Міністерство освіти і науки України

Тернопільський національний педагогічний університет

імені Володимира Гнатюка

Кафедра природничих і математичних дисциплін та методики їх викладання

ДИПЛОМНА РОБОТА

Формування у другокласників умінь розв’язувати складені задачі

Підготувала

студентка факультету підготовки вчителів початкових класів

Шагай Олександра Михайлівна

Науковий керівник

кандидат педагогічних наук, доцент

Козак Мирослава Василівна

Тернопіль-2009

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………….3

Розділ 1. Теоретичні основи проблеми дослідження…………………………...9

1.1 Роль задач у початковому курсі математики….....………….……….…...…9

1.2 Проблема формування вмінь у другокласників розв’язувати складені задачі.......................................................................................................................24

Розділ 2. формування вмінь учнів розв’язувати складені задачі……..............34

2.1 Пропедевтична робота до введення складених задач…..............................34

2.2 Ознайомлення учнів зі складеними задачами.………….……………..…..45

2.3 Розвиток умінь розв’язувати складені задачі..………….………..………..58

2.4 Організація і зміст експериментального дослідження, аналіз його ефективності…...................................…………………….……………………...73

Висновки………………………………………………………..….….…………79

Використана література…….............………………………………………..….84

Додаток………………………..…………………………….….………………...89

Вступ

Актуальність дослідження. У системі загальної середньої освіти одне із основних місць займає початкова школа, де закладається фундамент розумових, моральних та емоційно-вольових якостей особистості. Курс математики початкових класів є основою для осмисленого засвоєння системи математичних знань, формування умінь і навичок у наступних класах і отримання математичної освіти в цілому.

Важливу роль у курсі математики початкової школи відіграють текстові задачі. Вони, „з одного боку, складають специфічний розділ програми, зміст якого учні мають засвоїти, з другого – виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів” [12, 70].

Розв’язування текстових задач спрямоване на „формування в учнів системи математичних знань, вироблення вмінь і навичок математичного моделювання, обчислення, розвитку прийомів розумової діяльності (планування, пошук раціональних шляхів, критичність тощо)” [5, 148]. Текстові задачі „допомагають розкрити опосередковані зв’язки математики з навколишнім середовищем і практичною діяльністю людей, реалізувати пізнавальні й виховні функції навчання” [19, 14]. Так, сюжети текстових задач для початкових класів відображають працю дітей і дорослих, досягнення країни в різних галузях народного господарства, науки, культури, містять цікаву пізнавальну інформацію з природознавства і т. ін.

Процес „розв’язування текстових задач сприяє формуванню таких розумових дій, як аналіз і синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення тощо” [27, 6]. Від оволодіння вміннями розв’язувати задачі залежить не лише підготовка школярів з математики на даному етапі навчання, а й осмислене засвоєння систематичних курсів алгебри, геометрії, фізики, інформатики у наступних класах.

Проектом Державного стандарту загальної середньої освіти передбачається удосконалення методики навчання учнів початкових класів, а за мету початкового курсу математики ставиться „досягнення кожним учнем рівня навченості не нижче обов’язкового” [58, 4]. Нові вимоги вимагають нових технологій навчання, які б забезпечили і високий рівень теоретичної та практичної підготовки з математики, і переорієнтацію навчально-виховного процесу на особистість учня, на сприятливі умови для досягнення кожним заданого рівня знань, умінь і навичок.

Дані, необхідні для осмислення цілісності і цілеспрямованості формування вмінь розв’язувати текстові задачі, одержані нами в результаті аналізу педагогічної, психологічної і методичної літератури, де є немало цінних ідей і теоретичних узагальнень. Так, праці в галузі педагогічної психології (Л.С.Виготський, П.Я.Гальперін, Г.С.Костюк, О.М.Леонтьєв, Н.Ф.Тализіна, І.С.Якиманська) розкривають зміст поняття ”вміння” і розуміння механізмів його формування у школярів початкової школи. Психологічний та методичний аспект процесу розв’язування задач досліджували Г.О.Балл, Л.Л.Гурова, С.Д.Максименко, Є.І.Машбиць, Н.О.Менчи-нська, Н.А.Побірченко, З.І.Слєпкань, Л.М.Фрідман.

До проблеми розв’язування задач при вивченні математики тією чи іншою мірою зверталися відомі методисти. Особливу увагу розв’язуванню задач як засобу розвитку мислення, формування системи математичних понять, добору задач до підручників у середній школі приділяли Г.П.Бевз, Ю.М.Колягін, І.Ф.Тесленко, А.А.Столяр, Л.М.Фрідман, у початковій школі – М.О.Бантова, Г.В.Бельтюкова, М.В.Богданович, Г.В.Гап’юк, М.М.Левшин, М.Г.Моро, Я.А.Король, М.В.Козак, Л.П.Кочіна, А.С.Пчолко, Н.Уткіна та ін.

Заслуговують на увагу ряд досліджень, які розкривають проблеми навчання математики учнів початкових класів в цілому і розв’язування задач зокрема. Так, В.Є.Гергенова досліджувала текстові задачі як засіб формування математичних понять, О.І.Гришко і Т.С.Михайлович розглядали питання формування логічних умінь у процесі розв’язування задач, Л.С.Іванова розробляла методи попередження типових математичних помилок, Г.П.Лишенко досліджував проблему вдосконалення системи задач для початкових класів [68, 22-23].

Позитивно оцінюючи наукову і практичну значущість праць з даної проблеми, необхідно, разом з цим, відзначити, що ряд аспектів формування вмінь розв’язувати текстові задачі залишилися нерозкриті, зокрема - обсяг теоретичних знань про текстову задачу і процес її розв’язування у початкових класах; визначення рівнів програмних вимог до вироблення вмінь учнів початкової школи розв’язувати текстові задачі; добір різнорівневих завдань, спрямованих на формування вмінь розв’язувати задачі; способи раціонального поєднання фронтальної, групової та індивідуальної форм роботи на уроках математики при розв’язуванні задач в кожному конкретному класі у початковій ланці школи.

Крім того, „традиційна методика формування вмінь розв’язувати текстові задачі орієнтована на ”середнього” учня” [1, 21]. Вона не враховує зміст та основні ідеї проекту Державного стандарту загальної середньої освіти в Україні, зокрема ідеї рівневої диференціації навчання та орієнтацію її результатів на навчальні можливості школярів. Також недостатньо досліджені методичні особливості ознайомлення молодших школярів із складеними задачами, що відбувається у 2 класі.

Таким чином, актуальність дослідження зумовлена його значущістю для розробки удосконаленої методики розв’язування складених задач у 2 класі початкової школи, яка враховує особливості навчальної діяльності учнів під час розв’язування текстових задач, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь розв’язувати текстові задачі, різнорівневі вимоги до математичної підготовки школярів. Виявлення шляхів удосконалення методики формування вмінь розв’язувати складені задачі у 2 класі і складає проблему нашого дослідження.

Мета дослідження – розробити, теоретично обґрунтувати і експериментально перевірити методичну систему (мета, зміст, організаційні форми, прийоми і засоби) формування вмінь учнів 2 класу розв‘язувати складені задачі.

Відповідно до мети дослідження були поставлені такі завдання:

На основі аналізу психологічної і навчально-методичної літератури, практики навчання з’ясувати стан досліджуваної проблеми.

Розкрити зміст і операційний склад умінь учнів розв‘язувати текстові задачі; визначити психолого-методичні засади їх формування.

Визначити рівні та особливості навчальної діяльності учнів початкової школи під час розв’язування складених задач.

Розробити систему завдань, спрямованих на удосконалення умінь другокласників розв’язувати складені задачі.

Експериментально перевірити удосконалену методику формування вмінь розв‘язувати складені задачі у 2 класі.

Об‘єкт дослідження – процес формування у другокласників вмінь розв’язувати складені задачі.

Предмет дослідження – шляхи удосконалення умінь розв’язувати складені задачі.

Гіпотеза дослідження: якщо, навчаючи розв‘язуванню текстових задач, враховувати зміст і операційний склад умінь, рівні програмних вимог їх формування, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь, принципи добору завдань, то це підвищить ефективність навчання учнів розв’язувати складені задачі, а отже, рівень математичного розвитку школярів і підготовку їх з математики в цілому.

Для вирішення завдань використані такі методи дослідження:

 теоретичні – аналіз психологічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження (уточнення понятійного апарату, розкриття змісту вмінь і закономірностей їх формування); семантичний аналіз текстових задач (з’ясування структурних компонентів задачі і зв’язків між ними); моделювання педагогічних ситуацій, аналіз та обробка результатів педагогічного експерименту методами (підтвердження ефективності експериментальної методики);

 емпіричні – спостереження, анкетування, бесіди з учнями і вчителями, вивчення передового досвіду вчителів, констатуючий експеримент (з’ясування недоліків традиційного навчання, встановлення рівнів сформованості вмінь); формуючий експеримент (апробація запропонованої методичної системи, підтвердження гіпотези дослідження).

Методологічною основою дослідження є системно-структурний підхід до аналізу навчальної діяльності; психологічна теорія поетапного формування розумових дій і понять; загальнодидактичні та методичні положення розвивального навчання; результати дослідження вітчизняних і зарубіжних психологів, дидактів і методистів про закономірності навчально-виховного процесу. Дослідження ґрунтувалося на основних положеннях Закону України "Про Освіту", державної національної програми "Освіта (Україна ХХІ століття)" про зміст і завдання загальноосвітньої підготовки учнів та концепції базової математичної освіти в Україні.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що визначено зміст і операційний склад вмінь розв’язувати складені задачі, рівні програмних вимог до їх вироблення; обґрунтовано обсяг теоретичних знань про складену задачу і процес її розв’язування; розроблена система завдань, спрямованих на формування у другокласників умінь розв’язувати складені задачі; визначено наукові підходи до добору методів, прийомів, засобів та організаційних форм вироблення вмінь розв’язувати складені задачі з урахуванням особливостей навчальної діяльності учнів 2 класу.

Теоретичне значення дослідження полягає у з’ясуванні місця та ролі складених задач у процесі навчання другокласників математики; у визначенні психолого-методичних засад формування вмінь розв’язувати складені задачі у 2 класі; у розробці методичної системи вироблення вмінь (мета, зміст, організаційні форми, прийоми, засоби), яка враховує опера-ційний склад умінь розв’язувати складені задачі та особливості навчальної діяльності учнів 2 класу.

Практичне значення дослідження зумовлюється тим, що розроблена методика забезпечує ефективне вироблення у другокласників вмінь розв’язувати складені задачі; принципи відбору складених задач для 2 класу можуть бути використані при написанні методичних посібників; розроблена методика може бути впроваджена в практику роботи початкової школи.

Вірогідність наукових результатів і висновків дипломної роботи забезпечена методологічною обґрунтованістю її вихідних теоретичних положень, адекватністю методів дослідження його меті і завданням, тривалістю і широтою педагогічного експерименту, результатами обробки кількісних і якісних даних експериментального дослідження.

Структура і обсяг дослідження. Дипломна робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел, додатків. Загальний обсяг роботи – 91 сторінка.

Розділ 1. Теоретичні основи проблеми дослідження

1.1 Роль задач у початковому курсі математики

Основним засобом, який використовується при вивченні математики для формування знань, умінь і навичок учнів, є задачі. Задачі являються засобом реалізації загальноосвітньої, виховної і розвиваючої цілей. Для формування виділених елементів теоретичних знань і оволодіння учнями відповідними їх видами діяльності необхідно розглядати систему задач, що забезпечує засвоєння навчального матеріалу.

За останні роки в педагогічній психології, дидактиці й методиці навчання математики були проведені дослідження з різних проблем теорії задачі. Значний внесок зробили: Н.Г.Амнєєв, Г.О.Балл, М.І.Бурда, Л.Л.Гурова, В.В.Давидов, О.М.Матюшкін та багато інших. У цих дослідженнях вирішуються кардинальні питання постановки задач, їх структури, методики навчання розв’язання задач, зв’язків з відомим в умовах, коли суб’єкт не має способу (алгоритму) цієї дії.

На думку К. О. Славської, „задача з психологічної точки зору – це не тільки об’єктивна вихідна ситуація, а насамперед задача, що виникає для людини, тобто об’єктивна вихідна проблемна ситуація, об’єктивне вихідне співвідношення умов і вимоги, що створює невідповідність між ними” [68, 22]. Задачу мають розглядати як особливу форму пізнання дійсності. Тому вона сама виступає як об’єкт, що детермінує процес мислення людини.

Якщо аналізувати психологічний аспект розв’язування задач, то дослідники відмічають тісний зв'язок цього процесу з мисленням особистості. Усі компоненти мислення (змістовий, операційний та процесуальний) виявляються в мисленнєвій діяльності особистості. Ця діяльність виникає і формується як процес за умов проблемної ситуації і задачі. Первинно виникає проблемна ситуація, тобто „конфлікт, суперечність між обставинами та умовами – між наявними знаннями і актуальним потребами” [4, 41]. Це малоусвідомлений процес невизначеності: “Що не так? Що не таке?” тощо.

Усвідомлення проблемної ситуації становить уже перший етап у її розв'язанні. На другому етапі відбувається „вирізнення відомого і невідомого. Внаслідок цього проблемна ситуація перетворюється на задачу” [11, 289]. У структурі задачі вирізняють умову та вимоги. Для характеристики умови використовують такі ознаки, як звичність-незвичність ситуації, а також характер поставленої умови (словесний опис, зображення, реальна ситуація) і ступінь вираження в ситуації суттєвого відношення між відомими і невідомими величинами, що є ключовим у розв'язанні задачі.

Задачі мають задум (ідею, зміст). Важливою характеристикою вимог є чіткість їх формулювання [3]. Задачу характеризує також співвідношення між умовами і вимогами. В умові можуть міститися всі елементи; необхідні для розв'язання задачі, можуть бути зайві елементи тощо.

Прикладом нашого підходу до поняття задачі є трактування, що його дав Р. В. Загоруй. Він пише: “Задача – це більш-менш визначені системи інформаційних процесів, неузгоджене або навіть суперечливе відношення між якими викликає потребу в їхньому перетворенні. Суть розв’язання саме і полягає у пошуках подолання шляхів такої неузгодженості” [19, 14].

Р.Е.Басангова визначає задачу як “як об’єкт розумової діяльності, що містить вимогу деякого практичного перетворення або відповіді на теоретичне питання за допомогою пошуку умов, що дозволяють розкрити зв’язки (відношення) між відомими і невідомими її елементами” [4, 42].

З методичної точки зору поняття “задача” розглядається в роботах М. І. Бурди, Ю. М. Колягіна, В. І. Крупіча, Г. І. Саранцева й ін.

П.І.Сорокін під задачею розуміє „об’єкт розумової діяльності, що містить вимогу і деякі умови, за яких, ця вимога має бути досягнута” [62, 37]. Отже, задача повинна мати такі ознаки: бути носієм знань і умінь, а також засобом їх засвоєння; способом організації і керування пізнавальною діяльністю учнів; однією з форм прояву методів навчання; засобом зв’язку теорії з практикою.

Поняття ”математична задача” розглядалося в працях Г.А.Балла, Г.П.Бевза, Є.С. Березанської, М.В.Богдановича, П.М.Ерднієва, Ю.М.Колягіна, Л.М.Фрідмана та ін. Серед математичних задач в окрему групу виділяються текстові. До текстових відносимо задачі, в яких описується кількісна або якісна сторона реальних процесів, явищ чи ситуацій та міститься вимога знайти шукану величину, що знаходиться у зв’язку із даними в задачі величинами.

У загальній системі навчання математики „розв'язування задач є одним з видів ефективних вправ. Розв'язування задач має дуже велике значення насамперед для формування в дітей повноцінних математичних понять, для засвоєння ними теоретичних знань, визначених програмою” [65, 13]. Так, якщо хочемо сформувати в школярів правильне поняття про дію додавання, необхідно, щоб діти розв'язали достатню кількість простих задач на знаходження суми, виконуючи щоразу операцію об'єднання множин.

Отже, задачі є тим конкретним матеріалом, за допомогою якого в дітей формуються нові знання і закріплюються в процесі застосування вже здобуті знання. Виступаючи в ролі конкретного матеріалу для формування знань, задачі дають можливість пов'язати теорію з практикою, навчання з життям. Розв'язування задач формує в дітей практичні вміння, потрібні кожній людині в повсякденному житті. Наприклад, обчислити вартість покупки, ремонту квартири; визначити, о котрій годині треба вийти, щоб не запізнитись на поїзд, тощо.

Використання „задач як конкретної основи для ознайомлення з новими знаннями і застосування вже здобутих дітьми знань відіграє дуже важливу роль у формуванні в них елементів світогляду” [10, 169]. Розв'язуючи задачі, учень упевнюється в тому, що багато математичних понять (число, арифметичні дії тощо) випливають з реального життя, з практики людей. Через розв'язування задач діти ознайомлюються з важливими фактами, які мають пізнавальне і виховне значення. Так, зміст багатьох задач, які розв'язують у початкових класах, відображає працю дітей і дорослих, досягнення нашої країни в галузі народного господарства, техніки, науки, культури.

Задачі є „і предметом і засобом навчання. Вони є основним засобом забезпечення зв'язку навчання із життям, політехнічного направлення в навчанні, здійснення міжпредметних зв'язків всередині математики і останньої з іншими навчальними предметами” [7, 165]. На уроках математики навчальний процес в більшості випадків слідує від задач до теорії, а потім від теорії до задач: задачі => теорія => задачі.

Задача – це «сформульоване запитання, відповідь на яке можна знайти за допомогою арифметичних дій» [3, 151]. З визначення задачі випливає, що в ній обов’язково має міститись якесь запитання. Без запитання задачі немає. Оскільки відповідь на запитання задачі дістаємо в результаті виконання арифметичних дій, очевидно, в ній повинна міститися вимога визначити те чи інше число (або числа) – шукане і, крім того, повинні вказуватися ті числа, за допомогою дій над якими можна знайти шукане. Тому обов’язковими елементами будь-якої арифметичної задачі є невідоме (шукане) число (чи кілька таких) і дані числа.

В навчанні математиці виділяють найбільш важливі функції задач: навчальні, виховні, розвиваючі, контролюючі [19, 14].

Навчальні функції спрямовані на формування у школярів системи математичних знань, умінь і навичок (як передбачених програмою, так і таких, що розширяють, поглиблюють її зміст) на різних етапах навчання.

Виховні функції спрямовані на формування пізнавального інтересу, самостійності, навичок навчальної праці, культури математичної мови, графічної культури.

Розвиваючі функції спрямовані на розвиток мислення в учнів, просторових уявлень, на оволодіння ними ефективними прийомами розумової діяльності.

Контролюючі функції спрямовані на встановлення рівня навчання, здібності до самостійного вивчення матеріалу, рівня математичного розвитку учнів і сформованості пізнавальних інтересів.

У зв'язку з великою кількістю видів математичних задач розглянемо існуючі їх класифікації. Зокрема, у методичній літературі можна знайти наступні класифікації [17, 116-117].

1. За кількістю невідомих у структурі задач. Ю.М.Колягін пропонує їх класифікувати на навчальні, пошукові та проблемні.

2. За характером об'єктів задачі поділяють на практичні та математичні.

3. За відношенням до теорії виділяють стандартні та нестандартні задачі. У ролі основної ознаки стандартних задач вказано наявність у курсі математики таких загальних правил і положень, що однозначно визначають програму розв'язання цих задач та виконання кожного кроку цієї програми (тобто мають свій алгоритм розв'язування). Нестандартні задачі - це такі, для яких у курсі математики не існує загальних правил або положень, що визначають точну програму їх розв'язання.

4. За функціями у процесі навчання розрізняють дидактичні, пізнавальні та розвиваючі задачі. Задачі з дидактичними функціями використовують для підготовки учнів до введення нового матеріалу, а також при його закріпленні: вони несуть функцію застосування теорії, що вивчається. Задачі з пізнавальними функціями мають за мету відпрацювати та поглибити основний зміст математичної дисципліни. Задачі з розвиваючими функціями – це ті, розв'язування яких потребує певних знань та вмінь, не передбачених програмою. Саме ці задачі спрямовані на розвиток мислення.

5. Задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну діяльність; організують та здійснюють навчально-пізнавальну діяльність учнів; задачі, у процесі виконання яких здійснюється контроль та самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності.

6. Задачі для початкової школи класифікують за змістом: задачі на рух, задачі на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного.

7. За характером вимоги у початковому курсі математики виділяють задачі на обчислення, задачі на побудову, задачі текстові, задачі комбінованого характеру.

Наведені класифікації дозволяють ширше уявити собі проблеми, пов'язані з методикою навчання молодших школярів розв'язувати задачі, спрямовуючи цей процес на розвиток мислення.

Загалом задачі у початковому курсі математики класифікують на прості і складені [20, 28-29]. При цьому до простих належать 25 видів задач (на розкриття змісту арифметичних дій; на розкриття відношень між числами; задачі, що розкривають зв’язки між компонентами і результатами арифметичних дій; задачі на збільшення (або зменшення) числа на кілька одиниць (чи в кілька разів) та ін.).

Прості задачі часто використовуються початковому курсі математики і при ознайомленні учнів з іншими сюжетами задач у справі формування в дітей уявлень про величини, їх вимірювання, про зв’язки, які існують між такими величинами, як ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, число предметів і загальна маса; швидкість, час і пройдений шлях; довжина і ширина прямокутника та його площа; норма виробітку за одиницю часу, затрачений час і загальний виробіток, норма витрати яких-небудь матеріалів на один виріб, число виробів і загальна витрата матеріалів на них тощо. Такі задачі розглядаються в 1-4 класах поступово, в міру розширення кола величин, що вводяться у зв’язку з вивченням відповідних питань і на матеріалі інших вправ.

Аналогічно тому, як прості задачі використовуються для створення наочної опори при розгляді таких питань теорії, як, скажімо, зв’язок між компонентами і результатами дії, значна „група складених задач допомагає дітям усвідомити властивості розглядуваних дій” [36, 19]. Це задачі, що ілюструють властивості додавання і віднімання, що вивчаються в 1 класі, а також властивості множення й ділення, розглядувані в 2-4 класах.

У початковому курсі математики арифметичні задачі використовуються протягом усіх чотирьох років навчання. „Система їх розміщення, природно, збігається з логікою розгортання понять, що вводяться, ознайомлення з арифметичними діями і їх властивостями. Особливість задач, які для цього відбираються, максимальна їх простота” [37, 45]. Вони мають бути цілком зрозумілі, близькі дітям за сюжетом, просто викладені, без будь-яких незрозумілих, нових для дітей слів, які б потребували додаткових пояснень. Саме цій меті підпорядкована більша частина задач, широко представлених у програмі і в підручниках для кожного року навчання.

У структурному відношенні текстові задачі складаються з умови і вимоги. Умова і вимога задачі включають в себе дані (відомі, невідомі, шукані), їх числове значення і зв’язки між ними. У результаті встановлення взаємозв’язків між умовою й вимогою визначається оператор задачі – окрема дія (при розв’язуванні простих задач) або сукупність дій (при розв’язуванні складених) та їх обґрунтування.

Формування умінь розв’язувати складені задачі – одне із головних і складних завдань програми шкільного курсу математики в початкових класах. Складність цього завдання зумовлена багатьма факторами. Однак найбільш суттєвим є той, що в методиці навчання математики в початковій ланці освіти залишилися нереалізованими такі загальнодидактичні принципи, як-от: науковості, послідовності, систематичності, зв’язку теорії з практикою, індивідуального підходу та ін.

Так, ще Я.А.Коменський зазначав, що „міцно засвоюється лише те, що добре обґрунтовано” [40, 14]. Отже, розв’язання тієї чи іншої задачі має бути науково обґрунтованим. Для цього учні повинні знати найелементарнішу класифікацію задач і вміти визначити, до якого саме виду належить та чи інша задача.

Сам „процес розв'язування задач за певної методики позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, оскільки він потребує виконання розумових операцій: аналізу і синтезу, конкретизації і абстрагування, порівняння, узагальнення” [44, 14]. Так, „під час розв'язування будь-якої задачі учень виконує аналіз: відокремлює запитання від умови, виділяє дані і шукані числа; складаючи план розв'язання, він виконує синтез, користуючись при цьому конкретизацією (в думці «малює» умову задачі), а потім абстрагуванням (абстрагуючись від конкретної ситуації, вибирає арифметичні дії)” [51, 74]; внаслідок багаторазового розв'язання задач певного виду учень узагальнює знання зв'язків між даними і шуканим, чим узагальнюється спосіб розв'язування задач цього виду.

У процесі дослідження конкретизовано мету і етапи розв’язування текстових задач (сприйняття і первинний аналіз тексту задачі; пошук і складання плану розв’язування; здійснення розв’язання; контроль і корекція), систему операцій, яка розкриває діяльність учня під час розв’язування задач.

Проаналізуємо поняття “вміння розв’язувати текстові задачі”. Під вмінням розуміємо „готовність і здатність учнів початкової школи самостійно і свідомо розв’язувати задачі” [52, 16]. В процесі навчання математики доцільно виділяти окремі й узагальнені вміння. До окремих вмінь відносять вміння розв’язувати задачі певного виду. Якщо учень переносить засвоєні дії на нові види задач, правильно і самостійно розв’язує текстові задачі широкого кола, то відповідні вміння є узагальненими. Кінцевим результатом навчання є узагальнені вміння. Загальне вміння розв’язувати текстову задачу утворює складний комплекс, що включає активне оперування математичними знаннями і відповідними вміннями й навичками, досвід у застосуванні знань і певну сукупність розумових дій, які необхідні для розв’язання.

Аналіз діяльності учнів початкових класів під час розв’язання текстових задач дозволив виявити структуру даного вміння. Остання включає „знання, специфічні для формування вмінь розв’язувати текстові задачі певного виду (наприклад, обґрунтовуючи знання) і знання, інваріантні для загального вміння (знання про текстову задачу, її склад та процес розв’язування)” [41, 82].

Психологічною основою формування вмінь розв’язувати текстові задачі є основні положення теорії поетапного формування розумових дій (О.М.Леонтьєв, П.Я.Гальперін, Н.Ф.Тализіна та ін.) у синтезі з основними положеннями асоціативно-рефлекторної теорії (Д.Н.Богоявленський, Є.Н.Кабанова-Меллер, Н.О.Менчинська та ін.).

Вчені-методисти виділяють такі загальні етапи формування вмінь розв’язувати текстові задачі (підготовчо-мотиваційний, ознайомлення, закріплення, вдосконалення, контролю і корекції знань і вмінь) [66, 39].

Аналіз досліджень з методики математики свідчить про те, що в проблемі навчання молодших школярів розв'язувати задачі є значні досягнення [14]. Так, з'ясовано можливість застосування алгебраїчного методу розв'язування задач, визначено основні напрями роботи у виробленні в учнів уміння загального підходу до розв'язування задач, виявлено доцільність опрацювання взаємно обернених задач, з'ясовано роль задач підвищеної трудності у навчанні і розвитку, уточнено класифікацію простих задач тощо. Проте є ще й нерозв'язані питання з проблеми використання математичних задач у початковій школі.

Дослідженнями вітчизняних психологів встановлено три основні типи активності учнів: репродуктивно-наслідувальний, пошуково-виконав-чий і творчий [5; 11; 40]. Кожний із зазначених типів активності виявляється і розвивається в школярів під час роботи над задачею. Так, перший тип активності, що виявляється під час засвоєння учнями предметних дій і мовних форм, дає їм змогу успішно засвоїти дії співвіднесення та вибору і виділяти в змісті навчального матеріалу раніше вивчені та нові поняття. Другий тип активності виявляється в тому, що учні можуть самостійно аналізувати зміст задачі, встановлювати зв'язок між відомими і невідомими величинами. Основним виявом третього типу активності є уміння учнів самостійно аналізувати задачу і оригінальним способом її розв'язувати.

Зауважимо, що „той чи інший тип активності потребує, щоб у навчанні було створено ситуації, в яких би учні виконували нові за змістом завдання і вчились застосовувати раціональні способи дій” [11, 321]. Якщо таких ситуацій на уроці не буває, в учнів не виникає потреби в оволодінні діями і операціями, які сприяють переходу їх на вищий рівень активності. Тривале перебування учнів в стані одного певного типу активності гальмуватиме їх загальний психічний розвиток.

Отже, рівень активності учня істотно впливає на його готовність сприймати задачу й знаходити спосіб її розв'язування [3, 186].

Готовність учнів сприймати задачу залежить також від того, як організовує вчитель аналіз учнями задачного матеріалу. Зазначимо, що „в процесі сприймання задачі учні повинні встановити логічний зв'язок між умовою і кінцевою вимогою задачі, усвідомити основне значення вимоги” [9]. При створенні умов, які забезпечують формування в учнів готовності сприймати задачу, великої уваги заслуговує додержання принципу комплексності. Суть цього принципу полягає в тому, щоб «у процесі аналізу задачі учні складали певні судження, робили узагальнення, встановлювали раціональний спосіб розв'язування» [21, 24].

Принцип комплексності у формуванні готовності сприймати задачу — це також „спеціальна організація процесу засвоєння прийомів розумової діяльності: осмислено сприймати і запам'ятовувати, аналізувати, порівнювати, узагальнювати і конкретизувати задачний матеріал, користуватися формулами” [48, 92]. Сприймаючи задачу, учні виконують цілий ряд розумових і практичних дій: виділяють із змісту важливу для її розв'язання інформацію, зіставляють між собою складові частини задачі, встановлюють між ними зв'язок, складають орієнтовний план розв'язування.

Систематизуючи задачі, які вміщено в підручниках з математики для 1—4-х класів, слід виходити з концепції поділу задач на дві групи. До першої групи належать задачі, які складають «задачний мінімум» (програмний мінімум), до другої — всі інші. Межа між задачами першої і другої групи рухома. Задача, яка належить до програмного мінімуму у 2 чи 3 класі, в 1 класі використовується тільки з пропедевтичною метою. Так, у 1 класі задачі на знаходження добутку або частки двох чисел належать до другої групи, а в 2 класі — це вже задачі програмного мінімуму.

У початкових класах учні розв'язують задачі майже на кожному уроці з математики, міра навантаження при цьому різна. Для ознайомлення з новими видами задач здебільшого відводяться окремі уроки. Певна частина таких уроків планується також для розвитку вмінь учнів розв'язувати задачі. На уроках, присвячених вивченню нового арифметичного матеріалу чи застосуванню нових знань, для розв'язання задач, відводиться в середньому 15-20 хв. [53].

Урок, на якому проводиться ознайомлення із задачами нового виду, структурно ближчий до комбінованого. В нього входять усні вправи на формування навичок швидких обчислень, повідомлення учням мети уроку, підготовку їх до свідомого сприймання задачі нового виду, пояснення як початок формування вмінь розв'язувати задачі нового виду, закріплення і завдання додому. Відмінність такого уроку від звичайного комбінованого в тому, що кожна його складова частина підпорядкована головній меті — ознайомленню із задачею нового виду.

При розв'язуванні задачі нового виду учень повинен сприйняти її в цілому, застосувати певні знання чи прийоми обчислень в нових умовах, а також усвідомити нові функції об'єкта. Отже, розв'язування задач — це творчий процес. Враховуючи вимоги, які ставляться щодо проблемного навчання, вчитель має спрямовувати учнів на самостійне розв'язування задач за допомогою відповідних підготовчих вправ чи засобів унаочнення, своєчасно виявляти помилкові міркування в процесі розв'язування і подавати їм допомогу (але не послаблювати вольових зусиль), підтримувати емоційний тонус і впевненість у тому, що кожен з них спроможний самостійно розв'язати задачу [14, 18].

Практика розв'язання задач веде до вдосконалення вміння їх розв'язувати. Одним з показників його є згортання процесу міркування, потрібного для розв'язання задачі. У ньому випускаються судження загального характеру (судження обґрунтування, судження, що несуть в собі правила дії), вони не формулюються, хоч розумові дії і відбуваються згідно з ними. Формулюються переважно оперативні судження, через які загальні положення застосовуються до умови даної задачі. Важливу роль у цьому процесі відіграють узагальнені асоціації, які є основою «згорнених умовиводів» [4, 43].

Усвідомлення проблеми, особливо нової, несподіваної і життєво актуальної, характеризується рядом переживань, до яких належать передусім почуття здивування, почуття нового. Почуття породжується також самим ходом розв'язання завдання, труднощами, з якими людина зустрічається при цьому, успіхами й невдачами, внутрішніми суперечностями між зробленими висновками і новими фактами з завершенням роботи над задачею. Ці емоції не тільки супроводять процес мислення, а й впливають на нього, надаючи йому жвавості, пристрасності.

Розв’язування задачі включає і вольові компоненти. Воно потребує „наполегливості в переборенні труднощів, з якими людина при цьому зустрічається, сили її волі” [21, 26]. Факти з творчої діяльності вчених, винахідників цілком підтверджують цю думку. Коли б той, хто дивується винахідливості генія, міг поглянути на самий процес цих винаходів, то став би дивуватися не тільки розумові, а й силі волі, пристрасті і наполегливості винахідника.

Таким чином, процес розв'язання задач приводить в дію всі психічні сили особистості. Розв'язує задачі не сама по собі думка, а особистість, яка думає, прагнучи до пізнання що непізнаних, життєво важливих для неї зв'язків і відношень речей [17, 118].

Процесові розв'язування людиною будь-якої задачі передує її постановка. Цей етап важливий у всіх задачах, однак особливо в тих, які виникають у практичній трудовій діяльності. „Вміння знаходити майбутню задачу — проблемну ситуацію — одна з провідних властивостей мислення практика-професіонала” [22, 50]. Проблемна ситуація найчастіше не усвідомлюється повністю й існує постільки, оскільки в ній, так би мовити, «присутня» людина, яка її виявила.

Задача відрізняється від проблемної ситуації тим, що вона усвідомлена суб'єктом, об'єктивована й найчастіше описана словесно або в іншій знаковій (числовій, графічній) формі. Постановка задачі містить її аналіз і розуміння на певному рівні, попереднє визначення задуму рішення, стратегії, плану дій. Вона обов'язково передбачає врахування можливих реально доступних і наявних засобів розв'язання задачі.

Під засобами розв'язування розуміються „матеріальні, матеріалізовані та ідеальні об'єкти, що безпосередню не входять до умов задачі, але залучаються до її розв'язання” [40, 85]. У цьому сенсі матеріальним засобом розв'язування є і олівець, яким пише людина, і верстат, на якому виготовляється деталь, і комп'ютер, на якому обчислюються дані для проектування.

З поняттям «засоби розв'язування» пов'язане поняття «стратегія розв'язування». У психологічній літературі існує кілька стратегій розв'язу-вання задач. Відоме визначення В.О.Моляко, за яким „стратегія — це домінуюча тенденція в інтелектуальній поведінці суб'єкта, що розв'язує задачу” [11, 387]. Стратегія передбачає вміння поставити й проаналізувати нову задачу, здійснити пошук найадекватнішої гіпотези розв'язання і саме розв'язування.

Цей термін необхідно співвіднести з такими, як «метод», «спосіб», «прийом» розв'язування та ін., які визначають сукупність (послідовність, систему) дій (операцій, кроків), що забезпечують розв'язання задачі. Інакше кажучи, «метод», «спосіб» та інші терміни такого типу належать до процесу розв'язування задачі в його виконавчій, реалізаційній частині. Стратегія ж стосується механізмів, які керують процесом розв'язування і породжують послідовність виконуваних дій [3]. Визначити стратегію можна як систему засобів і рекомендацій щодо їх перетворення в процесі розв'язування.

„Стратегія в розвиненому вигляді формується у професіоналів, здебільшого визначаючи індивідуальний стиль їхньої діяльності, загальні підходи до постановки й розв'язування нових задач” [48, 60]. Практичного працівника навчають так званих початкових (робочих) стратегій, а далі професіонал, нагромаджуючи практичний досвід, перетворює їх у міцніші й ефективніші процедури, пов'язані з індивідуальною підсистемою засобів професійної діяльності та індивідуальними прийомами роботи з ними.

Зазначені підходи до поняття задачі та процесу її розв'язування використовуються в проблемному навчанні для організації такої діяльності школяра, яка сприяє не тільки засвоєнню ними знань, умінь, навичок, а й розвиває творчі здібності, формує творчий потенціал.

До схеми розв'язування задач входять основні етапи (усвідомлення і розуміння задачі, складання та здійснення плану, рефлексія — погляд назад, аналіз пошукового процесу), які вказують на послідовність дій, необхідних для правильного розв'язку задачі [54, 368]. Вибір практичної дії (способу) не має відбуватися шляхом спроб і помилок, тобто безпосереднього маніпулювання можливостями елементів, а потім виважування вдалих і невдалих результатів такого шукання.

Пошук розв'язання слід будувати на вивченні особливостей елементів і припущенні про можливий шлях розв'язання задачі (антиципація). Цей шлях припускає один спосіб розв'язання задачі й водночас ігнорує інші, що скорочує пошуковий процес загалом. Вибір різних варіантів дії відбувається на основі досвіду особистості, спираючись на який доводиться шукати подібну й успішно розв'язану задачу, порівнювати її з тою, яку потрібно розв'язувати.

Якщо остання задача схожа за своєю сутністю з тими, що є у досвіді суб'єкта, то вона підводиться під певний тип, а далі, як пишуть Дж.Міллер, Ю.Галантер, К.Прібрам, досліджуючи значення планування в інтелектуальній діяльності, розв'язується за систематичним планом, тобто за алгоритмом [51, 74]. Отже, цей спосіб розв'язання задачі ґрунтується на згадуванні про спосіб розв'язку подібних задач, про дії, які використовували для їх перетворення. Цей шлях надійний, але може бути тривалим.

Альтернативним способом може бути евристичний шлях, тобто така діяльність суб'єкта, яка дає змогу розв'язати нетипову задачу. Евристичними є „доцільні прийоми, які суб'єкт виробив у процесі розв'язання задачі і які здатний свідомо переносити на інші задачі. Наука, що вивчає закономірності евристичної діяльності людини, називається евристикою. Евристична діяльність відрізняється від алгоритмізованої тим, що вона не шукає готової схеми дій для розв'язання задачі, а створює нову схему дій (новий спосіб)” [59, 167].

Процес розв'язання задачі залежить від установки. Як оперативні компоненти до цього процесу входять сприймання, уявлення, поняття, судження, умовиводи, міркування, емоційні та вольові компоненти. Отже, у процесі розв'язання задач актуалізуються всі психічні сили людини. Особливо важливу роль у цьому процесі відіграють розумові дії.

Істотний вплив на ефективність розв'язування задач мають ставлення суб'єкта до цієї діяльності, його установки [54]. Установка виявляється як стан змобілізованості, готовності до дії, тому є механізмом регуляції мисленнєвої діяльності, формою спрямованості на розв'язування конкретної задачі. Виникнення установки залежить від наявності потреби в розв'язанні задач та від особливостей ситуації задоволення цієї потреби. А тому готовність до розв'язування задачі виникатиме тоді, коли діє підсилена мотивація, коли суб'єкт уже досяг колись успіху в цій діяльності й відчуває щодо неї свою адекватність.

Уміння розв’язувати текстові задачі виробляються ефективно, якщо:

1) подавати повну орієнтовну основу дій;

2) при первинному поясненні розгорнуто подавати зразок розв’язування задачі з фіксацією складових операцій;

3) опрацьовувати виконання окремих дій, які входять до складу загального вміння шляхом розв’язання спеціальних вправ;

4) використовувати різні види моделей задачної ситуації;

5) забезпечувати різні види діяльності (репродуктивну, продуктивну, творчу) та тривалість процесу формування вміння [66, 41].

Отже, у початкових класах учні ознайомлюються із різновидами арифметичних задач. Вивчення задач різних видів є важливим засобом формування у молодших школярів математичних уявлень і понять. Усвідомлення їх є важливим як для практично-життєвої підготовки учнів, так і для подальшого засвоєння математичних знань у середніх класах.

1.2 Проблема формування вмінь у другокласників розв’язувати складені задачі

Традиційно ознайомлення з поняттям “складена задача” здійснюється в 2-му класі на задачах на знаходження остачі, й ці задачі пропонуються учням майже протягом усієї теми. Але учні запам’ятовують спосіб розв’язування і при розв’язуванні нової задачі наслідують його, не звертаючись до розгорнених міркувань. Тому „ознайомлення з поняттям “складена задача” та процесом її розв’язування проводиться на різноманітних математичних структурах задач” [20, 28]. Такий підхід спонукає учнів до засвоєння дій з розв’язування задачі, а не до заучування плану розв’язування.

Складені арифметичні задачі відіграють важливу роль у навчанні дітей тих загальних прийомів розумової діяльності, які необхідні для розв’язання будь-якої задачі: а) аналізувати, виділити відоме і невідоме; б) встановлювати зв’язки між даними і шуканим; в) складати план розв’язування; г) перекладати залежності між даними і шуканим, сформульовані в задачі словами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь; д) виконувати відповідні дії (розв’язувати відповідні рівняння) і знаходити відповідь на запитання задачі; е) перевіряти розв’язання [12, 71].

Однією з функцій складених задач є „розвиток здобутих знань, удосконалення їх у процесі застосування в змінених умовах” [44, 25]. Але складені сюжетні задачі, введено в початковий курс математики не лише для цього. Одна з їх функцій – навчити дітей “перекладу” словесно заданих відношень і зв’язків між різними величинами, числами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь. Цій меті підпорядковані і добір задач, і система їх розміщення в часі, і методика роботи над ними.

Ця система забезпечує поступовий перехід від простого до дедалі складнішого: від складання простих виразів і рівнянь у процесі розв’язання задач на одну дію до складання виразів з 2-3 діями при розв’язуванні досить легких за структурою складених задач. Поступове наростання труднощів у таких вправах можливе тільки тоді, коли вчитель розуміючи завдання, що стоять перед ним, використовуватиме для цього пропоновані вправи з підручника.

Складені задачі використовуються під час ознайомлення з деякими новими поняттями, новими випадками дій, вони допомагають дітям усвідомити нові для них поняття дробу числа й інші питання курсу.

Складені задачі використовують і як наочну конкретну основу для розгляду нових понять, властивостей дій. Цією функцією визначається їх місце у загальній системі курсу: вони „вводяться тоді, коли розглядаються відповідні питання, і в такій кількості, яка потрібна для пояснення нових питань. При цьому спеціальної мети навчити дітей розв’язувати задачі двома способами не ставиться. Важливіше, щоб вони могли розв’язати її раціональним способом” [1, 21].

Інша група складених задач, що займають велике місце в підручниках для початкових класів школи, пов’язана з роботою над різними кількісними відношеннями. Такі задачі вводяться після того, як діти достатньо засвоять кількісні відношення і навчаться застосовувати свої знання під час розв’язування простих задач, які містять слова “на стільки-то (у стільки-то разів) більше (менше)” в різному контексті.

Складені задачі дають можливість продовжити і розширити та поглибити роботу, спрямовану на ознайомлення дітей з різними величинами і залежністю між ними. Група складених задач, пов’язаних з необхідністю застосувати знання зв’язку між такими величинами, як ціна, кількість, вартість, займає важливе місце в підручниках для всіх чотирьох класів [20, 29].

Застосовуючи до складених сюжетних задач алгебраїчний метод розв'язування, можна поділити їх на дві категорії. Поділ сюжетних задач на дві категорії надто широкий, але в ньому є певний практичний сенс. До першої групи віднесемо задачі на 2 дії, а до другої — на 3 і 4 дії. Такий поділ пояснюється тим, що вироблення вмінь розв'язувати задачі на 3 і більше дій спирається не тільки на знання видів простих задач і залежностей між величинами, а й на вміння учнів розв'язувати задачі на 2 дії. Часто задачі на 2 дії є «блоками», з яких складається розв'язування задач на 3 і більше дій.

Складені задачі поділяють за кількістю дій, якою розв’язується та чи інша задача. Це задача на дві, три, чотири дії. Трьома діями розв’язуються задачі, які утворилися розширенням задач на дві дії; також до цього типу належать також задачі на знаходження суми двох добутків, різниці двох добутків, різниці двох часток і т. ін. [37, 45].

Формування поняття про складену задачу та ознайомлення з процесом розв’язування складених задач здійснюється за допомогою порівняння задачі з двома запитаннями та відповідної складеної задачі; порівняння простої та складеної задач, які мають однакові умови; вибору необхідних і достатніх ознак для розпізнавання складеної задачі; підведення під поняття “складена задача”; виведення наслідків про належність або неналежність задачі до поняття “складена задача”.

Спеціально опрацьовується уміння виконувати аналітичний пошук розв’язування задачі – спочатку до задач подаються готові схеми аналізу, потім – діти повинні самостійно заповнити схему аналізу на картці з друкованою основою, а далі складають її самі. Аналогічно формується вміння розбивати складену задачу на прості та визначати порядок розв’язування простих задач.

Істотним в організації діяльності учнів на етапі ознайомлення з поняттям “складена задача” є її спрямованість не на розв’язання кожної конкретної задачі, а на оволодіння комплексом умінь, на оволодіння цим поняттям [44, 28].

На підставі визначених теоретичних основ нами удосконалена методика формування загального уміння розв’язувати складені задачі, в якій визначено мету і зміст кожного з зазначених етапів. На відміну від чинних підручників, ми пропонуємо проводити цілеспрямовану підготовку до введення поняття про складену задачу. На етапі підготовчої роботи засобом спеціальних завдань у дітей формуються уявлення: про те, що за двома певними числовими даними можна відповісти на кілька запитань; різні задачі можуть мати однакові розв’язання; неможливість відповісти на запитання задачі, якщо числових даних бракує; про необхідність вибору числових даних для відповіді на запитання задачі; про існування задач, на запитання яких не можна відповісти одразу; про існування задач, що складаються з двох простих задач, які пов’язані за змістом; про те, що аналіз може складатися з двох циклів – кожний з яких відповідає певній з двох простих задач [46, 112].

Формування загального вміння розв’язувати складені задачі реалізується за допомогою систем навчальних задач для 2 класу. Навчання розв’язувати складені задачі доцільно здійснювати на різноманітних математичних структурах задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв’язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі або порівняння зі схожими простими задачами, або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури.

Таким чином, „досліджується вплив цих змін на розв’язування задачі; задачі нової математичної структури зіставляються з задачами вже відомими, що полегшує їх засвоєння. Крім того, застосовується й такий методичний прийом, коли задача нової структури подається без зіставлення з відомими структурами, що спонукає відтворення повного складу дій, які містить загальне уміння розв’язувати складені задачі” [41, 163].

При формуванні вміння розв’язувати складені задачі в 2-му класі учням пропонуються складені задачі різноманітних математичних структур.

Наведемо систему задач, з якими учні ознайомлюються у 2 класі.

1. Задачі на знаходження невідомого зменшуваного.

2. Задачі на дві дії (поняття про складену задачу).

3. Складені задачі, які містять відношення "більше на".

4. Складені задачі, які містять відношення "менше на".

5. Задачі на знаходження третього доданка за сумою і двома відомими доданками.

6. Задачі на знаходження невідомого від'ємника.

7. Задачі на знаходження числа, яке задане подвійним різницевим відношенням.

8. Задачі на знаходження числа, яке на кілька одиниць більше (менше) від суми двох чисел [56, 6-7].

Формування й розвиток умінь в учнів 2 класу розв'язувати складені задачі забезпечуються дотриманням загальних методичних вимог у роботі над задачами, а також деякими спеціальними прийомами, що конкретизують і доповнюють загальнометодичні настанови.

Уміння розв'язувати задачу передбачає знання тих загальних правил, які сприяють раціональному підходу до пошуків розв'язання [66, 41-42]. У широкому розумінні розв'язування задачі розпочинається зі збирання необхідної інформації. Вивчають задачну ситуацію, запитання задачі, згадують або знаходять з певних джерел ті ознаки й властивості величин, про які йдеться в задачі. Потім з'ясовують залежності між даними і шуканими величинами, ознаки і властивості, які слід використовувати для знаходження відповіді на запитання. На основі цього визначають хід розв'язування. Це конструктивна (і основна) частина роботи над задачею. Друга частина — виконавча, коли роблять необхідні записи; визначають дії чи складають вираз або рівняння; здійснюють обчислення і записи відповіді; перевіряють розв'язання.

У навчанні учнів початкових класів цей порядок роботи подається у вигляді порад, що формулюються в інструкції (пам'ятці). Дає позитивні результати така система порад:

а) уважно прочитай задачу; подумай, про що йдеться в ній; з'ясуй незрозумілі слова і вирази; виділи в задачі умову і запитання;

б) подумай, що означає кожне число; який зв'язок між числами;

в) ця задача проста чи складена? Якщо складена, то спробуй розробити план розв'язування;

г) якщо план не вдалося відразу скласти, то пригадай, яку подібну задачу розв'язували раніше; розв'яжи частину задачі; чи не можна тепер знайти відповідь на основне запитання? [4, 42].

У формуванні вмінь розв'язувати задачі велике значення мають і деякі спеціальні заходи навчального та виховного характеру. Дітей необхідно орієнтувати на таку настанову: над розв'язуванням задачі треба думати, оскільки прийоми знаходження відповіді невідомі, їх потрібно знайти. Тому при опрацюванні умови учнів не слід "підганяти", вони мусять мати час на обмірковування.

Кожна нова задача не має виникати з "нічого", вона мусить спиратися на набуті вже знання і на повсякденний досвід, відповідати природній допитливості дитини. Водночас якщо задача розв'язана (засвоєна), то її слід використати для розв'язування інших задач, для відшукання простіших способів розв'язування та постановки нових перспектив.

Загалом можна сказати, що процес формування вмінь розв'язувати задачі неперервний. Учні розв'язують задачі на кожному уроці математики і в процесі виконання домашніх завдань. Формування вмінь передбачає також ознайомлення з новим видом задач, перехід від одного виду задач до іншого та зв'язок між ними, повторне розв'язування задач, різновиди творчої роботи над задачами. Розгляньмо види творчої роботи [6, 51-53].

1. Повторне розв'язування задач. Якщо задачу повторно розв'язують відразу після запису останньої дії і відповіді, то це буде момент первинного закріплення. Тут ми маємо на увазі повторне розв'язування через деякий час, тобто через кілька днів або тижнів. Цей прийом не належить безпосередньо до творчої роботи, але він відіграє певну роль при формуванні і закріпленні вмінь розв'язувати задачі.

Маючи справу із задачею вдруге, учень краще усвідомлює зв'язки між величинами, алгоритм її розв'язування. Якщо при цьому він розв'яже задачу самостійно, то вона стане вже його ''власною". Повторне розв'язування задач варто практикувати під час опитування та під час усних обчислень. Для цього добирають задачі на одну-дві дії. Один раз на місяць доцільно пропонувати учням для домашньої роботи повторно розв'язати кілька задач: одну — письмово, а решту — усно.

2. Зміна елементів задачі.

Зміна числових даних. Пропонують розв'язати задачу, аналогічну до розв'язаних на цьому чи попередніх уроках, але з іншими числовими даними. Здебільшого змінюють одне з даних. Виконуючи завдання, учні впевнюються, що задача розв'язується такими самими діями, якими й попередня. Відбувається процес узагальнення способу розв'язування. Це є головна мета прийому зміни числових даних. У деяких випадках можна запропонувати дітям змінити числові дані так, щоб задачу можна було розв'язати іншим способом.

3. Зміна запитання. Застосування цього прийому наголошує на спрямовуючій ролі запитання для вибору необхідних зв'язків, стимулює учнів до всебічного аналізу задачної ситуації. Зміну запитання використовують також для постановки нових задач, "розширення" задачі.

4. Зміна сюжету задачі. Пропонують розв'язати таку саму задачу, але з іншими величинами. При цьому учні вчаться з'ясовувати умови застосування в реальній дійсності тих чи інших залежностей.

5. Зміна деяких зв'язків. Такий прийом привертає увагу дітей до значення окремих слів і виразів у контексті задачі. Вони поступово усвідомлюють, що незначні на перший погляд зміни ведуть до істотних змін у ході розв'язування, роблять висновок про можливість зміни характеру залежностей між величинами.

Варто практикувати також поступове ускладнення умови задачі. Спочатку учням пропонують кілька змінених задач, в яких збільшується кількість числових даних, включаються додаткові зв'язки. Запитання задачі залишається без змін. Цей прийом дає змогу бачити, як ускладнення числових даних і зв'язків впливає на хід розв'язування задач.

6. Розв'язування задач різними способами. Деякі арифметичні задачі Допускають два чи кілька способів розв'язування. Такі задачі є ефективним Навчальним матеріалом, на основі якого в учнів пробуджується допитливість, самостійність мислення. Намагання знайти інший шлях розв'язування тієї самої задачі сприяє підвищенню емоційного стану школярів.

Розв'язування задач різними способами веде до розвитку вміння всебічно аналізувати задачну ситуацію. Проте тут важливий ще і сам факт існування різних способів розв'язування. Усвідомлення цього є кроком до пошуку кращого способу, що водночас призводить до встановлення нових зв'язків між величинами або використання відомих зв'язків у нових умовах.

7. Складання виразів за умовою задачі. Як творчий вид роботи над задачею можна розглянути завдання, основна мета яких полягає не у знаходженні числового результату, а у складанні числових виразів. Роль завдань, що сприяють розвитку вмінь учнів записувати деяку конкретну життєву ситуацію математичною мовою, надзвичайно велика. Особливо корисні вони як засіб підготовки дітей до розв'язування задач складанням рівняння.

8. Складання задач. Завдання на складання задач ефективні насам-перед для розвитку уявлень учнів про структуру задач та узагальнення способу їх розв'язування. Цей вид роботи корисний для досягнення інших цілей, зокрема для того, щоб виявити, як діти усвідомлюють способи розв'язування задач певного виду. Якщо учень самостійно складає задачу з певними залежностями між величинами, то він добре розуміє ці залежності І легко сприйматиме відповідний зв'язок у заданій задачі.

У спеціальних дослідженнях з методики математики і досвіду роботи самих учителів обґрунтовано доцільність застосування багатьох прийомів складання задач, кожен з яких має свою функцію. Подамо їх перелік:

складання задач на зазначену дію;

складання задач за виразом чи розв'язком;

складання задач на задану зміну величин чи залежність між величинами. Наприклад, скласти задачу про збільшення маси кроля; скласти задачу на зменшення числа в кілька разів; скласти задачу на знаходження ціни (вартості чи кількості товару; відстані, швидкості чи часу; норми витрат продуктів, урожайності тощо);

складання задач певного виду. Наприклад, скласти задачу на знаходження невідомого зменшуваного; на знаходження третього доданка за відомою сумою і двома доданками; на різницю двох добутків; на зустрічний рух, в якій потрібно було би знайти час руху;

складання обернених задач [12, 71-72].

Заслуговує на увагу складання і розв'язування задач за числовими даними, що подаються в поєднанні з відповідними малюнками. Як вид творчої роботи практикується також порівняння задач з тією чи іншою мстою: звернути увагу учнів на те, що ті самі слова можуть бути як визначальними для вибору дій, так і не визначальними; визначити, яка з двох задач проста, а яка — складена; з'ясувати, яка з даних задач належить до зазначеного виду.

Навчання дітей розв'язувати складені задачі – це не ізольований процес, він безпосередньо пов'язаний із загальною атмосферою в класному колективі. Слід виховувати інтерес до самостійного розв'язування задач, заохочувати учнів знаходити раціональні прийоми обчислення.

Розділ 2. формування вмінь учнів розв’язувати складені задачі

2.1 Пропедевтична робота до введення складених задач

У 2 класі учні ознайомлюються із „системою складених задач таких видів: складені задачі, які містять відношення "більше на"; складені задачі, які містять відношення "менше на"; задачі на знаходження третього доданка за сумою і двома відомими доданками; задачі на знаходження невідомого від'ємника; задачі на знаходження числа, яке задане подвійним різницевим відношенням; задачі на знаходження числа, яке на кілька одиниць більше (менше) від суми двох чисел” [53, 167-167].

Пропедевтична робота при введенні складених задач кожного із вказаних видів базується на уявленні дітей про відмінність складеної задачі від простої [56, 7-8]. Так, проста арифметична задача містить два числа, які перебувають у певному арифметичному відношенні, а саме: у відношенні суми, різниці, добутку або частки. Відношення між числами визначається умовою або запитаннями.

Щоб розв'язати просту задачу, треба виконати відповідну арифметичну дію. Для розв'язання складеної задачі не досить встановити й обчислити арифметичні відношення між даними числами, а треба обов'язково знайти і обчислити одне або кілька відношень між ними і проміжними результатами чи між самими проміжними результатами [19].

Покажемо особливості підготовки учнів до ознайомлення із складеною задачею.

1. Розв'язування задач з двома запитаннями (число, одержане у відповіді на перше запитання, є даним у другій задачі).

Задача. Оля розв'язала 4 задачі, а Надійка — на одну задачу більше. Скільки задач розв'язала Надійка? Скільки задач розв'язали Оля і Надійка разом?

— Прочитайте задачу з її першим запитанням.

— Оля розв'язала 4 задачі, а Надійка — на одну задачу більше. Скільки задач розв'язала Надійка?

— Яку дію треба виконати, щоб дати відповідь на запитання задачі?

Дію додавання.

Чому?

— Надійка розв'язала стільки задач, скільки Оля, і ще одну.

Прочитайте розв'язання задачі.

До числа 4 додати 1, буде 5.

Прочитайте відповідь задачі.

Надійка розв'язала 5 задач.

Прочитайте друге запитання задачі.

Скільки задач розв'язали Оля і Надійка разом?

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки задач розв'язали Оля і Надійка разом?

Треба знати, скільки задач розв'язали Оля і Надійка окремо.

Чи відомо, скільки задач розв'язали Оля і Надійка окремо?

Відомо.

Прочитайте розв'язання задачі.

До числа 4 додати 5, буде 9.

Ці дві задачі можна замінити однією задачею: "Оля розв'язала 4 задачі, а Надійка — на одну задачу більше. Скільки задач розв'язали Оля і Надійка разом?"

2. Розв’язування задач.

Задача 1. На першій клумбі росло 10 кущів троянд, на другій — на 3 кущі менше. Скільки кущів троянд росло на другій клумбі?

Задача 2. На першій клумбі росло 10 кущів троянд, на другій — □ кущів. Скільки кущів троянд росло на двох клумбах?

Вивчивши першу задачу, учні розв'язують її самостійно.

—Яку дію виконали, щоб взнати, скільки троянд росло на другій клумбі?

— Дію віднімання.

Чому?

На другій клумбі росло стільки кущів троянд, скільки на першій, але без трьох. Треба від числа 10 відняти 3, буде 7.

— Прочитайте другу задачу. (Учні читають.)

— Скільки троянд росло на другій клумбі, нам підказала відповідь першої задачі. Скільки кущів троянд росло на другій клумбі?

— Сім кущів троянд росло на другій клумбі.

Повторіть задачу з цим числом.

На першій клумбі росло 10 кущів троянд, на другій — 7 кущів. Скільки кущів троянд росло на двох клумбах?

Про що взнали в першій задачі?

Скільки кущів троянд росло на другій клумбі.

Про що дізнавались у другій задачі?

Скільки кущів троянд росло на двох клумбах?

Отже, друга задача є продовженням першої. З першої задачі ми дізналися, скільки кущів троянд росло на другій клумбі, а з другої — скільки кущів троянд росло на першій і другій клумбах разом.

3. Постановка запитання до умови задачі.

— Послухайте уважно умову задачі. Подумайте, яке запитання можна поставити. У шкільному саду росло 5 слив і 8 вишень.

— Прочитайте умову задачі (Учні читають.)

Що відомо за умовою задачі?

Відомо, що в саду росло 5 слив.

Що ще відомо?

Ще відомо, що в саду росло 8 вишень.

Чи сказано, що треба взнати?

Не сказано.

Що можна взнати за даною умовою?

— Скільки фруктових дерев росло в шкільному саду.

— Прочитайте задачу. (Учні читають.)

— Розв'яжіть задачу з цим запитанням. Прочитайте відповідь задачі.

— У шкільному саду росло 13 фруктових дерев.

— Яке ще запитання можна поставити до умови задачі?

— На скільки більше вишень, ніж слив, росло в саду?

Якою дією потрібно розв'язати цю задачу?

Дією віднімання.

Чому?

— Щоб взнати, на скільки одне число більше, ніж друге, треба від більшого числа відняти менше.

— Запишіть розв'язання задачі. Прочитайте його.

— 8-5-3.

— Що означає число 3?

— Вишень росло на 3 більше, ніж слив.

Яке ще запитання можна поставити до умови задачі?

На скільки менше слив, ніж вишень, росло в саду?

Якою дією можна розв'язати задачу з цим запитанням.

Дією віднімання.

— Чому треба виконати дію віднімання?

Щоб взнати, на скільки одне число менше від другого, треба від більшого числа відняти менше.

Дайте відповідь на запитання останньої задачі.

Слив росло на 3 менше, ніж вишень.

4. Дано умову задачі, в якій три числових даних, і вирази, складені з цих даних.

У гаражі було 7 легкових автомобілів і 5 вантажних автомобілів, 4 автомобілі виїхало з гаража.

Поясніть, про що дізнаєтеся, коли виконаєте такі дії: 7 + 5, 7 - 4, 5 - 4.

5. Розв'язування простих задач з недостатніми даними.

На полі працювали комбайни і 3 трактори. Скільки всього автомо-білів працювало на полі? Чи зможемо дізнатися, скільки всього машин працювало на полі?

Не зможемо.

Що треба знати, щоб дати відповідь на запитання задачі?

Треба знати, скільки комбайнів працювало на полі і скільки тракторів.

Чи відомо, скільки тракторів працювало на полі?

Відомо.

Чи відомо, скільки комбайнів працювало на полі?

Невідомо.

Підберіть число, якого не вистачає. Повторіть задачу повністю.

— На полі працювало 2 комбайни і 3 трактори. Скільки всього машин працювало на полі?

— Розв'яжіть задачу. Скільки всього машин працювало на полі?

— На полі працювало 5 машин.

Послухайте другу задачу, Для посадки дерев учні мали лопати і поливальниці. Скільки всього лопат і поливальниць було в учнів? Чи можна взнати, скільки всього лопат і поливальниць було в учнів?

Не можна.

Чому?

Невідомо, скільки лопат і скільки поливальниць було в учнів.

— Підберіть числа, яких не вистачає в умові задачі. Прочитайте задачу.

Для посадки дерев учні мали 5 лопат і 3 поливальниці. Скільки всього лопат і поливальниць було в учнів?

— Розв'яжіть задачу. Скільки всього лопат і поливальниць було в учнів?

— В учнів було 8 лопат і поливальниць.

— Як взнали?

— Треба до числа лопат 5 додати число поливальниць 3. Буде 8.

Покажемо особливості підготовки учнів до ознайомлення із складеною задачею, яка містить відношення "більше на".

1. Розв'язування задач з двома запитаннями (число, одержане у відповіді на перше запитання задачі, є даним у другій задачі).

Задача. У коробці було 7 кольорових олівців, а простих — на 2 більше. Скільки простих олівців було в коробці? Скільки всього олівців було в коробці?

Прочитайте умову задачі і перше її запитання.

У коробці було 7 кольорових олівці, а простих – на 2 більше. Скільки простих олівців було в коробці?

Яку дію треба виконати, щоб взнати, скільки простих олівців було в коробці?

Дію додавання.

Чому?

У коробці було стільки простих олівців, скільки кольорових, і ще 2.

Прочитайте розв'язання задачі.

До числа 7 додати 2, буде 9.

Прочитайте відповідь задачі.

У коробці було 9 простих олівців.

Прочитайте друге запитання задачі.

Скільки всього олівців було в коробці.

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього олівців було в коробці?

Щоб дізнатися, скільки всього олівців було в коробці, треба знати, скільки кольорових і скільки простих олівців було в коробці.

Чи відомо, скільки кольорових і простих олівців окремо було в коробці?

Відомо.

Прочитайте розв'язання задачі.

До числа 7 додати 9, буде 16.

— Прочитайте відповідь.

— У коробці було 16 олівців.

— Ці дві задачі можна об'єднати в одну: "У коробці було 7 кольорових олівців а простих – на 2 більше. Скільки всього олівців було в коробці?"

2. Постановка запитання до умови задачі.

Послухайте уважно умову задачі: "На будівництві будинку працювало 5 штукатурів, а малярів — на 3 більше". Повторіть умову задачі. (Учні повторюють.) Що відомо в умові задачі? Що можна взнати за даною умовою?

Скільки малярів працювало на будівництві будинку.

Прочитайте задачу.

На будівництві будинку працювало 5 штукатурів, а малярів — на 3 більше. Скільки малярів працювало на будівництві будинку?

Розв'яжіть задачу з цим запитанням. Прочитайте відповідь задачі.

На будівництві будинку працювало 8 малярів.

Яке інше запитання можна поставити до умови задачі?

Скільки штукатурів і малярів разом працювало на будівництві будинку?

Прочитайте задачу з запитанням.

На будівництві будинку працювало 5 штукатурів, а малярів — на 3 більше. Скільки штукатурів і малярів разом працювало на будівництві будинку?

Скількома діями можна розв'язати цю задачу?

Цю задачу можна розв'язати двома діями.

Якими діями треба розв'язати задачу?

Цю задачу треба розв'язати діями додавання.

3. Розв'язування задач на дві дії з неповними даними.

Задача. У гаражі були легкові і вантажні автомобілі. Легкових автомобілів було на два більше, ніж вантажних. Скільки всього автомобілів було в гаражі? Чи можна взнати, скільки всього автомобілів було в гаражі?

— Не можна.

— Що треба знати, щоб знайти, скільки всього автомобілів було в гаражі?

— Треба знати, скільки легкових автомобілів було в гаражі і скільки вантажних автомобілів.

— Чи відомо, скільки вантажних автомобілів було в гаражі?

— Невідомо.

— Чи відомо, скільки легкових автомобілів було в гаражі?

— Невідомо.

Що сказано в задачі про легкові автомобілі?

Легкових автомобілів було на два більше, ніж вантажних.

— Чи можна дізнатися, скільки легкових автомобілів було в гаражі, якщо буде відоме число вантажних автомобілів?

Можна.

Чому?

Якщо легкових автомобілів було на два більше, ніж вантажних, то їх буде стільки, скільки вантажних автомобілів, і ще 2.

— Нехай в гаражі було 5 вантажних автомобілів. Прочитайте задачу.

У гаражі було 5 вантажних автомобілів, а легкових — на два більше. Скільки всього автомобілів було в гаражі?

На таблиці подано розв'язання задачі у вигляді схеми. Які числа треба записати у віконечка? Чому?

Запишіть приклад. Прочитайте його.

До числа 5 додати суму чисел 5 і 2.

Скільки буде?

12.

Прочитайте відповідь задачі.

У гаражі було 12 автомобілів.

Покажемо особливості підготовки учнів до ознайомлення із складе-ною задачею, яка містить відношення "менше на".

1. Розв'язування задач з двома запитаннями (число, одержане у відповідь на перше запитання задачі, є даним у другій задачі).

Задача. Наталка пришила до блузки 8 ґудзиків, а до пальта —- на 3 ґудзики менше. Скільки ґудзиків пришила Наталка до пальта? Скільки всього ґудзиків пришила Наталка?

Яку дію треба виконати, щоб взнати, скільки ґудзиків пришила Наталка до пальта?

Дію віднімання.

Чому?

— Наталка пришила до пальта стільки ґудзиків, скільки до блузки, але без трьох.

Прочитайте розв'язання задачі.

Від числа 8 відняти 3, буде 5.

Прочитайте відповідь задачі.

Наталка пришила до пальта 5 ґудзиків.

Прочитайте друге запитання задачі.

Скільки всього ґудзиків пришила Наталка.

— Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього ґудзиків пришила Наталка?

Треба знати, скільки ґудзиків пришила Наталка до блузки і скільки до пальта.

Чи відомо, скільки ґудзиків пришила Наталка до блузки і до пальта окремо?

Відомо.

Прочитайте розв'язання задачі.

До числа 8 додати 5, буде 13.

Прочитайте відповідь задачі.

Наталка пришила 13 ґудзиків.

— Ці дві задачі можна об'єднати в одну: "Наталка пришила до блузки 8 ґудзиків, а до пальта — на 3 ґудзики менше. Скільки всього ґудзиків пришила Наталка?"

2. Постановка запитання до умови задачі.

Задача. В одній бочці 9 відер води, а в другій — на 5 відер менше.

— Що відомо в умові задачі? Що можна взнати за умовою задачі?

Скільки відер води в другій бочці.

Прочитайте задачу.

В одній бочці 9 відер води, а в другій — на 5 відер води менше. Скільки відер води в другій бочці?

Розв'яжіть цю задачу усно. Прочитайте відповідь задачі.

У другій бочці 4 відра води.

— Яке ще запитання можна поставити до умови задачі?

Скільки відер води в двох бочках.

Прочитайте задачу з цим запитанням.

В одній бочці 9 відер води, а в другій — на 5 відер води менше. Скільки відер води в двох бочках?

— Скількома діями можна розв'язати цю задачу?

— Двома.

Назвіть, які по порядку дії треба виконати.

Спочатку треба виконати дію віднімання, потім — дію додавання.

— Складіть план розв'язання задачі.

Скільки відер води в одній бочці?

Скільки відер води в двох бочках?

3. Розв'язування задач на дві дії з неповними даними.

Задача. На озері плавали гуси і качки. Гусей плавало на 4 менше, ніж качок. Скільки всього птахів плавало на озері?

Чи можна взнати, скільки всього птахів плавало на озері?

Не можна.

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього птахів плавало на озері?

Щоб дізнатися, скільки всього птахів плавало на озері, треба знати, скільки гусей плавало на озері і скільки качок.

Чи відомо, скільки качок плавало на озері?

Невідомо.

Чи відомо, скільки гусей плавало на озері?

Невідомо.

Що сказано в задачі про гусей.

Гусей плавало на 4 менше, ніж качок.

Чи будемо знати, скільки гусей плавало на озері, якщо буде відоме число качок?

Так.

Нехай на озері плавало 8 качок. Прочитайте задачу.

На озері плавало 8 качок, а гусей — на 4 менше, ніж качок. Скільки всього птахів плавало на озері?

На таблиці подано розв'язання задачі у вигляді схеми. Які числа треба записати у віконечка? Чому?

Запищіть приклад. Прочитайте його.

До числа 8 додати різницю чисел 8 і 4.

Скільки буде?

12.

Прочитайте відповідь задачі.

На озері плавало 12 качок і гусей.

Отже, в процесі розвитку уявлень учнів про складену задачу слід мати на увазі таке: арифметична задача містить умову і запитання; кожна задача містить не менш як два числа; зв'язки між числами визначаються умовою та запитанням; вибір зв'язків, необхідних для розв'язання задачі, визначається запитанням; для розв'язання складеної задачі треба використати проміжні результати.

2.2 Ознайомлення учнів зі складеними задачами

Для того щоб ознайомити учнів із складеною задачею, доцільно взяти складену задачу, яка розв'язується різними діями першого ступеня. Питання про те, якого виду ця задача, дискусійне [44]. Так, можна починати із задачі, яка складається з простих задач на знаходження суми й остачі [55], або з задачі, що містить прості задачі на зменшення числа на кілька одиниць і на знаходження суми [46]. Наведемо зразки таких задач і проаналізуємо їх.

Покажемо особливості ознайомлення другокласників із складеними задачами різного ступеня, першою з яких є дія другого ступеня.

Тема. Складені задачі на дії різного ступеня, першою з яких є дія другого ступеня.

Мета. Ознайомити учнів із складеною задачею на дві дії, першою з яких є дія другого ступеня, а другою — дія додавання або віднімання. Формувати вміння і навички учнів розв'язувати складені задачі на дії різного ступеня, першою з яких є дія множення або ділення, а другою — дія додавання або віднімання.

Задача 1. Для ремонту квартири купили 8 банок фарби, по 3 кг кожна. 18 кг фарби використали. Скільки кілограмів фарби залишилось? У таблиці подано скорочений запис задачі.

Купили — 8 б., по 3 кг

Використали — 18 кг

Залишилось — ?

Якщо купили 8 банок фарби, по 3 кг кожна, то про що можна дізнатись?

Скільки кілограмів фарби купили?

Якщо відомо, скільки кілограмів фарби купили і скільки кілограмів використали, то що можемо взнати?

Можемо взнати, скільки кілограмів фарби залишилось.

Про що дізнаємось спочатку?

Спочатку дізнаємось, скільки кілограмів фарби купили.

Якою дією?

Дією множення.

Запишіть і обчисліть вираз. Прочитайте вираз, який ви записали.

З помножити на 8.

Скільки буде?

24.

Що означає число 24?

24 кг фарби купили.

Про що дізнаємось тепер?

Скільки кілограмів фарби залишилось.

Яку дію для цього слід виконати?

Дію віднімання.

Чому виконуємо дію віднімання?

— Якщо використали фарбу, то її залишилось менше.

Запишіть вираз і обчисліть його. Прочитайте.

Від числа 24 відняти 18, буде 6.

Що означає число 6?

6 кг фарби залишилось.

Запишіть скорочено відповідь.

Запис у зошиті.

1} 3 ∙ 8 = 24 (кг);

2) 24-18 = 6 (кг). Відповідь. 6 кг фарби.

— Уважно прочитайте задачі. Нижче записано вирази. До кожної задачі знайдіть вираз, який є її розв'язком.

У парку посадили 5 рядів кленів, по 3 дерева в кожному, і 18 каштанів. Скільки всього дерев посадили в парку?

В їдальні було 18 л соку, по 3 л в кожній банці. На обід витратили 5 банок соку. Скільки банок соку залишилось в їдальні?

3) 18 саджанців яблунь посадили в 3 ряди порівну. В один ряд садили на 5 саджанців вишень більше, ніж саджанців яблунь. Скільки саджанців вишень садили в одному ряді?

1) 18:3-5;2) 18:3+5;3)3-5+ 18.

Який із виразів є розв'язком першої задачі?

Третій вираз є розв'язком першої задачі.

— Чому третій вираз є розв'язком першої задачі?

У першій задачі сказано: посадили 5 рядів кленів, по 3 дерева в кожному. 3 помножити на 5 – стільки кленів посадили і ще 18 каштанів. Всього посадили число дерев, що дорівнює сумі добутку чисел 3 і 5 і числа 18.

Який із виразів буде розв'язком другої задачі?

Перший вираз буде розв'язком другої задачі.

Чому? Поясніть.

Якщо 18 я соку було в банках, по 3 л в кожній, то всіх банок було стільки, скільки разів по 3 вміщується в числі 18. Треба 18 поділити на 3. Витратили 5 банок соку, тобто їх стало менше. Від частки чисел 18 і 3 треба відняти число 5.

Поясніть, чому другий вираз є розв'язком третьої задачі.

—18 саджанців яблунь посадили в 3 ряди порівну. Щоб взнати, скільки саджанців груш садили в один ряд, треба число саджанців 18 поділити на число рядів 3. У задачі відомо, що в один ряд садили на 5 саджанців вишень більше, ніж саджанців яблунь, то треба до виразу 18 поділити на 3 додати число 5.

— Саджанців вишень у ряді садили стільки, скільки яблунь, і ще 5.

— Обчисліть ці вирази і запищіть скорочено відповіді.

Запис у зошиті. 3-5+18 = 33 (д.).

Відповідь. 33 дерева.

18:3-5-1 (б.).

Відповідь. 1 банка.

18:3 + 5 = 11 (а).

Відповідь. 11 саджанців вишень.

Задача 3. З 15 м шерсті зв'язали 5 однакових шарфів. На одні рукавички йде на 1 м шерсті менше, ніж на шарф. Скільки метрів шерсті йде на одні рукавички?

На дошці записано план розв'язання задачі.

План розв'язання

Скільки метрів шерсті витратили на шарф?

Скільки метрів шерсті йде на одні рукавички?

— Запишіть розв'язання задачі окремими діями без письмового пояснення самостійно.

Запис у зошиті. 1) 15:5 = 3 (м);

2) 3 - 1 - 2 (м).

Відповідь. 2 м.

Поясніть, як ви розв'язали задачу.

Щоб взнати, скільки метрів шерсті йде на 1 шарф, треба число метрів шерсті 15 поділити на число шарфів 5. Буде 3. Якщо 3 м шерсті йде на 1 шарф, то на одні рукавички йде стільки метрів шерсті, скільки на 1 шарф, але без 1 м. 3 мінус 1, буде 2.2 м шерсті йде на одні рукавички.

Покажемо особливості ознайомлення учнів 2 класу із складеною задачею.

Тема. Задачі на дві дії.

Мета. Ознайомити учнів із задачею на дві дії. Добитися того, щоб учні усвідомили відмінність складеної задачі від простої, одержали уявлення про структуру складеної задачі. Навчити учнів пояснювати вибір дій у ході розв'язування складених задач, культури письмового оформлення розв'язання цих задач.

І варіант

Задача. На одному кущі розквітло 4 червоних троянди, на другому — 5 білих. 6 троянд зірвали. Скільки троянд залишилось?

Прочитайте умову задачі. (Учні читають.)

Прочитайте запитання задачі. (Учні читають.)

Якщо відомо, скільки червоних і білих троянд розквітло, то про що можемо дізнатись?

Скільки всього троянд розквітло.

— Якщо відомо, скільки всього троянд розквітло на кущах і скільки зірвали, то про що можемо дізнатись?

— Можемо дізнатись, скільки троянд залишилось.

— Сьогодні навчимося розв'язувати і записувати розв'язання таких задач у зошитах. Про що дізнаємося спочатку?

Спочатку дізнаємося, скільки троянд розквітло на кущах.

Яку дію слід виконати?

— Дію додавання.

— Чому треба виконати дію додавання?

— Якщо на одному кущі розквітло 4 червоних троянди, на другому — 5 білих, то число всіх троянд дорівнює сумі чисел 4 і 5.

— Запишемо першу дію. Пишемо один, ставимо дужку. До числа 4 додати 5. Скільки буде?

— 9.

Запис на дошці і в зошитах такий: 1)4 + 5 = 9 (тр.).

— Що означає число 9?

9 троянд розквітло на кущах.

Про що дізнаємось тепер?

Скільки троянд залишилося на кущах?

Яку дію треба виконати?

Дію віднімання.

Чому треба виконати дію віднімання?

Якщо на кущах розквітло 9 троянд і 6 троянд зірвали, то троянд на кущах залишилося менше, ніж було. Треба від числа 9 відняти 6.

Запишемо другу дію. Пишемо два, ставимо дужку. Від числа 9 відняти 6.

— Скільки буде?

—3.

Запис на дошці і в зошитах: 2) 9 - 6 = 3 (тр.).

З троянди залишилося на кущах.

Чи правильно розв'язали ми задачу?

Правильно.

Чому?

Троянд залишилося менше, ніж було.

Прочитайте відповідь.

— На кущах залишилося 3 троянди.

Запис у зошиті.

1)4+5 =9 (тр.); 2)9-6 = 3 (тр.).

Відповідь. З троянди.

— Отже, ця задача розв'язується двома діями.

II варіант

І. Вивчення задачі.

Про що говориться в задачі?

В задачі говориться про червоні і білі троянди.

Що відомо в задачі?

В задачі відомо, що на одному кущі розквітло 4 червоних троянди.

Що ще відомо в задачі?

На другому кущі розквітло 5 білих троянд.

Скільки троянд зірвали?

Шість.

Про що запитується в задачі?

Скільки троянд залишилось?

Розгляньте уважно скорочений запис задачі і подумайте, як її можна розв'язати.

(На таблиці подано скорочений запис задачі.)

Було	Зірвали	Залишилось
4 і 5 тр.	6 тр.	?

ІІ. Відшукання способу розв'язання задачі.

— Чи можемо відразу дати відповідь на запитання задачі?

Відповідь на запитання задачі відразу дати не можна.

Що треба знати, щоб дати відповідь на запитання задачі?

Треба знати, скільки всього троянд розквітло на двох кущах і скільки троянд зірвали.

— Чи відомо, скільки троянд зірвали?

Відомо.

Чи відомо, скільки всього троянд розквітло на двох кущах?

Невідомо.

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього троянд розквітло на кущах?

Треба знати, скільки троянд розквітло на першому і другому кущах окремо.

Чи відомо, скільки троянд розквітло на першому кущі?

Відомо.

Чи відомо, скільки троянд розквітло на другому кущі?

— Відомо.

Третій і четвертий етапи ознайомлення учнів із задачею нового виду (розв'язання задач, перевірка і відповідь) проводяться в такому плані, як у першому варіанті.

III варіант

Складання і розв'язування задачі за діями учнів.

— Складемо задачу про листівки. У Сергія було 4 листівки про тварин. Сергію, візьми листівки і поклади їх у конверт. (Сергій лічить листівки про тварин і кладе їх у конверт.) У нього було ще 5 листівок про міста України. Сергію, візьми листівки про міста України, лічи і клади їх у конверт. (Сергій лічить листівки про міста України і кладе їх у конверт.) 6 листівок Сергій подарував своєму товаришеві. (До дошки виходить учень, якому Сергій відлічує і дає 6 листівок з конверта.)

— Що нам відомо? (Скільки листівок про тварин було в Сергія.) Що ще відомо? (Скільки листівок про міста України було в Сергія.) Скільки листівок віддав Сергій своєму товаришеві? (6). Що невідомо? (Вчитель заглядає у конверт.)

Скільки листівок залишилось у Сергія.

Прочитайте умову задачі.

У Сергія було 4 листівки про тварин і 5 листівок про міста України. 6 листівок подарував Сергій товаришеві.

Прочитайте запитання задачі.

Скільки листівок залишилось у Сергія.

Подумайте, як розв'язати задачу.

На таблиці скорочений запис задачі.

Було — 4 і 5 л.

Подарував — 6 л.

Залишилось — ?

Вчитель пропонує уважно розглянути скорочений запис задачі.

Про що дізнаємось спочатку?

Скільки всього листівок було у Сергія.

Яку дію для цього виконаємо?

Дію додавання.

Продовжується робота над задачею аналогічно до першого чи другого варіантів ознайомлення учнів із задачею.

— Отже, ця задача розв'язується не однією, а двома діями.

Покажемо особливості ознайомлення учнів із складеними задачами, які містять визначення "більше на".

Тема. Складені задачі, що містять відношення "більше на".

Мета. Ознайомити учнів із складеними задачами, що містять відношення "більше на". Вдосконалювати вміння і навички розв'язувати прості задачі на знаходження суми, збільшення числа на кілька одиниць, знаходження зменшуваного та пояснювати способи їх розв'язання.

Задача. У гаражі було 6 вантажних автомобілів, а легкових — на 3 більше. Скільки всього автомобілів було в гаражі?

— Сьогодні будемо навчатись розв'язувати важкі задачі. Послухайте ось таку задачу.

Вчитель читає задачу, використовуючи таблицю з скороченим записом.

В. — 6 авт.

Л. — на 3 більше

Запис у зошиті і на дошці.

1) 6 + 3 -9 (авт.)

2) 6+9= 15 (авт.).

Відповідь. 15 автомобілів.

Розгляньте скорочений запис задачі, в якому буква "В" показує, скільки вантажних автомобілів було в гаражі, а буква "Л"— скільки легкових автомобілів. Чи можна відразу взнати, скільки всього автомобілів було в гаражі?

Не можна.

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього автомобілів було в гаражі?

Треба знати, скільки вантажних автомобілів і скільки легкових автомобілів було в гаражі.

Чи відомо, скільки вантажних автомобілів було в гаражі?

Відомо.

— Чи відомо, скільки легкових автомобілів було в гаражі?

— Невідомо.

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки легкових автомобілів було в гаражі?

Треба знати, скільки вантажних автомобілів було в гаражі і на скільки більше легкових автомобілів, ніж вантажних.

Чи відомо про це в задачі?

Відомо.

Про що дізнаємося спочатку?

Скільки легкових автомобілів було в гаражі.

Яку дію треба виконати?

Дію додавання: до числа 6 додати 3.

Чому?

Якщо легкових автомобілів було на 3 більше, ніж вантажних, то їх було стільки, скільки вантажних автомобілів, і ще 3.

Запищіть і обчисліть.

— До числа 6 додати 3, буде 9.

— Що означає число 9?

— 9 — число легкових автомобілів в гаражі.

Про що тепер можемо дізнатись?

Скільки всього автомобілів було в гаражі.

Яку дію треба виконати?

Дію додавання: число всіх автомобілів дорівнює сумі чисел б і 9, буде 15. 15 автомобілів було в гаражі.

У тій же таблиці подано скорочений запис другої задачі: "У гаражі було 6 вантажних автомобілів, а легкових — на 3 більше. Скільки легкових автомобілів було в гаражі?"

В. — 6 авт.

Л. — ?, на 3 авт. більше

Якою дією треба розв'язати задачу?

Дією додавання: до числа 6 додати 3, буде 9.

Чим подібні перша і друга задачі?

У задачах говориться про вантажні і легкові автомобілі. Однакові числа.

Чим відрізняються ці задачі?

Запитаннями. У першій задачі запитується про число всіх автомобілів, а в другій — про число легкових.

— Чим відрізняються розв'язання цих задач?

— Перша задача розв'язується двома діями, а друга — однією.

Покажемо особливості ознайомлення учнів із складеними задачами, які містять відношення "менше на".

Тема. Складені задачі, які містять відношення "менше на".

Мета. Ознайомити учнів із складеною задачею, яка містить відношення ''менше на". Вдосконалювати вміння і навички розв'язувати прості задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, пояснювати відшукання способу розв'язання складених задач, які містять відношення "менше на", порівнювати складені задачі такого типу.

Задача 1. В акваріумі плавало 8 чорних рибок, а жовтих — на 5 більше. Скільки жовтих рибок плавало в акваріумі?

— Яку дію виконаємо, щоб дати відповідь на запитання задачі?

— Дію додавання: до числа 8 додати 5, буде 13. 13 жовтих рибок плавало в акваріумі.

— Замініть у цій задачі слово більше словом менше. Прочитайте задачу.

— В акваріумі плавало 8 чорних рибок, жовтих — на 5 менше. Скільки жовтих рибок плавало в акваріумі?

Яку дію виконаєте, щоб дати відповідь на запитання задачі?

Дію віднімання: від числа 8 відняти 5, буде 3.

Чому треба виконати дію віднімання?

Якщо в акваріумі плавало 8 чорних рибок, а жовтих — на 5 менше, то жовтих рибок плавало стільки, скільки чорних, але без п'яти.

Задача 2. На липах птахи звили 8 гнізд, а на березах — на 3 гнізда менше. Скільки всього гнізд звили птахи на деревах? На таблиці подано скорочений запис задачі.

Л. – 8 гн.

Б. – на 3 гн. менше

Після вивчення задачі вчитель пропонує учням знайти спосіб розв'язання задачі.

Щоб дати відповідь на запитання задачі, треба знати, скільки гнізд звили птахи на липах і березах окремо. Скільки гнізд звили птахи на липах — відомо. Скільки гнізд звили птахи на березах — невідомо. Щоб дізнатися, скільки гнізд звили птахи на березах, треба знати, скільки гнізд звили птахи на липах і на скільки менше гнізд звили птахи на березах, ніж на липах. Це відомо в задачі.

Про що дізнаємось спочатку?

Скільки гнізд звили птахи на липах.

Яку дію для цього слід виконати?

Дію додавання: треба від числа 8 відняти 3.

Запишіть у зошитах.

Скільки буде?

5.

Про що дізнаємось у другій дії?

Скільки гнізд звили птахи на деревах?

Яку дію виконаємо?

Дію додавання: число всіх дерев, на яких птахи звили гнізда, дорівнює сумі чисел 8 і 5.

Запищіть: 8 + 5.

Скільки буде?

13.

Прочитайте відповідь.

На 13 деревах птахи звили гнізда.

Запис у зошиті.

1) 8-3 = 5(гн.);

2) 8 + 5= 13 (гн.).

Відповідь. 13 гнізд.

2. Порівняння розв'язання задач.

В одній банці 5 л фруктового соку, а в другій на 3 л соку більше. Скільки літрів фруктового соку в двох банках?

В одній банці 5 л фруктового соку, а в другій на 3 л соку менше. Скільки літрів фруктового соку в двох банках?

— Прочитайте першу задачу. Розв'яжіть задачу окремими діями без письмового пояснення.

Запис у зошиті.

1)5 + 3 = 8(л);

2)5 + 8- 13 (л). Відповідь. 13 л.

— Прочитайте другу задачу. Розв'яжіть задачу окремими діями без письмового пояснення. Запис у зошиті.

1)5-3 = 2(л);

2) 5 + 2 - 7(л).

Відповідь. 7 л.

Прочитайте розв'язання задач.

Порівняйте розв'язання задач. Чим вони відрізняються?

У першій задачі спочатку виконуємо дію додавання, а в другій — дію віднімання.

Чому в першій задачі спочатку виконуємо дію додавання, а в другій — дію віднімання?

Тому, що в першій задачі сказано, що в другій банці на 3 л більше, ніж у першій, а в другій задачі — на 3 л менше, ніж у першій.

Ознайомлення учнів із складеною задачею, розвиток уявлень про «механізм» розв'язування задач і формування вмінь розв'язувати задачі становлять фактично єдиний процес.

2.3 Розвиток умінь розв’язувати складені задачі

Формування й розвиток умінь в учнів початкових класів розв'язувати задачі забезпечуються дотриманням загальних методичних вимог у роботі над задачами, а також деякими спеціальними прийомами, які конкретизують і доповнюють загальнометодичні настанови.

Вміння розв'язувати задачі передбачає „знання тих загальних правил, які сприяють раціональному підходу до пошуків розв'язання” [43, 70]. У широкому розумінні розв'язування задачі розпочинається із збирання необхідної інформації. Вивчається задачна ситуація, запитання задачі, згадуються або знаходяться з певних джерел ті ознаки і властивості величин, про які йдеться в задачі.

Потім з'ясовуються залежності між даними і шуканими величинами, а також ознаки і властивості, які слід використати для знаходження відповіді на запитання. На основі цього визначається хід розв'язання. Далі роблять необхідні записи; визначають дії чи складають вираз або рівняння: здійснюють обчислення і записи відповіді; перевіряють розв'язання. У навчанні учнів початкових класів цей порядок роботи подається у вигляді порад, які формулюються в інструкції (пам'ятці).

Пам’ятка „Як розв’язувати складену задачу”

1. Уважно прочитай задачу; подумай, про що йдеться в ній; з'ясуй незрозумілі слова і вирази.

2. Виділи в задачі умову і запитання.

3. Подумай, що означає кожне число; який зв'язок між числами.

4. Визнач, задача проста чи складена? Якщо складена, то спробуй намітити план розв'язання.

5. Якщо план не вдалося відразу скласти:

а) випиши числові дані задачі або зроби короткий її запис;

б) пригадай, яку подібну задачу розв'язували раніше; розв'яжи частину задачі;

в) чи можна тепер знайти відповіді на основне запитання?

З порадами вчитель ознайомлює учнів поступово, добиваючись, щоб вони стали надбанням власного досвіду кожної дитини. Спочатку пам'ятка використовується в класі. Згодом варто запропонувати дітям записати її і користуватися при самостійному розв'язуванні задач.

Покажемо особливості формування вмінь і навичок учнів розв'язувати складені задачі на дії різного ступеня, першою з яких є дія другого ступеня.

1. На 5 однакових платтів витратили 15 м ситцю, а на халат — 4 м. На скільки більше ситцю витратили на халат, ніж на плаття?

— Поясніть розв'язання задачі.

1) 15:5 = 3;

2) 4-3- 1.

Відповідь. На 1 м.

2.У повітря піднялося 6 трійок літаків. На аеродромі залишилося 3 літаки. На скільки більше літаків піднялося в повітря, ніж залишилося на аеродромі?

На дошці записано план розв'язання задачі.

Скільки літаків піднялось у повітря?

На скільки більше літаків піднялось у повітря, ніж залишилося на аеродромі?

— До кожного запитання плану задачі підберіть дію і поясніть її вибір.

3. Купили 6 пакетів яблук, по 3 кг в кожному, і 4 кг груш. Скільки всього кілограмів фруктів купили?

— Івась розв'язав задачу так:

6 : 3 - 2 (кг);

2 + 4 = 6 (кг).

Відповідь. б кг.

— Чи правильно розв'язав задачу Івась? Які помилки допустив Івась? Розв'яжіть задачу правильно. Прочитайте її розв'язання.

4. 24 кг винограду розклали в 3 ящики порівну. Маса яблук в одному ящику на 7 кг більша. Скільки кілограмів яблук в одному ящику?

— Закінчіть розв'язання задачі:

1) 24 : 3 =

2)...................

Відповідь. ..................

5. Виноградний сік розлили у 8 трилітрових банок і одну десяти-літрову. Скільки всього літрів соку розлили в банки?

— Прочитайте задачу. Розгляньте малюнок.

Розв'яжіть задачу за схемою: □ ∙ □ +□ =□ (л)

Перевірте відповідь. В банки налили 34 л соку.

6. У бочці було 12 кг меду. В неї налили 6 банок меду, по 3 кг в кожну. На скільки більше кілограмів меду налили в бочку, ніж було в ній?

— Прочитайте задачу. Розгляньте малюнок.

Було Налили

— Розв'яжіть задачу за схемою: □ + □ ∙ □ = □ (л)

7. У бочці було 6 л бензину. В неї наливали бензин 5 разів, по 2 л кожного разу. На скільки менше літрів бензину було в бочці, ніж налили?

План розв'язання

Скільки літрів бензину налили?

На скільки менше літрів бензину було у бочці, ніж налили?

— Підберіть до кожного запитання плану розв'язання задачі дію. Поясніть вибір дії.

8. Михайлик заготовив для птахів 3 кульки насіння липи, по 2 кг кожний, і 4 кг горобини. Скільки кілограмів корму заготовив Михайлик?

— Поясніть, чому вираз 2 ∙ 3 + 4 є розв'язком задачі.

9. Петрусь заготовив для птахів 2 кульки насіння горобини, по 3 кг кожний, і 4 кг насіння липи. Скільки кілограмів корму заготовив Петрусь?

— Який із виразів: 3 ∙ 2 - 4 чи 3 ∙ 2 + 4 є розв'язком задачі? Поясніть.

10. Олег заготовив для птахів 3 кульки насіння горобини, по 2 кг кожний. За зиму згодував пташкам 5 кг корму. Скільки кілограмів корму залишилось?

У таблиці подано скорочений запис задачі.

Заготовив — 3 к., по 2 кг

Згодував — 5 кг

Залишилось — ?

Запишіть вираз, який буде розв'язком задачі, в зошит. Обчисліть його. Запишіть скорочену відповідь. Поясніть розв'язання задачі.

11. На шкільній ділянці учні посадили 7 рядів смородини, по 3 кущі в кожному, і в один ряд 6 кущів аґрусу. На скільки більше кущів смородини, ніж кущів аґрусу посадили учні?

— Розв'яжіть задачу окремими діями без письмового пояснення. Поясніть розв'язання задачі.

— Про що дізнались, склавши вирази: 1) 3 ∙ 7; 2) 6 - 3; 3) 3 ∙ 7 + 6?

12. Задача 1. Посадили 27 слив, по 3 сливи в ряді, та 11 рядів яблунь. Скільки всього рядів дерев посадили?

Задача 2. Посадили 4 ряди слив, по 3 сливи в ряді, і 27 яблунь. Скільки всього дерев посадили?

— Розв'яжіть задачі окремими діями без письмового пояснення. Що спільного в розв'язанні цих задач? Чим відрізняються розв'язання цих задач?

Покажемо особливості формування умінь розв'язувати складені за-дачі за даним планом.

Тема. Розв'язування задач за даним планом.

Мета. Ознайомити учнів із прийомами розв'язування задач за даним планом. Добитися, щоб кожен учень зміг підібрати дію до кожного запитання задачі і пояснити її вибір. Продовжити роботу над формуванням мовних форм у ході пояснення вибору дії до простих задач на знаходження суми двох доданків і остачі. Формувати вміння і навички записувати розв'язання задачі окремими діями без письмового пояснення, розвивати зв'язне мовлення при поясненні розв'язання задач.

І варіант

Задача 1. У гаражі було 6 легкових і 7 вантажних автомобілів. 8 автомобілів поїхало. Скільки автомобілів залишилося в гаражі? Вчитель читає задачу.

Скільки легкових автомобілів було в гаражі?

У гаражі було 7 легкових автомобілів.

Скільки вантажних автомобілів було в гаражі?

У гаражі було 7 вантажних автомобілів.

— Що ще відомо в задачі?

— З задачі відомо, що 8 автомобілів поїхало.

— Про що запитується в задачі?

— Скільки автомобілів залишилося в гаражі.

Подумайте, як розв'язати задачу.

Вчитель відкриває дошку.

— На дошці подано скорочений запис задачі та план її розв'язання. Уважно розгляньте їх.

Було	— 6	і 7 авт.
Поїхало	— 8	авт.
Залишилось	—?

План розв'язання

Скільки всього автомобілів було в гаражі?

Скільки автомобілів залишилось у гаражі?

До кожного запитання плану підберіть дію і поясніть свій вибір. Прочитайте перше запитання плану.

Скільки всього автомобілів було в гаражі,

Яку дію треба виконати, щоб дати відповідь на це запитання?

Треба виконати дію додавання.

Чому?

Якщо в гаражі було 6 легкових автомобілів і 7 вантажних автомобілів, то число всіх автомобілів дорівнює сумі чисел 6 і 7. До числа 6 додати 7, буде 13.

Запишіть: 6 + 7 = 13 (авт.)

—13 — число всіх автомобілів у гаражі.

Прочитайте друге запитання плану.

Скільки автомобілів залишилось у гаражі.

Яку дію треба виконати?

Дію віднімання.

Чому треба виконати дію віднімання?

— Якщо в гаражі було 13 автомобілів, 8 — виїхало, то в гаражі залишилось автомобілів менше, ніж було. Треба від числа 13 відняти 8, буде 5.

— Запишіть: 13-8-5 (авт.)

Запис у зошиті.

1)6 + 7= 13(авт.);

2) 13-8-5 (авт.).

Відповідь. 5 автомобілів.

— Прочитайте відповідь задачі.

— 5 автомобілів залишилося в гаражі.

— Запишіть: "Відповідь. 5 автомобілів."

II варіант

Вчитель відкриває дошку, на якій записана задача і подано її скорочений запис.

Було	Поїхало	Залишилось
6 і 7 авт.	8 авт.	?

Прочитайте задачу. (Учень читає.)

Розгляньте уважно скорочений запис задачі і подумайте як її розв'язати.

Вчитель відкриває другу частину дошки, на якій записано план розв'язання задачі.

— Прочитайте перше запитання плану розв'язання задачі. (Учень читає.)

Яку дію треба виконати, щоб дати відповідь на це запитання?

Дію додавання.

Прочитайте друге запитання плану. Яку дію треба виконати?

Дію віднімання.

Чому?

Якщо з гаражу виїхали автомобілі, то їх залишилося менше, ніж було.

— Розв'язання задачі запишіть у зошит без пояснення і відповідь у скороченому вигляді. (Учні виконують самостійно.)

— Прочитайте розв'язання задачі.

1) 6 + 7= 13(авт.);

2) 13-8-5 (авт.).

Чи правильно розв'язали задачу?

Правильно.

Чому?

Тому, що ми про це раніше вказали: автомобілів залишилось менше, ніж було.

Прочитайте відповідь.

У гаражі залишилося 5 автомобілів.

Запишіть: "Відповідь. 5 автомобілів."

2. У магазині було 8 дитячих велосипедів і 7 велосипедів для дорослих. За день продали 9 велосипедів. Скільки велосипедів залишилось у магазині? На таблиці — скорочений запис задачі.

Було — 8 і 7 в.

Продали — 9 в.

Залишилось — ?

На дошці записано план розв'язання задачі.

Скільки всього велосипедів було в магазині?

Скільки велосипедів залишилося в магазині?

— Поясніть розв'язання задачі за даним планом.

— Щоб взнати, скільки всього велосипедів було в магазині, треба до числа дитячих велосипедів додати число велосипедів для дорослих. 8 і 7, буде 15. У магазині було 15 велосипедів. 9 велосипедів продали. У мага-зині велосипедів стало менше. Треба від числа 15 відняти 9. Буде 6. 6 велосипедів залишилося в магазині.

3. Складіть задачі за скороченим записом і розв'яжіть їх.

Було — 5 і 6 Було — 4 і 5

Взяли — 8 Посадили — 7

Залишилось — ?Стало — ?

Покажемо особливості формування в учнів навичок розв'язування складених задач різними способами.

Тема. Розв'язування задач різними способами.

Мета. Ознайомити учнів із різними способами розв'язування задачі на дві дії (перша дія на знаходження суми двох чисел, друга — на знаходження остачі) способом відшукання її розв'язку від запитання до числових даних. Навчити учнів культури зв'язного пояснення розв'язання задач різними способами за наперед заданим планом та окремими діями.

Задача 1. В овочевому кіоску було 9 ящиків з картоплею і 8 ящиків з огірками. До обіду продали 7 ящиків овочів. Скільки ящиків з овочами залишилось? На таблиці подано скорочений запис задачі.

Було — 9 і 8 ящ.

Продали — 7 ящ.

Залишилось — ?

Вчитель читає задачу.

Розгляньте скорочений запис задачі і подумайте, як її розв'язати.

Що досить знати, щоб знайти, скільки ящиків з овочами залиши-лось у кіоску?

— Щоб взнати, скільки ящиків з овочами залишилось у кіоску, досить знати, скільки ящиків з картоплею і огірками було разом і скільки ящиків з овочами продали.

Чи відомо, скільки ящиків з овочами продали?

Відомо.

Чи відомо, скільки ящиків з картоплею, і огірками було разом?

Невідомо.

— Що треба знати, щоб знайти, скільки ящиків з картоплею і огірками разом було в кіоску?

Треба знати, скільки ящиків з картоплею і скільки ящиків з огірками було в кіоску.

Чи відомо, скільки ящиків з картоплею було в кіоску?

Відомо.

Чи відомо, скільки ящиків з огірками було в кіоску?

Відомо.

Про що дізнаємося спочатку?

Скільки всього ящиків з картоплею і огірками було в кіоску.

Яку дію треба виконати?

Дію додавання.

Чому?

Якщо в кіоску було 9 ящиків з картоплею і 8 ящиків з огірками, то число всіх ящиків дорівнює сумі чисел 9 і 8.

Скільки буде, якщо до числа 9 додати 8?

9 і 8, буде 17.

Запишіть. До числа 9 додати 8, буде 17.

Що означає число 17?

17 ящиків з овочами було в кіоску.

Про що дізнаємося в другій дії?

Скільки ящиків з овочами залишилося в кіоску.

Яку дію виконаємо?

Дію віднімання.

Чому?

Якщо продали ящики з овочами, то їх стало менше.

Запишіть: 2) 17-7 = 10 (ящ.).

Що означає число 10?

10 ящиків з овочами залишилося в кіоску.

Чи правильно ми розв'язали задачу?

Правильно. Одержали менше число ящиків, ніж було.

— Цю задачу можна розв'язати іншими способами. Яким способом можна її розв'язати, якщо 7 ящиків з картоплею продали до обіду? Розв'я-жіть самостійно, запишіть розв'язання окремими діями без пояснення і відповідь у скороченому вигляді

Запис у зошиті.

ІІ спосіб

1) 9-7- 2 (ящ.);

2) 2 + 8= 10 (ящ.).

Відповідь. 10 ящиків.

— Прочитайте розв'язання задачі. Яку дію виконали спочатку?

— У першій дії від числа 9 відняли 7, одержали 2.

— Про що дізнались цією дією?

— Скільки ящиків з картоплею залишилось.

Про що дізнались у другій дії?

Скільки ящиків з овочами залишилось.

Прочитайте, яку дію виконали.

До числа 2 додати 8, буде 10.

Прочитайте відповідь.

10 ящиків.

Якщо продали всі 7 ящиків з огірками, то розв'язання задачі буде іншим. Запишіть у зошитах розв'язання задачі третім способом. Яку дію треба виконати спочатку?

Дію віднімання.

Прочитайте розв'язання задачі.

Від числа 8 відняти 7, буде 1.

Чому від числа 8 відняли 7?

Тому, що продали 7 ящиків з огірками. Треба від числа ящиків з огірками, які були, відняти число ящиків з огірками, що продали.

— Закінчіть розв'язання задачі.

Задача 2. Учні повинні прополоти 8 грядок моркви і 9 грядок цибулі. Пропололи 7 грядок овочів. Скільки грядок овочів залишилося прополоти учням?

Скорочений запис задачі

Повинні прополоти — 8 і 9 гр.

Пропололи — 7 гр.

Залишилось — ?

Поясніть розв'язання задачі трьома способами.

І спосіб

Скільки грядок овочів повинні прополоти учні?

Скільки грядок овочів залишилося прополоти учням?

ІІ спосіб

Скільки грядок моркви пропололи учні?

Скільки грядок овочів залишилося прополоти учням?

ІІІ спосіб

Скільки грядок цибулі пропололи учні?

Скільки грядок овочів залишилося прополоти учням?

— Розгляньте план розв'язання задачі першим способом. Поясніть розв'язання задачі цим способом.

Якщо учні повинні прополоти 8 грядок моркви і 9 грядок цибулі, то вони повинні прополоти число грядок, що дорівнює сумі чисел 8 і 9. Буде 17. 17 грядок овочів повинні прополоти учні. Пропололи 7 грядок овочів. Залишилося прополоти грядок менше, ніж повинні прополоти. Треба від числа 17 відняти 7, буде 10. 10 грядок овочів залишилося прополоти учням.

Прочитайте уважно план розв'язання задачі другим способом. Поясніть розв'язання задачі цим способом.

Учні могли спочатку прополоти грядки моркви. Вони повинні були прополоти 8 грядок моркви, а пропололи 7 грядок моркви. Залишилося прополоти грядок моркви менше, ніж повинні прополоти. Треба від числа 8 відняти 7, буде 1. Залишилося прополоти одну грядку моркви і 9 грядок цибулі. Число всіх грядок овочів, які залишилося прополоти, дорівнює сумі чисел 1 і 9. Буде 10. 10 грядок овочів залишилося прополоти учням.

Прочитайте план розв'язання задачі третім способом. Поясніть розв'язання задачі цим способом.

Учні могли спочатку прополоти грядки цибулі. Вони повинні були прополоти 9 грядок цибулі, а пропололи 7 грядок цибулі. Залишилося прополоти грядок цибулі менше, ніж повинні прополоти. Треба від числа 9 відняти 7, буде 2. Залишилось прополоти дві грядки цибулі і ще 8 грядок моркви. Число всіх грядок овочів, які залишилося прополоти, дорівнює сумі чисел 2 і 8, буде 10. 10 грядок овочів залишилося прополоти учням.

— Отже, цю задачу ми розв'язали трьома способами.

Задача 3. В одному куску було 8 м синьої стрічки, в другому — 9 м жовтої. На виготовлення іграшок витратили 7 м. Скільки метрів стрічки залишилось 9 У таблицях подано три способи розв'язання задачі.

— Поясніть, про що дізнавались за допомогою кожної дії?

І спосіб II спосіб III спосіб

1) 8 + 9=17;1) 8-7-1;1) 9-7-2;

2) 17-7=10.2) 9+1-10. 2) 8 + 2-10.

Покажемо особливості формування вмінь і навичок розв'язувати складені задачі, які містять відношення "більше на" і "менше на".

1. У букеті було 7 рожевих троянд, а білих — на дві троянди більше. Скільки всього троянд було в букеті?

— Поясніть, чому задачу розв'язали саме так (запис розв'язання задачі викладено вставними картками у комплексну змінну таблицю):

1) 7 + 2 = 9;

2) 7 + 9 = 16.

2. У море виїхало 8 малих катерів, а великих — на 3 менше. Скільки всього катерів виїхало в море?

— Поясніть, чому задачу розв'язали так:

1) 8-3 = 5;

2) 8 + 5 = 13.

3. Задача 1. У магазині було 6 ящиків з виноградним соком, а ящиків з яблучним соком — на 3 більше. Скільки всього ящиків із соком було в магазині?

Задача 2. Шкільне подвір'я прибирало 8 хлопчиків, а дівчаток — на 5 менше. Скільки всього дітей прибирало подвір'я?

— Яка із задач розв'язується діями віднімання і додавання? Розв'яжіть усно першу задачу. Прочитайте відповідь.

4. Першого дня учні відремонтували 9 табуреток, а другого — на 5 менше. Скільки табуреток відремонтували учні за два дні?

— Закінчіть розв'язання задачі і поясніть.

1) 9-5 =

2) .......

5. На шкільній виставці було 7 виробів з пластиліну, а виробів з тканини – на 3 менше. Скільки виробів з тканини було на шкільній виставці?

— Скількома діями розв'язується ця задача? Змініть умову задачі так, щоб вона розв'язувалась двома діями.

6. У шафі було 5 банок з вишневим варенням, а з малиновим — на 4 банки більше.

— Поставте запитання так, щоб задача розв'язувалась двома діями.

7. З класу вийшло 5 дівчаток, а хлопців — на скільки дітей вийшло з класу?

— Доповніть умову задачі так, щоб вона розв'язувалась двома діями — діями додавання. Доповніть умову задачі так, щоб вона розв'язувалась двома діями: віднімання і додавання.

8. У цирку виступало 7 білих коней, а чорних — на 2 менше. Скільки чорних коней виступало в цирку?

1)7 + 2 = 9; 2)7+9= 16.

— Знайдіть помилку в розв'язанні задачі.

9. У майстерні було 5 сувоїв сукна, а сувоїв полотна — на 4 більше. Скільки сувоїв тканини було в майстерні?

1) 5-4-1;

2) 5+1=6.

— Знайдіть помилку в розв'язанні задачі.

10. В одній клітці було 4 кролі, а в другій — на 2 більше. Скільки кролів було в двох клітках?

— Розв'яжіть задачу усно. Прочитайте відповідь задачі. Замініть слово "більше" словом "менше". Розв'яжіть задачу окремими діями без письмового пояснення.

11. Петро розв'язав 7 задач, а Павло — на 3 задачі менше.

Поставте запитання так, щоб задача розв'язувалась однією дією, двома діями. Розв'яжіть задачу на дві дії.

12. У магазині було кілька мішків цукру. Продали 8 мішків цукру, після чого залишилося на 4 мішки цукру менше, ніж продали. Скільки мішків цукру було в магазині?

План розв'язання

Скільки мішків цукру залишилось в магазині?

Скільки мішків цукру було в магазині?

— До кожного запитання підберіть дію і поясніть її вибір.

13. Оленка купила 3 зошити, а Максим — на 5 зошитів більше. Скільки зошитів купили діти?

— Розв'яжіть задачу. Складіть задачу з цими самими числами про автомобілі. Прочитайте відповідь задачі.

14. На аеродромі 9 літаків, а вертольотів — на 4 менше. Скільки вертольотів на аеродромі?

— Розв'яжіть задачу. Складіть задачу про літаки і вертольоти, але число 9 замініть числом 8.

15.У шкільному ляльковому театрі виступало 5 ляльок, а звірят — на 3 більше. Скільки всього артистів виступало в ляльковому театрі?

— Розв'яжіть задачу. Складіть задачу про ляльковий театр, але число 3 замініть числом 4.

16. Складання задачі за скороченим записом.

Було — на 4 авт. більше, ніж приїхало.

Приїхало — 5 авт.

Стало — ?

— Складіть задачу про вантажні автомобілі. Розв'яжіть задачу.

17. Задача з недостатніми даними.

Петро розв'язав на 3 задачі більше, ніж Сергій. Скільки задач розв'язав Петро і Сергій разом?

18. Задача із зайвими даними.

Мати купила 4 чашки, 6 великих тарілок, а малих — на 2 більше, ніж великих. Скільки всього тарілок купила мама?

Навчання учнів розв'язувати задачі — не ізольований процес, він безпосередньо пов'язаний із загальною атмосферою в класному колективі. Слід виховувати інтерес до самостійного розв'язування задач, заохочувати учнів знаходити раціональні прийоми обчислення.

Кожна нова задача має спиратися на набуті вже знання і повсякденний досвід, відповідати природній допитливості дитини. Разом з тим, якщо задача розв'язана (засвоєна), то її слід використати для розв'язування інших задач, для відшукання простіших способів розв'язування та постановки нових перспектив. Звідси випливає потреба у творчій роботі над розв'язаною задачею.

При формуванні вмінь розв'язувати задачі велике значення мають і деякі спеціальні заходи навчального і виховного характеру. Учнів необхідно орієнтувати на таку настанову: над розв'язуванням задачі треба думати, оскільки прийоми знаходження відповіді невідомі, їх треба знайти. Тому при опрацюванні умови учнів не слід «підганяти», вони повинні мати час на обмірковування.

2.4 Організація і зміст експериментального дослідження, аналіз його ефективності

Дослідно-експериментальна робота з формування умінь розв’язувати складені задачі проводилася у 2-х класах Жуківської загальноосвітньої середньої школи І-ІІІ ступенів імені Б.Лепкого Бережанського району Тернопільської області. Загалом експериментальним дослідженням було охоплено 43 учні. У формуючому експерименті було задіяно 23 школярі.

Робота проводилася у три етапи протягом 2007-2009 рр.

На першому етапі (І семестр 2007–2008 н. рр.) здійснено аналіз науково-методичної літератури з обраної проблеми, визначено методологічні та теоретичні основи дослідження, його об'єкт, предмет, мету й основні завдання, уточнено гіпотезу, розроблено методику констатуючого експерименту.

На другому етапі дослідження (ІІ семестр 2007 – 2008 н. рр.) проведено констатуючий експеримент, визначено та обґрунтовано педагогічні умови і розроблено удосконалену методику за виділеними напрямками формування умінь розв’язувати складені задачі у 2 класі.

На третьому етапі дослідження (2008–2009 н. рр.) проведено формуючий експеримент, здійснено аналіз і узагальнення одержаних даних, сформульовано основні висновки дослідження, підготовлено відповідні методичні рекомендації.

Власне експериментальне дослідження було проведене за такої послідовності.

На констатуючому етапі проведено діагностику сформованості умінь другокласників розв’язувати складені задачі в контрольному та експериментальному класах.

Для з’ясування первинних даних використана комплексна методика діагностики, яка включала педагогічне спостереження за математичною діяльністю учнів, опитування дітей, розв’язування ними спеціально розробленої системи складених задач. На основі виділених критеріїв визначено три рівні сформованості умінь розв’язувати складені задачі (умовно названих репродуктивним, конструктивним і творчим), супроводжених описовими характеристиками, що забезпечило можливість кваліфікованого проведення констатуючого й контрольного експериментальних зрізів.

Характеристики даних рівнів наступні:

Репродуктивний рівень – уміння відтворювати ознаки понять, законів, репродукування відомих способів дій дає змогу розв’язувати завдання за взірцем, що не сприяє формуванню достатньо узагальнених і міцних зв’язків.

Конструктивний рівень – міцно засвоєні алгоритми виконання завдань дають змогу використовувати одержані раніше знання у змінених ситуаціях, що сприяє встановленню одиничних зв’язків між поняттями, поняттям і законом і т. ін. Це, однак, не дає змоги робити глибокі узагальнення, застосовувати знання в нових ситуаціях.

Творчий рівень – міцно засвоєні основні положення дають можливість забезпечити високий рівень узагальнення знань, встановити міжпредметні зв’язки, що, в свою чергую сприяє творчому використанню одержаних знань в нових ситуаціях це дає змогу виявити нові причинно-наслідкові зв’язки, зробити узагальнення і висновки.

Аналіз проведених контрольних робіт (1-й зріз), відвіданих уроків учителів початкових класів (понад 20), особистого педагогічного досвіду дали змогу виявити основні напрямки роботи по формуванню в учнів 2 класу вмінь розв’язувати складені задачі, визначити місце таких задач у структурі математичної діяльності другокласників, розробити відповідні завдання.

На формуючому етапі експерименту з учнями експериментального класу проводилася цілеспрямована робота з формування умінь розв’язувати складені задачі; при цьому учні контрольного класу навчалися за традиційною методикою.

Відповідно до програми 2 класу ми розробили систему складених задач різних видів, які опрацьовували в експериментальному класі. Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості знань і вмінь молодших школярів. Так, учні експериментального класу значно краще виконали запропоновані завдання, ніж учні контрольного.

Метою розробленої системи складених задач було формування таких умінь:

усвідомлення істотних ознак складеної задачі;

всебічний аналіз складеної задачі;

розрізнення складених і простих задач;

пояснення вибору дії;

самостійний запис розв’язання задачі даного виду в зошит;

розв’язування складених задач за поданою схемою (планом розв’язання);

порівняння простих і складених задач;

складання складених задач за таблицею, схемою, малюнком;

самостійне розв’язання подібної задачі.

В експериментальному класі використовувалась розроблена нами і проаналізована в попередніх параграфах дипломної роботи методика формування вмінь учнів 2 класу розв’язувати складені задачі. Задачний матеріал підручників піддавався методичній обробці, що забезпечувало різнорівневе навантаження учнів. Диференціювання задач відповідно до рівнів математичної підготовки школярів активізувало їх мислительну діяльність. Особливе місце в експериментальному навчанні займали тематичні уроки систематизації знань по розв’язуванню задач. Їх ми проводили два рази на місяць.

На узагальнювальному етапі експерименту виявлялася ефективність проведених занять шляхом порівняння навчальних досягнень учнів контрольного та експериментального класів у галузі сформованості умінь розв’язувати складені задачі.

На цьому етапі проводився 2-й контрольний зріз, де учням контрольного і експериментального класів пропонувалися однакові завдання. Подамо зразки таких завдань.

Варіант І

З однієї ділянки зібрали 47 кг моркви, а з другої – на 5 кг більше. Скільки кілограмів моркви зібрали з двох ділянок?

Перший клас здав на виставку 24 малюнки, другий — на 7 малюнків менше, а третій — стільки, скільки перший і другий класи разом. Скільки малюнків здав на виставку третій клас?

Тарас купив 2 гумки, по 70 к. кожна, і блокнот за 1 грн. 95 к. Скільки копійок заплатив Тарас за покупку?

Варіант II

З ділянки зібрали 50 кг цибулі, а буряків — на 7 кг менше. Скільки кілограмів овочів зібрали з ділянки?

Петро наклеїв у один альбом 32 марки, в другий — на 9 марок більше, а в третій — на 8 марок менше, ніж у другий. Скільки марок наклеїв Петро в третій альбом?

Продавець насипав у 8 пакетів, по 2 кг цукру у кожний, і в один пакет — 5 кг. На скільки більше кілограмів цукру насипав продавець у 8 пакетів, ніж в один?

Одержані в результаті експерименту дані свідчать про більш високий рівень сформованості вмінь учнів експериментального класу порівняно з контрольними розв’язувати складені задачі. Так, порівняльний аналіз росту успішності учнів протягом експериментального навчання показав, що творчим рівнем сформованості вмінь розв’язувати складені задачі оволоділи 23% учнів експериментального класу (у контрольному – відповідно 12%), конструктивним – 58% учнів експериментального класу (у контрольному – 51%), репродуктивним – 19% учнів експериментального класу (у контрольному – 37%).

Порівняно з початком експерименту, показники сформованості відповідних умінь розв’язувати складені задачі, зросли в обох класах (початкового рівня ми не виявляли, оскільки на початку експерименту діти ще не були знайомі зі складеними задачами). Проте в експериментальному класі наприкінці дослідження ці показники виявилися значно вищими (відповідно 77 і 82% – див. діаграму).

Проведення експериментального дослідження дало змогу виявити і оцінити ефективність використання пропонованої системи складених задач, і простежити процес розвитку умінь розв’язувати їх. У процесі використання розробленої системи складених задач в експериментальному класі значно підвищився рівень сформованості відповідних умінь.

Діаграма

Сформованість умінь розв’язування складених задач наприкінці експерименту

Результати теоретичного і експериментального дослідження підтверджують висунуту гіпотезу і довели ефективність розробленої методики формування вмінь учнів 2 класу розв’язувати складені задачі.

Висновки

Задачі становлять специфічний розділ програми, матеріали якого учні мають засвоїти, і виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. Задачі класифікують на навчальні, пошукові і проблемні; практичні і математичні; стандартні і нестандартні; дидактичні, пізнавальні і розвиваючі; задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну діяльність; організують та здійснюють навчально-пізнавальну діяльність учнів; задачі, у процесі виконання яких здійснюється контроль та самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності; задачі на рух, задачі на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного; задачі на обчислення, задачі на побудову, задачі текстові, задачі комбінованого характеру; прості і складені.

Складені арифметичні задачі відіграють важливу роль у навчанні загальних прийомів розумової діяльності, які необхідні для розв’язання задачі: аналізувати, виділити відоме і невідоме; встановлювати зв’язки між даними і шуканим; складати план розв’язування; перекладати залежності між даними і шуканим, сформульовані словами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь; виконувати відповідні дії і знаходити відповідь на запитання задачі; перевіряти розв’язання. Ознайомлення з поняттям “складена задача” здійснюється в 2 класі на задачах на знаходження остачі, й ці задачі пропонуються учням майже протягом усієї теми. При цьому ознайомлення з поняттям “складена задача” та процесом її розв’язування проводиться на різноманітних математичних структурах задач.

Важливим елементом складеної задачі, що дає змогу досягти мети, є розв’язування, тобто процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних логічних правил виводу і особливих правил евристичного характеру. Цей процес складається з аналізу задачі, пошуку плану розв'язування; здійснення знайденого плану розв'язування (розв'язання); з'ясування, що здобутий результат задовольняє вимогу задачі (перевірка розв'язання); аналіз розв'язування (з'ясування прийомів розв'язування, розгляд інших способів). При цьому виділяють етапи: ознайомлення із змістом задачі; аналіз задачі і відшукання плану розв'язування; розв'язання; перевірка розв'язування задачі.

Загальне вміння розв’язувати складену задачу утворює складний комплекс, що включає активне оперування математичними знаннями і відповідними вміннями й навичками, досвід у застосуванні знань і певну сукупність розумових дій, які необхідні для розв’язання. Аналіз діяльності учнів початкових класів під час розв’язання текстових задач дозволив виявити структуру даного вміння. Остання включає знання, специфічні для формування вмінь розв’язувати текстові задачі певного виду і знання, інваріантні для загального вміння (знання про текстову задачу, її склад та процес розв’язування).

Формування поняття про складену задачу та ознайомлення з процесом розв’язування складених задач здійснюється за допомогою порівняння задачі з двома запитаннями та відповідної складеної задачі; порівняння простої та складеної задач, які мають однакові умови; вибору необхідних і достатніх ознак для розпізнавання складеної задачі; підведення під поняття “складена задача”; виведення наслідків про належність або неналежність задачі до поняття “складена задача”. Спеціально опрацьовується уміння виконувати аналітичний пошук розв’язування задачі – спочатку до задач подаються готові схеми аналізу, потім – діти повинні самостійно заповнити схему аналізу на картці з друкованою основою, а далі складають її самі. Аналогічно формується вміння розбивати складену задачу на прості і визначати порядок розв’язування простих задач. Істотним в організації діяльності учнів є спрямованість не на розв’язання кожної конкретної задачі, а на оволодіння комплексом умінь.

Формування загального вміння розв’язувати складені задачі реалізується за допомогою систем навчальних задач для 2 класу. Навчання розв’язувати складені задачі доцільно здійснювати на різноманітних математичних структурах задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв’язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі або порівняння зі схожими простими задачами, або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури.

При формуванні вміння розв’язувати складені задачі в 2 класі учні ознайомлюються з такими видами складених задач: задачі на знаходження невідомого зменшуваного; задачі на дві дії (поняття про складену задачу); складені задачі, які містять відношення "більше на"; складені задачі, які містять відношення "менше на"; задачі на знаходження третього доданка за сумою і двома відомими доданками; задачі на знаходження невідомого від'ємника; задачі на знаходження числа, яке задане подвійним різницевим відношенням; задачі на знаходження числа, яке на кілька одиниць більше (менше) від суми двох чисел.

Пропедевтична робота при введенні складених задач кожного із вказаних видів базується на уявленні дітей про відмінність складеної задачі від простої. Для розв'язання складеної задачі не досить встановити й обчислити арифметичні відношення між даними числами, а треба обов'язково знайти і обчислити одне або кілька відношень між ними і проміжними результатами чи між самими проміжними результатами. Для ознайомлення учнів із складеною задачею доцільно взяти складену задачу, яка розв'язується різними діями першого ступеня. Питання про те, якого виду ця задача, дискусійне.

Формування й розвиток умінь в учнів початкових класів розв'язувати задачі забезпечуються дотриманням загальних методичних вимог у роботі над задачами і деякими спеціальними прийомами. Вміння розв'язувати задачі передбачає знання загальних правил, які сприяють раціональному підходу до пошуків розв'язання. У навчанні учнів початкових класів порядок роботи над складеною задачею подається у вигляді порад, які формулюються в інструкції (пам'ятці).

Дослідно-експериментальна робота з формування умінь розв’язувати складені задачі була проведене у такій послідовності. На констатуючому етапі проведено діагностику сформованості умінь розв’язувати складені задачі в контрольному та експериментальному класах. Для з’ясування первинних даних використана комплексна методика діагностики, яка включала розв’язування спеціально розробленої системи складених задач. На основі виділених критеріїв визначено рівні сформованості умінь розв’язувати складені задачі (репродуктивний, конструктивний і творчий), що забезпечило можливість кваліфікованого проведення констатуючого й контрольного експериментальних зрізів. На формуючому етапі з учнями експериментального класу проводилася цілеспрямована робота ; при цьому учні контрольного класу навчалися за традиційною методикою.

Відповідно до програми 2 класу ми розробили систему складених задач різних видів, які опрацьовували в експериментальному класі. Метою розробленої системи складених задач було формування таких умінь: усвідомлення істотних ознак складеної задачі; всебічний аналіз складеної задачі; розрізнення складених і простих задач; пояснення вибору дії; самостійний запис розв’язання задачі даного виду в зошит; розв’язування складених задач за поданою схемою (планом розв’язання); порівняння простих і складених задач; складання складених задач за таблицею, схемою, малюнком; самостійне розв’язання подібної задачі.

Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості знань і вмінь молодших школярів. Одержані дані свідчать про вищий рівень сформованості вмінь учнів експериментального класу розв’язувати складені задачі. У процесі використання розробленої системи складених задач в учнів експериментального класу підвищився рівень сформованості умінь. Результати дослідження підтвердили висунуту гіпотезу і довели ефективність розробленої методики формування вмінь учнів 2 класу розв’язувати складені задачі.

Використана література

1. Аршак Р.О. Диференціювання завдань при розв’язуванні текстових задач // Початкова школа. – 1996. – № 12. – С.21 - 22.

2. Бакан Н.В., Шост Н.Б. Уроки математики. 4 клас: Посібник для вчителя. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2006. – 320 с.

3. Бантова М.О. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Вища школа, 1982. – 288 с.

4. Басангова Р.Е. Стимулювання пізнавальної діяльності учнів в ході розв’язування задач // Поч. школа. – 1989. – №1. – С. 40-44.

5. Белова Е.С. Развитие диалога в процессе решения школьниками мыслительных задач // Вопр. психологии. – 1991. – №2. – С. 148-153.

6. Богданович М.Б. Методика розв’язування задач у початковій школі. – К.: Вища школа, 1990. – 183 с.

7. Богданович М.Б., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2001. – 368 с.

8. Богданович М.В. Математика: Підручник для 2 кл. – К.: Освіта, 1994. – 224 с.

9. Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Посібник для вчителя. – К.: Рад. школа, 1990. – 192 с.

10. Василенко І.З. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Просвіта, 1971. – 376 с.

11. Вікова та педагогічна психологія: Навч. посіб. / О.В. Скрипченко, Л.В. Волинська, З.В. Огороднійчук та ін. – К.: Просвіта, 2001. – 416 с.

12. Газдун М.І. Як учити молодших школярів розв’язувати задачі // Початкова школа. – 1988. – №11. – С. 70-72.

13. Галузинський В.М., Євтух М.Б. Педагогіка: теорія та історія. – К.: Вища школа, 1995. – 237с.

14. Глобчак В. Особистісно-орієнтоване навчання і виховання молодших школярів у початковій ланці // Рідна школа.-2004.-№4.– С.19-20.

15. Глушков И.К. Дифференцированная работа над задачами // Начальная школа. – 1985. – №2. – С. 34-35.

16. Гора Т., Логачевська С. Диференційований підхід до розв'язування текстових задач // Початкова школа. – 2002. - №1. – С. 17-22.

17. Громова П.Т. Ознайомлення учнів початкової школи із поняттям текстової задачі // Науковий вісник Ізмаїльського державного педагогічного інституту. –Ізмаїл, 1998. – Вип.4. - С. 116 - 121.

18. Державна національна програма «Освіта» (Україна XXI століття). - К.: Райдуга, 1994. – 112 с.

19. Загоруй Р.В. Розвивальне значення математичних задач // Початкова школа. – 1985. – №2. – С.14 - 15.

20. Заїка А., Богданович М. Учням про задачу і процес її розв’язування // Початкова школа. – 2000. – №11. – С. 28-29.

21. Захарова А.М. Розвивальне навчання математики в початковій школі // Психологія і педагогіка. – 2000. – №1. – С. 21-27.

22. Истомина Н.Б., Шикова В.Н. Формирование умений решать задачи различными способами // Начальная школа. – 1985. – №9. – С. 50-54.

23. Карнаух П.М. Цікаві завдання з математики. 4 клас. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2007. – 48 с.

1. Кіналь М.П. та ін. Математика. 1-4 класи. Посібник для вчителів початкових класів, методистів та учнів. – Тернопіль: Астон, 2002. – 99 с.

2. Козак М.В., Корчевська О.П., Маланюк К.П. Уроки математики у 2 класі. – Тернопіль: Астон, 2003. – 304 с.

3. Концепція загальної середньої освіти (12-річна школа) // Педагогічна газета. - 2002. - Січень. - №1. - С. 4-7.

4. Король Я.А. Математика в початкових класах: Культура усного і писемного мовлення. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2000. – 160с.

5. Король Я.А. Піднесення культури математичної мови // Початкова школа. – 1995. – №1. – С. 11-12.

6. Король Я.А. Розв’язування текстових задач різними способами // Актуальні проблеми розбудови національної освіти. Ч. ІІІ. – К.-Херсон, 1997. – С. 76-78.

7. Король Я.А. Формування практичних умінь і навичок на уроках математики. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2000. – 136 с.

8. Король Я.А., Романишин І.Я. Математика. Методика роботи над текстовими задачами. 1 клас. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2002. – 68 с.

9. Король Я.А., Романишин І.Я. Математика. Методика роботи над текстовими задачами. 4 клас. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2003. – 184 с.

10. Корчевська О.П., Козак М.В. Робота над математичними задачами в 4 класі. Поурочні розробки. – Тернопіль: Астон, 2002. – 204 с.

11. Корчевська О.П., Кордуба Н.С. Диференційовані контрольні роботи з математики для 4(3) класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2001. – 32 с.

12. Корчевська О.П., Кордуба Н.С. Нестандартні уроки з математики. 1-4 класи. – Тернопіль: Астон, 2003. – 160 с.

13. Кочина Л., Листопад Н. Математика: навчальні програми для чотирирічної початкової школи // Початкова школа. – 2001. – №7. – С. 17-20.

14. Кухар В.М., Паюл В.М. Скорочений запис задач // Початкова школа. – 1978. – №4. – С. 44-48.

15. Логачевська С., Каганець Т. Вчись розв’язувати задачі: Практичний посібник для 4 (3) класу. – К.: Початкова школа, 2001. – 160 с.

16. Логачевська С.П., Міщук М.Д. Як розв’язувати задачі. 4 клас. – К.: Початкова школа, 2002. – 86 с.

17. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М.: Просвещение, 1972. – 204 с.

18. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. –М.: Просвещение, 1965. – 268 с.

19. Методика начального обучения математике / Под ред. Л.Н.Скаткина. – М.: Просвещение, 1972. – 340 с.

20. Мізюк В.А. Про диференціацію завдань до текстових задач// Сучасна початкова школа: проблеми, пошуки, знахідки. – Тернопіль, 1996. - С. 70.

21. Мізюк В.А. Формування вмінь учнів початкової школи розв’язувати текстові задачі. – К.: Лібрис, 2001. – 126 с.

22. Моро М.И., Пишкало А.М. Методика навчання математики в 1-3 класах. – К.: Радянська школа, 1979. – 376 с.

23. Назаренко В.О. Про готовність другокласників до розв’язування текстових задач // Актуальні проблеми розбудови національної освіти, ч. ІІ. – Київ - Херсон, 1997. – С.112 - 114.

24. Национальная доктрина развития образования // Освіта. - 2002. - №26 (4984). – 96 с.

25. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. – К.: Рад. школа, 1989. – 192 с.

26. Педагогіка /За ред. М. Д. Ярмаченка. - К.: Вища школа, 1986. - 544 с.

27. Пенліченко О.І. Питання методики дидактичних досліджень. – К.: Вища школа, 1992. – 157 с.

28. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 2000. – №11. – С. 74.

29. Поляк Г.Б. Як навчати розв’язуванню задач у початковій школі. – К.: Освіта, 1952. – 194 с.

30. Програми для середньої загальноосвітньої школи. 1-4 класи. – К.: Початкова школа, 2006. – С. 202-245.

31. Психологія / За ред. Ю.Л. Трофімова. – К.: Либідь, 2001. – 558 с.

32. Римар П.Д. Завдання для формування вмінь розв’язувати текстові задачі // Початкова школа. – 2000. - № 1. - С. 36 - 38.

33. Романишин І.Я. Методика роботи над текстовими задачами. 2 клас. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2003. – 152 с.

34. Савченко О. Я. Дидактика початкової школи. – К.: Генеза, 2002. - 366с.

35. Савченко О.Я. Реформування змісту початкової освіти // Початкова школа. – 1996. – №1. – С. 4-8.

36. Савченко О.Я. Сучасний урок в початкових класах. – К.: Магістр-S, 1996. – 384 с.

37. Скаткин Л.Н. Обучение решению простых и составных арифметиеских задач. – М.: Учпедиз, 1963. – 200 с.

38. Соломаха Т.Л. Диференційований підхід до вивчення математики // Початкова школа. - 1997.- № 12. – С.33 - 35.

39. Сорокин П.И. Занимательные задачи про математике. С решениями и методическими указаниями. Пособие для детей 1-4 классов. – М.: Просвещение, 1977. – 170 с.

40. Статкевич В.В. О начальном обучении решению задач. – Мн.: Нар. Асвета, 1970. – 346 с.

41. Фіцула М.М. Педагогіка. - К.: Видавничий центр «Академія», 2002. -528 с.

42. Форощук О.О., Форощук Н.Є. Математика для початкових класів: Навчальний посібник. – К.: А.С.К., 2002. – 384 с.

43. Царёва С.Е. Виды работ с задачами на уроке математики // Начальная школа. – 1990. – №10. – С. 37-42.

44. Царёва С.Е. Приемы первичного анализа задачи // Начальная школа. – 1985. – №9. – С. 46-49.

45. Шевченко А. Розв’язування задач різними способами // Початкова школа. – 2000. – №7. – С. 22-25.

46. Шмырёва Г.Г. Дифференцированные задания при работе над ошибками в решении задач // Начальная школа. – 1986. – №2. – С. 34-35.

47. Шост Н.Б. Уроки математики. 2 клас. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2005. – 320 с.

Додаток

Фрагмент уроку з математики у 2 класі

Тема. Розв'язування задач за даним планом.

Мета уроку. Ознайомити учнів із прийомами розв'язування задач за даним планом. Добитися, щоб кожен учень зміг підібрати дію до кожного запитання задачі і пояснити її вибір. Продовжити роботу над формуванням мовних форм у ході пояснення вибору дії до простих задач на знаходження суми двох доданків і остачі. Формувати вміння і навички записувати розв'язання задачі окремими діями без письмового пояснення, розвивати зв'язне мовлення при поясненні розв'язання задач.

І варіант

Задача 1. У гаражі було 6 легкових і 7 вантажних автомобілів. 8 автомобілів поїхало. Скільки автомобілів залишилося в гаражі? Вчитель читає задачу.

Скільки легкових автомобілів було в гаражі?

У гаражі було 7 легкових автомобілів.

Скільки вантажних автомобілів було в гаражі?

У гаражі було 7 вантажних автомобілів.

— Що ще відомо в задачі?

— З задачі відомо, що 8 автомобілів поїхало.

— Про що запитується в задачі?

— Скільки автомобілів залишилося в гаражі.

— Подумайте, як розв'язати задачу.

Вчитель відкриває дошку.

— На дошці подано скорочений запис задачі та план її розв'язання. Уважно розгляньте їх.

Було	— 6 і 7 авт.
Поїхало	— 8 авт.
Залишилось	— ?

План розв'язання

Скільки всього автомобілів було в гаражі?

Скільки автомобілів залишилось у гаражі?

До кожного запитання плану підберіть дію і поясніть свій вибір. Прочитайте перше запитання плану.

Скільки всього автомобілів було в гаражі,

Яку дію треба виконати, щоб дати відповідь на це запитання?

Треба виконати дію додавання.

Чому?

Якщо в гаражі було 6 легкових автомобілів і 7 вантажних автомобілів, то число всіх автомобілів дорівнює сумі чисел 6 і 7. До числа 6 додати 7, буде 13.

Запишіть: 6 + 7 = 13 (авт.)

13 — число всіх автомобілів у гаражі.

Прочитайте друге запитання плану.

Скільки автомобілів залишилось у гаражі.

Яку дію треба виконати?

Дію віднімання.

Чому треба виконати дію віднімання?

— Якщо в гаражі було 13 автомобілів, 8 — виїхало, то в гаражі залишилось автомобілів менше, ніж було. Треба від числа 13 відняти 8, буде 5.

— Запишіть: 13-8-5 (авт.)

Запис у зошиті.

1)6 + 7= 13(авт.)

2) 13-8-5 (авт.).

Відповідь. 5 автомобілів.

— Прочитайте відповідь задачі.

— 5 автомобілів залишилося в гаражі.

— Запишіть: "Відповідь. 5 автомобілів."

II варіант

Вчитель відкриває дошку, на якій записана задача і подано її скорочений запис.

Було	Поїхало	Залишилось
6 і 7 авт.	8 авт.	?

Прочитайте задачу. (Учень читає.)

Розгляньте уважно скорочений запис задачі і подумайте як її розв'язати.

Вчитель відкриває другу частину дошки, на якій записано план розв'язання задачі.

— Прочитайте перше запитання плану розв'язання задачі. (Учень читає.)

Яку дію треба виконати, щоб дати відповідь на це запитання?

Дію додавання.

Прочитайте друге запитання плану. Яку дію треба виконати?

Дію віднімання.

Чому?

Якщо з гаражу виїхали автомобілі, то їх залишилося менше, ніж було.

— Розв'язання задачі запишіть у зошит без пояснення і відповідь у скороченому вигляді. (Учні виконують самостійно.)

— Прочитайте розв'язання задачі.

1) 6 + 7= 13(авт.);

2) 13-8-5 (авт.).

Чи правильно розв'язали задачу?

Правильно.

Чому?

Тому, що ми про це раніше вказали: автомобілів залишилось менше, ніж було.

Прочитайте відповідь.

У гаражі залишилося 5 автомобілів.

Запишіть: "Відповідь. 5 автомобілів."

2. У магазині було 8 дитячих велосипедів і 7 велосипедів для дорослих. За день продали 9 велосипедів. Скільки велосипедів залишилось у магазині? На таблиці — скорочений запис задачі.

Було — 8 і 7 в.

Продали — 9 в.

Залишилось — ?

На дошці записано план розв'язання задачі.

Скільки всього велосипедів було в магазині?

Скільки велосипедів залишилося в магазині?

__ Поясніть розв'язання задачі за даним планом.

— Щоб взнати, скільки всього велосипедів було в магазині, треба до числа дитячих велосипедів додати число велосипедів для дорослих. 8 і 7, буде 15. У магазині було 15 велосипедів. 9 велосипедів продали. У магазині велосипедів стало менше. Треба від числа 15 відняти 9. Буде 6. 6 велосипедів залишилося в магазині.

3. Складіть задачі за скороченим записом і розв'яжіть їх.

Було — 5 і 6 Було — 4 і 5

Взяли — 8 Посадили — 7

Залишилось — ? Стало — ?