В последовательности понятий, полученной в результате процесса определения некоторого понятия, каждое понятие (начиная со второго) является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объемы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения: vl v2 v3... vn.
Например (рис.1): квадрат есть особый ромб; ромб - особый параллелограмм; параллелограмм - особый четырехугольник; четырехугольник - особый многоугольник; многоугольник - особая геометрическая фигура; геометрическая фигура - точечное множество.
 Таким образом, мы дошли до первоначальных понятий: точка и множество.
В процессе обучения такие понятия должны быть особо выделены, а принятие их в качестве основных мотивировано.
Понятие может быть правильно определено различными способами.
1. Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат - прямоугольник с равными сторонами; ромб-параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.
На языке теории множеств и математической логики сущность этого способа определения понятия заключается в следующем:
Если во множестве А имеются элементы х, обладающие некоторым свойством Р(х), и элементы, не обладающие этим свойством, то данное свойство Р(х) разбивает множество А на два подмножества:

причем эти два множества таковы:

Здесь множество А есть множество объектов, принадлежащих родовому понятию, а свойство Р есть видовой признак (видовое отличие) данного понятия. В определении «квадрат - прямоугольник с равными сторонами» множеством А является множество всех прямоугольников, а свойством Р (видовым отличием понятия «квадрат») является свойство «иметь «не стороны».
2. Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например, окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
3. Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an = a n-1 + d определяет арифметическую прогрессию.
4. Через абстракцию. Например, натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств.
Процесс выяснения объема понятия называется классификацией понятия. Таким образом, под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.
Например, классификацию понятия натурального числа можно провести так, как показано на следующей схеме (рис.2).

натуральное число

простое число

составное число

единица

 
Рис.2.
Правильная классификация предполагает соблюдение определенных условий, которые могут быть проиллюстрированы вышеприведенной схемой классификации натуральных чисел:
1. Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации. В приведенном примере таким признаком является число простых делителей данного натурального числа.
2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми. В приведенном примере это выражается тем, что пересечение множеств простых, составных чисел и единицы пусто.
3. Сумма объемов понятий, получающаяся при классификации, должна равняться объему исходного понятия. В приведенном примере числа простые, составные и единица исчерпывают все множество натуральных чисел.
4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.
В приведенном примере, проводя классификацию натуральных чисел, было бы неверным подразделить множество натуральных чисел на простые числа, числа, имеющие три различных делителя, и единицу. В этом случае произошел бы так называемый «скачок в классификации», так как прежде следовало бы выделить составные числа, а лишь потом подразделить составные числа на числа, имеющие три различных делителя, четыре различных делителя и т.д.
В самом деле, на первом этапе классификации некоторого понятия выделяется некоторое свойство - признак Pi (x). В результате исследования некоторого множества объектов А мы выделяем из этого множества два подмножества А1 и А2:

Тем самым мы получили разбиение множества А на два класса, удовлетворяющих вышеприведенным условиям классификации.
Желая продолжить процесс классификации данного понятия, мы выделяем новое свойство Р2 (х) и получаем разбиение множества Ai на два подмножества В) и В2 и т.д.
В результате последовательно проведенных разбиений множества объектов, составляющих объем некоторого понятия, и возникает определенная классификация данного понятия. Так, например, одна из возможных классификационных схем понятия «выпуклый многоугольник» будет выглядеть так (рис.3).
Заметим, что в современном школьном курсе геометрии принята классификация четырехугольников, отличающаяся от данной.
В процессе определения и классификации понятий данной науки образуется система понятий этой науки.

1.2. Методика введения математических понятий на уроках математики

Известный французский математик Фреше справедливо замечает: «Если что-нибудь действительно необходимо, так это уничтожение догматического метода; не давать никаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они применяются». При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических понятий и т.п.).
При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить другой путь, называемый абстрактно-дедуктивным.
Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:
1. Дать определение нового понятия (уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где a≠0 называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).
2. Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия (х2+ рх + с = 0, ах2 + с = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), проведя своеобразную классификацию этого понятия.
Привести некоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bх + с = 0 неполным квадратным уравнением).
3. Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (х2 - 5х + 6 = 0, Зх2 - 27 = 0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.
4. Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную формулу S=qt2 / 2 можно рассматривать как квадратное уравнение qt2 - 2S = 0; использовать квадратное уравнение при решении текстовых задач).
Конкретно-индуктивный метод находит большее применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод.
Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с четким представлением об его объеме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.
Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме.
В частности, при усвоении многих геометрических понятий большое значение имеет умение «узнавать» это понятие в более сложном или непривычно расположенном чертеже.
В связи с этим весьма полезны упражнения «по готовым чертежам». Так, например, после ознакомления с понятием «равнобедренный треугольник» учащимся можно предложить следующую серию упражнений:
1. При помощи глазомерной оценки (а затем, подтвердив эту оценку измерением) установить, какие из треугольников, изображенных на рисунке 5.
2. Назовите и покажите в каждом равнобедренном треугольнике основание и боковые стороны.
3. Назовите и покажите в каждом из них углы при основании и угол при вершине.
На этапе актуализации знаний при изучении некоторого понятия целесообразно выделить серию ситуаций, наличие которых достаточно для возникновения данного понятия.
Так, например, изучив в курсе математики 5 – 6 классов понятие о равенстве величин углов, следует обратить внимание учащихся на то, что величины углов равны, если:
а) углы симметричны относительно прямой;
б) углы получаются один из другого параллельным переносом на данный отрезок;
в) данные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника или углами равностороннего треугольника;
г) углы получаются один из другого поворотом вокруг данной точки на данный угол и т.д.
Эту работу следует проводить планомерно в течение всего года (а может быть, и нескольких лет) обучения; список таких ситуаций, связанных с основными понятиями, может и должен быть продолжен.
При овладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.
Начнем с рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, и укажем некоторые причины их возникновения.
Прежде всего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием тех или иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие, соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, с помощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называется определяющим. Так, например, в определении «Множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком», понятие «отрезок» - определяемое понятие, а понятие «множество точек» - одно из определяющих понятий.
Если это различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается ими стилистически неправильно.
Основные ошибки учащихся при формулировке определений вызваны несоблюдением установившихся в логике «правил определения», при выполнении которых это различие также играет большую роль. Перечислим важнейшие из этих «правил».
1) Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия.
Например, определение «Ромб есть параллелограмм, у которого две смежные стороны равны между собой» соразмерно, так как объем понятия «ромб» равен объему понятия «параллелограмм с двумя равными смежными сторонами» (множества, определяющие объемы этих понятий, совпадают).
Нарушение этого правила ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. В этом случае определяемое понятие относится к определяющему, как вид к роду. Например: «Диаметр окружности есть отрезок прямой, соединяющей две точки окружности». Здесь по существу определена хорда - более широкое понятие, чем диаметр (в объем определяющего понятия входят все хорды окружности).
Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что признак видового отличия («соединять две точки окружности») принадлежит не только диаметрам, но и всем хордам вообще, а поэтому при помощи него нельзя отличить диаметры от других отрезков прямых, соединяющих точки окружности.
Такое определение в логике называется слишком широким.
Чтобы ученики поняли эту ошибку, желательно рассмотреть с ними динамичный рисунок или диафильм «Окружность и круг»
б) Объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия. Последнее относится к первому как род к виду.
В качестве примера рассмотрим следующее определение: «Ромбом называется прямоугольнике двумя конгруэнтными смежными сторонами». Здесь по существу определен квадрат (более узкое понятие, чем ромб). Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что указанный видовой признак (прямоугольник - параллелограмме двумя конгруэнтными смежными сторонами) принадлежит лишь подмножеству множества ромбов, квадратам, т.е. является отличительным лишь для части множества ромбов. Такое определение в логике называется слишком узким.
2) Определение не должно заключать в себе «порочного круга», т.е. нельзя строить определение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явным образом) посредством того же самого определяемого понятия.
Нарушение этого правила также ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Определяемое понятие характеризуется таким определяющим понятием, содержание которого становится ясным лишь при помощи самого определяемого понятия.
Так, например, определения «сложение есть действие нахождения суммы» и «суммой называется результат сложения» содержат в себе такой «порочный круг». Определяющее понятие суммы в этом случае не может быть определено независимо от определяемого понятия - понятия сложения.
б) Определяемое и определяющее понятия по содержанию тождественны, хотя могут быть выражены в различных словах.
Такое определение носит название тавтологии.
Например, «прямой угол - это угол в 90°», или «Прямым углом называется угол, стороны которого перпендикулярны».
Итак, в этих ошибочных определениях сущность определяемого объекта не раскрывается; в определяющем понятии повторяется то, что уже известно об определяемом понятии.
3) Определение по возможности не должно быть отрицательным. Это означает, что следует избегать таких определений, которых видовое отличие выступает в качестве отрицательного понятия.
Иногда в математике все же используют «отрицательные» определения, в частности, если в них указываются признаки, не принадлежащие определенному понятию.
Однако в процессе обучения математике такие определения нежелательны, поскольку они почти не раскрывают содержания понятия, его существенных свойств, а указывают лишь на те свойства, которые не должны иметь определяемые понятия.
Если при введении нового понятия ограничиться только формулировкой его определения и иллюстрацией этого понятия только одним примером, взятым из учебника, не показывая его наглядные модели, то учащиеся нередко усваивают такие понятия неправильно. У учащихся это чаще всего проявляется в попытке незаконных обобщений понятия (обобщений по несущественным признакам) и смешении существенных признаков с несущественными. Типичной ошибкой такого рода является, например, неузнавание учащимися знакомой геометрической фигуры, если та имеет непривычную форму или положение на плоскости.
В частности, учащиеся не «узнают» равнобедренный треугольник, данный в положении, указанном на рисунке 6, а испытывают большие затруднения в установлении пар подобных треугольников в ситуации, изображенной на рисунке 6, б и т.п.
Большое значение для сознательного усвоения учащимися важнейших математических понятий имеет система целенаправленных устных вопросов и упражнений, например, таких:
1. Найдите ошибку в следующих определениях (уточните каждое из этих определений):
а) равносильными уравнениями называются такие два уравнения, когда корни первого уравнения являются корнями второго;
б) прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой;
в) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и равный половине третьей стороны, называется средней линией треугольника.
2. Приведите примеры, указывающие на недостаточность следующих определений:
а) касательной к кривой называется прямая, имеющая с кривой только одну общую точку (см. рис.7);
Рис.7
б) если расстояние от любой точки одной линии L1 до другой L2 всюду одинаково, то такие линии называются параллельными (см. рис.8) и т.д.
Итак, в процессе введения и изучения в школе математических понятий полезно:
1) не вводить новых понятий формально; детально конкретизировать новые абстрактные понятия; по возможности применять конкретно-индуктивный метод;
2) вводить понятия наиболее естественным для учащихся путем; по возможности, следует чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия;
3) мотивировать вводимые понятия, термины, определения; не допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий;
4) в процессе изучения новых понятий полезно выявить связи нового понятия с уже известными понятиями; указывать на аналогию в характеристике новых понятий и понятий известных;
5) на каждом уроке полезно повторять определения известных учащимся важнейших математических понятий, связанных с понятиями, рассматриваемыми на данном уроке, требуя в то же время не столько запоминания определений понятий наизусть, сколько правильной передачи сущности определения данного понятия;
6) при овладении учащимися теми или иными математическими понятиями строго следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости и строгости в формулировках определений. Следует иметь в виду, что «профилактика» ошибок эффективнее их исправления. Заниматься такой профилактикой учителю нужно постоянно.

1.3. Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Е, где Е – длина единичного отрезка е, а символ  называют дробью.
В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ  называют дробью.
К записи дроби  числа m и n – натуральные, m – называется числителем, n – знаменателем дроби.
Дробь  называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Вернемся к рис., где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и длина его будет выражаться дробью . Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью .
Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где к – натуральное число.
Теорема. Для того чтобы дроби  и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mg = np
Определение: Две дроби  и  называются равными, если mg = np. Если дроби равны, то пишут = .
Например = , так как 17 х 21 = 119 х 3 = 357, а ≠ , потому что 17 х 27 = 459,19 х 23 = 437 и 459 ≠ 437.
Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину и того же отрезка.
Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.
Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.
Доказательство: Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство mn = mn справедливо для любых натуральных числе m и n.
Равенство дробей симметрично: = , то = , так как из mg = np следует, что pn = mg (m,n,p,g ε N).
Оно транзитивно: если  =  и = , то  = .
В самом деле, так как  = , то mg = np, так как  = , то ps = gr. Умножив обе части равенства mg = np на s, а равенство ps = gr на n, получим mgs = nps и nps = grs. Откуда mgs = grs или ms = nr. Последнее равенство означает, что  = . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно оно является отношением эквивалентности.
Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
На этом свойстве основанного сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.
Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с лишим числителем и знаменателем.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например,  - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. В (5; 17) = 1.
Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей, равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей  =  является общее кратное чисел n и g, а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее.

1.4. Введение и формирования математического понятия дроби на уроках математики

Всякое понятие, в том числе математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчеркивает существенные.
Формирование математических абстракций может привести к формализму в знаниях учащихся, если оперирование ими будет бессодержательно, если за каждой абстракцией ученик не увидит наглядной мысленной картины, т.е. образа. Игнорирование практической деятельности учеников с материальными или материализованными объектами, которые несут наглядное знание и формируют образы, приводит к появлению поверхностных знаний, а иногда и к отсутствию их.
Обыкновенная дробь является, по существу, первой глубокой математической абстракцией, которая встречается в школьном курсе. Пренебрежение учителем содержательной стороной изучаемых понятий, быстрый переход к формальному оперированию дробями без достаточно надежной опоры на наглядность приводят к тому, что слабые, а то и средние ученики не понимают изучаемого материала. Порой за обозначением 3/5 ученик не видит никакого образа. Для такого ученика и операции над дробями превращаются в серию непонятных процедур, последовательность которых ему приходится просто запоминать.
Формированию верного представления о понятии «обыкновенная дробь» и умению пользоваться им способствуют практические работы с материализованными объектами. Ниже приведены некоторые из материалов, по которым целесообразно проводить такую работу.
Осваивая понятие "обыкновенная дробь", ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.
На этом этапе обучения весьма полезны карточки, образцы которых показаны ниже. Карточка № 1 - это только вариант индивидуального задания (рис.9).
Рис.9
Именно индивидуального. Каждый ученик получает свою карточку, которая отличается от карточек у других ребят. Это побуждает ученика действовать самостоятельно, а не просто наблюдать манипуляции учителя с моделями, к которым чаще всего сводится «наглядность» при изучении дробей.
В карточке 1 нужно заполнить таблицу, указывая каждую часть, если это подсказывается рисунком, в виде "разных" дробей (1/2 = 3/6). Своеобразной подсказкой являются жирные линии, делящие фигуры. Выполняя предложенные упражнения, ученик осваивает понятие дроби, подмечает основное свойство, подсчитывает дополнение дроби до единицы. Уже на этом этапе он встречается в неявном виде со сложением дробей, с приведением дроби к новому знаменателю.
По карточке учащимся приходится отвечать на следующие вопросы:
Какая часть фигуры (всего в каждой карточке по 8 фигур самых разнообразных очертаний) закрашена штриховкой определенного вида?
Какая часть фигуры закрашена штриховками обоих видов? (Этот вопрос подводит учащихся к сложению дробей, например требуется сложить 6/18 и 3/18 долей фигуры Е)
Какая часть фигуры осталась без штриховки? (Здесь фактически требуется вычесть правильную дробь из 1, например найти, какая часть фигуры С. осталась без штриховки, если заштриховано ее 5/10 частей)
Косой штриховкой закрашены 4/12 доли фигуры О, а прямой штриховкой - 2/12 доли той же фигуры. Какая штриховка занимает больше долей фигуры G? На сколько долей больше занимает в фигуре G косая штриховка, чем прямая? Уравнение дробей друг с другом и вычитание дробей. На сколько частей жирные линии делят фигуру В? Сколько в каждой из этих частей содержится 12-х долей данной фигуры?
Рассмотрите фигуру F, выделите в ней 1/4 долю. Выразите дробь 1/4 другими дробями, руководствуясь фигурой F.
Основное свойство дроби закрепляется по карточке № 2. (рис.10). Она разделена на две части, в каждой из которых демонстрируются три способа деления одного «отрезка» на равные части: на 4 части, на 8 частей и на 16 частей (на 3 части, на 6 частей и на 12 частей). Учащиеся должны записать отсутствующие числители у двух из трех равных дробей. Для этого им придется проделать следующие действия: выделить на рисунке первый отрезок, заданный одной из трех дробей (той, у которой известны и числитель и знаменатель); найти второй отрезок, равный первому (он разделен на то число частей, которое указано знаменателем другой дроби); подсчитать число частей во втором отрезке и записать его в числителе второй дроби; мысленно разделить один из отрезков на то число частей, которое указано знаменателем третьей дроби, и сообщить, сколько потребуется набрать таких частей для третьего отрезка такой же длины, что и первые два. Как видим, такой процесс побуждает учащихся самостоятельно оперировать наглядным материалом и постепенно в ходе этого оперирования вырабатывать формальное правило.
Упражнения по карточкам № 3 и 4 взаимно обратны (рис.11). Они представляют новый аспект освоения понятия дроби. Выполнение предложенных упражнений сопровождается моторными действиями, которые лучше запоминаются учениками с кинестетическим (двигательным) типом мышления.
Отметим, что в карточке № 3 исходные фигуры намеренно усложнены. Таким образом, обеспечивается закрепление в сознании учащихся не геометрического образа, а последовательности арифметических действий над числом, получающимся в результате подсчета равных элементов фигуры. Аналогично и в карточке №4 в ответах не получается "хороший" прямоугольник. Учащимся приходится постепенно переходить от манипуляций с геометрическими объектами к арифметическим действиям. Так, если первое задание учащиеся могут выполнить чисто геометрически (приставив к фигуре, обозначающей дробь 1/2, еще точно такую же фигуру), то в случае с дробью 2/5 так поступить уже нельзя. Приходится сначала поделить данную фигуру на 2 части. В следующем задании (дробь 3/4) такое деление не удается осуществить «безболезненно», т.е. наглядным образом. Приходится начинать с подсчета числа равных квадратиков данной фигуры.
Для усвоения способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби ученикам вновь предлагается задание по наглядному материалу, т.е. по карточкам № 5 и 6. (рис.12) Выполняя эти задания, ребята обращаются к рисункам. При этом они отчетливо осознают суть операций нахождения дроби от числа и числа по его дроби, поскольку с этими операциями связываются наглядные картины - образы. Важно лишь в заданиях предложить ученикам достаточное количество образных вариаций, не одну-две, как часто бывает на уроках, а пять-шесть. На индивидуальной карточке такие задания предъявить легко, поскольку ученик работает один, не снижал темп изучения материала всем классом. Конечно, практика оперирования дробями не должна ограничиваться приведенными упражнениями с наглядным материалом. Учитель должен использовать и обычные задания из учебных пособий. Делать это он может дифференцированно, задерживал одних на карточках и стимулируя других более сложными упражнениями.
При изучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможность поработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей. В данном случае используются задания, схожие с теми, что приведены в карточке № 7. (рис.13). Здесь тонкие линии помогают понять, каким будет наименьший общий знаменатель и что он наглядно означает. Подсказывается и то, какой будет дробь, приведенная к новому знаменателю. Попрактиковавшись в выполнении таких упражнений, ученик сможет наглядно оценивать результат сложения двух дробей, делая необходимые прикидки. Для слабого ученика такая работа полна смысла: опираясь на нее, можно вводить алгоритм сложения дробей с разными знаменателями, который теперь не будет представляться ребенку непонятной процедурой. Параллельно со сложением на наглядном уровне изучается и операция вычитания дробей. По карточке № 7 Целесообразно предложить школьникам найти разность дробей:
 и т.д.
Почти традиционно правило умножения обыкновенных дробей объясняют на примере нахождения площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются данными дробями. Получив с одного примера "заветное" правило, начинают эксплуатировать его, находя произведения дробей. Поспешность и формализм проявляются затем на качестве знаний.
Для того чтобы ученик осознал правило умножения дробей, связал его с наглядным образом, полезно предложить ему следующие упражнения:
На карточке №8 (рис.14) единичные квадраты разбиты на равные прямоугольники. Найдите, какую часть от единичного составляет маленький прямоугольник. Найдите, какую часть от единичного квадрата А, В, С, Д, Е,F составляет прямоугольник, выделенный жирной линией.
Найдите, какую часть прямоугольника, выделенного в каждой из фигур А, В, С, Д, E,F составляет маленький прямоугольник.
По рисункам А, В, С, Д Е, F. из карточки №8 объясните смысл умножения дробей, записанных под каждой из фигур.
Внимание учеников следует обратить на то, что в квадрате Е жирными линиями выделены прямоугольники, содержащие по три маленьких прямоугольника. Таких, прямоугольников в квадрате Е 14, а в заштрихованной Фигуре - 5. Дробь  которая является значением произведения получилась из дроби после сокращения на 3, о чем говорит целое число прямоугольников 3 х 1 выделенных жирными линиями.
Для слабых и средних учеников окажутся полезными упражнения на запись в виде неправильной дроби числа, имеющего целую и дробную части, упражнения на деление дроби на целое число.
Таким образом, приведенные карточки позволяют при изучении математики обращаться к природе вещей, находить возможность включения ребенка в практическую деятельность, в процессе которой у него формируются образы, помогающие осваивать изучаемые абстракции.

Выводы по 1 главе

1. Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные свойства объектов. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему. Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия – множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Большая роль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символическому их выражению.
2. Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает наряду с четким представлением об его объеме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.
3. Осваивая понятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например, с 1, и дробь с дробью.
4. При изучении сложения дробей учащимся необходимо предоставить возможность поработать с наглядным материалом, отражающим свойства дробей.
Для слабых и средних учеников окажется полезными упражнениями на запись в виде неправильной дроби числа.
5. Наглядный материал позволяет при изучении математики обращаться к природе вещей, находить возможность включения ребенка в практическую деятельность, в процессе которой у него формируются образы, помогающие осваивать изучаемые абстракции.

Глава 2. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики

2.1. Содержание и ход эксперимента

Эксперимент на уроках математики осуществляется на базе Семибугровской СОШ села Семибугры Камызякского района Астраханской области.
В эксперименте принимали участие учащиеся 5 «А» класса в количестве 14 человек и учащиеся параллельного 5 «Б» класса в количестве 14 человек. Учитель математики – Телеуова Бибигуль Капазовна.
Эксперимент включал 3 этапа:
констатирующий;
формирующий;
контрольный.
На этапе констатирующего эксперимента нашей целью является выяснение исходного состояния проведения уроков математики. До начала проведения уроков по проблеме нашего исследования на этапе констатирующего эксперимента мы провели самостоятельную работу на проверку умений вычислительных навыков в обоих классах. Результаты мы поместили в таблицу.
На этапе констатирующего эксперимента мы выявили уровень знаний, с которыми учащиеся подошли к изучению обыкновенной дроби. Для этого эксперимента были предложены диагностические тесты Т.Д. Гончаровой. Обучение на основе технологии полного усвоения, включающие задания, опирающиеся на знания учащимися оперирования единицами измерения, выполнение логических заданий, вычислительные приемы, упражнения на освоение понятие доли числа с помощью штриховки фигур, задачи на нахождение доли числа, числа по доли, задания, выполнение которых требует умений учащихся производить действия с числами, используя координатный луче, находить место числе на координатном луче, способствующие проведению сравнительной работы дроби как числа с целыми числами.
Сравнительная характеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапе констатирующего эксперимента, отражена на диаграмме.
Полученные результаты констатирующего эксперимента свидетельствует о том, что знания учащихся двух классов находятся на одном уровне.
На этапе формирующего эксперимента нашей целью является проведение практического исследования введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики.
В ходе формирующего эксперимента предлагались разнообразные задания, опирающиеся на формирования дроби как рационального числа. При решении задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби опирались на смысл понятия дроби, проводилась сравнительная работа. Вводили задания на изображение дроби на координатном луче, предлагались задания, опирающиеся на ориентирование единицами величины, задания на определение понятия доли числа с помощью штриховки фигур, подбирались задания творческого характера, задания на сравнение дробей, полезными были упражнения на запись в виде неправильной дроби числа.
Предлагались задания на изображение дроби на координатном луче:
- Примите за единичный отрезок 12 клеток тетради и отметьте на координатном луче точки В ( ), С ( ), Е ( ), Р ( ), R ( ).
- Изобразим на координатном луче единичный отрезок ОЕ и поделим его на 6 равных частей. Какую долю отрезка составляет каждая часть? Какую часть отрезка составляют 4 доли?
- Единичный отрезок равен длине 6 клеток тетради. Отметьте на координатном луче точки с координатами , , , . Какая из этих точек левее всех расположена на луче, а какая – правее всех?
- Отметьте на координатном луче точки: А ( ), В ( ), С ( ), Д ( ), Е ( ), К ( ). Есть ли среди них совпадающие?
- Длина отрезка АВ равна 8 см. Начертите отрезок, длина которого равна  длины отрезка АВ.
Предлагались задания, опирающиеся на оперирование единицами величин:
- Как называется:
а) одна сотая доля метра;
б) одна тысячная доля тонны;
в) одна шестидесятая доля часа;
г) одна двадцать четвертая суток;
д) одна миллионная доля кубического метра;
е) одна миллионная доля квадратного метра.
- Сколько минут: а) в трети часа;
б) в четверти часа;
в) в половине часа;
г) в десятой доли часа;
д) в двенадцатой доле часа;
е) в шестой доле половины часа?
- Сколько секунд:
а) в 5 минутах;
б) в четверти часа;
в) в одном часу;
г) в четверти минуты;
д) в трети минуты;
е) в половине минуты?
- Какую часть 1м3 составляет 1 см3? Какую часть 1 м2 составляет 1 см2?
- Какую долю составляют: а) сутки от года;
б) сутки от недели;
в) дециметр от метра;
г) 1 см3 от литра?
- Какую часть недели составляют: а) пять суток;
б) шесть суток?
- Сколько минут в часе? Какую часть составляют 1 мин., 7 мин., 15 мин.
- Сколько минут в  ч.; в  ч.; в  ч.; в ч.; в ч.?
Были включены задания на определение понятия доли числа с помощью штриховки фигур, а именно, определение заштрихованной и незаштрихованной части фигуры.
Подбирались задания творческого характера:
- Изобразите квадрат со стороной 4 см и разделите его на 4 доли 3 разными способами.
- Начертите отрезок длиной 8 см. Отметьте цветным карандашом  отрезка. Какая часть отрезка осталась неотмеченной?
- Придумайте пять дробей, у которых числитель на 3 меньше знаменателя. Запишите пять дробей, у которых числитель на 3 меньше, знаменателя. Запишите пять дробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя.
- Назовите 3 правильные дроби, числитель которых больше, чем 100. Назовите 3 неправильных дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
- Назовите 5 дробей, которые больше, чем .
Выводили задания на сравнение дробей:
- Расставьте в порядке возрастания дроби: . Расставьте эти дроби в порядке убывания.
- Замените звездочку знаком < или > в записях:
а) ; б) , в) , г)  
- Какая из дробей больше:
а)  или , б)  или , в)  или , г)  или ?
- Какая из точек лежит левее на координатном луче: а) А ( ) или В ( );
б) М ( ) или N ( ) ?
- Верно ли, что: а)  меньше ;
б)  больше .
- Сравните: а)  и , б)  и , в) 1 и , г)  и 1, д)  и 0, е)  и 0
Включались задания на знания правил чтения и записи дробей, правил чтения равенств и неравенств, содержащих дробные числа, выражений и уравнений, содержащих обыкновенные дроби:
- Прочитайте дроби: , , , , , ,
Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.
- Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) три шестых;
б) одна треть;
в) половина;
г) три четверти;
д) семь десятых;
е) одиннадцать сотых;
ж) одиннадцать сорок восьмых.
- Прочитайте дроби , , , , , , , , , , . Назовите числитель и знаменатель.
- Какая из точек лежит левее на координатном луче:
а) А ( ) или В ( ); б) А ( ) или В ( ) ?
- Верно ли, что:
а)  меньше , б)  больше ?
- Выполните действия:
а)  + ; б)  + ; в)  + ; г)  + ; д)  х - ; е)  - ;
ж)  - ; з) -
- Решите уравнение: а) х -  = ; б)  - у = ; в) z +  = ;
г)  + p = .
Полезными были упражнения на запись в виде неправильной дроби числа:
- Напишите все неправильные дроби с числителем 5.
- При каких значениях  будет неправильной дробью?
- Запишите пять дробей, у которых числитель в 3 раза больше знаменателя.
- Найдите все значения х, при которых дробь  будет неправильной?
- Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше, чем 200.
Для себя мы вынесли немало полезного в плане организации и проведении практического исследования введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики. Таким образом, отмечая эффективность проведенных уроков, мы пришли к следующим результатам: повышение активности и заинтересованности детей на уроках математики, улучшение успеваемости и качества работ по математики.
После проведения формирующего эксперимента мы провели контрольный эксперимент, целью которого являлось выяснение эффективности использования практического исследования введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики в 5 классах. Для этого мы провели аналогичную работу той, которая проводилась на этапе констатирующего эксперимента. Результаты мы поместили в таблицу.
В качестве контрольного эксперимента мы провели тестирование по предложенным диагностическим тестам Т.Д. Гончаровой «Обучение на основе технологии полного усвоения». Тесты включали задания на определение понятия доли числа с помощью штриховки, определение понятия обыкновенных дробей, правильных и неправильных дробей, усвоение способов нахождения дроби от числа и числа по его дроби, знание формул сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Сравнительная характеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапе контрольного эксперимента, отражена на диаграмме.

2.2. Анализ полученных результатов

По итогам эксперимента было проведено сопоставление данных констатирующего и контрольного эксперимента, показывающие, что число учащихся, справившихся с заданием и допустивших 1-2 ошибки, на контрольном этапе увеличилось. На основе полученных данных делаем вывод о том, что задания на формирующем этапе были посильны основному и продвинутому уровню учащихся, поэтому произошел переход из основного уровня в продвинутый.
При сопоставлении результатов констатирующего и контрольного эксперимента мы отметили значительный рост числа учащихся в экспериментальном 5 «А» классе, справившихся с заданиями, переход некоторого количество учащихся, не справившихся с заданиями, в число учащихся, допустивших ошибки, Таким образом, переход из числа несправившихся в число учащихся, допустивших ошибки, обуславливает меньшее количество учащихся справившихся с заданиями. Улучшению успеваемости и качества работ учащихся в экспериментальном классе способствовали проведенные разработанные уроки с использованием заданий творческого характера.
При сопоставлении констатирующего и контрольного эксперимента, проведенного в контрольном 5 «Б» классе, в котором уроки были разработаны и проведены на основе обычной методики, мы пришли к такому выводу, что рост числа учащихся, справившихся с заданиями, произошел, но в отличие от экспериментального класса, оказался незначительным.
Сравнительная характеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапе констатирующего и контрольного эксперимента, учащимися экспериментального и контрольного класса отражена на диаграмме.
5 «а» класс (экспериментальный)

\s
5 «б» класс (контрольный)
\s
Сопоставив результаты констатирующего и контрольного эксперимента, мы отметили повышение активности и заинтересованности учащихся, улучшение качества работ и успеваемости детей в 5 классах. Это является практическим подтверждением выдвинутой нами гипотезы.

Выводы по 2 главе

1. Эксперимент на уроках математики осуществляется на базе Семибугровской СОШ села Семибугры Камызякского района Астраханской области. В эксперименте принимали участие учащиеся 5 «А» класса в количестве 14 человек и учащиеся параллельного 5 «Б» класса в количестве 14 человек.
2. На этом этапе констатирующего эксперимента нашей целью является выяснение исходного состояния проведения уроков математики в 5 классах.
3. На этапе формирующего эксперимента нашей целью является проведение практического исследования введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики в 5 классах.
4. На этапе контрольного эксперимента нашей целью является выяснение эффективности использования практического исследования введения информирования математического понятия дроби на уроках математики в 5 классах.
5. Сопоставив результаты констатирующего и контрольного эксперимента, мы отметим повышение активности и заинтересованности учащихся, улучшение качества работ и успеваемости детей в 5 классах. Это является практическим подтверждением выдвинутой нами гипотезы.

Заключение

Учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных числе с множеством натуральных чисел, без понимания которых нельзя решить проблему преемственности в обучении математики в начальных и последующих классах школы.
Осваивая понятие «обыкновенная дробь», ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей.
Дроби есть числа, поэтому уже на перовом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.
С введением разнообразных заданий, опирающихся на формирование дроби как рационального числа, сравнительной работы при решении задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби, опираясь на смысл понятия дроби, подбором заданий творческого характера повысилась активность, заинтересованность учащихся, качество работ и успеваемость детей в 5 классах улучшилось, что позволило достигнуть подтверждения выдвинутой нами гипотезы.

Список литературы

1.                Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. – М.: МГУ, 1981. - 214 с.
2.                Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. – М.: Просвещение, 1990. – 128 с.
3.                Жуков Н.И. Философские проблемы математики. - Минск, 1977. - 95 с.
4.                Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Математика – 1991 - № 10 - с.23.

Приложения

Приложение 1
Доли. Обыкновенные дроби

Цели:	образовательные:	познакомить с понятием доли, обыкновенной дроби, научить правильно читать и записывать обыкновенные дроби.
	развивающие:	развить математическое мышление, наглядность воспроизведения, память, внимание, речь, активность.
	воспитательные:	воспитывать любовь к математике (интерес к предмету), самостоятельность мышления, дисциплинированность, аккуратность.
Оборудование:		конспект, учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.5 класс, наглядное пособия.

I. Организация класса	Ход урока (1 урок): - Здравствуйте, ребята! Сегодня урок математики проведу у вас я. Зовут меня Камила Кожамберлиевна. Садитесь.
II. Сообщение темы и целей урока	- Сегодня тема нашего урока «Доли. Обыкновенные дроби» Вы познакомитесь с понятием доли, понятием обыкновенной дроби, научитесь правильно читать и записывать их.
III. Устный счет	5дм 3 см + 2 дм 7 см 1кг 300г + 2 кг 200 г 1м 35см – 100 см 1 т – 900 000 г.
IV. Объяснение нового материала V Работа с учебником.	- Ребята, представьте, что у меня в руках вафельный торт, который разделили на 8 равных частей. Эти равные части называются долями, т.е.1, 2, 3…., 8 – доли. Каждому человеку достанется одна восьмая доля торта, или, короче «одна восьмая торта» и пишут  торта. Еще раз части – это доли, торт разрезали на 8 равных частей (долей). Каждая часть составляет  долю торта. - Далее, торт разрезали на 8 частей (долей), из которых за обедом съели 2 доли. На блюде осталось 6 долей. Эти доли обозначают  торта. Записи вида  называют обыкновенными дробями. В дроби  число 6 называют числителем дроби (пишут над чертой), 8 – знаменателем дроби (под чертой). Число 6 (числитель) показывает сколько долей взяли, съели, а число 8 (знаменатель), на сколько долей делят. - Сегодня в устном счете нам приходилось выражать единицы измерения. Если 1м = 10дм = 100см, то 1см = м, 1дм = м. Если 1кг = 1 000 г, то 1г =  кг.1т = 1 000 000 г, 1г = т. - Дроби можно изобразить на координатном луче. Вспомним, что луч имеет начало, ноне имеет конца. Изобразим луч. (рис) 1 – числитель, т.е. сколько долей взяли 6 – знаменатель (дробная черта, знаменатель под чертой), значит на него делят. Можно этот отрезок поделить на 4 части (рис) Доли  - это половина, треть, четверть. Итак, доли – равные части Запись вида  - обыкновенная дробь, где 6 - числитель, 8 – знаменатель. - Теперь послушайте: - Кусок материала резали на 12 равных частей (долей). Какую долю всего куска составляет каждая часть? - Какую часть куска составляют 5 долей? - Молодцы! - Теперь полученные знания применим при решении задач. - Откройте стр.140 учебника. Найдите и прочитайте задание №884. Выполним устно. - Какая часть фигуры закрашена? - Молодцы! - Выполним уже письменно в тетради следующее задание №885. - Чертеж какой фигуры необходимо выполнить? - На сколько долей нужно разделить фигуру? - Что необходимо изобразить отдельно? - Молодцы! - Выполним следующее задание №886. - О чем говорится? - Что известно? - Что требуется выполнить? - Решите задачу 3 способами? - Молодцы!
VII Работа с правилами.	- Теперь давайте прочитаем с вами правило чтения дробей на стр.141 учебника. - При чтении дробей нужно помнить: числитель дроби – количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель – порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.). Например,  - одна пятая,  - две шестых,  - семь десятых,  восемьдесят три сто пятьдесят вторых - Хорошо. Теперь прочитаем верно записи в №888 (устно). - Молодцы! - Как называется одна сотая доля метра? - Одна тысячная доля тонны? - Одна двадцать четвертая доля суток? - Одна шестидесятая доля часа? - Одна миллионная доля квадратного метра? - Одна миллионная доля кубического метра? - Молодцы!
VIII. Решение задач	- Прочитайте задачу №889. - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - Составим краткую запись. - Решим ее. Запишите ответ. - Молодцы!
	Ход урока (2 урок):
I. Сообщение целей урока	- Сегодня на 2 уроке мы продолжаем с вами изучать тему «Доли. Обыкновенные дроби», закрепим правило чтения и записи обыкновенных дробей.
II. Закрепление	- Потренируемся в правильном чтении дробей в №894 (устно).
III. Работа с учебниками	- Прочитайте дроби: Назовите числитель и знаменатель каждой дроби. - Молодцы! - Теперь выполним следующее задание уже письменно в тетради №895. - Молодцы! - Решим задачи. №890. - О чем говорится? - Что известно? - Что нужно узнать? - Составим краткую запись и решим ее. - Молодцы! - Следующая задача под №891. - О чем говорится? - Что известно? - Что неизвестно? - Составим краткую запись и решим. Запишите ответ. - Молодцы! - Начертите квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его на 3 доли и закрасьте  квадрата. Какая часть квадрата осталась не закрашенной? - Выполните №893. - Что известно? - Что необходимо выполнить? - Изобразите чертеж - Какая часть отрезка осталась неотмеченной? - Молодцы!
V. Геометрический материал	- В клумбе квадратной формы расположите 10 кустов роз так, чтобы на каждой стороне клумбы было по 3 куста поровну. - Молодцы!
VI. Итог урока.	- С чем мы сегодня познакомились? - Что такое доли? - Что такое обыкновенные дроби? - Что показывает числитель? - Что знаменатель? - Что нужно помнить при чтении дроби? - Молодцы!
VII. Домашнее задание	- Запишите домашнее задание: п.23. №907, №915. - Урок окончен. До свидания.