса и невозможности во всех случаях подобрать соответствующие задания, удовлетворяющие всем требованиям коллективной деятельности [30].
Рассмотрим особенности организации коллективной формы на этапе изучения нового материала. Так как в основе данного способа лежит коллективная деятельность учащихся класса, то основная цель деятельности учителя – формирование у учащихся самостоятельности мышления, умений осуществлять поиск и самим, с незначительной помощью учителя, получать новое знание. Эта цель достигается тогда, когда учитель не излагает новый материал, а подготавливает учащихся к самостоятельному формулированию нового, обобщению какой-нибудь закономерности, следующей из частных случаев, создает проблемную ситуацию, организует поиск и решение поставленной перед классом проблемы.
Основные методы, используемые при этом: проблемная беседа, опыт, эксперимент, лабораторно-практическая работа, решение проблемно-поисковых задач.
По мнению Р.А.Утеевой [30], коллективная форма учебной деятельности учащихся наиболее эффективна на этапе изучения нового, когда:
1.       Учебный материал содержит в себе обобщение какой-нибудь закономерности, следующей из частных случаев, в результате которого можно получить определение, правило, формулу, свойство, прием решения задач определенного типа.
Пример 1: а) Умножение и деление степеней – Алгебра, 7 класс. Опираясь на известное учащимся определение степени, и, рассматривая ряд частных случаев, они сами приходят к выводу основного свойства степени с натуральным показателем, обосновывают его и формулируют правило умножения степеней с одинаковыми основаниями;
b) Формула n-ого члена арифметической прогрессии – Алгебра, 9 класс. Опираясь на определение арифметической прогрессии и рассматривая ряд частных случаев, учащиеся могут сами открыть формулу:
an = a1 + d (n - 1).
2.       Содержание учебного материала позволяет поставить перед учащимися «проблему», создать проблемную ситуацию.
Пример 2: а) Разложение многочлена на множители способом группировки – Алгебра, 7 класс;
b) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии –Алгебра, 9 класс;
c) Правило сложения двух отрицательных чисел –Математика, 6 класс.
3.       Материал большого объема и его изложение связано с вычислениями, построениями графиков, проведением сравнения, рассмотрением разных случаев, позволяющих сделать обобщение материала.
Пример 3: а) Функция y = xn - Алгебра, 9 класс. Учащиеся уже знакомы с частными случаями функции при n = 1, 2, 3, их графиками и свойствами. Здесь происходит дальнейшее обобщение понятия степеней функции, ее свойств, особенностей графиков для любого натурального значения показателя n;
b) Исследование взаимного расположения графиков функции  и  при различных значениях a, b и k – Алгебра, 8 класс.
Учащиеся уже знакомы с данными функциями и их графиками. Коллективная деятельность учащихся позволяет рассмотреть на уроке все возможные случаи и установить когда: графики не пересекаются; пересекаются только в одной точке; пересекаются только в двух точках; пересекаются более чем в двух точках.
4.       Учебный материал содержит вторую группу знаний (теоремы), схема доказательства которых известна, и опирается на предыдущий материал, вполне доступный самим учащимся.
Пример 4: а) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями – Алгебра, 8 класс. Сводится к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями и опирается на основное свойство дроби;
b) Свойства степени с целым показателем – Алгебра, 8 класс;
с) Свойства арифметического корня и степени – Алгебра, 9 класс.
Основное условие успешности коллективной формы учебной деятельности на этапе изучения нового материала: составление и подбор учителем таких заданий, которые обладают достаточной степенью проблемности, позволяют создать проблемную ситуацию. В настоящее время действующие учебники алгебры и геометрии практически не предусматривают таких заданий, поэтому их приходится составлять самому учителю.
На этапе обобщения изученного материала учитель развивает у учащихся умение актуализировать необходимые знания, находить различные способы и подходы к решению поставленных задач и применять их на практике. Для этого учитель использует такие приемы, как работа в динамических парах или четверках, а так же коллективное обсуждение изученного материала и его систематизацию. При этом итоги по изученному материалу подводит не учитель, а сами учащиеся.
Учебное сотрудничество является основой для развития коллективной формы организации учебно-воспитательного процесса, которая выступает как ведущая форма организации в развивающем обучении. Использование коллективной формы организации учебной деятельности на уроках математики дает возможность продвигаться каждому ученику в индивидуальном темпе, способствует проявлению и развитию способностей каждого ребенка.
Можно выделить основные факторы организации коллективного способа обучения:
- выбор темы урока;
- подготовка раздаточного материала;
- подготовка класса к изучению нового материала;
- разработка технологии работы учащихся с раздаточным материалом;
- разработка форм учета и контроля результатов учебной деятельности.
Содержание учебного материала должно обеспечивать мотивацию, ориентироваться на развитие внимания, памяти и речи, быть личностно-значимым, а форма его подачи – занимательной, узнаваемой, реалистичной и красочной.
Реализация выше изложенного позволяет добиться у учащихся более активной работы на уроках, высокой заинтересованности в материале, уверенности в себе, повышения уровня знаний и успеваемости.

ГЛАВА II. Методика организации коллективной учебной деятельности учащихся на уроках математики в средней школе
§5. Разработки фрагментов уроков математики с использованием коллективной учебной деятельности для учащихся 5 – 11 классов
В данном параграфе представлены разработки фрагментов уроков математики, алгебры и начала анализа и геометрии для 5 – 11-х классов. К каждому из разработанных уроков составлены и приложены методические рекомендации и комментарии, позволяющие лучше ориентироваться в специфике предложенных заданий.
5.1 Фрагмент урока для 5-го класса по теме
«Сложение десятичных дробей»
Комментарии к уроку
Тип данного урока – урок изучения нового материала. Основная цель урока - ввести алгоритм сложения десятичных дробей и сформировать у учащихся умения и навыки сложения десятичных дробей.
В основе разработки урока лежит создание на уроке проблемной ситуации и поиск путей ее решения. При этом используются такие методы коллективной деятельности, как проблемная беседа, решение проблемно-поисковых задач.
Оборудование: плакат.
Изложение нового материала – 15 мин.
Учитель предлагает вниманию учащихся проблемную задачу:
Токарю нужно выточить деталь, имеющую две части. Длина одной из них 15,7 см, а другой 13,2 см. Найдите длину заготовки.

Рисунок на плакате:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

13,2 см

15,7 см

Рис. 3
Учитель: Как найти длину заготовки?
(Предполагаемый ответ: чтобы найти длину заготовки надо сложить 15,7 см и 13,2 см).
Учитель: Чтобы решить задачу надо сложить две десятичные дроби. Вы умеете складывать десятичные дроби? (Нет) Что будем делать?
(Предполагаемый ответ: учиться складывать десятичные дроби).
Учитель: Как можно сформулируем тему сегодняшнего урока?
(Предполагаемый ответ: «Сложение десятичных дробей»)
Учитель: Запишите тему урока «Сложение десятичных дробей». Что необходимо знать по данной теме? (Ответы детей фиксируются на доске).
Итак, чтобы решить задачу надо сложить две десятичные дроби. Но вы пока этого делать не умеете. Какие числа вы уже умеете складывать?
(Предполагаемый ответ: натуральные числа, обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями).
Учитель: Как можно решить данную задачу, умея складывать натуральные числа, обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями?
(Предполагаемый ответ: 1) выразить 15,7 см и 13,2 см в миллиметры; 2) представить данные десятичные дроби в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями).
Учитель: Рассмотрим два способа решения задачи.
I способ.
15,7 см = 15 см + 0,7 см = 150 мм + 7 мм = 157 мм;
13,2 см = 13 см + 0,2 см = 130 мм + 2 мм = 132 мм;
15,7 см + 13,2 см = 157 мм +132 мм = 289 мм = 28,9 см.
II способ.
15,7 см = 15 см + 13 см = 28 см = 28,9 см
Как же выполняется сложение десятичных дробей?
(Предполагаемый ответ: десятые доли складываются с десятыми, единицы с единицами, десятки с десятками).
Учитель: Решите следующие примеры и сделайте вывод
1) 5,17 + 3,12;
2) 11,124 + 23,2 11.
(Предполагаемый ответ: если есть сотые доли, тысячные, то их тоже складывали друг с другом).
Учитель с учениками делают общий вывод: десятичные дроби складываются поразрядно, начиная с младшего разряда. Правило поразрядного сложения позволяет складывать десятичные дроби точно так же, как и натуральные числа «столбиком». Надо только внимательно писать числа, чтобы одноименные разряды оказались друг под другом.

15,7 13,2 28,9

+

Например:
 

Введение алгоритма сложения десятичных дробей
Надпись на доске. Вычислите: 3,7 + 2, 651.
Учитель: Чем данное задание отличается от предыдущих?
(Предполагаемый ответ: разное количество знаков после запятой).
Учитель: Как следует поступать в данном случае?
(Предполагаемый ответ: уравнять количество знаков после запятой).
Учитель: Почему вы так думаете?
(Предполагаемый ответ: при сравнении десятичных дробей с разным числом знаков после запятой мы уравнивали количество знаков, то есть получили 3,700 + 2,651).

+3,700   2,651

Учитель: Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая была под запятой.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

+3,700   2,651   6351

Выполняется сложение, как сложение натуральных чисел, не обращая внимания на запятую.
 

+3,700   2,651   6,351

В полученном результате поставить запятую под запятыми обеих слагаемых.
 

Записать ответ.
Учитель предлагает учащимся самостоятельно записать алгоритм решения в виде таблицы.
Таблица 1
Алгоритм сложения десятичных дробей

План действий	Решение
1.                   Уравнять количество знаков после запятой	3,700 + 2,651.
Записать дроби друг под другом? Так чтобы запятая оказалась под запятой.	+3,700   2,651
2.                    Выполнить сложение, как сложение натуральных чисел, не обращая внимания на запятую	+3,700   2,651   6351
3.                   Поставить запятую в сумме под запятой в слагаемых	+3,700   2,651   6,351
4.                   Записать ответ	3,700 + 2,651=6,351

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [19].
5.2.          Фрагмент урока для 5-го класса по теме
«Таблица умножения»
Комментарии к уроку
Тип данного урока – урок закрепления изученного материала. Основная цель урока - закрепить понятие «умножение чисел» и сформировать умения и навыки использования таблицы умножения.
В основе разработки урока лежит коллективная форма деятельности учащихся класса. На этапе закрепления используются такие формы коллективной формы деятельности, как работа в парах, работа в цепочке и работа в динамических группах.
Оборудование: оценочная таблица.
Закрепление изученного материала – 10 мин.
Закрепление таблицы умножения предлагается провести в форме коллективной деятельности учащихся, которая делится на три этапа.
1 этап. Работа в парах. Каждый ученик по очереди произносит один пример на умножение, его партнер отвечает, затем наоборот. Учащиеся учатся работать в парах и осуществлять взаимоконтроль друг над другом.
2 этап. Работа по цепочке. Участвуют все учащиеся класса. Учитель называет пример, учащийся отвечает. Затем отвечает следующий сидящий за ним ученик. Контроль над ответами осуществляет учитель.
3 этап. Работа в динамических группах. Учащиеся осуществляют перекрестный опрос, занося результаты друг друга в выданную для этого специальную таблицу.
5.3 Фрагмент урока для 5-го класса по теме
«Единицы площади»
Комментарии к уроку
Тип данного урока – урок актуализации знаний. Основная цель урока - расширить у детей понятийную базу о единицах измерения площади за счет включения в нее новых элементов – ар, гектар. Установить соотношения между всеми известными единицами измерения площади. В процессе данного урока у учащихся развивается умение преобразовывать крупные единицы измерения площади в мелкие и наоборот. Мыслительные операции: анализ, классификацию, внимание, математическую речь.
В основе разработки фрагмента урока лежит постановка перед учащимися класса проблемной ситуации и поиск путей ее решения. На уроке используются такие методы коллективной деятельности, как проблемная беседа, решение проблемно-поисковых задач.
Оборудование: доска, мел.
Актуализация знаний – 15 мин.
На этапе актуализации знаний учащиеся в ходе успешного выполнения задания на преобразование известных единиц измерения площади, натолкнулись на что-то непонятное, новое, сигнализирующее, что что-то не так.
Учитель: Какие вы знаете единицы измерения площади?
(Предполагаемый ответ: 1 кв.мм 1 кв.см 1 кв.дм 1 кв.м 1 кв.км)
Как вы это понимаете?
(Предполагаемый ответ: 1 кв.мм – это квадрат со стороной 1 мм; 1 кв.см – это квадрат со стороной 1 см и т.д.)
Установим взаимосвязь между ними.
(Предполагаемый ответ: в 1 кв.см – 100 кв.мм; в 1 кв.дм – 100 кв.см; в 1 кв.м – 100 кв.дм; в 1 кв.км – 10000 кв.м)
Учитель во время ответов детей вносит изменения в схему:
1 кв.мм 1 кв.см 1 кв.дм 1 кв.м 1 кв.км
 \/ \/ \/ \/
 100 100 100 1000000
Создание проблемной ситуации:
Учитель: Рассмотрите запись на доске:
500 кв.м; 400 кв.см; 3 а; 2 кв.дм; 7 га.
Сделайте запись в тетрадь, расположив эти величины в порядке возрастания. (Учащиеся пытаются выполнить задание, но не могут). Почему вы не справились? В чём трудность?
(Предполагаемый ответ: не знаем, что такое а, га).
А вы можете предположить, чем они являются?
(Предполагаемый ответ: наверное, это единицы площади, ведь они стоят в одном ряду с известными нам единицами площади).
         Если это единицы площади, то какой второй вопрос возникает?
(Предполагаемый ответ: какую взаимосвязь они имеют с другими единицами площади?)
Итак, скажите, какая же тема урока?
(Предполагаемый ответ: Новые единицы площади).
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [19].

5.4 Фрагмент урока для 6-го класса по теме «Деление обыкновенных дробей»

Комментарии к уроку

Данный урок является обобщающим в серии уроков по теме «Деление обыкновенных дробей». Основная цель урока - закрепить навык деления обыкновенных дробей через дидактические игры, проверка знаний и коррекция. Подобранные задания позволяют учащимся так же развивать внимание, познакомиться с историей России, родного города, проявить смекалку и умение проверять и анализировать свои ошибки.
Для урока выбрана необычная форма проведения – урок-игра, благодаря которой были использованы такие приемы коллективной формы обучения, как работа в динамических парах и «ручеек». Использование коллективной формы деятельности на данном уроке помогает ребятам не только закрепить и обобщить знания по теме, но и развивает у них умение взаимодействовать между собой.
Оборудование:
1) карточки для игры «Лото»; 2) карточки-коррекции; 3) плакат «Города»; 4) карточки для самопроверки; 5) карточки с вариантами ответов для самопроверки.
Закрепление и обобщение изученного материала – 20 мин.
1. Учитель проводит игру «Лото», где ребята работают в динамических парах. Каждому выдается 1 карточка с примерами и на каждую парту 16 маленьких карточек с ответами. Ребята, решив пример, кладут на него карточку с ответом. После того, как каждый закрыл все примеры карточками с ответами, учащиеся меняются карточками друг с другом и проверяют правильность решения.

Ответы: I вариант: ; ; ; ; ; ; 0;  .
 II вариант: ; 3; ; ; 0; ; ;  .
2. Игра «Числовой фейерверк». Учитель выдает по одной карточке-коррекции на ряд (8-9 человек на каждом ряду). Каждая парта по очереди заполняет по одному место в числовом фейерверке, где стоит знак вопроса «?». Затем ребята передают карточку на следующую парту. Учащиеся на местах выполняют примеры (можно устно). Затем вызывается по одному человеку с ряда заполнить фейерверк.
Карточки – коррекции:
1)
2)
3)
Ряд, первым верно заполнивший фейерверк, получает вымпел «Знание – сила».
3. Устная работа. Учитель вешает на доску плакат с названиями городов и датами их основания. Предлагает ребятам самостоятельно определить:
а) Сколько лет Москве (861 лет), С-Петербургу (305 лет), Тольятти (271 год)?
б) Какой из городов старше других? (Москва)
в) Насколько Тольятти моложе Москвы? (на 591 лет).
Плакат:

Города основаны: Москва - в 1147г. Санкт-Петербург - в 1703г. Тольятти (Ставрополь на Волге)- в 1737 г.

Рис. 4
Проведение самоконтроля – 7мин.
Проверочная работа проводится в динамических парах. Учащиеся решают каждый свой вариант задания, а затем проверяют решение друг друга. Каждой паре дана так же карточка с вариантами ответов для I и II-го вариантов, при чем ответы записаны в хаотичном порядке. Каждому варианту ответа соответствует буква. Учащиеся, расставив буквы в порядке выполненных заданий, получат ответы на вопросы:
I вариант: Как называется хвостовая амфибия, обитающая на юго-востоке США, у которой отсутствует задняя пара конечностей? (Сирен).
II вариант: Как называется ящерица, которая использует свой язык для ориентации? (Варан).
Таблица 2

Вопросы
I вариант: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .	II вариант: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Варианты ответов
3	4	36		16					52
С	В	Е	А	И	Р	Н	Р	Н	А

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [5, 22].

5.5 Фрагмент урока для 6-го класса по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»

Комментарии к уроку
Тип данного урока – обобщение и систематизация знаний. Его основная цель – закрепить основные понятия, связанные со сложением и вычитанием дробей с разными знаменателями.
Приведенный способ применения коллективной формы учебной деятельности учащихся подходит как для данной темы, так и для других тем уроков математики, алгебры или геометрии, которые являются обобщающими в серии уроков на выведение каких-либо правил, определений или теорем.
Оборудование: карточки.
Обобщение и закрепление знаний – 8 мин.
Готовятся карточки: на одной начало формулировки правила, на другой конец. Раздаются карточки всем учащимся. Произносят сначала те учащиеся, которые имеют карточки с началом формулировки, «откликается» тот учащийся, у которого на карточке конец формулировки. Правильность фиксирует учитель.
Карточки:
1.     Начало: «При сложении дробей с разными знаменателями...».
Конец: «... нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить полученные дроби».
1.                Начало: «Чтобы получилась дробь, равная данной…».
Конец: «…нужно числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число ».
2.                Начало: «При приведении дроби к новому знаменателю…».
Конец: «…нужно ее числитель и знаменатель умножить на дополнительный множитель».
3.                Начало: «Чтобы найти сокращение дроби…».
Конец: «…нужно разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от единицы».
4.                Начало: «Чтобы дробь называлась несократимой…».
Конец: «…нужно, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми».
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [5].
5.6 Фрагмент урока для 7-го класса по теме «Формулы сокращенного умножения»
Комментарии к уроку
Тип данного урока - введение нового материала. Данный фрагмент урока представляет собой исследовательскую работу учащихся, направленную на выявление общей формулы квадрата суммы и разности двучлена. Исследовательская работа не только вызывает огромный интерес у ребят, но и развивает их умение работать в коллективе.
Оборудование: таблица.
Закрепление изученного материала – 7 мин.
 Учитель, сообщая цель урока, обращает внимание учащихся на то, что ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем все остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. И сегодня им предстоит сыграть роль исследователей в «открытие » двух из этих формул.
Для исследовательской работы учащиеся объединяются в динамические группы. Номер задания соответствует номеру группы. Учащимся предложено выполнить умножение двучлена на двучлен из левого столбца таблицы. После того, как ребята справились с заданием, они записывают полученный ответ в правом столбце. Средняя часть таблицы в момент выполнения задания скрыта от учащихся.
Таблица 3

1	( х + у) (х + у) =	(х + у)2	= х2 + 2 ху + у2
2	(c + d) (c + d) =	(c + d)2	= c2 + 2 cd + d2
3	(p + q) (p + q) =	(p + q)2	= p2 + 2 pq + q2
4	(2 + x) (2 + x) =	(2 + x)2	= 4 + 4 x + x2
5	(n + 5) (n + 5) =	(n + 5)2	= n2 + 10 n + 25
6	(m + 3) (m + 3) =	(m + 3)2	= m2 + 6 m + 9
7	( 8 + k) (8 + k) =	(8 + k)2	= 64 + 16 k + k2

Когда учащиеся заполнили таблицу, учитель просит их выяснить, есть ли нечто общее в условиях и ответах предложенных упражнений и можно ли выражения в левом столбце записать короче. Получив ответ, учитель обращает внимание на то, что они фактически уже приступили к исследованию темы урока. Класс переходит к обсуждению полученных результатов. Ребята замечают, что во всех случаях результатом умножения служит трёхчлен, у которого первый член представляет квадрат первого слагаемого данного двучлена, второй - удвоенное произведение первого и второго слагаемых, а третий – квадрат второго слагаемого. Такой анализ делает каждая группа и каждый вариант проговаривается вслух. В конце концов учащиеся без труда записывают общую формулу квадрата суммы двучлена. И быстро «открывают» формулу разности квадрата двучлена.
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [1].
5.7 Фрагмент урока для 7-го класса по теме «Теорема о сумме углов треугольника»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - введение нового материала. Его основная цель – сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника. При изучении данной темы используется проблемная ситуация, используя которую можно легко привести учащихся к трем различным способам доказательства теоремы о сумме углов треугольника, что придаст уроку и знаниям учащихся существенно новое качество.
Оборудование: чертеж.
Изложение нового материала – 13 мин.
Учитель ставит перед учащимися следующие проблемы:
ПРОБЛЕМА 1. «Как найти сумму углов треугольника?»
Естественное побуждение учеников – измерить углы и сложить их градусные меры.
ПРОБЛЕМА 2. «Как, не измеряя градусную меру углов, доказать, что их сумма равна 180є?».

В                                                 А Рис.5

N                                C                             M

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
На доске изображен данный чертёж
I.                   Отложим углы А и В от сторон угла С «по разные стороны от него». Получим угол MCN. Нужно доказать, что он равен 180є, т.е. является развернутым.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов CBA и NCB, углов САВ и МСА следует параллельность прямых СМ и АВ; CN и АВ, ссылаясь на аксиому параллельных приходим к выводу, что прямые СМ и CN совпадают. Следовательно, угол МСN равен 180є.
II. В процессе доказательства замечаем, что угол В можно было не откладывать, он «сам отложился»: СМ | | АВ, поэтому углы NCB и СВА равны, как внутренние накрест лежащие. Отсюда и следует окончательный вывод.
III. Наконец, угол NCB можно даже на рассматривать. Отложив угол А и доказав, что СМ | | АВ, замечаем, что
А + В + С = МСВ + В = 180є, как сумма внутренних односторонних углов для параллельных прямых СМ и АВ и секущей СВ.
Решив данную проблему, учащиеся приходят к самостоятельному доказательству теоремы.
Указанные способы доказательства имеют и другие методические преимущества. Так I доказательство выявляет ведущую роль аксиомы параллельных в доказательстве теоремы о сумме углов треугольника.
В доказательстве II, используя признак параллельных прямых и свойство параллельных прямых, мы приучаем учащихся различать прямую и обратную теоремы.
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].
5.8 Фрагмент урока для 7-го класса по теме «Признаки равенства треугольников»
Комментарии к уроку
 Данный фрагмент показывает как можно применить методы организации коллективной деятельности учащихся на этапе закрепления знаний полученных по теме «Признаки равенства треугольников». Представленное задание не только вызывает огромный интерес у ребят, а кроме того развивает их умение работать в коллективе. Здесь использован прием коллективной деятельности под названием «ручеек». Подобные задания можно использовать на уроках математики, алгебры или геометрии при повторении или закреплении изученного материала.
Оборудование: кроссворд.
Закрепление изученного материала – 7 мин.
Эстафета: «Угадай кроссворд»
Правила игры:
С последних парт вперёд передаете кроссворд. В кроссворде пять понятий, каждая парта угадывает одно слово и передает дальше. Какой ряд быстрее угадает. После эстафеты проводится проверка результатов. Учитель заполняет заранее заготовленный на доске кроссворд (рис.1) под диктовку ребят.
Вопросы
1.                Фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки (треугольник);
2.                Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник … (равнобедренный);
3.                Перпендикуляр, проведенный из данной вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника (высота);
4.                Отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (медиана);
5.                Чем является медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника (биссектриса).

Рис. 6
Таким образом, ребята повторили признаки, основные понятия по данной теме и им предлагается использовать свои знания при решении задач.
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.9. Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Квадратный корень из произведения»

Комментарии к уроку

Данный урок является уроком изучения нового материала по теме «Квадратный корень из произведения». Его основная цель - вывести формулу квадратного корня из произведения и сформировать опыт в выполнении исследовательских заданий.
Урок разработан таким образом, что учащиеся, путем исследования, самостоятельно выводят формулу квадратного корня из произведения и ее свойства. На уроке используются такие приемы коллективной формы обучения, как работа в динамических парах и самостоятельное проведение исследования.
Оборудование: «кросснамбер»; карточки с заданиями.
Подготовка к изучению нового материала – 7 мин.
Учитель: «Для начала – разминка. Она у нас сегодня тоже не совсем обычная.
Кросснамбер:

Рис. 7
Все любят разгадывать кроссворды, а мы займемся разгадыванием «кросснамбера», в нем все наоборот – даны буквы, а вам предстоит найти цифры и записать их под этими буквами:
По горизонтали:
Б) 112 + 10
Г) 172
Д) 10
Е) 6,63 102
Ответы: Б) 52; Г) 289; Д) 190; Е) 663.
По вертикали:
А)
Б) 14 =
В) 102 +
Ж) ( )2
Ответы: А) 15; Б) 7; В)113; Ж) 64.
2. Учитель: «Очень хорошо, что вы знаете, что такое квадратный корень. Попросим одного ученика записать определение на доске, а в это время проверим, верны ли данные равенства (записаны на доске), и ответим на вопрос:
1) Почему?
= 4;
= – 4;
= – 3;
= 3;
= |– 5|;
Итак, какой вывод можно сделать? (Чтобы число являлось квадратным корнем другого числа, необходимо: 1) ; 2) ).
Таким образом, учащиеся самостоятельно вывели данные свойства.
Изучение нового материала – 15 мин.
Учитель: «А теперь приступим к нашей исследовательской работе: будем выводить новую формулу.
Для этого надо выполнить следующие задания. Учащиеся работают в динамических парах.
Вычислить:
1 вариант.
а) ; б) ; в) .
2 вариант.
а) ; б) ; в) .
(Ответы: а) 8; б) 15; в) 4).
Вопросы к классу – Что вы заметили при решении заданий?
·                     Как можно найти корень из произведения?
·                     Когда мы применяем это свойство?
А теперь попробуйте записать данные свойства в буквенном виде:
.
Каковы допустимые значения а и в? (Предполагаемый ответ: , )
А теперь докажем это утверждение, пользуясь определением, т.е. нам нужно доказать:
1) ;
2)  .
Доказательство:
1)    по определению , (по свойству чисел), тогда .
2)    по свойству степеней, для любых имеем:
.
Еще раз формулируем свойство.
А если у нас не 2, а 3 или 4, или еще больше множителей?
Справедлива ли эта формула?

Приведите примеры.
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [21].

 

5.10 Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Теорема Пифагора»

Комментарии к уроку

Тип данного урока относится к уроку изучения нового материала. Его основная цель - усвоение теоремы Пифагора и формирование умений применять теорему Пифагора при решении задач разной степени трудности.

В данном фрагменте представлен необычный способ проверки выполнения домашнего задания в коллективной форме. На этапе изучения нового материала учащиеся самостоятельно выводят формулировку теоремы Пифагора, а затем доказывают ее. Приведенный способ применения коллективной формы учебной деятельности учащихся подходит как для данной темы, так и для других тем уроков математики, на которых вводятся и доказываются теоремы.
Оборудование: таблица для проверки домашнего задания, тетрадь, ручка, карандаш, линейка.
Проверка домашнего задания – 5 мин.
На дом было задано начертить прямоугольные треугольники по известным катетам, измерить гипотенузу и заполнить таблицу. Проверка осуществляется путем заполнения таблицы, заранее приготовленной учителем на доске. (Под диктовку учащихся заполняется таблица 1 на доске).
Таблица 4

Катет	Катет	Гипотенуза
3	4	5
5	12	13
6	8	10
8	15	17

Такая коллективная форма проверки домашнего задания является одной из наиболее удачных. Перед всем классом поставлена общая цель: проверка результатов домашнего задания. Если у кого-то из ребят по ходу заполнения таблицы возникают вопросы, помочь с ответом сможет любой одноклассник. Учитель при этом только контролирует деятельность класса, заполняя таблицу и задавая наводящие вопросы.
Изучение нового материала - 10 мин.
Учитель начинает с того, что задает классу вопросы, при ответе на которые ребята могут высказывать смело свои предположения и совещаться друг с другом.
1.                Как вы думаете, почему сумма катетов больше гипотенузы?
2.                Останется ли треугольник прямоугольным, если увеличить или уменьшить одну из его сторон? Попробуйте сделать это в своих тетрадях.
3.                Может ли катет быть длиннее гипотенузы?
4.                Попадает ли каждая отдельная сторона прямоугольного треугольника в полную зависимость от двух других его сторон?
5.                Сколько надо знать длин отрезков, чтобы построить прямоугольный треугольник?
6.                Можно ли, зная лишь длину одной стороны, имея лишь один отрезок, построить прямоугольный треугольник?
7.                Можно ли в прямоугольном треугольнике, зная длины двух сторон, найти третью?
8.                Сформулируйте утверждение, позволяющее найти гипотенузу, зная длины катетов, в прямоугольном треугольнике.
После попыток ребят ответить на данный вопрос учитель дает историческую справку, непосредственно связанную с ответом.
На данном этапе ребята, отвечая на вопросы учителя могут рассуждать в слух, обсуждать вопросы с одноклассниками, приходя при этом к единому мнению. В ходе такой коллективной деятельности ребята самостоятельно приходят к открытию теоремы.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формулировка теоремы записывается в тетрадь. Учитель предлагает ребятам попытаться самостоятельно доказать данную теорему.
На этом этапе разрешается обсуждение с соседом по парте. На это дается 5 – 7 минут, после чего учитель спрашивает у кого какие идеи. Ребята высказывают свои предположения, учитель их обобщает и записывает доказательство на доске под диктовку учеников, внося при этом, где это необходимо, свои коррективы.
Доказательство
Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведём высоту СD из вершины прямого угла С.
1.                Выразим cos A из прямоугольного треугольника ADC: .
2.                Выразим cos A из прямоугольного треугольника AВC: .
3.                Приравнивая правые полученных равенств, имеем пропорцию .
4.                По основному свойству пропорции получаем .
5.                Аналогично выразим cos В из прямоугольного треугольника CDB: .

6.                Выразим cos B из прямоугольного треугольника AВC: .
7.                Приравнивая правые полученных равенств, имеем пропорцию .
8.                По основному свойству пропорции получаем .
9.                Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC2+BC2=AB (AD+DB)= AB2.
Теорема доказана.
При разработке данного урока была использована следующая литература: [2].
5.11 Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Четырехугольники»

Комментарии к уроку

Тип данного урока относится к уроку закрепления и систематизации знаний. Его основная цель – выявить экспериментальным способом свойства четырехугольников.

В данном фрагменте представлен необычный способ систематизации знаний – практический эксперимент. Учащиеся самостоятельно выводят свойства четырехугольников. В разработке описан такой прием организации учебной деятельности, как эксперимент.
Оборудование: бумага для оригами; сводная таблица.
Систематизация знаний – 10 мин.
Оригами и четырехугольники
В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Спрятанные, едва уловимые, они принимают разнообразные формы – от выразительных животных до хитроумно смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные результаты. Изучение превращений квадратного листа бумаги – один из наиболее интересных путей к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии, и не только.
Оригами - наглядная модель евклидовой геометрии. Поэтому на первом уровне знакомства с геометрическими фигурами оригами помогает открывать их свойства на интуитивном уровне, причем собираемая фигура может быть любой. Для первого знакомства даже желательно, чтобы она относилась к разряду занимательных фигур. Приведем текстовое математическое описание построения одной из фигур оригами.
1.                Построить обе диагонали квадрата. Зафиксировать одну из них. На какие части одна диагональ делит квадрат? (Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника).
2.                В каждом из двух прямоугольных равнобедренных треугольников построить все биссектрисы. Что такое биссектриса и как построить биссектрису перегибанием листа бумаги? Какую фигуру мы выделили внутри квадрата? (Ромб). В чем отличия ромба и квадрата?
3.                Перевернуть квадратный лист бумаги и построить линии, проходящие через вершину ромба, отличную от вершины квадрата, так, чтобы вершина квадрата, отличная от вершины ромба, попала на диагональ квадрата.
4.                Согнуть лист по другой диагонали квадрата. Из каких многоугольников состоит получившаяся фигура? (Равнобокая трапеция и равнобедренный треугольник).
5.                Отогнуть один равнобедренный треугольник по линии, проходящей через верхнее основание трапеции. Какая фигура получится из двух равных равнобедренных треугольников? (Ромб).
6.                Для каждого из треугольников построить все биссектрисы и согнуть полученную фигуру по оси симметрии.
Фигура готова (рис. 8)!

Рис. 8
Основной итог практической работы: с точки зрения оригами наиболее интересные линии в любом четырехугольнике – диагонали. С диагоналями чаще всего работаем при построении какой-нибудь фигуры. Результаты практических экспериментов заносим в таблицу (таблица 5). Приоритеты четырехугольников в оригами несколько отличаются от классического курса геометрии. Наиболее часто встречаются при построении квадрат, ромб и дельтоид.
Этот вид коллективной работы может быть прекрасно представлен на факультативном занятии по данной теме.
Таблица 5

Вид четырехугольника	Свойства четырехугольника, диагонали которого пересекаются
	Диагонали перпендикулярны	Диагонали равны	Число диагоналей, делящихся точкой пересечения пополам
Квадрат	+	+	2
Ромб	+	-	2
Прямоугольник	-	+	2
Параллелограмм	-	-	2

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].

5.12.    Фрагмент урока для 9-го класса по теме «Теорема синусов и теорема косинусов»

Комментарии к уроку

Тип данного урока систематизация и обобщение изученного материала. Его основная цель – систематизация знаний по пройденным темам.

В данном фрагменте представлен способ закрепления материала в форме коллективной деятельности.
Оборудование: сводная таблица.
Обобщение и систематизация изученного материала – 15 мин.
Коллективная работа в динамических парах. Ребята работают по двум блокам вопросов:
1)    по теореме синусов;
2)    по теореме косинусов.
Один учащийся из пары выполняет задания из первого блока, второй –из второго блока. Каждый заносит свой ответ в соответствующую колонку сводной таблицы (таблица 6), при необходимости можно использовать учебник. Затем ребята проверяют ответы друг друга, если находят ошибку записывают на их взгляд верное решение.
Итог работы класс подводит учитель вместе с учащимися по общей сводной таблице на доске.
Таблица 6

1 блок Теорема косинусов	2 блок Теорема синусов
1. Показать на чертеже треугольника угол между двумя сторонами.	1. Показать на чертеже стороны, противолежащие углам.
2.	2.
3. Вычитание векторов – геометрический способ.	3. Смежные углы и их свойство.
4. Скалярное произведение через длину векторов.	4. Проведение высоты в различных треугольниках.
5. Проекция наклонной (понятие, чертеж).	5. Формулировка теоремы.

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].
5.13 Фрагмент урока для 9-го класса по теме «Теорема об отрезках хорд, пересекающихся внутри круга»

Комментарии к уроку

Данный фрагмент представляет собой пример того, как можно путем постановки проблемного домашнего задания создать на уроке ситуацию, побуждающую учащихся к анализу своих действий и самостоятельному выявлению нового материала. Тема урока заранее не объявляется, а вытекает из проблемной ситуации. Так, тема урока становится проблемой, разрешение которой увлекает учащихся.
Оборудование: доска, мел.
Изучение нового материала – 15 мин.
Перед изучением темы учащимися предлагается дома решить следующую задачу:
Хорда AB, пересеклась с хордой CD в точке О, делится на отрезки АО = 45 мм и ОВ = 30 мм. Определить отрезок CD, если OD = 90 мм.
Урок начинается с проверки выполнения домашнего задания. Выясняется, что большинство учеников справились с работой, притом различными способами.
Одни построили отрезок АВ = 75 мм, отметили на нем точку О и отложили отрезок OD = 90 мм по трем точкам A, B, D построили окружность. Точка С была найдена как точка пересечения прямой OD с этой окружностью.
Другие построили круг произвольного радиуса, в нем хорду АВ = 75 мм и на последней точку О. На окружности отметили точку D так, что OD = = 90 мм. Точка С была найдена как точка пересечения прямой OD с окружностью.
Третьи построили чертеж и нашли отрезок СО из подобия треугольников AOC и BOD.
Каждый способ решения задачи ученики объясняли по своим же чертежам. Последний способ решения задачи отмечается учителем как самый рациональный.
Учеников, вероятно, очень удивит то, что, несмотря на произвольность угла пересечения хорд (в первом случае), радиуса круга (во втором случае) и различия способов решения задачи, они получили один и тот же результат: СО = 15 мм. Это убедит их в существовании определенной зависимости между отрезками пересекающихся в круге хорд. Еще раз обратившись к третьему случаю решения задачи, ученики сформулировали проблему: найти свойство отрезков пересекающихся хорд. Затем учитель называет тему урока и записывает ее. Построив чертеж, ученики составляют пропорцию из отношения сходственных сторон подобных треугольников. Используя основное свойство пропорции, они дают формулировку теоремы.
Таким образом, проблемная ситуация возникла в результате рассмотрения способов решения конкретной задачи.
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].
5.14 Фрагмент урока для 11-го класса по теме «Иррациональные уравнения»

Комментарии к уроку

Тип данного урока - введение нового материала. Его основная цель - ввести понятие иррациональных уравнений и развивать умение применять способы решения иррациональных уравнений. Урок разработан таким образом, что учащиеся, путем исследования, самостоятельно выводят алгоритм решения иррациональных уравнений и ее свойства. На уроке используются такие приемы коллективной формы обучения, как решение проблемно-поисковых задач и самостоятельное проведение исследования.
Оборудование: плакаты; карточки.
Изложение нового материала – 13 мин.
На магнитной доске висят карточки с уравнениями.
Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?
Карточки:


Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?
Вывод: Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.
Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?
(Предполагаемый ответ: неизвестное находится под знаком корня).
Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.
Итак, построим алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотрим некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.
Учитель объясняет алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.
1.                Берет первую карточку с уравнением, прикрепляет к основной доске и решает его.

Решение.
Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.
1.     Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

2.     Проверка.
При  верное равенство.
При  верное равенство.
3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.
Ответ: -3; 3.
Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение: .
2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.

Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим
Проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения?
Проверка.
При  верное равенство.
При  верное равенство.
Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.
(Ответ: 2).
Итак, получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.
Вопрос к отвечающему: «Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?»
(Предполагаемый ответ: да, так как могут появиться посторонние корни).
Учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.
Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?
(Предполагаемый ответ: возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень).
Учитель: Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?
Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.
Учитель: «Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни».
Закрепление изученного материала – 10 мин.
Учитель: Итак, существует несколько способов решения иррациональных уравнений. Мы сегодня рассмотрели только некоторые из них. Давайте, перечислим, какие это способы?
(Предполагаемый ответ: возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня, графический способ, способ замены переменной).
Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений каждого из способов.
Учащиеся очень быстро проговаривают три алгоритма.
Учитель: Молодцы! А теперь прошу внимание на плакат
 Плакат с уравнениями:


Рис. 9
Учитель: Как решить первое уравнение?
Выслушивает все варианты ответов. Если будут затруднения, вспоминает еще раз с учащимися определение арифметического квадратного корня и обратить внимание на доску с карточками, , где записаны условия выполнения равенства
(Ответ: уравнение не имеет решения).
Второе уравнение. Учащиеся дают свои варианты решения. Учитель их внимательно выслушивает, корректирует, задает наводящие вопросы, если это необходимо. И все вместе делают вывод, что уравнение не имеет корней.
Третье уравнение. Все необходимые рассуждения высвечиваются на экран. Решаем это уравнение с помощью области определения уравнения. В итоге получаем систему:

которая не имеет решений. Следовательно, и уравнение не имеет решений.
Плакат с решением уравнений:

Решение уравнений: 10   1   x

Рис. 10

 

При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [37].

§6. Методические рекомендации для учителей математики средней школы
В этом параграфе сформулированы методические рекомендации для учителей математики по использованию коллективной формы организации учебно-воспитательного процесса. При этом был учтен опыт, полученный в период педагогической практики в школе на III – V курсах.
1. При построении учебного сотрудничества самих детей необходимо учесть, что выделяют четыре типа обучаемых, характеризующиеся определенной манерой поведения и специфическим предпочитаемым способом познания. Характеристику этих типов можно использовать по книге А.П. Панфиловой [24]:
Активист. Ему нравится учиться. Он любит узнавать что-то новое, получать инновационный опыт, хочет сам все испытать и во всем поучаствовать. Ему нравится быть в центре событий, проявлять инициативу, а не оставаться сторонним наблюдателем. Как правило, он откликнется на просьбу преподавателя первым участвовать в коллективной деятельности.
Мыслитель. Предпочитает сначала понаблюдать, поразмышлять, понять всю информацию до конца, а уж потом действовать. Склонен анализировать все, что увидел, долго размышлять над полученной информацией. Любит отрабатывать собственные подходы, испытывает дискомфорт, когда его торопят.
Теоретик. Ему присуще развитое логическое мышление и методичность, он шаг за шагом продвигается к решению проблемы, задает много вопросов. Для него характерен аналитический склад ума и потребность наблюдения за процессом со стороны.

Прагматик. При анализе ситуаций он сразу же стремится найти практическое решение, быстро все попробовать и перейти к действиям. Не склонен углубляться в теорию. Любит экспериментировать, искать новые решения. Обычно действует быстро, импульсивно и весьма уверенно.
 2. При введении коллективной формы сотрудничества обучаемые оказываются перед необходимостью найти дополнительную информацию, следовательно, вынуждены задавать вопросы, преимущественно «восходящие»: «Что?», «Где?», «Когда?», «Зачем?», и т.п. Иногда ученики пытаются после двух – трех вопросов сразу же принимать решение. Учитель в этом случае может ставить принимаемые решения на обсуждение, предлагает обучаемым задавать вопросы авторам этих решений для выяснения их обоснованности. Основное назначение данного метода – развитие или совершенствование умений обучаемых, с одной стороны – принимать решения в условиях недостаточности информации, с другой – рационально собирать и использовать информацию, необходимую для принятия решения.
3. При оценке работы класса следует подчеркивать не столько ученические, сколько человеческие качества учащихся: терпеливость, доброжелательность, дружелюбие, вежливость. Оценивать можно лишь общую работу коллектива, ни в коем случае не ставить детям, работавшим вместе, разных оценок.
4. Порой коллективная работа требует перестановки парт. Для работы в динамических парах удобны обычные ряды, а вот при работе динамическими четверками, шестерками парты должны стоять так, чтобы ребятам, работающим вместе, удобно было смотреть друг на друга.
Ученики смогут сами подготовить класс к работе по составленному плану расстановки парт.
5. При организации коллективной работы необходимо учитывать противопоказания:
1)    недопустима пара из двух «слабых» учеников;
2)    ребят, которые по каким бы то ни было причинам отказываются сегодня работать вместе, нельзя принуждать к общей работе (а завтра стоит им предложить вновь работать вместе);
3)    если кто-то пожелал работать в одиночку, необходимо разрешить ему отсесть и не позволять себе ни малейших проявлений неудовлетворения ни в индивидуальных, ни, тем более, в публичных оценках;
4)    нельзя требовать абсолютной тишины во время совместной работы: дети должны обмениваться мнениями, высказывать свое отношение к работе товарища. Бороться надо лишь с возбужденными выкриками, разговорами в полный голос. В классе полезен «шумометр» – звуковой сигнал, говорящий о превышении допустимого уровня шума;
5)    Овладение умениями учащихся необходимо фиксировать в индивидуальных листах контроля над их совместной деятельностью.

§7. Апробация материалов в период педагогической практики
В период преддипломной педагогической практики в средней школе № 49 г. Тольятти, проходившей с 11 февраля по 20 апреля 2008 года, было осуществлено апробирование приемов организации коллективной учебной деятельности учащихся 10 «Б» класса. В данном параграфе представлены разработки двух уроков различного типа по теме «Решение тригонометрических уравнений» с использованием коллективной формы организации учебной деятельности учащихся 10-го класса, а так же подробный анализ и выводы по результатам апробации.
7.1 Разработка урока изучения нового материала для 10-го класса по теме «Решение тригонометрических уравнений»
Дата: 21.02.2008 г.
Школа № 49. Класс 10 «Б».
Общая тема: «Тригонометрические функции».
Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»
Тип урока: Изучение нового материала.
Цели:
1.                Ввести способы решения тригонометрических уравнений, приводящиеся к алгебраическим уравнениям.
2.                Развивать представление о тригонометрических уравнениях, как об уравнениях приводящихся к алгебраическим уравнениям.
3.                Воспитывать интерес к предмету при помощи методов коллективной работы учащихся.
Этапы урока:
1.                Организационный момент – 2 мин.
2.                Проверка выполнения домашнего задания – 3 мин.
3.                Подготовка к изучению нового материала – 7 мин.
4.                Изложение нового материала – 15 мин.
5.                Закрепление нового материала – 10 мин.
6.                Подведение итогов и постановка домашнего задания – 3 мин.
Оборудование: доска, мел, таблицы.
Не приводя конспект урока в целом, отметим, как была организованна коллективная форма учебной деятельности учащихся на уроке изучения нового материала.
На этапе подготовки к изучению нового материала учащимся были предложены следующие вопросы:
1. Что значит простейшая тригонометрическая функция?
(Предполагаемый ответ: простейшие тригонометрические функции – это числовые функции, заданные формулами y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x, называемые соответственно синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом).
2. Приведите пример простейшего тригонометрического уравнения.
(Предполагаемый ответ: а)  б) ).
3.     Приведите решения простых тригонометрических уравнений.
Предполагаемый ответ:

sin x = а
cos x =а
tg x = a

4. Вспомните основные тригонометрические тождества. Тригонометрическая единица.
(Предполагаемый ответ: sin2 a + cos2 a =1; cos2 a = 1 - sin2 a; sin2 a = = 1- cos2 a).
5. Как называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0.
Вспомните решение квадратных уравнений.
(Предполагаемый ответ: квадратное уравнение. .
Если D > 0 - 2 различных действительных корня.
Если D = 0 – 2 равных действительных корня.
Если D < 0 - нет действительных корней.
Для нахождения корней: ).
7.  Когда произведение равно нулю?
(Предполагаемый ответ: когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, то есть либо а = 0, либо b = 0).
На данный этап отводится 7 мин.
Этап изучения нового материала длится 15 мин. Он начинается с того, что перед учащимися ставится проблемная задача. На доске записано уравнение:
,
ребятам предлагается решить его самостоятельно. На раздумье даются 2 мин., после чего учащимся задаются вопросы:
1.                Как Вы предлагаете решить данное уравнение?
(Предполагаемый ответ: как квадратное уравнение).
2.                Как Вы считаете достаточно тех способов решения, которые Вы сейчас знаете, для того чтобы решить данное уравнение? Данное уравнение является простым? Можно назвать его квадратным алгебраическим?
(Предполагаемый ответ: Нет. Нужно сейчас сделать какие-то дополнительные действия, чтобы решить данное уравнение. Исходя, из этого взятое уравнение не является простым, но не является квадратным алгебраическим уравнением).
3.                Чем это уравнение отличается от простого тригонометрического уравнения?
(Предполагаемый ответ: наличием квадрата).
4.     Чем оно отличается от квадратного уравнения?
(Предполагаемый ответ: у квадратного уравнения неизвестным является переменная, а у этого уравнения аргумент функции).
5.     Как Вы считаете, возможно, всю функцию sin x заменить, какой-нибудь переменной допустим y, т.е. sin x = y?
(Предполагаемый ответ: да).
Тогда на доске записываем получившееся уравнение на доске:
6 y 2 – 5 y + 1 =0,
после чего учащимся задаются следующие вопросы:
1.                Как называется такое уравнение?
(Предполагаемый ответ: квадратное).
2.                Сколько корней имеет настоящее уравнение?
(Предполагаемый ответ: D = 25–24 =1 > 0, два корня).
3.                Чему равен дискриминант?
(Предполагаемый ответ: D = 1).
4.                Чему равен первый корень?
(Предполагаемый ответ: ).
5.                Чему равен второй корень?
(Предполагаемый ответ учащихся: ).
Получили два уравнения (на доске):
 ; .
Вопросы учителя:
1.                Как найти корни этих уравнений?
(Предполагаемый ответ: по формуле: ).
2.                Какой первый корень?
(Предполагаемый ответ: ).
3.                Какой второй корень?
(Предполагаемый ответ: ).
Ответ записываем на доске.
На доске записано следующее уравнение:
2 + cos x – 2sin2 x = 0.
Вопросы учителя:
1.                Сравните данное уравнение с первым и объясните, чем отличаются?
(Предполагаемый ответ: в первом уравнение дана одна функция, а во втором две функции: sin x и cos x).
Учитель делает вывод:
Уравнение, в котором дана одна и та же функция называется однородным.
2.                Тогда первое уравнение будет однородным? (Да).
3.                Второе уравнение будет однородным? (Нет).
4.                Возможно, ли при помощи тригонометрической единицы выразить одну из функций? (Да, sin2 x = 1 – cos2 x).
Затем учащиеся самостоятельно решают данное уравнение.
Решение уравнения:

 



Ответ:
Далее следует этап закрепления нового материала, на который отводится 10 мин. На данном этапе учащиеся работают в парах. Каждый решает свой вариант, затем ребята меняются тетрадями и проверяют решение друг друга.
1 вариант.
1. .
2. .
3.
2 вариант.
1. .
 2. .
3. .
Выводы по итогам урока
Этапы урока определены достаточно четко, удалось практически точно уложиться в установленные временные рамки. Основным этапом урока является четвертый: изложение нового материала. Не мало важным является так же пятый этап, на котором учащиеся применяют полученные знания с практической стороны. Все этапы урока были полностью отражены в его содержании.
При подготовке к изучению нового материала использован метод проблемной беседы. Благодаря данному методу коллективной деятельности учащимися были самостоятельно сформулированы опорные знания, с помощью которых они легче восприняли новый материал.
Изложение нового материала представлено в виде поиска решения проблемной ситуации. Ученики самостоятельно поставили проблему, сформулировали ее и исследовали возможности и способы ее решения, учитель при этом только направлял их своими вопросами и контролировал ход их действий. Использование данного метода позволило задействовать весь класс.
На этапе закрепления полученных знаний используется метод работы в парах. Практически всем учащимся класса удалось справиться с решением заданий и осуществить проверку решения своего партнера.
Учащимся предоставлена максимальная самостоятельность при выведении нового материала, вопросы учителя были обращены по возможности к каждому учащемуся класса, задания для закрепления материала подобраны наиболее интересные и важные.
Итог урока: в процессе урока учащимися самостоятельно был выведен алгоритм решения тригонометрических уравнений, полученные знания были успешно применены на конкретных заданиях.
Заключение по уроку:
1. Эффективность урока составляет 98%, так как основная часть учащихся хорошо разобралась в новой теме и справилась с заданиями на закрепление.
2. Ценные стороны урока: изложение нового материала в форме проблемной ситуации позволило учащимся максимально понять и разобраться в теме.
3. Рекомендуется в дальнейшем при подготовке изложения нового материала использовать постановку проблемной ситуации, так как использование данного метода показало значительные результаты в усвоении нового материала учащимися.

7.2 Разработка урока-практикума для 10-го класса по теме «Решение тригонометрических уравнений»
Дата: 22.02.2008 г.
Школа № 49. Класс 10 «Б».
Общая тема: «Тригонометрические функции».
Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»
Тип урока: Урок-практикум.
Цели:
1.  Закрепить и применить знания при решении задач по теме: «Решение тригонометрических уравнений».
2.  Развивать представления о тригонометрических уравнениях как об уравнениях сводящихся к алгебраическим уравнениям, умение работать по заданному алгоритму.
3.  Воспитывать интерес к предмету, заинтересованность в ходе коллективной деятельности к данной теме, вызвать чувство ответственности за себя, организованности, дисциплины.
Этапы урока:
1.                Организационный момент – 2 мин.
2.                Проверка выполнения домашнего задания – 3 мин.
3.                Повторение и актуализация знаний – 7 мин.
4.                Закрепление знаний – 10 мин.
5.                Практическое применение изученного материала – 15 мин.
6.                Подведение итогов и постановка домашнего задания – 3 мин.
Оборудование: карточки, доска, плакат.
Не приводя конспект урока в целом, отметим, как была организованна коллективная форма учебной деятельности учащихся на уроке-практикуме.
На этапе повторения и актуализации знаний учащимся были предложены следующие вопросы:
1. При помощи, каких формул находят корни простейших тригонометрических уравнений?
(Предполагаемый ответ: если sin x = а, то
 а если cos x =а, то ).
2. Назовите общий вид квадратного уравнения?
(Предполагаемый ответ: ах2+bх+с=0).
3. Назовите формулу дискриминанта и формулу нахождения корней квадратного уравнения.
(Предполагаемый ответ: формула дискриминанта: D = b2 – 4ac. Формула нахождения корней: ).       
4.  Назовите основное тригонометрическое тождество. Выразите sin a через cos a. Выразите cos a через sin a.
(Предполагаемый ответ: sin2a + cos2a =1; sin2a =1- cos2a; cos2a = = 1 - sin2a).
На проведение данного этапа отводится 7 мин.
Далее следует этап закрепления знаний, он длится 10 мин. Учащимся предлагается решить уравнения, записанные на доске:
и составить алгоритм их решения.
 1) ;
2) ;
 3) .
Составлять алгоритм можно работая в паре.
Закрепив знания по теме, учащиеся приступают к этапу практического применения изученного материала, на который отводится 15 мин. На данном этапе проводится игра «Математическое лото». Учащиеся работают методом «ручейка». Каждый ряд получает одну карточку (вопросы, ответы).

Карточка № 1

Вопросы:

1) ;	2)  ;		3)
4) ;	5) ;		6) ;
7) ;		8) .

Ответы:

С
К
И
С
П
И
У
Т

Карточка №2
Вопросы:

1. ;	2.  ;	3.
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9.

Ответы:

Л
О
Н
А
П
Й
О
И
Л

Карточка №3
Вопросы:

1. ;	2.  ;	3.
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9.

Ответы:

И
Д
Н
Е
В
Р
Б
А
Р

Участники ряда распределяют уравнения и решают их. Номер уравнения соответствует номеру буквы в слове «ключе» (рис.11).
Плакат:

1 ряд	П	И	Т	И	С	К	У	С
2 ряд	А	П	О	Л	Л	О	Н	И	Й
3 ряд	Б	Р	А	В	Е	Р	Д	И	Н

Рис. 11
После выполнения задания учащимся зачитывают, как связаны имена великих людей, которые они только что разгадали с историей тригонометрии [14].
Выводы по итогам урока
Этапы урока определены достаточно четко, удалось практически точно уложиться в установленные временные рамки. Основным этапом урока является пятый: практическое применение изученного материала. Не мало важными являются так же третий и четвертый этапы, на которых учащиеся актуализируют и закрепляют свои знания по теме. Все этапы урока были полностью отражены в его содержании.
На этапе повторения и актуализации знаний использован метод проблемной беседы. Благодаря данному методу коллективной деятельности учащимися были самостоятельно сформулированы опорные знания, с помощью которых они легко справились с заданием на закрепление.
На этапе закрепления полученных знаний используется метод работы в парах. Практически всем учащимся класса удалось справиться с решением заданий и составлением алгоритма решения. Выполнение данных заданий готовит учащихся к практической работе на следующем этапе.
Практическое применение изученного материала представлено в виде игры «Математическое лото», при этом используется прием организации коллективной формы учебной деятельности учащихся – «ручеек». На данном этапе в работу включен весь класс. Учащиеся справились довольно быстро, два ряда из трех с первого раза верно расшифровали слово. Третий ряд справился с заданием со второй попытки, осуществив проверку решений всех своих участников.
Итог урока: в процессе урока учащимися практически был применен алгоритм решения тригонометрических уравнений.
Заключение по уроку:
1. Эффективность урока составляет 98%, так как основная часть учащихся быстро и верно справлялась с заданиями на закрепление, а так же с практическим заданием.
2. Ценные стороны урока: практическое применение изученного материала позволило учащимся наилучшим способом закрепить свои знания по теме.
3. Рекомендуется в дальнейшем при подготовке этапа закрепления изученного материала использовать уроки-практикумы, так как использование данного типа урока показало значительные результаты в закреплении изученного материала учащимися.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе теоретического и опытного исследования получены следующие основные результаты.
1. Изучена научно-методическая и психолого-педагогическая литература по проблеме поиска путей эффективного использования коллективной учебной деятельности в процессе обучения математике в средней школе. Рассмотрены и проанализированы работы многих известных авторов, таких, как В.К.Дьяченко, Л.С. Выготский, Г.А. Цукерман, М.Н. Скаткин и многие другие. В процессе исследования была определена сущность коллективной формы учебной деятельности, выявлены ее признаки, план организации, рассмотрены основные приемы использования данной формы на уроках математики в 5 – 11-ых классах.
2. Разработаны фрагменты уроков математики с использованием коллективной формы учебной деятельности учащихся для 5 – 11-ых классов. Они позволяют наиболее полно представить методы, используемые при организации коллективной учебной деятельности на различных этапах урока.
3. Обобщен опыт практической работы в средней школе по рассматриваемой проблеме, вследствие чего сформулированы некоторые методические рекомендации для учителей математики.
4. Проведена опытная проверка эффективности приемов организации коллективной учебной деятельности учащихся в период преддипломной педагогической практики. Апробация разработанных методических материалов показала, что представленные приемы доступны учащимся, способствуют наилучшему усвоению учебного материала, ускоряют процесс развития навыков применения полученных знаний.
Все это дает основание считать, что задачи, поставленные в исследовании, полностью решены.

ЛИТЕРАТУРА
1.                 Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразоват. учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г и др. Под ред. С.А. Теляковского - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998. – 240 с.
2.                 Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учебник для 7–9 классов средней школы. – 3-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 335 с.
3.                 Выготский Л.С. Вопросы детской психологии. – М.: Педагогика, 1983. - 358 с.
4.                 Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы / Под ред. В.А. Гусева. М: Просвещение, 1989. - 144 с.
5.                 Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика: Учебник для 6 класса общеобразоват. учреждений - 6-е изд. – М.: Мнемозина, 1998. – 304 с.
6.                 Виноградова М.Д., Первин И.Б. Коллективная познавательная деятельность и воспитание школьников: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1977. – 159 с.
7.                 Давыдов В.В Виды обобщения в обучении. – М.: Педагогика, 1972. – 424 с.
8.                 Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее развитие. – М.: Просвещение, 1989. – 156 с.
9.                 Дьяченко В.К. Сотрудничество в обучении. – М.: Просвещение, 1991. – 192 с.
10.             Зайкин М.И. Исследование организационной структуры учебного процесса по математике в классах с малой наполняемостью: Дисс …докт. пед. наук. – М.; 1994. - 347 с.
11.             Золотова А.В. Коллективная работа на уроках // Начальная школа. – 1989. – № 10. С. 34-35.
12.             Карелина Т.М. Методы проблемного обучения // Математика в школе. – 2000. - № 5. – С. 31-32.
13.             Коллективная учебно-познавательная деятельность школьников / Под ред. И.Б. Первина. – М.: Педагогика, 1985. –144 с.
14.             Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10–11 классов средней школы / Под ред. А.Н. Колмогорова. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. – 320 с.
15.             Котов В.В. О методах организации на уроках коллективной учебной деятельности // Математика в школе. – 1978. - № 3. – С. 33–35.
16.             Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968. – 431 с.
17.             Лийметс Х.Й. Понятие коллективной работы в советской дидактике // Актуальные проблемы индивидуализации обучения. – Тарту, 1970. – С. 18 – 21.
18.             Макеева А.В. Карточки по тригонометрии. 10–11 классы: Дидактический материал для учителей. – Саратов: Лицей, 2003. – 128 с.
19.             Математика: Учебник для 5 класса общеобразоват. учрежд. /Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. – М.: Просвещение, 1994. – 272 с.
20.             Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М.: Просвещение, 1972. – 208 с.
21.             Мордкович А.Г. Алебра: Учебник для 8 класса – 3-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 223 с.
22.             Никиш М. Амфибии и рептилии – М.: Астрель-АСТ, 2002. – 47 с.
23.             Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного процесса: Дис…канд.пед.наук. – М.,1972. – 236 с.
24.             Панфилова А.П. Игровое моделирование в деятельности педагога / Под ред. В.А. Сластенина, И.А. Колесниковой. – М.: Академия, 2006. –368 с.
25.             Педагогика / Под ред. Ю.К. Бабанского. – М.: Просвещение, 1983. – 360 с.
26.             Петровский В.А., Виноградова А.М. Учимся общаться с ребенком. – М.: Просвещение, 1993. – 191с.
27.             Поисковые задачи по математике (4-5 класс): Пособие для учителей / Под ред. Ю.М. Колягина. – М.: Просвещение, 1979. – 95 с.
28.             Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. – М.: Педагогика, 1980. – 96 с.
29.             Утеева Р.А. Дифференцированное обучении математике учащихся средней школы: Пособие по спецкурсу и спецсеминару для студентов мат. спец. педвузов. – М.: Прометей. – 1996. – 96 с.
30.             Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Монография. – М.: Прометей, 1997. – 230 c.
31.             Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педагогической психологии. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.
32.             Хабиб Р.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся (на материале математики): Аспект сочетания и взаимодействия коллективной и индивидуальной форм обучения. – М.: Педагогика, 1979. – 176 с.
33.             Цукерман Г.А. Виды общения в обучении. – Томск: Пеленг, 1993. – 263 с.
34.             Чередов И.М. Система форм обучения в советской общеобразовательной школе. Монография – М.: Педагогика, 1987. – 152 с.
35.             Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.
36.             Эльконин Д.Б. Психология обучения младших школьников. – М.: Знание, 1974. – 64 с.
37.             Яшухина О.Н. Открытый урок на тему «Иррациональные уравнения».