Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. Н.Г.Чернышевского
            Кафедра математического анализа
ИССЛЕДОВАНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

студентки 524 группы механико-математического факультета

Чуркиной Любови Васильевны
                                                                                                 Научный руководитель

                                                                                                 к.ф.-м.н, доцент

                                                                                                 Тимофеев В. Г.

                                                                                                 Заведующий кафедрой

                                                                                                 доктор ф.-м.н., профессор

                                                                                                 Прохоров Д.В.
г.Саратов-1996 г.
Оглавление.

Наименование	Стр.
Введение	3
§1. Некоторые вспомогательные определения	7
§2. Простейшие свойства модулей нерперывности	20
§3. Обобщение теоремы Джексона	24
§4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна	27
§5. Дифференциальные  свойства  тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию	30
§6. Обобщение  обратных  теорем  С. Н. Бернштейна и       Ш. Валле-Пуссена	34
§7. Основная теорема	44
§8. Решение задач	47
Литература	50

Введение

Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.

Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.

В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:

             При каких ограничениях на непрерывную функцию F(u) (-1  u  +1) её наилучшие приближения E_n [F;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок (n^-1 )?

             При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f (x) её наилучшее приближение E_n[f] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок (n^-1 )?

Подстановка  u=cos(x)  сводит  задачу 1  к  задаче 2.  Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.

Мы ограничимся случаем, когда  N^ , для некоторого  , где  - функция сравнения р-го порядка и для 0<<



С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E_n[f] и дифференциальными свойствами f. Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками E_n[f] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:

,

где  - некоторое число.

Наша основная теорема формулируется следующим образом:

Пусть  N^ Для того чтобы





необходимо, чтобы для любого натурального k>, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>



где

Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.

В §1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.

В §2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.

§3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f ^(r) , то



Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.

В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть



Тогда



В §3 доказываем:

             (*)

В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем  §5.

В  §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином t_n , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {t_n} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t_n?

Если t_n , образуется из f  посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы  равномерно относительно n. (fH_k[], если ).

Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы
 равномерно относительно n.

Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы

.

§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.

Известно предложение: пусть

.

Тогда, если  не целое, r=[], =-r, то f имеет нерперывную производную .

Случай целого рассмотрен Зигмундом. В этом случае

.

Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<<k и

.

Тогда

.

В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий  и .

Мы переносим эти теоремы на условия вида

,

где  N^

Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и

;

для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

.

В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.

В §7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку E_n[f] снизу, если

.

Именно, тогда



Случай =0 установлен С.Н.Бернштейном [3].

В §8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.


§1. Некоторые вспомогательные определения.

В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2 и их приближение тригонометрическими полиномами. Через t_n(x) обозначается тригонометрический полином порядка не выше n, а через t_n^*(x)=t_n^*(x,f)-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех t_n(x). Мы полагаем  и пишем



Введём ряд определений.

Определение 1. При каждом фиксированном  классом Липшица порядка  называется множество всех непрерывных функция f, модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию



где С₈-какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от  и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается H^ или Lip 

Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W^(r)L класс функций f, которая имеет абсолютно непрерывные производные до (r-1) порядка и у которой r-я производная принадлежит классу L.

Определение  3. Для непрерывной на [a,b] функции f (x) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию f;, определённую на [0, b-a] при помощи следующего равенства:

                        (1.1)

или, что то же самое,

                        (1.1’)

Свойства модуля непрерывности:

1)   

2)    есть функция, монотонно возрастающая;

3)    есть функция непрерывная;

4)    есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых  и  

                             (1.2)

Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.



Свойство 2) вытекает из того, что при больших  нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h. Свойство 4) следует из того, что если мы число  представим в виде h=h₁+h₂,  и , то получим



Из неравенства (1.2) вытекает, что если  то  т.е.

                         (1.3)

Теперь докажем свойство 3). Так как функция f (x) равномерно непрерывна на [a,b], то  при  и, следовательно, для любых ,  

    при  

а это и означает, что функция  непрерывна.

Определение 4. Пусть функция f (x) определена на сегменте [a,b]. Тогда для любого натурального k и любых  и h>0 таких, что  k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина

                      (1.4)

а при  и h>0 таких, что  k-й симметричной разностью - величина

      (1.4’)

Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство

                            (1.5)


Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k



то



Лемма доказана.

Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:

          (1.6)

Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:

.

Предполагая его справедливость при k-1 (k2), получим



Лемма доказана.

Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)L_q (L_q-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка k1 понимают функцию



Лемма 3. Если  то справедливо

               (1.7)

Доказательство. В самом деле,



и так далее. Лемма доказана.

Определение 6. Если функция f(x)  ограничена на [a,b], то под её модулем гладкости порядка k1 понимают функцию



заданную для неотрицательных значений  и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.


Свойства модулей гладкости:

1)  

2)    есть функция, монотонно возрастающая;

3)    есть функция непрерывная;

4)   При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство

                                       (1.8)

а при любом -неравенство

                         (1.8’)

5) Если функция f(x) имеет всюду на [a,b] непрерывные производные  до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная , то

                                (1.9)

Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что



2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.

3) Предполагая для определённости, что ’, получим



Этим непрерывность функции _k() доказана.

4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем

Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции _k(t) и неравенства (1.8).

5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим



Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция  есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если



где -конечная разность функции f k-го порядка с шагом h:



Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо  мы будем писать просто  и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию  мы будем называть модулем гладкости.

Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция  -есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:

1)    определена для ,

2)    не убывает,

3)   ,

4)  

Нетрудно показать, что если f 0, то  есть функция сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 §2).

Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k-го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С₁₀>0 такая, что



Вместо  будем писать просто H_k^.

Если для последовательности функций {f_n} (n=1,2,...)



где С₁₀ не зависит от n, то будем писать:  равномерно относительно n.

Понятие классов  является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную.

Определение 10. Зафиксируем число >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем  (p=-[-]). Будем говорить, что функция  принадлежит к классу , если она

1) есть функция сравнения p-го порядка и

2) удовлетворяет условию: существует константа С₁₁>0 такая, что для



Условие 2) является небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса N^ будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.

Определение 11. Будем говорить, что функция  имеет порядок , если найдутся две положительные константы  С₁₂ и С₁₃ такие, что для всех t, для которых определены функции  и ,

.

При выполнении этих условий будем писать

.

Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция

                                   (1.10)

Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом

                       (1.10’)

Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция

                                    (1.11)

Ядро Фейера F_n(t) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является  тригонометрическим  полиномом  порядка (n-1). Так что имеют место равенства

                       (1.11’)

        (1.11’’)

где D_k(t)-ядра Дирихле.

Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция

                 (1.12)

Свойства ядер Джексона.

а) При каждом n ядро J_n(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида

,

где j_k=j_k(n) - некоторые числа



б)

в)

г)

Доказательство.

а) Учитывая, что для ядер F_n(t) Фейера имеют место равенства

 получим



где j_k(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в  частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем



Этим свойство а) доказано.

б) Это равенство следует из равенства, полученного для j₀.

в) Так как  при любом  и  при  (