Содержание.

Введение

Глава1. Теоретические основы изучения темы «Интеграл» с помощью моделей

1. Модели и моделирование в обучении

2. Психолого-педагогические и методические основы изучения интеграла в школьном курсе математики

1.3. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

1.4. Физические модели при введении понятия интеграла

1.5. Различные методы изучения приложений интеграла в физике

Глава 2. Физические модели при изучении темы «Интеграл»

2.1. Введение понятия интеграла с помощью физических моделей

2.2. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

2.3. Физические модели при отработке техники интегрирования

2.4. Приложения интеграла в физике

Заключение

Библиография

Приложение

Введение.

Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Потребность в использовании практических материалов при обучении школьников математике диктуется тем, что возникновение, формирование и развитие математических понятий имеют своим источником ощущения и восприятия, а также и тем, что в познавательной деятельности учащегося имеет место тесная связь логических процессов мышления и чувственных восприятий. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает учителю возможность организовать учебную деятельность учащихся и поддерживать их интерес к обучению. В то же время, бурное развитие математики и физики не могло не наложить определенного отпечатка на уровень развития и направление интересов учащихся. Интерес молодежи к технике, физике и математике растет с каждым днем.

Математика использует физические задачи для иллюстрации некоторых процессов, явлений и их исследования. Физики же не могут обойтись без аппарата математики. Интеграл – не исключение. Определенный класс задач решается с его использованием. Поэтому довольно актуальным становится обучение учащихся математике (в частности изучение темы «Интеграл») через прикладные задачи физики.

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики.

Понятие интеграла не на много сложнее таких понятий, как «неизвестная величина» или «подобие треугольников», которые незыблемо входят в школьную программу. Давно пора сделать понятие интеграла достоянием всякого культурного человека, чем бы он ни занимался.

Анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, показывает наличие разных мнений по поводу изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ интегрального исчисления.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:

• необходимостью полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления в основной школе в связи с огромной значимостью и важностью этого материала для учащихся;

• недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в школьном курсе математики.

Исходя из вышесказанного, для исследования была выбрана тема «Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах».

Проблемой исследования является поиск путей методически грамотного применения физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники вычисления интегралов и изучении приложений с учетом психолого-педагогических основ изучения данной темы.

Объект исследования – процесс изучения основ интегрального исчисления с использованием физических моделей в курсе математики основной школы.

Предмет исследования – физические модели при изучении темы «Интеграл».

Основные цели данной работы – изучить различные подходы к введению понятия интеграла, изучению его свойств и приложений, определить достоинства и недостатки этих подходов, разработать методику изучения интеграла с использованием физических моделей, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанной методики.

Гипотеза: изучение основ интегрального исчисления с помощью разработанной методики способствует осознанному качественному усвоению школьниками этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике.

Задачи исследования:

1. изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;

2. на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов интегрального исчисления в курсе математики основной школы;

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;

2. анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме.

Глава 1

Теоретические основы изучения темы «Интеграл» с помощью моделей

1.1. Модели и моделирование в процессе обучения

Модель - очень широкое понятие, включающее в себя множество способов представления изучаемой реальности.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

Под моделью понимается объект, воплощающий данную идею или интерпретирующий некоторую теорию. Построение объекта называется конкретизацией, или моделированием.

Моделирование представляет собой обязательный этап процесса научного познания. Между моделью и моделируемым объектом имеется определенное отношение – модельное отношение. Это отношение показывает, в каком смысле оригинал и его модель подобны, аналогичны.[9]

Применение метода моделирования при изучении математики в школе дает возможность получить наиболее достоверные (поскольку доказательство некоторых математических фактов в школьном курсе не предусмотрено) и наглядные результаты, раздвинуть границы знаний учащихся об окружающем мире, развивать их мышление.

Модель должна быть наилучшим образом приспособлена к восприятию учащихся и учитывать их психологические особенности. В процессе обучения учитель обязан помогать учащимся формировать научный взгляд на мир. В процессе моделирования учащиеся могут научиться таким операциям, как анализ изучаемого объекта, выполнение доказательств, объяснений и т.п.[9]

Операции над моделями учат школьников умению абстрагировать, конструировать, обобщать, т.е. способствуют развитию мышления. Таким образом, моделируя, учащиеся развивают свое логическое мышление.

В моделировании есть два заметно разных пути. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно - словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.д.

Современная физика – часть общечеловеческой культуры, характеризующей интеллектуальный уровень общества, степень понимания основ мироздания. Среди других наук физика по-прежнему сохраняет роль лидера естествознания, определяя стиль и уровень научного мышления. [9]

Поэтому среди возможных моделей при изучении математики в школе (в частности темы «Интеграл») наиболее актуальными являются физические модели. В работе были использованы:

• известные законы физики (например, второй закон Ньютона в импульсном представлении, всемирный закон притяжения);

• модели физических явлений, выраженные формулами, известными из школьных учебников физики (например, формула мощности постоянного тока, силы взаимодействия между зарядами);

• задачи с физическим содержанием (например, задача о вытекании воды из сосуда, давлении жидкости на стенку).

1.2. Психолого – педагогические и методические основы изучения интеграла в школьном курсе математики

Необходимость изучения интеграла в школе характеризуется тем, что:

1. если изучать только производную, но не изучать интеграл, то цикл анализа одной переменной не будет завершен;

2. в приложениях (в том числе в физике) гораздо чаще, чем задачи на вычисление производной, её применение, используются задачи с использованием интеграла, интеграла и производной;

3. понятие интеграла очень существенно для общего образования учащихся (человек раньше стал решать интегральные задачи).

Целью изучения математического анализа (в том числе интегрального исчисления) в общеобразовательной школе является:

1. овладение основными понятиями (в частности, понятием интеграла);

2. обучение решению простейших задач на применение начал анализа в других школьных дисциплинах, в практике;

При рассмотрении понятия интеграла в школах с углубленным изучением математики возможно также и обучение простейшим методам интегрирования (технике вычисления интеграла).

Учителю в своей работе необходимо учитывать факторы, влияющие на успешность обучения.

Во-первых, следует тщательно отбирать теоретический материал, сочетая научность и доступность изложения. И хотя полностью реализовать принцип научности при изучении интеграла не удается, у учащихся все же формируются правильные представления о процессе познания и его закономерностях.

Содержание, формы и методы обучения должны учитывать реальные возможности учащихся, но, тем не менее, иметь достаточно высокий уровень трудности.

Во-вторых, необходимо учитывать общий уровень математической подготовки учащихся, особенности их мышления и восприятия и, в соответствие с этим, выбирать тот или иной путь изложения материала.

В-третьих, для лучшего запоминания материала, развития наблюдательности, для иллюстрации мыслей необходимо применять на уроке различные виды наглядности (чертежи, графики…)

И, наконец, в-четвертых, важную роль играет систематичность и последовательность в обучении.

Стройное, логичное изложение теоретического материала, а также хорошо подобранная система упражнений способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся, формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их. Т. е., является одним из средств достижения цели общего образования.

Систему упражнений нужно строить так, чтобы способствовать усвоению основных понятий, активизировать мыслительную деятельность учащихся и постоянно поддерживать их интерес к уроку. Этому помогут задачи на исследование, доказательство.

При формировании основного понятия (интеграла) необходимо учитывать, что оно даётся в достаточно общей, абстрактной форме. Потому главная трудность состоит в конкретизации, т. е. в умении видеть за математическими терминами и их определениями конкретные образы. Здесь большую помощь ученику должны оказать хорошо подобранные примеры.

Так как изучаемое понятие достаточно сложно, то существует несколько стадий его усвоения. Хорошо овладеть понятием интеграла учащимся помогут специально подобранные упражнения.

Помимо знания определения понятия ученик должен, по возможности, иметь о них зрительное представление (например, определенный интеграл – перемещение точки за промежуток времени). Раз усвоенные физические образы, рисующие картину рассматриваемого явления, надолго остаются в памяти и живут в воображении изучающего.

Каждый теоретический факт, даже и доказанный учащимися самостоятельно, следует по возможности немедленно закреплять при выполнении конкретных упражнений.

Важно показывать учащимся прикладную значимость материала при изучении других школьных дисциплин, в частности, различных разделов физики.

1.3. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

Проведём анализ некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа с точки зрения использования различных подходов введении понятия интеграла, рассматриваемых в них приложений интеграла в физике.

В учебниках, как правило, используются следующие подходы к введению понятия определенного интеграла:

1. Интеграл как предел интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения конкретных задач, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Затем, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.

Хотя данное определение громоздко, но идея метода наглядна (геометрическая интерпретация – площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла используют формулу Ньютона – Лейбница, которую при данном подходе необходимо доказать.

1) В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.

Среди применений интеграла в данном учебнике выводится формула для нахождения работы переменной силы, формула вычисления массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

2) В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл» рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели. При чем говорится о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x):

1. разбивают отрезок [a; b] на n равных частей;

2. составляют сумму

S_n=f(x₀)Δx₀+f(x₁) Δx₁+…+f(x_k) Δx_k+…+f(x_n-1) Δx_n-1;

3) вычисляют .

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].

После чего автор учебника возвращается к трем рассмотренным ранее задачам и результат, полученный при их решении, переписывает следующим образом:

• , где S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x);

• , где m – масса неоднородного стержня с плотностью p(х);

• , где s – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t).

В учебнике в физических приложениях интеграла приводятся те же задачи, что и при введении понятия интеграла, а именно задачи о массе стержня и перемещении точки. Этим автор учебника и ограничивает изучение приложений интеграла в физике.

3) В учебнике М. И. Башмакова «Алгебра и начала анализа» тема «Интеграл и его применение» выделена в отдельную главу. Автор дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функция f, определенная на конечном отрезке [a; b]. Интегралом от функции f на отрезке [a; b] называется площадь её подграфика». Далее показывается, как вычислить эту площадь с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод на задаче о нахождении объема лимона и нахождении работы по перемещению точки.

В данном учебнике рассмотрены наиболее разнообразные примеры приложений интеграла в физике. Задачи о работе силы, перемещении точки, о вычислении массы стержня, электрического заряда и нахождение давления воды на плотину приводятся в учебнике вместе с их теоретическим обоснованием (выводом). Без вывода представлены формулы нахождения работы по известной мощности и количества теплоты по известной теплоемкости. Однако, для самостоятельного решения учащимся предлагается мало задач.

4) В учебнике Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Среди приложений интеграла в физике рассматриваются следующие задачи (вместе с теоретическим их обоснованием): задачи о работе силы, работе электрического заряда, задача о массе стержня переменной плотности, задача о давлении жидкости на стенку, задача о нахождении центра тяжести системы материальных точек. Однако, автор учебника приводит очень скупую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах и половины тех формул, которые были ранее выведены.

2. Интеграл как приращение первообразной.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона – Лейбница практически служит определением интеграла.

При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона – Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все – таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.

5) В учебнике Ш. А. Алимова «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.

Задачи приложений, приведенные в выше рассмотренных учебниках, это наиболее распространенные примеры применения интеграла, однако, они не описывают и половины всех возможных приложений интеграла в физике.

1.4. Физические модели при введении понятия интеграла

Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).

Интеграл как предел интегральных сумм.

1. Работа переменной силы.

Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]

Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs, где s – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?

Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [x_k-1; x_k] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k. Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(x_k)Δx_k, а на всем отрезке – суммой:

A_n=F(x₁) Δx₁+…+F(x_n) Δx_n. (1)

Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).

Сумму (1) называют интегральной суммой функции F(x) на отрезке [a; b]. При этом предполагается, что функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b] и может принимать любые значения. Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма A_n стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F(x) на отрезке [a; b] и обозначают .

2. Задача о вычислении массы стержня.

Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]

Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.

Рассмотрим массу стержня на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [x_k-1; x_k] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k. Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р(x_k)Δx_k, а на всем отрезке – суммой:

m_n=p(x₁) Δx₁+…+p(x_n) Δx_n. (2)

Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2).

Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

.

Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы.

3. Задача о перемещении точки.

При введении определенного интеграла, в качестве задачи, приводящей к данному понятию, наиболее рациональным и простым для понимания учащимися является рассмотрение задачи о перемещении точки, т. к. с обратной задачей школьники уже встречались при изучении применения производной в физике.

Между положением (координатной) точки и её скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача – нахождение положения точки по её скорости – решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.

Задача. Пусть по прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s=vt, т. е. s=v(b-a). Для неравномерного движения разобьём промежуток времени [a; b] на n равных частей. Рассмотрим промежуток времени [t_k-1; t_k] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой как в момент времени t_k: v=v(t_k). Перемещение точки за промежуток времени [t_k-1; t_k] приближенно можно представить как произведение v(t_k)Δt_k. Найдем приближенное значение перемещения s:

s ≈ S_n,

где S_k=v(t₁) Δt₁+…+v(t_k) Δt_k.

Точное значение перемещения вычисляется по формуле

.

Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы. [10]

Введение понятия интеграла как приращения первообразной ни в одном из рассмотренных учебников не используется, примеры данного метода введения будут приведены в следующей главе.

1.5. Различные методы изучения приложений интеграла в

физике.

Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.I. Составление интегральных сумм.Масса стержня переменной плотности.Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка,где a=x₀<x₁<…<x_n=b, Δx_i =x_i+1-x_i.Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. [11]Центр масс.При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:Координата центра масс системы материальных точек А₁, А₂,…, А_n с массами m₁, m₂,…, m_n, расположенных на прямой в точках с координатами x₁, x₂,…, x_n, находится по формуле.2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив её в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.Пусть вдоль стержня – отрезка [a; b] оси Ох – распределена масса плотностью ρ(х), где ρ(х) – непрерывная функция. Покажем, что координата центра масс равна .Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками a=x₀<x₁<…<x_n=b. На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной ρ(x_k-1) на k-м отрезке (в силу непрерывности ρ(х) ). Тогда масса k-отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m_k, помещенной в точке x_k-1, получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу . [8]

Аналогично можно вывести формулу для нахождения работы силы.

II. Метод дифференциалов.

Электрический заряд.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t; t+dt] можно считать силу тока постоянной и равной I(t). Тогда дифференциал заряда запишем так: dq=I(t)dt. Отсюда получаем, что весь заряд, переносимый за интервал времени [a; b] можно записать в виде интеграла:

.

Аналогично выводятся и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину. [2]

III. Рассмотрение практической задачи.

Работа силы.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н. [1]

По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F=kx, где x – величина растяжения или сжатия (в м), k – постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х=0,01 м и сила F=10 Н, то . Следовательно, F(x)=kx=1000x.

Работа силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна

.

Используя данные задачи, получаем:

(Дж).

Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из выше перечисленных методов.

Если учащиеся знакомились с понятием интеграла как предела интегральных сумм, то первый метод изучения приложений будет наиболее логичным и понятным. Если же понятие интеграла вводилось с помощью приращения первообразной, то использование данного метода получения формул стоит обосновать для учащихся и рассмотреть довольно подробно с введением понятия интегральных сумм, что довольно громоздко, но необходимо.

Достоинством второго метода при введении понятия интеграла с помощью приращения первообразной состоит в том, что он не такой громоздкий, как первый и с его помощью можно вывести много формул даже в рамках урока. Однако, в таком случае вычисление интеграла с помощью интегральных сумм остается за рамками изучения, что является не совсем корректным. При введении понятия интеграла с помощью интегральных сумм рассмотрение данного метода при изучении приложений необходимо пояснить.

Третий метод применим только в классах курса А. Здесь нет необходимости выводить формулы, достаточно дать общее представление.

Подводя итоги первой главы можно сделать следующие выводы.

Как выяснилось, существуют различные методы введения понятия интеграла и изучения его приложений и выбор одного из них – задача учителя. Но для полноценного изучения интеграла, для возможности предоставить учащимся более полноценную, наиболее обоснованную и понятную картину рассматриваемого явления учителю необходимо использовать различные методы в совокупности, различную литературу, т.к. в рамках школьного учебника и методов, которые каждый из них предлагает учителю, это невозможно. В каждом из выше рассмотренных учебников есть свои недостатки при введении понятия и изучении его приложений, которые описаны выше. В некоторых из них не рассматриваются ни свойства, ни техника интегрирования.

Проанализировав школьные учебники относительно использования физических моделей при изучении понятия интеграла, можно сделать вывод, что при изучении свойств и техники интегрирования ни один автор не использует физических задач, а при введении понятия интеграла авторы ограничиваются использованием следующих физических моделей: вычисление работы переменной силы, перемещения точки, массы стержня переменной плотности. На самом деле существует огромный запас задач из других разделов физики, которые можно использовать при введении понятия интеграла, а при изучении его свойств обосновывать их с помощью физических задач, при рассмотрении техники интегрирования демонстрировать методы на примерах всё тех же физических задач. Таким образом, все понятия, свойства, методы не только будут предоставлены учащимся как факты, но будут и обоснованы, и продемонстрированы, и покажут межпредметную связь физики и математики.

Глава 2

Физические модели при изучении темы «Интеграл»

2.1. Введение понятия интеграла с помощью физических моделей

После анализа достоинств и недостатков школьных учебников математики относительно темы «Интеграл», после ознакомления с некоторыми учебниками физики и, учитывая психолого-педагогические и методические основы изучения интеграла, мною была разработана методика изучения понятия интеграла с использованием физических моделей в школьном курсе математики, представленная в данной главе.

Нижеследующая методика введения понятия интеграла с помощью задач физики разрабатывалась мной на основе следующего факта.

Физические величины, вычисляемые с помощью интеграла, можно разделить на два типа, в зависимости от того, как они естественно определяются. К первому типу относятся «первичные» величины (длина пути, масса, количество электричества, количество теплоты и т. п.), т. е. такие величины, для которых другие, связанные с ними («вторичные») величины (соответственно скорость, линейная плотность, величина тока, удельная теплоемкость и т. п.) определяются как производные этих величин. Ко второму типу относятся такие, которые определяются естественным образом как интегралы от «первичных» по отношению к ним величин (например, площадь, работа). Для первого типа величин интегральная формула для их вычисления может и должна быть доказана, опираясь на известное из предыдущего материала определение «вторичной» величины как производной от данной «первичной». Для второго типа интегральная формула появляется по определению.[5]

В соответствии с этим рассмотрим описанные в первой главе подходы на конкретных физических моделях из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.), уделив особое внимание второму подходу, поскольку в школьных учебниках он практически не используется.

При введении понятия интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.

Задача. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.

Разделим высоту Н на n равных частей (Δh). Стенка разделится на «элементы». Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты h_i м, имеющего сечение 1 м², равно h_i тоннам.

Давление же воды на элемент, находящийся на глубине h_i, равно произведению h_i на площадь элемента: h_ia Δh. Обозначим произведение h_ia через F(h_i). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна

P_n≈ F₁(h₁)Δh₁+…+F_n(h_n) Δh_n.

Данную сумму называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если и высоты «элементов» стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают .

Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b].

Рассмотрим несколько задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.

1. Задача о перемещении точки.

Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t₁; t₂]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]

Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S(t) – функция возрастающая, ввиду того, что ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t₂)-S(t₁). С другой стороны S(t) есть первообразная функции v(t) (). Таким образом вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t).

Разность S(t₂)-S(t₁) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t₁; t₂] и обозначают так:

.

2. Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t₁; t₂].

Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение

ΔР=FΔt.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t₁; t₂] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t₂)-Р(t₁). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

Разность P(t₂)-P(t₁) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t₁; t₂] и обозначают так:

.

Величина называется также «импульсом силы» за время [t₁; t₂]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.

2. Количество электричества.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).

Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:

.

2. Вытекание воды из сосуда.

Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.

Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t₁; t₂]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t₁; t₂]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t₂)-V(t₁) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t₁; t₂], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t₂)-V(t₁) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t₁; t₂] и обозначают так:

.

Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.

2.2. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

При изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в то же время не должны вводиться свойства, без которых можно обойтись в дальнейшем. Доказательство свойств при разных подходах к введению понятия интеграла может быть разным.

Ниже приведенные свойства интеграла рассматриваются на различных физических моделях.

1⁰. .

Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки.

При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t₁, t₂, …,t_n-1, убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что

, (1)

так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых. [7]

2⁰. .

Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки.

Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить

как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b

. (2)

При помощи соотношения (1) можно распространить формулу (2) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b].

Пусть c>b>a. Тогда очевидно

.

Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (1)

. (3)

Таким образом, получили равенство (3), в точности совпадающее с (2).

Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов). Учащиеся легко могут самостоятельно убедиться, что формула (2) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.[7]

Выведенное свойство называется свойством аддитивности интеграла.

3⁰. , .

Рассмотрим доказательство этих свойств на примерах задачи о работе переменной силы и задачи о давлении жидкости на стенку.

1. Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна

. (4)

С другой стороны, если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F₁(x)+F₂(x). Работа этой силы равна

. (5)

В силу равенства левых частей в формулах (4) и (5), получаем равенство правых, т. е.

.

Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.

Если же к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то их равнодействующая F(x) при F₁(x)>F₂(x) находится по формуле F(x)= F₁(x)-F₂(x). Тогда верно следующее равенство

.

2. Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула

, (6)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

. (7)

В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.

Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.

4⁰. Если на отрезке [a; b], то .

Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.

При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении (приложение).

3. Физические модели при отработке техники интегрирования.

1. Использование свойств интеграла.

№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м. [4]

Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем

(т).

№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)=2t-1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?

Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле

v=v₀+at.

Используя данные задачи, получаем:

.

№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Какова наибольшая высота, достигаемая телом? [5]

Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v₀-gt. Движение вверх будет происходить при v=v₀-gt>0, т. е. при . Таким образом, максимальная высота полета равна

.

2. Введение новой переменной.

№1. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой: (время t в секундах, скорость v в метрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 13 с от начала движения (t=0)?

Решение. В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. Назовем её z,

z=2t+1.

При этом надо также от дифференциала dt перейти к дифференциалу dz. Получим

dz=2dt, dt=dz/2.

Вычислим сначала неопределенный интеграл,

Таким образом,

м/c.

№2. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01; 1], если ток изменяется по формуле .

Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества

dq=I(t)dt.

В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках.

.

Тогда dt=du.

Значит, общее количество электричества равно

.

№3. Точка движется по прямой. В начальный момент t=1 с её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону . Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 с от начального момента времени.

3. Интегрирование путем подстановки (внесением под знак дифференциала).

№1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости равен γ. [6]

Решение. Проведем горизонтальную полоску на глубине х. Сила давления жидкости на эту полоску равна

.

Таким образом,

.

Заметим, что 2xdx=dx², отсюда

.

№2. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, может быть закрыт заслонкой. Определить давление, испытываемое этой заслонкой, если её диаметр равен 60 см, а центр находится на глубине 15 м под водой. [6]

2.4. Приложения интеграла в физике.

Рассмотрим несколько нетривиальных примеров применения интеграла в физике.

Нахождение силы.

№1. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой. [3]

Решение. Разобьем отрезок [c; c+l] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δх, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна

Δх.

Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим

.

№2. С какой силой полукольцо радиуса r и массы М действует на материальную точку массы m, находящуюся в его центре? [3]

Нахождение кинетической энергии.

№3. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. [6]

Решение. Масса кругового кольца толщины dr, находящегося на расстоянии r от центра диска, равна 2πρrdr, где - поверхностная плотность. Линейная скорость υ=ωr кольца. Следовательно, его кинетическая энергия будет:

.

Поэтому кинетическая энергия диска равна

.

№4. Стержень АВ вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси ОО' с угловой скоростью ω=10π рад/с. По­перечное сечение стержня S = 4 см², длина его l = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, γ= 7,8 • 10³ кг/м³. Найти кинетическую энергию стержня. [3]

Решение. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси, равна , где ω – угловая скорость, а J – момент инерции относительно оси вращения.

Момент инерции стержня относительно оси равен Sγl²dl , отсюда кинетическую энергию стержня можно найти по формуле:

(Дж).

№5. Треугольная пластинка, основание которой а = 40 см, а высота h = 30 см, вращается вокруг своего основания с по­стоянной угловой скоростью ω=5π рад/с. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d = 0,2 см, а плотность материала, из которого она изготовлена, γ= 2,2 • 10³ кг/м³. [3]

Нахождение давления.

№6. Найти давление воды на плотину, если вода доходит до её верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой h, верхним основанием а и нижним основанием b.

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине х и имеющей высоту dx.

Легко доказать, что длина этого слоя равна

Поэтому его площадь dS равна

,

а давление dP на него равно

.

Всё давление на плотину выражается интегралом

.[4]

№7. . Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. [4]

Нахождение работы.

№8. Найдите работу переменного тока, изменяющегося по формуле за промежуток времени , если сопротивление цепи равно R. [4]

Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой . Поэтому, учитывая, что имеем:

.

№9. Два точечных электрических заряда +10^-4 и -10^-4 Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Найдите работу, необходимую для того, чтобы развести их на расстояние 10 км. [2]

Решение. Сила взаимодействия F между зарядами равна (a=kq₁q₂, где Нм²/Кл²). Тогда работа этой силы, когда заряд q₁ неподвижен, а заряд q₂ передвигается по отрезку [0,1; 10000] м, равна

.

№10. Какую работу требуется выполнить, чтобы с помощью ракеты тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? [4]

Решение. На тело массы m по закону всемирного тяготения действует сила , где M – масса Земли, а r – расстояние тела от центра Земли. Поэтому

.

На поверхности же Земли, т. е. при r=R имеем F=mg, т. е. и . Отсюда .

№11. . Найти работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу m, из A(a) в B(b), если притягивающая её по закону Ньютона точка имеет массу μ и находится в начале координат. [4]

Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна , где γ – гравитационная постоянная, а r – расстояние между точками. Тогда получаем

.

№12. Из цистерны, имеющей форму прямого кругового конуса радиусом основания R и высотой H, выкачивают воду через вершину конуса. Найдите совершаемую при этом работу. Найдите числовое значение работы при R=3 м, H=5 м, считая плотность воды ρ=1 г/см³.

Заключение

В заключение подведем некоторые итоги проделанной работы.

Были проанализированы различные учебники по теме, рассмотрены различные подходы к изложению исследуемого материала, вследствие чего выделены достоинства и недостатки каждого подхода, на основании этого и в силу необходимости полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления в основной школе, а также в силу недостаточной разработанности методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в школьном курсе математики, была разработана своя методика, также имеющая как свои недостатки, так и достоинства.

Среди недостатков выделим отсутствие универсальности у данной методики. Данное изложение материала на уроках возможно на сегодняшний день только в классах с углубленным изучением математики или физики, либо на факультативных занятиях.

Достоинствами данной методики являются

1. прикладная значимость материала (что в некоторых случаях облегчит работу и учителю физики);

2. эффективность обучения (за счет приведения практических примеров);

3. удовлетворение познавательных интересов учащихся.

Необходимо отметить, что основные цели и задачи, поставленные нами, были достигнуты. Тема «Интеграл», изучаемая с помощью разработанной методики, наиболее выпукло и ярко демонстрирует связь математики с физикой, позволяет полноценно и осознанно усвоить материал по теме.

В данной работе представлены как теоретический материал, так и практические упражнения. Физические модели и явления, рассматриваемые во второй главе, не выходят за рамки школьной программы по физике, а, следовательно, не требуют от учащихся дополнительных знаний по предмету, что удовлетворяет принципу доступности изложения материала, который в свою очередь сочетается с принципом достаточно высокого уровня трудности. Также в данной работе реализованы принципы наглядности (чертежи, графики к задачам), систематичности и последовательности в обучении.

Использование данной методики формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся.

У учителя при использовании данной методики есть возможность выбора пути изложения материала в соответствии с особенностями мышления и восприятия учащихся, а также в соответствии с их подготовкой по математике и физике. Например, учитель классов курса А может взять лишь некоторые факты данной методики, учитель же классов с углубленным изучением математики и физики может использовать всю методику целиком. В любом случае, данная работа может помочь каждому учителю в преподавании темы «Интеграл».

На мой взгляд, применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению школьниками этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике, формированию мировоззрения учащихся.

Библиография

1. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993. – 254 c.

2. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

3. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]: Уч. пособие. - СПб.: Изд-во «Профессия», 2001. – 432 с.

4. Виленкин, Н. Я., Куницкая, Е. С., Мордкович, А. Г. Математический анализ. Интегральное исчисление [Текст]: Уч. пособие для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1979. – 175 с.

5. Задачи как средство обучения алгебре и началам анализа в X классе [Текст]: Уч. пособие// Сост. Е. С. Канин. – Киров: Редакционно-издательский совет Кировского ГПИ имени В. И. Ленина, 1985. – 92 c.

6. Задачник по курсу математического анализа [Текст]: Уч. пособие для студентов заочн. отделений физ.-мат. фак-тов пединститутов. Ч. I// Под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971. – 343 с.

7. Зельдович, Я. Б. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике [Текст]: Уч. пособие для физико-математических средних школ и проведения факультативных занятий. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

8. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 1998. – 365 c.

1. Модели и моделирование в методике обучения физике [Текст]: Материалы докладов республиканской научно-теоретической конференции. – Киров: Изд-во Вятского ГПУ, 2000. – 90 с.

2. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Ч. I. – М.: Мнемозина, 2003. – 375 с.

3. Никольский, С. М. Алгебра и начала анализа [Текст]: Учеб. для 11 класса общеобразоват. учреждений/ С. М. Никольский, М. К. Потапов. - М.: Просвещение, 2003.

Приложение

Опытное преподавание

Конспект факультативного занятия

Тема: Свойства интеграла.

Класс: 11 класс.

Триединая цель:

I. Образовательный аспект:

1. изучить свойства интеграла, продемонстрировать учащимся применение физических моделей при изучении свойств интеграла (межпредметную связь математики и физики);

2. научить применять свойства при вычисления интеграла, при решении задач математики и физики.

II. Развивающий аспект:

3. создать условия для развития практического, абстрактного и логического мышления учащихся.

III. Воспитательный аспект:

4. создать условия для осмысления ценности математических и физических знаний как средства познания мира.

Ожидаемый результат факультатива:

Репродуктивный уровень: знание свойств интегралов, умение применять их для вычисления интеграла.

Конструктивный уровень: умение применять свойства интеграла для решения простейших математических и физических задач.

Творческий уровень: умение применять свойства интеграла для решения нетривиальных текстовых задач с математическим и физическим содержанием.

Методы обучения, применяемые на факультативе:

• Объяснительно-иллюстративный

• Частично-поисковый

Формы организации познавательной деятельности учащихся:

• Фронтальная

• Индивидуальная

Формы контроля:

Контроль со стороны учителя

План:

I. Организация деятельности (1-2 мин.).

II. Актуализация знаний (2-3 мин.).

III. Изучение нового материала (25 мин.).

IV. Решение задач (10-12 мин.).

Литература: [2], [8].

Содержание.

Мотивация: Рассмотрим задачу. Скорость тела задается формулой v(t)=t³-2t²-1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.

Решение. Путь пройденный телом за первые 10 с после начала движения вычисляется по формуле

Как же вычислить интеграл от такой функции?

Для этого рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна

. (1)

С другой стороны, если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F₁(x)+F₂(x). Работа этой силы равна

. (2)

В силу равенства левых частей в формулах (1) и (2), получаем равенство правых, т. е.

.

Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.

Попробуйте самостоятельно доказать, что если к телу приложены две силы F₁(x) и F₂(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то тогда верно следующее равенство

.

Тогда, возвращаясь к исходной задаче, можно сделать следующую запись

.

Как видно из формулы под знаком интеграла остались постоянные множители.

Теперь проверим можно ли за знак интеграла вынести постоянный множитель.

Вспомним рассмотрение задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой была получена формула

, (3)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

. (4)

В силу равенства левых частей в формулах (3) и (4), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.

.

Данное свойство показывает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Тогда применяя это свойство к решению исходной задачи, получаем

.

Выведенные формулы называются свойствами линейности интеграла.

Но интеграл обладает и другими свойствами, которые необходимо знать для решения задач. Одно из таких свойств выглядит следующим образом

.

Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки [с.18].

При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t₁, t₂, …,t_n-1, убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что

, (5)

так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых.

Следующее свойство называется свойством аддитивности интеграла

.

Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки [с.18].

Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить

как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b

. (6)

При помощи соотношения (5) можно распространить формулу (6) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b].

Пусть c>b>a. Тогда очевидно

.

Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (5)

. (7)

Таким образом, получили равенство (7), в точности совпадающее с (6).

Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов), которые нужно самостоятельно разобрать и убедиться, что формула (6) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.

Ещё одно свойство интеграла звучит так:

если на отрезке [a; b], то .

Вспомним формулу для вычисления массы стержня по известной плотности.

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Далее учащимся для самостоятельного решения предлагаются следующие задачи:

1) на вычисление интеграла ([2] стр.264 №11 8)-9), 15)-16), 23));

2) с физическим содержанием ([8] стр.193 №373, 374, 376; [2] стр.269 №3)

Замечание. Данная методика изучения свойств интеграла возможна при условии, что учащиеся знают все используемые при доказательствах формулы. Этого можно добиться, вводя понятие интеграла следующим образом. Методом дифференциалов, а конкретно на задаче о перемещении точки вводится понятие интеграла, затем этим же методом выводится формула для вычисления массы стержня по известной плотности. Далее поясняется, что интегралы можно приближенно вычислять с помощью составления интегральных сумм, и именно с этим методом исторически связано появление понятия интеграл. Этот метод рассматривается на задаче о давлении жидкости на стенку и на задаче о работе силы.

Анализ. Данные свойства интеграла, как известно, можно вывести и другим способом (например, с помощью формулы Ньютона-Лейбница и с использованием свойств площади криволинейной трапеции). Но используемые в доказательствах физические модели, во-первых, наглядны, а, следовательно, легче воспримутся учащимися, позволят лучше запомнить свойства и оставят в памяти учащихся наглядное представление о каждом из свойств. Во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы (а, следовательно, и сами формулы лучше отложатся в памяти учащихся). Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении. Учитывая, что понятие интеграла вводилось через физические модели, а свойства вводятся аналогично, то при данной методике выполняется и принцип последовательности и систематичности в обучении, и принцип доступности. Выше описаны ценные стороны факультатива, но есть и недостаток – данная методика подходит не для всех учащихся. Например, в гуманитарных классах она не применима, данным классам достаточно иметь общее представление об интеграле.