МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина

“К ЗАЩИТЕ” Заведующий кафедры материалов реакторостроения Проф*******

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА
МАГИСТРА ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ ГПУ КРИСТАЛЛОВ

Руководитель	************
Студент	**************

Харьков
2008

Содержание

	Введение
1	Применения МД для исследования пластической деформации кристаллов
1.1	Ограничения
1.2	Потенциал
1.3	Алгоритм интегрирования по времени
1.4	Процедура минимизации
1.5	Вычисление сил
1.6	Периодичность
1.7	Начальное состояние
1.8	Начальное состояние для кристалла с дефектами
1.9	Нагрузка
1.10	Уравнение для ширины ячейки моделирования
1.11	Контроль системы
1.12	Вычисление физических величин
1.13	Визуализация
2	Моделирования пластической деформации ГПУ кристаллов
	Заключение
	Список использованных источников

 

Анотація
В даній роботі проведено аналіз особливостей застосування методу молекулярної динаміки для моделювання пластичності кристалів. Запропоновано новий підхід до моделювання розтягування кристалів. Запропоновано динамічне рівняння для поперечного розміру комірки моделювання. Створена програма для дослідження процесу пластичної деформації та руйнування кристалів. Проведено моделювання розвитку пластичної деформації ГЩУ кристалів при одноосному розтягуванні. Показана принципова можливість імітації за допомогою цього методу кривих розтягування досконалих кристалів, зміни температури зразка, появи дислокацій, полос ковзання, поодиноких вакансій та їх скупчень, а також процесу руйнування кристалів

Аннотация
В данной работе проведен анализ особенностей применения метода молекулярной динамики для моделирования пластичности кристаллов. Предложен новый подход к моделированию растяжения кристаллов. Предложено динамическое уравнение для поперечного размера ячейки моделирования. Создана программа для исследования процесса пластической деформации и разрушения кристаллов. Проведено моделирование развития пластической деформации ГПУ кристаллов при одноосном растяжении. Показана принципиальная возможность имитации с помощью этого метода кривых растяжения совершенных кристаллов, изменения температуры образца, появления дислокаций, полос скольжения, одиночных вакансий и их скоплений, а также процесса разрушения кристаллов.

Abstract
In the given article the analysis of features of application of a molecular dynamics for simulation of a plasticity of crystals is conducted. The new approach to simulation of strain of crystals is offered. The dynamic equation for transverse dimensions of simulation cell  is offered. The code for investigation of the process of a plastic deformation and destruction of crystals is created. The simulation of development of a plastic deformation hcp crystals is carried  out at monoaxial expansion. The principal possibility of imitation with the help of this method of stress-strain curves for the perfect crystals, temperature variation of a sample, appearance of dislocations, stripes of slide, single vacancies and their clusters, and also process of crystal destruction.

Введение
Бурный рост ядерной энергетики и широкое развитие работ в области термоядерного синтеза послужили мощным стимулом интенсификации исследований в области облучаемых материалов. Создана новая ветвь материаловедения – атомное, радиационное материаловедение.
Свойства материалов всегда были ключевым звеном, определяющим успех многих инженерных разработок в различных областях техники. Особенно их роль возросла в последнее время при создании сложных конструкций, работающих в экстремальных условиях. Ядерные реакторы, устройства термоядерного синтеза – яркий пример таких конструкций. Сотни различных по составу, структуре и способам изготовления материалов обеспечивают их работоспособность. Но, попадая в условия высоких потоков облучения (до 10²⁰ нейтр/м²∙с) и больших флюенсов (до10²⁷-10²⁸ нейтр/м²), они претерпевают значительные структурные перестройки (радиационное повреждение). Следствием этих перестроек является резкое изменение всех физических свойств материалов. Причем эти изменения носят не совсем обычный характер. Ранее ничего подобного не встречалось в обширной практике работ с различными материалами. Так, были обнаружены абсолютно новые явления, происходящие с облученными материалами и сплавами: радиационное охрупчивание, радиационное распухание, радиационное упрочнение, ускоренная диффузия, радиационно-индуцированные фазово-структурные превращения и др.
И этот перечень, судя по всему, будет продолжен, так как исследования в области термоядерного синтеза уже выдвигают новые требования и к конструкционным материалам, которые должны будут работать в еще более жестких условиях (например, выдерживать облучение нейтронами с энергией до 14 МэВ).
Одним из основных факторов, определяющих свойства материалов, как известно, является структура. В условиях облучения она претерпевает существенные перестройки на атомарном уровне. Чтобы выявить принципиальные закономерности поведения материалов в тех или иных условиях эксплуатации, создать материалы с заданными свойствами, необходимо установить связь между изменяющейся атомарной структурой материалов и всей совокупностью их макроскопических свойств. Для решения этой важной задачи радиационного материаловедения привлекаются самые современные физические методы анализа структуры материалов, начиная с уже ставшего традиционным рентгеноструктурного анализа и кончая автоионный микроскопией, оже-спектроскопией и др.
Но в значительном числе случаев все же не удается произвести необходимые структурные изменения. Такая ситуация возможна при известных, но быстро меняющихся внешних условиях (например, ударное воздействие на материал при пролете высокоэнергетических нейтронов). Если же точно не известны изменения в структуре материала на всех этапах какого-либо технологического процесса, то трудно говорить о каком-либо надежном прогнозе его поведения.
В ряде случаев современная аппаратура из-за своего недостаточного разрешения не позволяет наблюдать атомные перестройки в материалах, например отдельные атомные скачки при диффузии, растворении и рост предвыделений второй фазы в сплавах и т.д.
Чтобы преодолеть перечисленные трудности и воссоздать быстроразвивающиеся процессы в материалах, перестройки на атомарном уровне или процессы, когда доступ к материалам ограничен или опасен, все чаще в атомном материаловедении привлекается компьютерный эксперимент. Обзор методов компьютерного моделирования используемых в радиационном материаловедении на начало 90-х годов можно найти в [1].
Метод молекулярной динамики (МД) - один из наиболее мощных методов, используемых для компьютерного моделирования в радиационном материаловедении. Он позволяет проводить детальные исследования структуры материалов исходя из первых принципов. В последние годы метод молекулярной динамики переживает второе рождение. Связано это, во-первых, с быстрым увеличением мощности компьютеров (быстродействия, объема памяти), что позволяет проводить беспрецедентные по масштабам компьютерные эксперименты. Так, сегодня уже проведены расчеты пластической деформации нанокристаллов меди, состоящих из 100 миллионов атомов [2]. С другой стороны, были разработаны более совершенные потенциалы межатомного взаимодействия, включающие в себя также многочастичные эффекты.
Данная работа является продолжением защищенной в 2003 г. бакалаврской работы, в которой были проанализировано современное состояние методов математической обработки кривых растяжения реакторных материалов, а также было проведено, на примере реакторных сталей, определение основных параметров, характеризующих пластическую деформацию.
Целью работы является изучение метода молекулярной динамики и особенностей его применения к исследованию пластичности реакторных материалов, разработка алгоритма и создание программы для изучения пластичности  двумерных ГПУ-кристаллов.

1. Применения МД для исследования пластической деформации кристаллов
Для изучения пластических свойств материалов методом МД, атомы из которых состоит материал, помещают в ячейку моделирования, обычно прямоугольной формы, которую подвергают деформации. Координаты и скорости атомов находят, численно решая уравнения движения Ньютона для заданных потенциалов взаимодействия между атомами. Затем, зная координаты и скорости атомов, с помощью соответствующиго усреднения, вычисляют макроскопические величины, такие как температура, давление, тензор напряжения и т.д. Достоинство метода состоит в возможности получить физические величины из первых принципов, т.е. используя только уравнения движения и потенциал межатомного взаимодействия.

1.1. Ограничения
Укажем на ограничения, свойственные этому методу. Во-первых, можно сразу же спросить: почему мы используем законы Ньютона, чтобы двигать атомы, хотя известно, что системы на атомном уровне подчиняются скорее квантовым законам, чем классическим?
Простейшая проверка применимости классического приближения базируется на тепловой длине волны де-Бройля, определяемой как
где  - атомная масса и  - температура. Классическое приближение хорошо работает когда , где - среднее расстояние между атомами. Если рассматривать, например, жидкость в тройной точке, то  порядка 0.1 для легких элементов, таких как Li и Ar, уменьшаясь для более тяжелых элементов. Классическое приближение плохо работает для легких систем, таких как H₂ , He, Ne.
Кроме того, квантовые эффекты становятся важными для любых систем, когда температура  достаточно низка. Падение удельной теплоемкости кристаллов ниже температуры Дебая и аномальное поведение коэффициента теплового расширения есть хорошо известные примеры измеримых квантовых эффектов в твердых телах. Поэтому результаты, полученные с помощью МД должны интерпретироваться с известной осторожностью в этих областях.
Второе ограничение связано с ограниченностью используемых компьютерных ресурсов, что приводит к ограничению количества рассматриваемых атомов и, как следствие, к снижению точности вычисляемых физических величин. Частично эту проблему можно обойти, используя подходящие граничные условия (см. ниже). Постоянный рост мощности компьютеров также способствует смягчению этой проблемы. Так, в настоящее время, в печати имеются сообщения о расчетах с 100 млн. атомов.
Необходимо отметить, что современные мощные суперкомпьютеры являются параллельными. Поэтому для расчетов на них необходимо обеспечить эффективное распараллеливание вычислений. Об одной новой возможности распараллеливания в рассматриваемой здесь задаче будет сказано ниже.
Ограниченное быстродействие компьютеров накладывает ограничения на скорость деформации, используемую в вычислениях. Это связано с тем, что при решении уравнений движения шаг по времени должен составлять порядка 0,01 шага от периода колебаний атомов (по порядку величины равного сек) для обеспечения необходимой точности вычислений. Отсюда следует, что для обеспечения деформации ~100% за приемлемое время вычислений типичная скорость деформации должна составлять порядка сек  в то время как максимально достигаемая в эксперименте скорость деформации составляет 10⁵ сек^-1. Кроме очевидной возможности достижения более низкой скорости деформации, увеличивая время вычислений, есть еще одна возможность – использовать процедуру минимизации.
При нулевой температуре система находится в локальном минимуме внутренней энергии, а из-за отсутствия тепловых колебаний она не может покинуть этот минимум.
Процедура минимизации позволяет деформируемой системе находиться вблизи локального минимума внутренней энергии. При таком моделировании время не определено, так как мы не решаем уравнений движения. Следовательно, скорость деформации не оказывает никакого влияния, если она достаточно низка чтобы исключить нагрев системы, и обеспечить сходимость процедуры минимизации. Таким образом, моделирование, основанное на процедуре минимизации, представляет собой модель идеализированного эксперимента при нулевой температуре в пределе низкой скорости деформации, когда тепло выделяемое при деформировании, удаляется.

1.2. Потенциал
Для моделирования материала необходимо задать потенциал взаимодействия составляющих его атомов. Наиболее простым является парный потенциал Леннарда-Джонса
Здесь,  - расстояние между атомами,  - глубина потенциальной ямы и  связано с положением минимума потенциала . Потенциал Леннарда-Джонса качественно правильно описывает взаимодействие между атомами – сильное отталкивание на малых расстояниях, обусловленное первым слагаемым в скобках, и притяжение на больших расстояниях, за которое отвечает второе слагаемое в скобках. Он хорошо описывает ван-дер-ваальсовское взаимодействие между атомами кристаллов благородных газов, но, вследствие своей простоты, часто используется для качественного описания взаимодействия других атомов. С потенциалом Леннарда-Джонса проведено большое количество вычислений. Он является стандартным в вычислениях методом МД.
Основными материалами реакторостроения являются металлы – сталь, цирконий и т.д. В металлах природа сил взаимодействия между атомами не двухчастичная (парная) а многочастичная.  Effective Medium Theory (EMT) дает реалистическое описание металлической связи с учетом её многочастичной природы [3,4].  EMT- потенциал, с вычислительной точки зрения, не намного сложнее парного потенциала, но дает намного более реалистическое описание свойств материалов. Поскольку в данной работе не ставится задача изучения пластических свойств конкретного материала мы будем использовать модельный потенциал Леннарда-Джонса.
Удобно при этом выбрать в качестве единицы длины , единицы энергии  и единицы массы - массу атомов  (полагаем, что материал состоит из атомов одного сорта). Это приводит к ускорению вычислений. Чтобы перейти к величинам, характеризующим конкретный материал, необходимо ввести соответствующие масштабные множители -  для длины,  для времени,  для скорости,  для силы,  (  в двумерном случае) для напряжения, где  и взяты для данного материала.
Потенциал Леннарда-Джонса простирается до бесконечности. Однако на больших расстояниях он мал. И поэтому его влияние на движение далеких атомов мало. Чтобы ускорить вычисления эту несущественную часть потенциала отбрасывают, или, другими словами, вводят обрезание потенциала
Радиус обрезания  традиционно выбирают  или . Возможные причины такого выбора будут обсуждаться ниже. В данной работе будет использоваться радиус обрезания . Другие необходимые изменения в потенциале  Леннарда-Джонса будут обсуждаться в разделе, посвященном выполнению закона сохранения энергии в МД.

1.3. Алгоритм интегрирования по времени

Основным компонентом программ, использующих метод молекулярной динамики, является алгоритм интегрирования по времени. Он необходим, чтобы проинтегрировать уравнения движения взаимодействующих частиц и найти их траектории.
Алгоритм интегрирования по времени основывается на методе конечных разностей, время при этом задается на конечной сетке, шаг по времени есть расстояние между последовательными точками сетки. Зная положения и скорости в момент времени  (точные детали зависят от типа алгоритма) схема интегрирования дает те же величины в более поздний момент времени . Используя процедуру интегрирования временную эволюцию системы можно прослеживать в течении длительного времени.

.

(4)

.

(5)

.

(6)

.

(7)

.

(8)

					1	2	3	4
					5	6	7	8
					9	10	11	12

(9)

,

(10)

Можно также исследовать влияние определенных дефектов, возникающие при облучении ГПУ кристаллов на их пластические свойства. Например, можно исследовать влияние межузельных кластеров и дефектов Френкеля. Очевидно, что начальные состояния, содержащие такие дефекты, легко приготовить, стартуя с начального состояния для идеального кристалла. Для этого необходимо удалить (добавить, переместить) атомы кристалла так, чтобы получилась конфигурация кристалла с требуемыми дефектами. Кристалл при этом получается обычно в напряженном состоянии. Это справедливо особенно при добавлении атомов, так как для добавленных атомов расстояния до ближайших атомов кристалла обычно намного меньше, чем равновесные расстояния между атомами в кристалле. Из-за сильного роста потенциала межатомного взаимодействия на малых расстояниях такие атомы обладают большой потенциальной энергией. Если не принять специальных мер, это может вызвать разлет кристалла. Чтобы не допустить этого и обеспечить релаксацию напряжений можно использовать процедуру минимизации и последующий подогрев системы до нужной температуры.

1.9. Нагрузка
В данной роботе рассматривалось деформирование кристаллов путем одноосного растяжения. Поскольку вдоль направления растяжения наложены периодические граничные условия, то отсутствуют свободные границы, к которым можно было бы приложить нагрузку. Поэтому задается растяжение системы, и потом находится возникшее вследствие этого напряжение. МД и деформирование выполняются одновременно. После каждого шага по времени МД выполняется малое растяжение, обеспечивающее нужную скорость деформации (  на одном шаге). Растяжение выполнялось двумя способами. В первом, традиционно используемом [13], система растягивается равномерно по длине. При этом координаты атомов вдоль направления растяжения умножаются на масштабный множитель . На этот же множитель умножается длина ячейки моделирования. Согласно второму способу, предложенному в данной работе, растяжение концентрируется только возле торцов системы. Этот способ лучше соответствует экспериментальной ситуации, когда нагрузка прикладывается к торцам системы. При этом длина ячейки моделирования умножается на масштабный множитель, а координаты атомов не умножаются.

1.10. Уравнение для ширины ячейки моделирования
Если боковые стороны системы по отношению к растяжению свободны, то нет необходимости следить за шириной ячейки моделирования. Если же на систему наложены периодические граничные условия по двум направлениям, то изменению ширины ячейки моделирования необходимо уделить особое внимание. При растяжении появляются сжимающие в поперечном направлении напряжения и поперечный размер (ширина системы) уменьшается. Если ширину ячейки моделирования не изменять, то появится зазор, который будет увеличиваться со временем - система разорвется в поперечном направлении.
Один из подходов [13] состоит в умножении ширины ячейки моделирования на , при увеличении длины в  раз. Здесь  примерно равно коэффициенту Пуассона. Этого, однако, может оказаться недостаточно, поэтому, вводят дополнительную оптимизацию поперечного размера системы, основанную на методе Монте-Карло. После каждых ~20 шагов по времени МД предлагается изменение поперечного размера системы. Если в результате этого изменения энергия системы уменьшается, изменение принимается, в противном случае отклоняется. Вследствие этого, точное значение, выбранное для , становится некритичным.
В данной работе предложен и используется другой подход, основанный на динамическом уравнении для ширины ячейки моделирования. Выше уже было отмечено, что из-за периодичности в поперечном направлении система имеет топологию цилиндра. Сжимающие в поперечном направлении напряжения приводят к уменьшению боковой поверхности цилиндра и, следовательно, к уменьшению радиуса цилиндра. Записывая 2-ой закон Ньютона для движения системы как целого вдоль радиуса, имеем
где  - напряжение в поперечном относительно растяжения направлении,  - площадь системы. Учитывая, что ширина ячейки моделирования , имеем для неё уравнение
Чтобы, исключить колебательные процессы, удобно ввести в правую часть уравнения слабое фиктивное затухание  . Решая уравнения для  на каждом временном шаге МД, мы поддерживаем ширину ячейки моделирование вблизи равновесного положения. Очевидно также, что данный подход можно использовать для демпфирования колебаний системы рассмотренных выше.

1.11. Контроль системы
Правильность работы программы МД контролировалась с помощью закона сохранения энергии:
где  - кинетическая энергия атомов системы;  - потенциальная энергия их взаимодействия; - работа, произведенная над системой. Выполнение закона сохранения энергии очень важно при исследовании пластичности  твердых тел. Это связано с тем, что хотя тепловое равновесие устанавливается быстро, но установление механического равновесия требует большого времени. Поэтому при деформировании система находится в тепловом равновесии, но скорее не находится в механическом равновесии, т.е. является неравновесной. Следовательно, потеря или приход энергии, вследствие невыполнения закона сохранения энергии, может существенно повлиять на характер поведения системы при деформации.
Неточное сохранение энергии связано в основном с ошибками, возникающими из-за конечного шага интегрирования по времени, а также с ошибками, возникающими из-за конечной точности представления чисел в компьютере.
Оба типа ошибок можно уменьшить, уменьшая шаг интегрирования по времени, что, однако, увеличивает время вычислений.
Другой тип ошибок возникает из-за использования потенциала с обрезанием. Скачок потенциала на радиусе обрезания при пластической деформации, когда атомы могут двигаться друг относительно друга, приводит к значительному нарушению закона сохранении энергии. Использование потенциала без скачка (3) позволяет существенно улучшить выполнения закона сохранения энергии. Потенциал (3), однако, имеет скачок производной (силы) на радиусе обрезания . Это также приводит к несоблюдению закона сохранения энергии. Оно особенно ярко проявляется при уменьшении радиуса обрезания от канонических значений  и . Это связанно с тем, что канонические значения радиуса обрезания находятся в минимумах радиального распределения атомов гексагональной решетки. Когда же  попадает в максимум радиального распределения число атомов, то испытывающих действие силы (при ), то прекращающих испытывать ее действие (при ), становиться очень большим, что и приводит к существенному несохранению энергии. Чтобы избавиться от скачка производной потенциала на радиусе обрезания  потенциал был модернизирован. Пусть
где
и , , . Тогда модернизированный потенциал имеет вид
Модернизированный потенциал гладко сшивается (до второй производной) с потенциалом Леннарда-Джонса на радиусе сшивки  и зануляется вместе со своей первой производной на радиусе обрезания . С этим потенциалом при значениях параметров  и  были проведены все расчеты в данной работе.

1.12. Вычисление физических величин
При деформировании системы все физические величины, такие как напряжение , температура , кинетическая энергия , потенциальная энергия  характеризующие деформируемую систему меняются. Их мгновенные значения, усредненные по малым промежуткам времени чтобы исключить тепловые колебания, описывают состояние деформируемой системы. В отличие от равновесных систем мы не можем теперь использовать усреднение по времени, а должны использовать усреднение по различным начальным состояниям системы.
Кинетическая и потенциальная энергия находятся как
Температура определяется как
где  - размерность системы. В двухмерном случае  - средней кинетической энергией. Выражение для тензора напряжений, основанное на вириальной теореме [14,15], имеет вид
где  - -компоненты тензора напряжений для атома ,  - объем, приходящийся на атом  ( , где  - полный объем системы),  - масса атома ,  - -компонента его импульса,  - расстояние между атомами  и  (  - компонента вектора, направленного от -го атома к -му атому). Это выражение для тензора напряжений не единственное, существуют и другие его определения. Однако, когда напряжения усредняются по объему различные определения быстро сходятся к макроскопическому полю напряжений. Во время моделирования  кривые напряжение - деформация строятся после усреднения атомного напряжения по всей системе.

1.13. Визуализация

МД позволяет получать огромные объемы информации, описывающие исследуемую систему во всех деталях. Поэтому возникает задача, извлечь из этого моря информации нужную информацию и предоставить ее в виде, удобном для восприятия. Например, увидеть дефекты находящиеся внутри трехмерного кристалла, невозможно, поскольку их закрывают атомы, находящиеся на том же луче зрения, но ближе к наблюдателю. Однако, оставив только атомы, окружающие дефекты и удалив все остальные, это можно легко сделать. Другая возможность состоит в использовании анимации для исследования временной эволюции деформируемой системы.
Во время деформирования кристаллов упорядоченное расположение атомов кристалла нарушается, появляются дефекты. Для исследования локального атомного порядка обычно используется алгоритм, известный как Common Neighbor Analysis (CNA) [16,17]. Для того чтобы определить структуру кристалла в этом алгоритме исследуются связи между атомами и его соседями. Два атома считаются связанными, если расстояние между ними меньше критического расстояния, выбранного между первыми двумя пиками в радиальной функции распределения. Связи классифицируются с помощью трех целых чисел . Первое из них, , есть число общих соседей, т.е. атомов, связанных с обоими атомами в рассматриваемой связи. Второе, , есть число связей между этими общими соседями. Третье, , есть самая длинная цепочка, которую можно образовать из этих связей.
 Число и тип связей, которые имеет атом, определяют локальную кристаллическую структуру. Например,  атомы в совершенном ГЦК кристалле имеет 12 связей типа 421, тогда как в совершенном ГПУ кристалле имеют 6 связей типа 421 и 6 типа 422.
 Использование CNA позволяет сделать видимыми при моделировании дислокации, границы зерен и дефекты упаковки. Например, при деформировании кристаллов меди, с помощью CNA классифицируют атомы на три класса: ГЦК, ГПУ и “другие”, где в класс “другие” попадают атомы, которые имеют число связей, отличное от 12, или тип их связей отличен от 421 и 422. Тогда внутренние дефекты упаковки видны как две сопряженные (111) плоскости ГПУ атомов, несвойственные дефекты упаковки видны как две (111) плоскости атомов ГПУ, разделенных (111) плоскостью атомов ГЦК. Границы двойников видны как одиночные (111) плоскости ГПУ атомов. Ядра дислокации и границы зерен  состоят из атомов класса “другие”, хотя границы зерен содержат также немного ГПУ атомов.
 Тепловые колебания атомов мешают выполнять CNA. Если при моделировании температура сравнительно низкая, достаточно тщательно выбрать критическое расстояние. Для высоких же температур необходимо предварять CNA  короткой минимизацией (достаточной чтобы уменьшить тепловые колебания атомов, но избежать движения дислокаций).
 В двухмерных системах нет нужды выполнять CNA анализ - дефекты видны непосредственно. Кроме того, в отличие от трехмерных систем, отсутствуют заслоняющие атомы. Поэтому двухмерные системы удобны для анимации, т.е.  воспроизведения  временной эволюции деформируемой системы. Для создания анимации через заданное число шагов по времени МД, используя координаты атомов, формировалося изображение системы, которое затем сохранялось на жестком диске в bmp-файле. Анимация достигалась выводом этих изображений на экран дисплея в той же последовательности, в которой они создавались. Одно из преимуществ анимации - это наглядность. Поля других физических величин, например, напряжения, температуры, используя подходящую кодировку, также можно использовать для анимации.

2. Моделирования пластической деформации ГПУ-кристаллов
Автором была создана программа для изучения пластичности в двумерных кристаллах. Двумерные системы были выбраны, чтобы обойти проблемы, связанные с высокими требованиями к вычислительным ресурсам в случае трехмерных систем и  визуализацией результатов вычислений. Для решения уравнений движения использовался алгоритм Верле со скоростью. В качестве потенциала взаимодействия между атомами был выбран потенциал Леннарда-Джонса. При моделировании вычислительная ячейка растягивалась вдоль умножением ее продольного размера на каждом шаге по времени на масштабный множитель (1+ε), где ε – малое число (0.00001), выбранное так, чтобы обеспечить требуемую скорость деформации. Координаты атомов при этом не менялись, т.е. при этом вводился зазор между атомами в смежных ячейках моделирования. При этом нагрузка прикладывалась к торцам кристалла, что лучше соответствует эксперименту. Поперечный размер системы контролировался с помощью динамического уравнения (12). Перед деформацией система приводилась в равновесное состояние с заданной температурой  коротким прогоном с помощью МД. При вычислении кривых напряжение-деформация проводилось усреднение напряжения по атомам всей системы. С помощью закона сохранения энергии контролировалась правильность работы программы. Для наблюдения за временной эволюцией деформируемого кристалла использовалась анимация. Блок-схема программы приведена ниже.
Программа позволяет проводить как обычную МД, так и использовать процедуру минимизации. Программа позволяет исследовать влияние ориентации кристалла, скорости деформирования и температуры на процесс деформирования. Она также позволяет использовать свободные и периодические граничные условия на боковых, относительно растяжения, сторонах кристалла.
С помощью программы проведено моделирование пластического деформирования двумерных кристаллов с гексагональной решеткой. Такие решетки характерны для базисной плоскости ГПУ кристаллов и для плоскости (111) ГЦК кристаллов. Начальная температура  0.025 . На рис.3 приведена сумма полной энергия кристалла и произведенной над ним работы (на один атом кристалла) как функция времени. Видно, что с точностью до 5 знака эта величина сохраняется, что свидетельствует о правильности работы программы.

Рис.3 Зависимость сумма полной энергия кристалла и произведенной над ним работы (на один атом кристалла) как функция времени.
На рис.4 приведено напряжение, поперечное относительно направления растяжения, как функция времени. Видно, что оно почти все время поддерживается невысоким. Это свидетельствует о правильности выбранного алгоритма регулирования ширины ячейки моделирования.

Рис.4 Зависимость напряжения, поперечного относительно направления растяжения, от времени.
Наконец, на рис.5 приведена кривая напряжение-деформация. Эта кривая полностью соответствует экспериментальным кривым напряжение-деформация для совершенных кристаллов.

Рис.5 Кривая растяжения совершенного кристалла
На этой кривой можно выделить несколько стадий в деформировании кристалла [18,19]. На первой, упругой стадии, происходит накопление энергии. Затем, по мере роста напряжения кристалл переходит в нелинейную область, в конце которой появляются дислокации. Начинается сброс напряжения, который заканчивается появлением полос скольжения, которые и обеспечивают дальнейший сброс напряжения. Затем происходит частичное упрочнение кристалла с последующими сбросами напряжения. На этой стадии происходит накопление вакансий, их слияние в вакансионные поры. На последней стадии поры, объединяясь, дают начало трещине, которая, развиваясь, разрывает кристалл. На рис.6-11 даны изображения кристалла, которые иллюстрируют описанную выше стадийность пластического деформирования и разрушения кристалла.

Заключение
1.                Изучен метод молекулярной динамики со всеми его важнейшими ингредиентами: потенциал взаимодействия, граничные условия, алгоритм интегрирования по времени, задание начальных условий, контроль термодинамических параметров в процессе моделирования, контроль достижения термодинамического равновесия, измерение физических величин. Изучены особенности применения метода молекулярной динамики к исследованию пластичности реакторных материалов.
2.                Создана программа для изучения пластичности в кристаллах. Создана программа визуализации процесса пластической деформации и разрушения кристаллов. Предложен новый подход к моделированию растяжения кристаллов, близкий к используемому в эксперименте. Предложено динамическое уравнение для поперечного размера ячейки моделирования.
3.                Проведено моделирование развития пластической деформации ГПУ кристаллов при одноосном растяжении. Показана принципиальная возможность имитации с помощью этого метода кривых растяжения совершенных кристаллов, изменения температуры образца, появления дислокаций, полос скольжения, одиночных вакансий и их скоплений, а также процесса разрушения кристаллов.

Список использованных источников
1.                В.В.Кирсанов, ЭВМ-эксперимент в атомном материаловедении, Энергоатомиздат, 1990.
2.                J.Schiotz, Scripta Mater., 51, 837 (2004).
3.                K.W.Jacobsen, J.K.Norskov, M.J.Puska, Phys. Rev. B35, 7423 (1987).
4.                K.W.Jacobsen, P.Stoltze, J.K.Norskov, Surf. Sci. 366, 394 (1996).
5.                L.Verlet, Phys. Rev. 159, 98 (1967); Phys. Rev. 165, 201 (1967).
6.                D. van der Spoel, E. Lindahl, B. Hess at al. Gromacs User Manual, v. 3.2, University of Groningen.
7.                K. Refson. Moldy User’s Manual, v. 2.16, (2001).
8.                W.Smith, M.Leslie, T.R.Forester. The DL_POLY_2 User Manual, (2003), Daresbery Laboratory.
9.                J.B.Gibson, A.N.Goland, M.Milgram, G.H.Vineyard, Phys. Rev. 120, 1229 (1960).
10.           M.P.Allen, D.J.Tildesley Computer simulation of liquids. Clarendon Press, Oxford, 1989.
11.           K.Nordlund, Comput. Mater. Sci., 3, 448 (1995).
12.           J.F.Ziegler, J.P.Biersack, U.Littmark, The stopping and range of ions in solids. Pergamon Press, N.Y., 1987.
13.           J.Schiotz, T.Vegge, F. D. Di Tolla, K.W.Jacobsen, Phys. Rev. B60, 11971 (1999),cond-mat/9902165.
14.           T.Egami, K.Maede, and V.Vitek, Phil. Mag. A 41,  883  (1980).
15.           J.R.Ray and A.Rahman, J. Chem. Phys.  80,  4423  (1984).
16.           H.Jonsson and H.C.Andersen, Phys. Rev. Lett. 60,  2295  (1988).
17.           A.S. Clarke and H.Jonsson, Phys. Rev. E  47,  3975  (1993).
18.           Р.Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. М. Мир. 1972.
19.           И.М.Неклюдов, Н.В.Камышанченко. Физические основы прочности и пластичности металлов. ч. 3. Пластическая деформация и разрушение кристаллических материалов. Изд. “Педагогика-Пресс” и Белгородского государственного университета, Белгород, 2001