Диплом Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-24Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Дипломна робота
Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь
ВВЕДЕННЯ
У стародавності тригонометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії, будівельної справи, тобто носила чисто геометричний характер і представляла головним чином <<вирахування хорд>>. Згодом у неї почали вкраплятися деякі аналітичні моменти. У першій половині 18-го століття відбувся різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла новий напрямок і змістилася убік математичного аналізу. Саме в цей час тригонометричні залежності стали розглядатися як функції.
Тригонометричні рівняння одна із самих складних тем у шкільному курсі математики. Тригонометричні рівняння виникають при рішенні задач по планіметрії, стереометрії, астрономії, фізики й в інших областях. Тригонометричні рівняння й нерівності рік у рік зустрічаються серед завдань централізованого тестування.
Найважливіша відмінність тригонометричних рівнянь від алгебраїчних полягає в тому, що в алгебраїчних рівняннях кінцеве число корінь, а в тригонометричних нескінченне, що сильно ускладнює відбір корінь. Ще одною специфікою тригонометричних рівнянь є не одиничність форми запису відповіді.
Дана дипломна робота присвячена методам рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей.
Дипломна робота складається з 6 розділів.
У першому розділі наведені основні теоретичні відомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; таблиця значень тригонометричних функцій для деяких аргументів; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули вираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції.
У другому розділі викладені основні методи рішення тригонометричних рівнянь. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, що може <<спантеличити>> при рішенні тестів, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
У третьому розділі розглядаються нестандартні тригонометричні рівняння, рішення яких засноване на функціональному підході.
У четвертому розділі розглядаються тригонометричні нерівності. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів.
У п'ятому розділі представлені найбільш складні завдання: коли необхідно не тільки вирішити тригонометричне рівняння, але й зі знайдених корінь відібрати корінь, що задовольняють якій-небудь умові. У даному розділі наведені рішення типових завдань на відбір корінь. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корінь: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах (діафантових).
У шостому розділі представлені задачі для самостійного рішення, оформлені у вигляді тесту. В 20 завданнях тесту наведені найбільш складні завдання, які можуть зустрітися на централізованому тестуванні.
ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Елементарні тригонометричні рівняння
Елементарні тригонометричні рівняння - це рівняння виду
де
Елементарні тригонометричні рівняння мають нескінченно багато корінь. Наприклад, рівнянню
задовольняють наступні значення
і т.д. Загальна формула по який перебувають всі коріння рівняння
Тут
Рішення рівняння
де
Рівняння
а рівняння
Особливо відзначимо деякі окремі випадки елементарних тригонометричних рівнянь, коли рішення може бути записане без застосування загальних формул:
При рішенні тригонометричних рівнянь важливу роль грає період тригонометричних функцій. Тому приведемо дві корисні теореми:
Теорема Якщо
Періоди функцій
Теорема Якщо періодичні функції
що є періодом функцій
У теоремі говориться про те, що
і не обов'язково є основним періодом. Наприклад, основний період функцій
а основний період їхнього добутку -
Введення допоміжного аргументу
Стандартним шляхом перетворення виражень виду
наступний прийом: нехай
Для будь-яких
Якщо
Схема рішення тригонометричних рівнянь
Основна схема, який ми будемо керуватися при рішенні тригонометричних рівнянь наступна:
рішення заданого рівняння зводиться до рішення елементарних рівнянь. Засоби рішення -і- перетворення, розкладання на множники, заміна невідомих. Провідний принцип -і- не втрачати корінь. Це означає, що при переході до наступного рівняння (рівнянням) ми не побоюємося появи зайвих (сторонніх) корнів, а піклуємося лише про те, щоб кожне наступне рівняння нашої "ланцюжка" (або сукупність рівнянь у випадку розгалуження) було наслідком попередні. Одним з можливих методів відбору корнів є перевірка. Відразу помітимо, що у випадку тригонометричних рівнянь труднощі, пов'язані з відбором корнів, з перевіркою, як правило, різко зростають у порівнянні з алгебраїчними рівняннями. Адже перевіряти доводиться серії, що складаються з нескінченного числа членів.
Особливо варто сказати про заміну невідомих при рішенні тригонометричних рівнянь. У більшості випадків після потрібної заміни виходить алгебраїчне рівняння. Більше того, не так уже й рідкі рівняння, які, хоча і є тригонометричними по зовнішньому вигляді, по суті такими не є, оскільки вже після першого кроку -і- заміни змінних -і- перетворюються в алгебраїчні, а повернення до тригонометрії відбувається лише на етапі рішення елементарних тригонометричних рівнянь.
Ще раз нагадаємо: заміну невідомого варто робити з першою нагодою, що вийшла після заміни рівняння необхідно вирішити до кінця, включаючи етап відбору корнів, а потім вернеться до первісного невідомого.
Одна з особливостей тригонометричних рівнянь полягає в тім, що відповідь у багатьох випадках може бути записаний різними способами. Навіть для рішення рівняння
1) у вигляді двох серій
2) у стандартній формі що представляє собою об'єднання зазначених вище серій
3) оскільки
те відповідь можна записати у вигляд
(Надалі наявність параметра
Очевидно, що трьома перерахованими випадками не вичерпуються всі можливості для запису відповіді розглянутого рівняння (їх нескінченно багато).
Наприклад, при
Отже, у двох перших випадках, якщо
Звичайно відповідь записується на підставі пункту 2. Корисно запам'ятати наступну рекомендацію: якщо на рішенні рівняння
Розглянемо приклад.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Найбільш очевидним є наступний шлях. Дане рівняння розпадається на два
Вирішуючи кожне з них і поєднуючи отримані відповіді, знайдемо
Інший шлях. Оскільки
те, заміняючи
На перший погляд ніяких особливих переваг у другої формули в порівнянні з першої немає. Однак, якщо візьмемо, наприклад,
те виявиться, що
тобто рівняння
має рішення
у той час як перший спосіб нас приводить до відповіді
Побачити" і довести рівність
Відповідь.
Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь
Будемо розглядати арифметичну прогресію, що нескінченно простирається в обидва боки. Члени цієї прогресії можна розбити на дві групи членів, що розташовуються вправо й уліво від деякого члена, називаного центральним або нульовим членом прогресії.
Фіксуючи один зі членів нескінченної прогресії нульовим номером, ми повинні будемо вести подвійну нумерацію для всіх членів, що залишилися: позитивну для членів, розташованих вправо, і негативну для членів, розташованих уліво від нульового.
У загальному випадку, якщо різниця прогресії
Перетворення формули для будь-якого члена нескінченної арифметичної прогресії
1. Якщо до нульового члена
2. Якщо коефіцієнт при змінній величині
3. Якщо
наприклад
зробити центральними членами
те прогресія й ряд прогресій виражають собою ті самі числа.
Приклад Ряд
може бути замінений наступними трьома рядами
4. Якщо
те ці
Приклад
обидві поєднуються в одну групу
Для перетворення груп, що мають загальні рішення, у групи, загальних рішень не дані групи, що мають, розкладають на групи із загальним періодом, а потім об'єднати групи, що вийшли, виключивши повторювані.
Розкладання на множники
Метод розкладання полягає в наступному: якщо
те всяке рішення рівняння
є рішення сукупності рівнянь
Зворотне твердження, загалом кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що рішення окремих рівнянь можуть не входити в область визначення функції
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, рівняння представимо у вигляді
Відповідь.
Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівносильне рівняння
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. У цьому випадку, перш ніж застосовувати формули суми тригонометричних функцій, варто використовувати формулу приведення
У підсумку одержимо рівносильне рівняння
Відповідь.
Рішення рівнянь добутку тригонометричних функцій у суму
При рішенні ряду рівнянь застосовуються формули.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:
Відповідь.
Рішення рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня
При рішенні широкого кола тригонометричних рівнянь ключову роль грають формули.
Приклад Вирішити рівнянн
Рішення. Застосовуючи формулу, одержимо рівносильне рівняння.
Відповідь.
Рішення рівнянь із формул потрійного аргументу
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівняння
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення
Застосуємо формули зниження ступеня одержимо
Застосовуючи одержуємо
Відповідь.
Рівність однойменних тригонометричних функцій
Приклад Вирішити рівняння
Рішення
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Перетворимо рівняння
Відповідь.
Приклад Відомо, що
Знайти суму
Рішення. З рівняння треба, що
Відповідь.
Помноження на деяку тригонометричну функцію
Розглянемо суми виду
Дані суми можна перетворити в добуток, до множив і розділивши їх на
Зазначений прийом може бути використаний при рішенні деяких тригонометричних рівнянь, однак варто мати на увазі, що в результаті можлива поява сторонніх корінь. Приведемо узагальнення даних формул:
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Видно, що множина
Маємо
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. До множимо ліву й праву частини рівняння на
й застосувавши формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, отримаємо
Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь
Тому що корінь рівняння
не є коріннями рівняння, то з отриманих множин рішень варто виключити
Значить у множині
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Перетворимо вираження
Рівняння запишеться у вигляді
Приймаючи
Отже
Відповідь.
Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних
Зведених до квадратних
Якщо рівняння має вигляд
те заміна
Якщо замість доданка
Рівняння
зводиться до квадратного рівняння
поданням
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Перенесемо
Після спрощень одержимо
Розділимо по членне на
Вертаючись до
Рівняння, однорідні відносно
Розглянемо рівняння виду
де
Ясно, що якщо
рішеннями якого є значення
Якщо ж
При
Отже, при
яке, підстановкою
Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При
Якщо
Приклад Вирішите рівняння
Рішення. Це рівняння однорідне першого ступеня
Відповідь.
Приклад При
Рішення
Якщо
Якщо
Приклад Вирішите рівняння
Рішення
Це рівняння однорідне другого ступеня. Розділимо обидві честі рівняння на
Нехай
Відповідь.
До рівняння виду зводиться рівняння
Для цього досить скористатися тотожністю
Зокрема, рівняння
зводиться до однорідного, якщо замінити
тоді одержимо рівносильне рівняння
Приклад Вирішите рівняння
Рішення. Перетворимо рівняння до однорідного
Розділимо обидві частини рівняння на
Нехай
Відповідь.
Приклад Вирішите рівняння
Рішення
Зведемо обидві частини рівняння у квадрат, з огляду на, що вони мають позитивні значення:
Нехай
Відповідь.
Рівняння, розв'язувані за допомогою тотожностей
Корисно знати наступні формули
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Використовуючи , одержуємо
Відповідь.
Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього висновку:
отже,
Аналогічно,
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Перетворимо вираження
Рівняння запишеться у вигляді
Приймаючи
Відповідь.
Універсальна тригонометрична підстановка
Тригонометричне рівняння виду
де
за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки
Слід зазначити, що застосування формул може приводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. За умовою задачі
звідки
Рівняння виду
Рівняння виду
де
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Зробивши заміну й з огляду на, що
звідки
Коріннями рівняння
НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
Використання обмеженості функцій
У практиці тестування не так вуж рідко зустрічаються рівняння, рішення яких ґрунтується на обмеженості функцій
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Оскільки
те ліва частина не перевершує
Для знаходження значень
Почнемо із другого:
Тоді
Зрозуміло, що лише для парних
Відповідь.
Інша ідея реалізується при рішенні наступного рівняння:
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Скористаємося властивістю показової функції
Склавши по членне ці нерівності будемо мати
Отже ліва частина даного рівняння дорівнює
т. е.
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Позначимо
Тому що
Якщо
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Областю припустимих значень рівняння є
Спочатку покажемо, що функція
Представимо функцію
Оскільки
те має місце
Отже, для доказу нерівності
Із цією метою зведемо в куб обидві частини даної нерівності, тоді
Отримана чисельна нерівність свідчить про те, що
Розглянемо тепер праву частину рівняння .
Тому що
Однак відомо, що
Звідси треба, що
тобто права частина рівняння не перевершує
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Позначимо
Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, одержуємо
Звідси треба, що
C іншої сторони має місце
Отже, рівняння не має корінь.
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді
Відповідь.
Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь
Не всяке рівняння
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння до виду
і вирішимо його як квадратне відносно
Вирішимо перше рівняння сукупності. Урахувавши обмеженість функції
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Нехай
тоді вихідне рівняння можна записати у вигляді функціонального рівняння
Оскільки
функція непарна, те
У такому випадку одержуємо рівняння
Тому що
монотонна на
те рівняння
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. На підставі теореми про похідну складну функцію ясно, що функція
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Розглянемо рівняння на трьох проміжках.
а) Нехай
б) Нехай
коріннями якого на проміжку
в) Нехай
Яке на проміжку
Відповідь.
Метод симетрії
Метод симетрії зручно застосовувати, коли у формулюванні завдання присутня вимога одиничності рішення рівняння, нерівності, системи й т.п. або точна вказівка числа рішень. При цьому варто виявити яку-небудь симетрію заданих виражень.
Потрібно також ураховувати різноманіття різних можливих видів симетрії.
Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів у міркуваннях із симетрією.
Звичайно симетрія дозволяє встановити лише необхідні умови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.
Приклад Знайти всі значення параметра
Рішення. Помітимо, що
Значить якщо
Відберемо можливі значення
Відразу ж відзначимо, що інші значення
Але поки не відомо, чи всі відібрані
Достатність
1)
2)
Очевидно, що
Отже, останнє рівняння рівносильне системі:
Тим самим, ми довели, що при
Відповідь.
тригонометричний рівняння комбінований графічний
Рішення з дослідженням функції
Приклад Доведіть, що всі рішення рівняння
і- цілі числа.
Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює
Перетворимо рівняння до виду
За допомогою мікрокалькулятора одержуємо
Знаходимо
Якщо
Вирішивши отримане рівняння, одержимо
Виконані обчислення представляють можливість припустити, що коріннями рівняння, що належать відрізку
Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Таким чином, доведено, що коріннями рівняння є тільки цілі числа
Приклад Вирішите рівняння
Рішення. Знайдемо основний період рівняння. У функції
Очевидно,
За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемо наближені значення корінь рівняння. Для цього становимо таблицю значень функції
на інтервалах
| | | | |
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 | | |
З таблиці легко вбачаються наступні гіпотези: коріннями рівняння, що належать відрізку
Відповідь.
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ
Рішення тригонометричних нерівностей за допомогою одиничної окружності
При рішенні тригонометричних нерівностей виду
де
Приклад Вирішите нерівність
Рішення. Намалюємо тригонометричну окружність і відзначимо на ній крапки, для яких ордината перевершує
Для
рішенням даної нерівності будуть
Ясно також, що якщо деяке число
Відповідь.
Для рішення нерівностей з тангенсом і котангенсом корисне поняття про лінію тангенсів і котангенсів. Такими є прямі
Легко помітити, що якщо побудувати промінь із початком на початку координат, що становить кут
Приклад Вирішите нерівність
Рішення
Позначимо
Вертаючись до змінного
Відповідь.
Нерівності зі зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.
Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом
Помітимо, що якщо
Розглянемо рішення нерівності
Оскільки
Нехай
Будуємо графіки функцій
На відрізку
Аналогічно вирішуються нерівності
Приклад Вирішимо нерівність
Рішення. Розглянемо графік функції
і виберемо із проміжку
Відповідь.
Приклад Вирішите нерівність
Рішення. Намалюємо графік функції
Це крапка з абсцисою
Відповідь.
ВІДБІР КОРНІВ
Проблема відбору корнів, відсівання зайвих корнів при рішенні тригонометричних рівнянь досить специфічна й звичайно виявляється більше складної, чим це мало місце для рівнянь алгебраїчних. Приведемо рішення рівнянь, що ілюструють типові випадки появи сторонніх корнів і методи <<боротьби>> з ними.
Приклад Знайти найближчий до числа
Рішення
Підставляючи послідовно у формул
замість змінної
a)
Ясно, що
б)
в)
г)
Виберемо мінімальне із чисел
Остання нерівність --- вірне, а всі зроблені переходи --- рівносильні. Тому вірно вихідна нерівність. Обґрунтуємо рівносиль переходів (*) і (**) (рівносиль інших переходів треба із загальних властивостей числових нерівностей). У випадку перетворення (*), досить помітити, що числа
Відповідь.
Приклад Знайти корінь рівняння:
Рішення цього рівняння розпадається на два етапи: 1) рішення рівняння, що виходить із даного піднесенням у квадрат обох його частин; 2) відбір тих корінь, які задовольняють умові
Перший крок нас приводить до рівняння
Тепер треба визначити, при яких
Для цього досить для
Відповідь.
Отже, основна схема відбору корнів полягає в наступному. Перебуває найменший загальний період всіх тригонометричних функцій вхідних у рівняння. На цьому періоді відбираються коріння, а потім, що залишилися коріння, періодично тривають.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Рівняння рівносильне змішаній системі
Але
Відповідь.
Розкриваючи знак модуля одержуємо більше громохке рішення. А відповідь у цьому випадку приймає вид:
Відповідь.
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ
Тест по темі <<Тригонометричні рівняння>>
• Об'єднання яких множин
a)
• Вирішите рівняння
a)
• Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
• Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
• Серед множин
і вкажіть ті, які не є підмножинами один одного.
а)
• Серед множин
а)
• Вирішите рівняння
а)
в)
• Вирішите рівняння
а)
б)
в)
г)
• Вирішите рівняння
а)
в)
• Сума корінь рівняння
а)
• Вирішите рівняння
У відповіді записати кількість корінь рівняння, що належать відрізку
а)
• Вирішити рівняння
а)
в)
• Вирішите рівняння
a)
в)
• Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
Знайдіть найбільший негативний корінь рівняння
a)
в)
• Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
• Вирішите рівняння
a)
в)
• Вирішити рівняння
а)
• Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
Відповіді 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в або г 14а 15в 16в 17в 18а або б 19г 20в
ВИСНОВОК
У даній роботі були розглянуті методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, як найпростіших, так і рівня олімпіади. Були розглянуті основні методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, причому, як специфічні -і- характерні тільки для тригонометричних рівнянь і нерівностей,-і- так і загальні функціональні методи рішення рівнянь і нерівностей, стосовно до тригонометричних рівнянь.
У дипломній роботі наведені основні теоретичні відомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули вираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів. Наведено рішення типових завдань на відбір корнів. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корнів: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах.
Результати даної дипломної роботи можуть бути використані як навчальний матеріал при підготовці курсових і дипломних робіт, при складанні факультативів для школярів, так само робота може застосовуватися при підготовці учнів до вступних іспитів зовнішнього оцінювання.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
Вигодський Я.Я., Довідник по елементарній математиці. – К., 2003
Ігудисман О., Математика на усному іспиті. – К., 2001.
Азаров А.І., Рівняння., - К., 2005
Литвиненко В.Н., Практикум по елементарній математиці. – К., 2000
Шаригін І.Ф., Факультативний курс по математиці: рішення задач. – К., 2000
Бардушкин В., Тригонометричні рівняння. Відбір корнів. – К., 2005
Василевський А.Б., Завдання для позакласної роботи з математики. – К., 2005
Сапунів П. І., Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. – К., 2003
[9]Самусенко А.В., Математика: Типові помилки абітурієнтів. – К., 1991.
Размещено на Allbest.ru
