·        При построении системы задач на подведение под понятие обеспечить наиболее полный объём понятия.
·        Важно показать, что объём понятия – не пустое множество.
·        Раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные.
·        Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии.
·        Усвоение терминологии и символики.
Итогом данного этапа является формулировка определения, усвоение которого – содержание следующего этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объёму понятия.
2.     На этапе усвоения определения продолжается работа над запоминанием определения. Достигаться это может с помощью следующих приёмов:
·        Выписывание определений в тетрадь.
·        Проговаривание, подчёркивание или какая-нибудь нумерация существенных свойств.
·        Использование контрпримеров для выполнения правил соизмеримости.
·        Подбор недостающих слов в определении, отыскание лишних слов.
·        Обучение приводить примеры и контрпримеры.
·        Обучение применения определения в простейших, но достаточно характерных ситуациях, так как многократное повторение определения вне решения задач неэффективно.
·        Указать на возможность различных определений, доказать их эквивалентность, но для запоминания выбрать лишь одно.
·        Учить конструировать определение, использовать для этого составление родословных, разъясняя логическую структуру; знакомить с правилами построения определения.
·        Сходные пары понятий давать в сравнении и сопоставлении.
Таким образом, каждое существенное свойство понятия, используемое в определении, на данном этапе делается специальным объектом изучения.
3.Следующий этап – закрепление. Понятие можно считать сформированным, если учащиеся сразу узнают его в задаче без всякого перебирания признаков, то есть процесс подведения под понятие свёрнут. Достичь этого можно следующими путями:
·        Применение определения в более сложных ситуациях.
·        Включение нового понятия в логические связи, отношения с другими понятиями (например, сопоставление родословных, классификаций).
·        Желательно показать, что определение даётся не ради его самого, а для того, чтобы оно «работало» при решении задач и построении новой теории.

Глава 2
Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах

2.1 Особенности познавательной деятельности
Восприятие. Школьник 5-6 классов обладает достаточным уровнем развития восприятия. У него высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета.
Процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур.
У школьников этого возраста появляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера.
Процесс формирования понятия – постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет  чувственное восприятие объекта.
Память. Школьник 5-6 классов способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает.
В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.
Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.
Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания.
Школьник 5-6 классов вполне может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому нужно поддерживать интерес школьника к изучению математики. При этом целесообразно опираться на вспомогательные средства (предметы, картинки, таблицы).
В школе на уроках внимание  нуждается в поддержке со стороны учителя.
Воображение. В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся 5-6 классов с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.
При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.
У школьников 5-6 классов воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.
Все указанные выше особенности создают почву для развития процесса творческого воображения, в котором большую роль играют специальные знания учащихся. Эти знания составляют основу для развития творческого воображения и в последующие возрастные периоды жизни школьника.
Мышление. Всё большее значение начинает приобретать теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем. Изучаемый в школе материал становится для него условием для построения и проверки своих гипотез.
В 5-6 классах у школьника вырабатывается формальное мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с конкретной ситуацией.
Учёные изучали вопрос об умственных возможностях школьников 5-6 классов. В результате исследований выявилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании соответствующих условий, т.е. при специальной методической организации обучения, учащийся 5-6 классов может усвоить абстрактный математический материал.
Как видно из вышеизложенного, психические процессы характеризуются возрастными особенностями, знание и учёт которых необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся.

2.2 Психологические аспекты формирования понятий [20]
Обратимся к психологической литературе и выясним основные положения концепции формирования научных понятий.
В учебном пособии [20] говорится о невозможности передачи понятия в готовом виде. Ребёнок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.
Становление понятий – это процесс формирования не только особого образца мира, но и определённой системы действий. Действия, операции и составляют психологический механизм понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются. И необходимо формировать следующие виды действий, используемых при изучении понятий: [20]
·  Действие распознавания используется, когда понятие усваивается для распознавания объектов, относящихся к данному классу. Данное действие может быть применено при формировании понятий с конъюнктивной и дизъюнктивной логической структурой.
· Выведение следствий.
· Сравнение.
· Классификация.
· Действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и другие.
Рассматривается в [20] также роль определения понятия в процессе его усвоения. Определение – ориентировочная основа для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение угла, ученик может теперь анализировать различные предметы с точки зрения наличия или отсутствия в них признаков угла. Такая реальная работа создаёт в голове ученика образ предметов данного класса. Таким образом, получение определения – это лишь первый шаг на пути усвоения понятия.
Второй шаг – включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах.
Третий шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах, в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; в-третьих – могут добавить к указанным определениям свои.
Условия, обеспечивающие управление процессом усвоения понятий
1.                Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства.
2.                Знание состава используемого действия. Например, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов.
3.                Представленность всех элементов действий во внешней, материальной форме.
4.                Поэтапное формирование введённого действия.
5.                Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия.
Н.Ф. Талызина подробно останавливается на поэтапном формировании понятий. После выполнения 5-8 заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правила и предписание называются или записываются учащимися по памяти.
В том случае, когда действие легко и правильно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание даётся в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащиеся совершают про себя. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату по мере необходимости.
Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. Контроль со стороны обучаемого предусмотрен только за конечным продуктом действий. Помощь обучаемый получает при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным.
Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование же по обобщённости обеспечивается специальным подбором заданий
Дальнейшее преобразование действия достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно лишь на последних этапах. На всех других этапах даётся лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме.
Требования к содержанию и форме заданий
1.                При составлении заданий следует ориентироваться на те новые действия, которые формируются.
2.                Второе требование к задачам – соответствие формы этапу усвоения. Например, на первых этапах объекты, с которыми работают учащиеся, должны быть доступны для реального преобразования.
3.                Количество заданий зависит от цели и сложности формируемой деятельности.
4.                При подборе заданий необходимо учитывать, что преобразование действия идёт не только по форме, но и по мере обобщённости, автоматизации и т.д.
Было проведено множество экспериментов, когда реализовывались указанные условия. Во всех случаях, утверждает Н. Ф. Талызина, понятия формировались не только с заданным содержанием, но и высокими показателями по следующим  характеристикам:
·        разумность действий испытуемых;
·        осознанность усвоения;
·        уверенность учащихся в знаниях и действиях;
·        отсутствие связанности чувственными свойствами предметов;
·        обобщённость понятий и действий;
·         прочность сформированных понятий и действий.
Итак, у ребёнка постепенно формируется определённый образ предметов данного класса. Понятие действительно нельзя дать в готовом виде, оно может быть построено только самим учеником путём выполнения определённой системы действий с предметами. Учитель помогает ученику сформировать этот образ с содержанием, опережающим существенные свойства предметов данного класса, и задаёт общественно выработанную точку зрения на предметы, с которыми работает ученик. Понятие - это продукт действий, выполняемых учеником с предметами данного класса.

2.3 Некоторые педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах

Ведущей идеей современной концепции школьного образования является идея гуманизации, ставящая в центр процесса обучения ученика с его интересами и возможностями, требующая учёта особенностей его личности. Главными направлениями математического образования является усиление общекультурного звучания и повышение его значимости для формирования личности подрастающего человека. Основные идеи, положенные в основу курса математики 5-6 класса – это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей 10-12 лет. [5]
Курс математики 5-6 классов – важное звено математического образования и развития школьников. На этом этапе заканчивается в основном обучение счёту на множестве рациональных чисел, формируется понятие переменной и даются первые знания о приёмах решения линейных уравнений, продолжается обучение решению текстовых задач, совершенствуются и обогащаются умения геометрических построений и измерений. Серьёзное внимание уделяется формированию умения рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов.
Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.
Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.
В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.
Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла. [5]
Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных», которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий. [5]
Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках [10, 12] .
Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала: [9]
1.                      Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.
2.                      Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.
3.                      Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29² <1000».
4.                      Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.
В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.
Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.
Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.
Методы. Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.
В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:
·                   Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.
·                   Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.
Урок. Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.
Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:
·                   На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.
·                    В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.
·                    Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.
Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.
·                   Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, - работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.
На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.
·                   Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.

2.4 Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.
Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».
Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение, фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы арифметических действий, законы арифметических действий и др.).
Не всегда есть возможность да и необходимость формировать определения по конструкции: 1) указывается род; 2) указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода. Учащихся учат на наглядно-интуитивной основе понимать значение существенных и несущественных признаков для раскрытия сути определяемого понятия, то есть достаточно сформировать правильное представление. В курсе математики 5-6 классов это часто достигается с помощью поясняющих  описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. Пример, поясняющие описания многоугольника, многогранника, расстояния, симметрий, натурального числа и др.
Большинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными – им трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и потеря или замена остаются им незамеченными.
Главное в работе с определениями в 5-6 классах – показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий.
Если учащиеся в 5-6 классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут изучать курс математики старших классов более осознано.
Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные представления о необходимости обоснования, её убедительности рассуждений. Этот начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве, адекватном математике.
Проанализировав учебники для 5-6 классов, увидим, что аксиоматические определения отсутствуют, геометрические понятия в большинстве своём определяются через конструирование, алгебраическим понятиям, в основном, даются определения-соглашения, поясняющее описание.
Приведём сравнительное процентное соотношение определений, даваемых в учебниках [10, 11, 12, 13]. В [11, 13] присутствует 53% определений-соглашений, 20% — пояснительных описаний, 27% — конструктивных определений, а в [10, 12] определений-соглашений — 33%, пояснительных описаний — 32%, конструктивных определений — 35%. Отличия объясняются большим количеством геометрических понятий, вводимых в [10,12].
Вводить понятия на данном этапе обучения следует конкретно-индуктивным путём, уделяя большое внимание мотивации введения. Для усвоения понятий в этом возрасте психологи советуют давать 10-12 заданий.
Рассмотрим конкретные примеры.
Угол SHAPE  \* MERGEFORMAT

A

M

N

P

Q

D

C

О

A

В

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

В

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

K

C

M

D

A

B

K

N

B

C

A

На каждом из рисунков найдите и назовите лучи и их начала. Что такое "луч"? Есть ли у луча начало?

Рис.8

Вы знаете что такое многоугольник (рис.8). Какие элементы многоугольника вы можете назвать? (Стороны, вершины). Оказывается, что у многоугольника существуют ещё элементы. Сегодня нам и предстоит их изучить. Обратите свое внимание на рис.4, вы видите два луча с общим началом, вместе они составляют единую фигуру. И чтобы не делить её на части, древними

Рис.8

было дано этой фигуре особое название — "угол".
Как же получают фигуру, называемую углом?

A

О

В

1.              Берут произвольную точку (в нашем случае это точка О);
2.         Проводят два луча с началом в этой точке (ОА, ОВ).
Таким образом, углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (ребята могут сформулировать определение сами!). Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На нашем рисунке сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: <АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О.
Задание 1: На каждом из рисунков (рис.1—рис.7) выберите углы и правильно назовите их.
Задание 2: Выберите правильное обозначение следующих углов.
А)<K                     А)BCN                А) <KCM            А) М
Б) <KMN               Б) <CNB              Б) <KMC             Б) <MCK
В) <N                     B) <BCN             B) <MCK            B) <K
                              Г) <NCB              Г) D           
                              Д) <С

C

K

N

M

N

B

K

M

K

C

M

C

D

P

S

L

M

K

K

F

C

A

B

H

Задание 3: Напишите в тетради обозначения следующих углов. И зарисуйте их.

Задание 4: Начертите произвольные углы: <ABO, <C, <MKL, <HFK, <F.
Давайте рассмотрим, как могут располагаться точки на плоскости, относительно данного угла.

Y

X

F

K

M

C

D

На рисунке изображён угол F.
Точки C,D лежат внутри угла F.
Точки X,Y лежат вне угла F.
Точки M,K – на сторонах угла F.
Задание 5: Начертите угол О и изобразите следующие точки:
                     А) А, В, С – внутри угла О;
                     Б) D, F, E, K – на сторонах угла О;
                     В) M, P, S, T – вне угла О.
Задание 6: Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.
Задание 7: Начертите 4 луча: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи.
Наибольший общий делитель.
Задание 1: Верно ли, что:
  А) 5 – делитель 45;      Б) 16 – делитель 8;       В) 17 – делитель 172?
Задание 2: Назовите все делители чисел:
  А) 6;                    Б) 18;                            В) 125;                Г) 19.
Задание 3: Выберите наибольшее из чисел:
А) 1, 5, 3, 8, 12, 4;                 Б) 15, 30, 45, 90.
Задание 4: На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов?
Затем учитель задаёт вопросы, подобные следующим (учащиеся должны вспомнить, что такое «натуральное число» и «делитель натурального числа»):
·                     Какие числа можно считать натуральными?
·                     Какое число называют делителем данного натурального
числа?
У Деда Мороза имеется 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», ему необходимо составить наибольшее количество одинаковых подарков для детей, используя все конфеты.
Как же ему быть? Сегодня вы узнаете, как можно быстро помочь Деду Морозу.
1.Делители 6:    1, 2, 3, 6 – натуральные числа.
Делители 18: 1, 2, 3,  6, 18 – натуральные числа
 

2.Делители 15: 1, 3, 5, 15 – натуральные числа
Делители 30: 1, 3, 5, 15, 2, 6, 10, 30 – натуральные числа
3.Делители 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 – натуральные числа.
Делители 18: 1, 2, 3, 6, 18 – натуральные числа.
Как видим, во всех случаях выделены общие делители двух натуральных чисел, и из этих общих делителей выбрано наибольшее натуральное число.
Вернёмся на помощь Деду Морозу. На какое одинаковое количество подарков можно разделить 48 конфет «Ласточка»? Для  того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 48.
48: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 48.
На какое одинаковое количество подарков можно разделить 36 конфет «Чебурашка»? Для  того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 36.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Но Деду Морозу необходимо составить абсолютно одинаковые подарки, поэтому ему нужно выбрать общие делители чисел 48 и 36.
Общие делители чисел 48 и 36: 1, 2, 3. 6, 12.
Выбрав наибольшее натуральное число из общих делителей чисел 48 и 36, Дед Мороз составит наибольшее количество одинаковых подарков для детей. Таким числом будет число 12.
Значит, Деду Морозу можно составить 12 подарков, в каждом из которых будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).
Итак, наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется наибольшим общим делителем этих чисел.
Задание 1. Найдите все общие делители чисел:
  А) 18 и 60;          Б) 72, 98 и 120;            В) 35 и 88.
Задание 2. Выпишите общие делители чисел a и b и найдите их наибольший общий делитель, если:
А)Делители а: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Делители b: 1, 2. 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30. 45, 90
Б)Делители а: 1, 2, 3. 6, 18
  Делители b: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Задание 3: Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b , если:
А) а=2·2·3·3 и       b=2·3·3·5;
Б) а=5·5·7·7·7        и       b=3·5·7·7.
Задание 4: Найдите наибольший общий делитель чисел:
А) 12 и 18;            Б) 50 и 175.
Задание 5: Ребята на новогодней ёлке получили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке?

Глава 3
Опытное преподавание

На теоретической основе, представленной в предыдущих главах, был разработан и проведён урок в 5 классе Талицкой СШ Фалёнского района. Далее приведён конспект данного урока.
Класс: 5.
Количество уроков по разделу: 26
Тема урока: «Доли. Обыкновенные дроби».
Тип урока: урок изучения нового материала.
Номер урока в разделе «Обыкновенные дроби»: 5
Цели:
   Образовательные:
·   создать условия для усвоения учащимися понятия доли, обыкновенной дроби, числителя и знаменателя;
·   научить применять дроби при решении различных задач.
Развивающие:
·        развитие познавательного интереса и грамотной математической речи;
·        развитие логического мышления.
         Воспитательные:
·        воспитание дисциплинированности;
·        воспитание аккуратности.
Оборудование: наглядное пособие в виде разрезанного яблока, карточки с заданием (раздать перед уроком).
Литература: [11].
План урока:
1.  Организационный этап.
2.  Актуализация знаний.
3.  Этап изучения нового материала:
1)    Введение понятия доли, половины, трети, четверти.
2)    Усвоение понятия доли.
3)    Введение понятия дроби.
4)    Усвоение понятия дроби.
4.      Этап закрепления изученного.
5.      Этап постановки домашнего задания
6.      Подведение итогов урока
Ход урока:

Этап	Учитель	Ученики	Доска/тетрадь
1.	Здравствуйте! Садитесь, ребята, пожалуйста! Сегодня мы займёмся изучением особых чисел, называемых обыкновенными дробями.		«Дата» Классная работа. Тема.
2.	А для начала давайте вспомним, что такое натуральное число? Для чего  применяются натуральные числа? Верно.	Натуральные числа применяются для счёта предметов.
3	1) Представьте себе, что у вас имеется 5 яблок. И вам необходимо разделить их поровну между пятью друзьями. По сколько яблок достанется каждому? Верно. А если мама купила один арбуз и разрезала его на 6 равных частей: бабушке, дедушке, папе, двум детям и себе, то эти равные части будут называются долями. Поскольку, арбуз разделили на 6 долей, то каждый получил «  долю арбуза» или «  арбуза». Посмотрите, как записываются доли. Теперь начертите, пожалуйста, в тетради отрезок АВ длиной 5 см. Какую долю отрезка АВ будет составлять отрезок длиной 1 см.? Пусть, у каждого из вас, ребята, есть по яблоку. Как вы будете действовать, если я попрошу вас отрезать от яблока половину? Прав будет тот, кто разделит яблоко на две доли, потому что половиной называется доля ,  — третью, а  — четвертью. Например, половиной часа является 30 мин, четвертью—15 мин, третью—20 мин 2) Яблоко разрезали на 8 долей, съели 3 доли. Сколько долей осталось? Эти 5 долей обозначают « яблока» Ещё один пример. А в этом случае сколько долей осталось? Сейчас обратите внимание на рисунок. На нём  прямоугольника закрашена, а какая часть прямоугольника не закрашена? Записи вида:  называют обыкновенными дробями. Верхнюю часть дроби называют числителем, а нижнюю — знаменателем. Вернёмся к рисунку, на котором изображено  яблока. Что в данной дроби является числителем, а что —знаменателем? Посмотрите внимательно на рисунок и попробуйте сказать, что показывает знаменатель дроби (в нашем случае, число 8)? А что показывает числитель дроби? 4) v  Назовите из выписанных чисел обыкновенные дроби. И назовите их числители и знаменатели. Например, : 6 – числитель, 7 — знаменатель. У каждого из вас есть карточка с заданием. Прочитайте его и выполните. v  Заполните пропуски. Дробь со знаменателем 11 и числителем 3 записывается ____ . Знаменатель показывает, что единица разделена на __  ______ частей. Числитель показывает, что равных частей взято ____ . v   (каких?)   На сколько частей нужно разделить яблоко и сколько частей нужно взять, чтобы получить  яблока?	У каждого из друзей будет по одному яблоку. Отрезок длиной 1 см будет составлять  долю отрезка АВ. Разделим яблоко на две равные части (доли) и т.д. Осталось 5 долей. 4 доли. Не закрашено  прямоугольника. 5 – числитель 8 – знаменатель Знаменатель дроби показывает, на сколько долей нужно делить. Числитель показывает, сколько таких частей нужно взять. Обыкновенные дроби: . У  дроби  4— числитель, 9— знаменатель. У дроби  1– числитель, 5— знаменатель.  на 11 равных частей 3 Яблоко нужно разделить на 3 доли, т.к. знаменатель дроби—3, и взять 2 доли, т.к. числитель дроби—2.	Наглядное пособие в виде разрезанного арбуза.  SHAPE  \* MERGEFORMAT А В 1 см доля  SHAPE  \* MERGEFORMAT Наглядное пособие  SHAPE  \* MERGEFORMAT яблока  SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT — обыкновенные дроби числитель знаменатель   , 8, 32 ,2, , , 73
4	№ 860 (устно). Какую долю отрезка АВ составляет отрезок СD? № 864 (устно). Прочитайте записи:  отрезка,  килограмма,  суток,  дороги,  дыни,  яблока. №862. Разделите тремя способами квадрат со стороной 4 см на 4 доли. Начертите четверть квадрата, половину квадрата. № 865. Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из  куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье? o    О чём говорится в задаче? o    Из чего шьют платье? Какую длину имеет кусок ткани? o    Известно ли нам какую часть этого куска ткани потратили? o    Что необходимо найти? В каких единицах?

o    Длина куска ткани нам дана в м, а количество истраченной ткани необходимо найти в см. Следовательно, длину куска нужно перевести в см. Как это сделать?
o    Что необходимо сделать, чтобы найти  куска ткани?
№ 867. Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил  этого времени, а на географию  оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по географии?

А   Отрезок CD составляет  долю отрезка АВ. o       В задаче говорится о пошиве платья. o       Платье шьют из куска ткани длиной 2м 50см. o       Известно. Потратили  часть этого куска. o       Нужно найти сколько сантиметров ткани ушло на это платье. o       2,5*100 o        Необходимо этот кусок разделить на 5 равных частей и взять из них одну.	D    SHAPE  \* MERGEFORMAT C B  SHAPE  \* MERGEFORMAT № 865  SHAPE  \* MERGEFORMAT Ткань 250см 1) 2м 50см = 250см; 2)250:5=50см ( куска ткани); 3)50 * 1 = 50см (ткани ушло на платье). Ответ: 50 см. № 867 1)1ч40мин=100 (мин) 2)100:5*1=20 (мин) потратил на математику 3)100-20=80(мин) осталось времени 4)80:4*1=20 (мин) потратил на географию. Ответ: 20 мин; 20 мин.
5	№ 900. Начертите круг радиусом 2 см и закрасьте  круга. № 901. Из трёхлитрового бидона с молоком взяли 2 л молока. Какую часть всего молока взяли? № 907. Постройте круг радиусом 5 см. Проведите в нём диаметр АВ. Возьмите на окружности точку М и соедините её с точками А и В. Измерьте: диаметр АВ, отрезок МА, отрезок МВ. Какой из этих отрезков самый длинный?		Учебник [11] П.23, стр. 157. № 900, № 901, № 907.
6	Итак, мы с вами сегодня познакомились с долями и дробями. Давайте ещё раз вспомним, что такое доли и что такое дроби. Из каких частей состоит обыкновенная дробь? И что каждая из них показывает?	Доли—это равные части, на которые мы должны делить. Обыкновенная дробь —это запись вида . Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя. Знаменатель показывает, на сколько частей делят, а числитель—сколько таких частей взято.

На данном уроке были введены понятия доли и обыкновенной дроби. Понятия доли и обыкновенной дроби являются поясняющими описаниями. Оба они введены конкретно-индуктивным путём. И при их введение большое внимание уделено мотивации и наглядности.
На этапе усвоения определений было предложено задание типа «заполните пропуски…» и задания на усвоение основных свойств понятия обыкновенной дроби.
На этапе закрепления ребята решали текстовые задачи, при этом использовали введённые понятия.

Заключение

Процесс формирования понятий — это постепенный процесс, состоящий из нескольких последовательных стадий (этапов), на каждом из которых необходимо учитывать методические и психологические особенности обучения детей данного возраста.
Целями данной квалификационной работы ставились изучение математической, методической, педагогической, психологической литературы по данной теме и разработка методики введения математического понятия.
В первой главе на основе учебного пособия [14] рассматривались основы методики изучения математических понятий. В частности, разобраны такие вопросы, как содержание и объём математических понятий, их классификация; способы определения понятий, методические требования к определению понятия; основные этапы изучения понятий в школе и особое внимание уделено этапу введения.
Методика математики тесно связана с педагогикой, психологией, поэтому во второй главе рассмотрены особенности познавательной деятельности детей 10-12 лет и на основе учебного пособия [20] выделены рекомендации психологов по формированию научных понятий у школьников, также рассмотрены некоторые педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Важным при работе над этой главой стало выделение особенностей формирования математических понятий у учащихся 5-6 классов. На основе этой работы приведены примеры введения математических понятий.
В процессе опытного преподавания, согласно рассмотренным методикам, был разработан и проведён урок изучения нового материала в 5 классе.
Следовательно, цель данной дипломной работы достигнута, сформулированная гипотеза доказана.

Библиографический список

1.    Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. // Математика в школе. — №5, 1973.
2.    Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определение в школьном курсе математики и методика работы над ними. // Математика в школе. – №4, 1984.
3.    Волович М.Б. Обыкновенные дроби. Проценты. /Пособие для учителя, ученика и его родителей. — М.: Аквариум, 1997.
4.    Грудёнов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. : Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
5.    Жохов В.И. Новый учебник математики для 5 класса // Математика. — №40, 1995.
6.    Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах.: Методические рекомендации для учителя к учеб. Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда. — М.: Русское слово, 1999.
7.    Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б. Учебные комплекты по математике для 5-6 классов. // Математика в школе. — №4, 1997.
8.  Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988 – с. 38-46.
9.    Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в 5-6 классах. — Минск: Народная асвета, 1976.
10.                       Математика : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В, Дорфеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф Шарыгина. — М.: Просвещение, 2000.
11.                       Математика : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: Мнемозина, 2001.
12.                       Математика : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В, Дорфеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф Шарыгина. — М.: Дрофа, 1997.
13.                       Математика : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: Мнемозина, 2001.
14.                       Методика преподавания математике в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин, В.Я. Саннинский.— М.: Просвещение, 1980 — с.57-70.
15.                       Методика преподавания математике в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Дорофеев и др. ; Сост. В.И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987 — с.5-61.
16.                       Мухина В.С. Возрастная психология.: Учеб. для вузов. – М.: Академия, 1997.
17.                       Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. /Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г Миндюк. — 4-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004.
18.                       Саранцев Г.И. Методика обучения в средней школе.: Учеб пособие для вузов. — М.: Просвещение, 2002.
19.                       Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе. // Математика в школе. — №6, 1998.
20.                       Талызина Н.Ф. Педагогическая психология.: Учебное пособие для средних педагогических заведений. – М.: Академия, 2001.
21.                       Цукарь А.Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей. // Математика в школе. — №5, 1994.