1.     100 % учащихся школы

2.     25 %  учащихся школы

3.     10 % учащихся школы

4.     50 % учащихся школы

а) половина всех  учащихся школы

б) все учащихся школы

в) четверть всех  учащихся школы

г) десятая часть всех  учащихся школы.

2. Туристы проехали 50 % пути на поезде и 40 % пути на автобусе. Весь ли путь они проехали?

3. В классе 40 % девочек. Кого в классе больше – мальчиков или девочек?

3. Что больше:

а) 60 % всего класса или половина класса?

б) 10 % зарплаты или четверть зарплаты?

в) половина или 45 % всего населения страны?

    Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознано, владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент величины, а потом – несколько процентов этой величины ( желательно чтобы у педагога уже были сформированы основные алгоритмы по методике нахождению процентов ). Что касается второго приема решения ( путем умножения на обыкновенную дробь ), то здесь он, конечно, рассматривается, но его обязательное условие отнесено на более поздние сроки. Опыт показывает, что соответствующий навык вырабатывается в процессе многократного применение первого приема, как результат «свернутого» действия. Поэтому на данном этапе второй прием в обязательные требования не включается.

     Формулировки некоторых задач предлагаются в развернутом виде, то есть к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько последовательных вопросов. Тем самым привлекается внимание учащихся к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.

Пример:

1. В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60 % картофеля.

    1. Сколько килограммов картофеля продано?

    2. Сколько процентов всего картофеля осталось в магазине?

    3. Сколько килограммов картофеля осталось в магазине?  

2. В кассе учреждения было 9000 руб. На оплату командировочных израсходовали 80 % этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них.

    Специальная серия задач, посвященная трудному вопросу об увеличении на 200 %, 300 % и т.д. Нужно  постепенно подводить учащихся к пониманию того, что, например, увеличение на 100 % - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т.д. Приведем примеры:

1.     Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей, в следующем месяце она увеличила выпуск игрушек на 200 %. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей?

2.     В первом квартале 1995 года квартплата в Москве в Омах с лифтом была на 100 % выше квартплаты в домах без лифта (рис. 2). Во сколько раз квартплата в домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?

Кварт- плата 200%

3.     В связи с инфляцией стоимость проезда в городском транспорте за полгода возросла на 300 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда?        

   Учащиеся также знакомятся с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации, например: «Из каждых 100 новорожденных 51 - мальчики ».

   Второй подход в изучении процентов связывается с десятичными дробями, здесь предлагаются два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» учащиеся учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Приведем пример задачи и ее решения разными способами.

   Оптовая цена товара на складе 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 12 %. Сколько стоит товар в магазине?

  I способ: 12 % - это 0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет 5500*0,12 = 660 (руб.), поэтому товар в магазине стоит 5500 + 660 = 6160 (руб.).

  II способ: оптовая цена составляет 100 %, а цена товара в магазине на 12 % больше, т. е. она составляет 112 %; 112 % - это 1,12; 1,12 от 5500 руб. составляет 5500*1,12 = 6160 (руб.).

    В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определение того, сколько процентов одна величина составляет от другой. Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем – в процентах.

    Одна из особенностей вычислительной линии  курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычисления. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины, для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равны 19 % от какой – либо величины, то находят 20 % этой величины, т.е. ее пятую часть. Вот примеры задач.

1.     Перед новым годам магазин снизил цены на товары на 25 %. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 9880 руб.? 11890 руб.?

2.     Выполните прикидку и вычислите примерно:

    а) 19 %  от 120 кг.

    б) 52 % от 697 руб.      

    в) 26 % от 810 м.

г) 21 % от 1990 руб.

д) 676 % от 4012 км.

е) 9 % от 200 г.

  Третий подход в изучении процентов отнесен к VII классу. В силу возрастных возможностей  шестиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становится доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а предлагались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учащимися.

  В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из V класса, и продвинутся в решении задач. Теперь рассматриваются более сложные в техническом отношение задачи. Они требуют достаточно  прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умения того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100 %. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и, наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» и «больших» процентах, как наиболее трудный для усвоения. На примере приведенной ниже задачи подробно радачи подробно рбы решения.

Пример:

Весной цена товара была повышена на 10 %, а осенью – еще на 5 %. Сколько стал стоить товар, если его стоимость была 3000 руб.?

Решение:

Для начала найдем стоимость после первого повышения

 3000 / 100 % или 1% = 30 отсюда 10 % = 300 рублей.

 3000 + 300 = 3300 рублей.

Найдем стоимость после второго повышения.

3300 / 100 % = 33 или 1 % = 33 рубля отсюда 5 % = 165 рублей

 3300 + 165 = 3465 рублей.

Ответ: 3465 рублей.

   Предлагаемые в системе упражнения задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя.

   Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному проценту.

  Отметим еще один методический подход, используемый в изучение процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматриваются восемь, если можно так сказать, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, так как являются трудными, но будет жаль, если учащиеся уйдут из школы, не увидев эти красивые и изящные задачи. Приведем пример одной из задач.

Пример:

Книга дороже альбома на 25 %. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Решение:

 Цена альбома – 100%. Изобразим ее каким либо отрезком ( рис. 3 ). Увеличим этот отрезок на 25 %, т.е. на 1/4  его часть; получим отрезок соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на 1/5 этого отрезка. Так как 1/5 составляет 20 %, то альбом дешевле книги на 20 %. 

            Цена альбома – 100%                         Цена книги – 100 %

  

       Цена книги на 25 % больше           Цена альбома на 20 % меньше       

Ответ: на 20 %

Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решения с помощью рисунков ( хотя, конечно, эти задачи можно решить арифметически ).

   При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений включены новые задачные ситуации, проиллюстрированные ниже.

1.     В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый метал?

2.     На облицовку подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность на 20 %?            

   По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают стратегию решения расчетных задач на проценты – с помощью составления уравнения.

  Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» - это хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задачи с процентами, в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании могут, вернутся вновь, и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

 

    Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опирается на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

   В учебнике не водится формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который и позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.

  Отметим, что в данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализа данных» формируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами. Естественно, что проценты V – VI  классах используется для представления информации в виде таблиц диаграмм, в VII – IX классах – при изучении вероятностно-статистического материала.     

                                                                     

 История математики на уроках     

1.3 История процентов.

5  класс

В этом разделе школьной программы 5-го класса хорошо было бы рассказать учащимся об истории возникновения процентов, а также об истории появления на свет знака процента.

Также при изучения этого материала необходимо учащимся объяснить, что такое – сотая часть числа (например, сотая часть рубля это копейка ) надо отметить, что к этому времени учащиеся уже прошли деление, и дроби, так что у них не возникнет проблем. Так же надо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике (например, при записи десятичных дробей)

 Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента (см. схему, которую можно использовать на уроке).



В учебнике Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова и С.И. Шварцбурда «Математика, 5», вышедшем в издательстве «Мнемозина» в 1996 г. в рубрике «История математики» (с. 337) дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В названном учебнике содержатся также достаточно полезные с точки зрения общего развития дополнительные сведения, касающиеся промилле (от латинского «с тысячи») – десятой части процента. Сказать учащимся об этом нужно, указав при этом его обозначение ‰.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

В качестве опорного сигнала к этому уроку может быть использован следующий плакат:



Он может сопровождаться, в частности, таким комментарием: «Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».

У учителя может возникнуть вопрос: а какие старинные задачи можно решать в этой теме с учащимися? Что ж, если таких задач учитель не найдет, то ему придется самому сочинить их.

Задачи с историческими сюжетами учитель с легкостью может составить сам, например, путем переформулировки некоторых задач, изложенных в учебнике 5-го класса. Ему просто следует ввести в такие задачи старинный сюжет. Разумеется, главное в составлении таких задач – фантазия, эрудиция и понимание цели образовательных задач.

Приведу примеры двух задач исторического содержания, которые были составлены для работы в 5-м классе по теме «Проценты».

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2 (более сложная). Некий человек взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 140 руб.

Глава 2. Методика изучения процентов в младших классах.
2.1 Методика введения процентов в учебнике

" математика 5 "

(пол редакцией Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков,

и другие.)

Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть метра -сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой. Принято называть сотую часть величины или числа процентом. Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра, один ар - один процент гектара, две сотых - один процент от числа два.

Процентом называют одну сотую часть числа.

Для   краткости   слов   «   процент   »   после   числа   заменяют знаком  %.

Предложение   «На  слет   направили   1,5%   пионеров   нашей школы   »   читают   так:   «На   слет   направили   полтора   процента пионеров нашей школы », а предложение « В этом месяце завод перевыполнил план на    8% » читают так: « В этом месяце завод перевыполнил план на восемь    процентов ».

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина ровна 100%.

Задача №1: Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение: Так как 1200 костюмов - это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200:100=12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмов. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12*32=384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.

Задача №2: За контрольную работу по математике 12  учеников получили отметку «5», что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение: Сначала узнаем, чему равен 1% всех  учеников. Для этого разделим 12 на 30. Так как 12:30=0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4*100=40, 40 учеников.

Задача №3: Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение: Картофелем засажено 558 /1800 всего поля. Обратим дробь 558/1800 в десятичную. Для это разделим 558 на 1800. Получим 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля.

2.2 Методика введения процентов в учебнике

" математика 5 "

(под редакцией Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И.О.        

                              Коряков, другие.)

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент ( от латинского “по-центум” – на сто ). Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

ОДИН ПРОЦЕНТ – ЭТО ОДНА СОТАЯ ДОЛЯ ЧИСЛА.

Математическими знаками один процент записывается так: 1%.       Записи 2%, 4% читают: ( Два процента ), ( Четыре процента ).

Прочитайте предложение « К 15 апреля вспахано 93% пахотных земель »,

« Производительность труда повысилась на 4% »,

« Цены снижены на 30% ».

Определение одного процента можно записать равенством:

1% = 0,01 * а

Каждый быстро сообразит, что 5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д.

      Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Вот какое правило получилось:

Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью , а затем число умножить на эту десятичную дробь

.

Пример решения задачи на проценты.

Задача1. Токарь вытачивал за 1 час 40 деталей. Применив резец из сверх прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Решение: И так чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40.

Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

   Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от 
другого, нужно разделить первое число на второе и полученную
дробь записать в виде процентов.


Задача2. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни. Это составило 60% всей площади, которую должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?
Решение: Давайте рассуждать. Вся площадь нам не известна. Обозначим ее буквой X . Мы знаем, что 60% от числа X составляет 1,32.

       Значит сначала нужно заменить десятичной дробью, а затем записать уравнение X * 0,60 =1,32. Решая его, получаем, что Х = 1,32/0,60 = 2,2 (кв. км)

   Что же мы заделали, чтобы найти X? Во-первых, заменили  проценты десятичной дробью, во вторых, разделили данное нам число на получившуюся десятичную дробь.

   Конечно, площадь и число процентов в этой задаче могли быть  другими.   Но   путь   решения   останется   прежним. Значит можно сформулировать правило:

    Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет  данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить  проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.


2.3 Методика введения процентов.

При изучение этого материала нужно сначала учащимся объяснить,  что такое сотая часть числа (например, сотая часть метра – это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера – килограмм) надо отметить, что к этому времени учащиеся уже прошли деление и дроби и у них не возникнет проблем. Люди давно заметили, что сотые доли  величин удобны в практической деятельности (например, при записи  десятичных дробей). Потому для них было придумано специальное  название – процент (от латинского ' по-центум ' – на сто ). Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра. Итак, один процент – это одна сотая доля. Здесь важно обратить внимание на математическую запись процентов " % ", и главное объяснить, что целая часть равна  "100%" что, "100%" и есть целостность числа.

Также надо обязательно обратить внимание на свойства.

Свойства.

1)1% = А/100.

2)1%* 100  = А

Найти В процентов.

1% = А/100

                                В% = В*А/100

В*1% = В%   
 Пример найти 7% от числа 17.

7% от 17 будет 7*17/100 = 1.19 или одна целая девятнадцать

сотых это семь процентов от семнадцати.

Также нужно отметить, что проценты это аналог Обыкновенным дробям ( 1/100 ) из этого следует, что процентами выполняются все четыре действия присуши обыкновенным дробям это сложение, вычитание, умножение, деление. Так что при изучение темы проценты можно опираться на уже изученную тему по обыкновенным дробям.

Я уже выше рассмотрел задачи на нахождение  процентов от числа, так же нахождения числа по его процентам. Теперь я хотел бы рассмотреть задачу на процентное отношение чисел.

  

 Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.

Пример:

Задача1: Приплановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
Решение: Воспользуемся правилам.

(66/60)* 100=1,1 * 100=110%

Ответ. 110%.

Задача2. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение:

1)       6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава.

2)       (34 * 100%)/40 = 85%     сплава составляет медь.

Ответ. 85%.
2.4 Методика нахождения нескольких процентов от числа.

    В данном разделе мы хотели бы показать методику нахождения нескольких процентов от числа, так как эта тема является одной из трех важнейших тем, которые должны понять учащиеся при изучение такой темы как проценты. А главное они должны понять алгоритм нахождения  одного или нескольких процентов от числа, и применять эти способности на практике, при решение различных задач на проценты.

 

Главное чтобы учащиеся поняли, что для того чтобы находить проценты от числа нужно понять, что один процент является одной сотой от данного числа.  Из этого следует, для  определение одного процента ( а это главное, так как чтобы найти несколько процентов от числа нужно найти сначала один процент ) можно записать равенством:

1 % = 0,01 * а

от сюда любой учащийся быстро поймет, что 5% = 0,05,  23% = 0,23, 130%=1,3  и т. д.

      Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Так что от сюда можно вывести алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа:

Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью , а затем число умножить на эту десятичную дробь

2.5 Методика нахождения числа

 по его  процентам.
  Дальше мы хотели бы показать общую методику нахождения числа от одного или нескольких процентов. Так как это также является важной частью в изучение процентов, так как встречаются не только задачи на нахождение процентов от числа, но числа по процентам, это особенно хорошо видно в задачах связочных с экономикой ( на пример когда в банк ложится сумма под проценты, а через какое-то время забирается на с набежавшими процентами и нужно найти данную сумму ).  Так что учащимся нужно так же раскрыть алгоритм нахождения числа от нескольких процентов.
Учащиеся уже знают, что один процент можно записать как десятичной дробью.

1 % = 0,01 * а

 

     Так вот возникает вопрос, как найти искомое  число, если известно лиш, сколько  процентов состовляет другое число то искомого? Для это нужно сначала проценты записать десятичной дробью, после чего нужно данное нам число разделить на эту десятичную дробь в результате мя получим число от нескольких процентов.     

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число , то, чтобы найти найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

2.6 Методика нахождения процентного отношения.
 Так же  мы рассмотрели  последнее, но не мание важное в для нахождение процентов при решение задач – это нахождение процентного отношения. В этом разделе рассмотрим алгоритм нахождения процентного отношения.
  Так вот встречаются задачи, в которых даны два числа и нужно найти их процентное отношение, для этого нужно взять первое число назовем его а и разделим его на второе число назовем его число в , а затем результат умножим на сто процентов . То мы получим процентное отношение первого числа на второе.     
( а / в ) * 100 %  
   (*)

	Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на сто процентов,  тоесть получить формулу (*)

.


2.7 Задачи на проценты для младших классов.

(надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике, так как здесь, как и числа, так и процентное содержание, а это, как правило, пугает детей, так как их приучили работать  с чем-то одним при решении задач.)
Задача 1: Винипух очень любил мед и стал разводить пчел в первый год пчелы дали 10 кг меда, но Винипуху этого было мало во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Винипуху он подсчитал, что ему надо примерно 13 кг меда. Вопрос сколько лет должен ждать Винипух  чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличена производство меда на 10 %.

Решение:



Для того чтобы узнать, сколько надо ждать Винипуху надо узнать, сколько у него будет через год, а будет 11 кг, через два года 12,1 кг, и только на третий год он удовлетворит свои потребности.

Ответ: 3 года.  
Задача 2: Когда Том Соер наше клад он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк  при 5 % годовых каждый год  получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?

Решение:



Если 5 %  это  300 долларов, то 100  %  будет равно 6000 долларов.

Ответ: 6000 долларов.  
2.8 Задачи на проценты для старших классов.
  Задача 1: В библиотеке имеются книги на английскомги на английскомнемецком языках. Английские книги составляют 36  % всех книг, французские  - 75 %  английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?

 Решение:

75 % = 3/4  значит 36 % * 3/4 = 27 % французские, книги  от всего количества.

36 % + 27 %  = 63 % это английские и французские книги вместе.

100 % – 63 %  = 37 % всего немецких книг.

185 / 37 %  = 5 книг это 1 %.

Всего книг в библиотеки 100 % * 5 = 500 книг.

Ответ: 500 книг.

 

  Задача 2: За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если при сезоном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 % , то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?

 Решение:

Составим уравнение.

          1 * Х + 10 * Y = 20

          1 * X( 1 + 0,15 ) + 10 * Y ( 1 – 0,25 ) = 18,2 

 решив это систему уравнений получим .

       Y = 1,2 X = 8  рублей

Ответ: 8 руб. и 1,2 руб.

     

   Задача 3: Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?

Решение:

Составим уравнение.

           Х +  Y = 500

          X( 1 + 0,3 ) + Y ( 1 + 0,2 ) = 630

решив это систему уравнений получим .

       Y = 240 X = 390 тон.

Ответ: 390 тон пшеницы, 240 тон ржи.
   Задача 4: Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

Решение:

Для решение этой задачи нужно понимать, что результат 1312,5 это сумма за первый год и плюс 25 % или 125 % или 100 % = 1050 рублей.

Тоже самое делаем суммой 1050, так как вклад был на два года 125% = 1050 рублей или 100 % = 840 рублей.

 Можно решить вторым способом используя формулу для сложных процентов

    1312,5 = Х * ( 1+ 0,25)²       Х = 840 рублей.

Ответ: 840 рублей.

   

Глава 3. Методика изучения процентов для старших классов и поступающих в ВУЗы.

3.1 Примеры задач на понятие, « концентрация » и                        « процентное содержание » которые могут встретиться на вступительных экзаменах.
Для решения задач такого уровня нужно определить некоторые переменные, для того чтобы у нас не возникли затруднения при использования формул.
Во-первых, все сплавы и смеси однородны, если объем смеси равен V₀, а объем веществ содержащихся  в нем равен V₁ и V₂  то тогда;

      V₁ / V₀ – процентное содержания вещества в смеси,   

      V₂ / V₀ – процентное содержания второго вещества в смеси.  
Во-вторых, d
₁ и d
₂
 удельный вес компонентов в смеси.

В-третьих, вес смеси обозначим q и будем находить его по формуле

  
q
=
V
₁
*
d
₁
+
V
₂
*
d
₂
Задача 1: В пустой резервуар по двум трубам одновременно начинают поступать чистая вода и раствор кислоты постоянной концентрации. После наполнения резервуара в нем получился 5 %-ный раствор кислоты. Если бы в тот момент, когда резервуар был наполнен до половины, подачу воды прекратили, то после наполнения резервуара получили бы 10 %-ный раствор кислоты. Определить, какая труба подает жидкость быстрее и во сколько раз?

Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
                                         V
₁
*
d
₁
+
V
₂
*
d
₂

                                                                           = d
₃

                                                   V
₁
+
V
₂ 

      

Так как наполненный на половину резервуар имеет концентрацию 5 %. А, доливая вторую половину раствора кислоты, получим концентрацию 10 %. Подставим эти значения.                                    
                                         V
₁
* 0,05 +
V
₁
*
d
₂

                                                                               = 0,1

                                                   V
₁
+
V
₁ 
Объемы сокращаются и концентрация раствора кислоты равна  15 %, это значит, вода поступает быстрее. Так как смесь имеет концентрацию 5 %, а смесь половины резервуара с этой концентрацией с растворам кислоты равна 10 %, то вода поступает в два раза быстрее.
Ответ: Первая труба подает жидкости в два раза быстрее.
Задача 2: Смесь равных объемов двух веществ имеет массу 80/13 г. Масса второго вещества в смеси равна массе 52/7 см³ первого вещества, а плотность второго вещества равна 1 г/см³. найдите объем каждого вещества в смеси.

Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
                    
q
=
V
₁
*
d
₁
+
V
₂
*
d
₂

известно

                   
V
₂
*
d
₂
=52/7 *
d
₁


или
                      
d
₁
=
V
₂
*
d
₂
* 7/52

теперь подставим значения
            80/13 =
V
₁
*
V
₂
*
d
₂
* 7/52 +
V
₂
*
d
₂

   по условию   
V
₂
=
V
₁
    
или
             7
V
₂
²
+ 52
V
₂
= 320
в этом квадратном уравнении существует один корень, который удовлетворяет условию это V
₂
=
V
₁
= 4см³.
Ответ: Объем каждого из веществ равен 4см³.
Задача 3: В сосуде емкостью 6л. налито 4 л. 70%-ного раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкостью налито 3 л. 90%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился r%-ный раствор серной кислоты? Найти все r, при которых задача имеет решение.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
                                 X * P/100 + Y * q/100

                                                                      = r/100

                                            X + Y   

или
                                           X * P+ Y * q

                                                                      =
r
             ( * )

                                           
X
+
Y
  
теперь выражаем Y
           
Y
= (
P
*
X
–
X
*
r
)/(
r
–
q
  ) или ( X
*
r
–
P
*
X
)/(
q
–
r
)



Подставим значение
        
Y
= ( 4
r
– 280 )/( 90 –
r )

                                      

Так как сосуд емкостью шесть литров то долить в него можно только два литра 90% кислоты. Подставим эти значения в формулу ( * ) получим. 70 ≤ r ≤ 230/3. 
Ответ: ( 4
r
– 280 )/( 90 –
r
), 70 ≤
r
≤ 230/3.       
Задача 4: Из двух жидкостей, плотности которых равны 2 г/см³ и 3 г/см³ соответственно, составлена смесь. Сколько граммов каждой жидкости взято и какова плотность смеси, если 4 см³ смеси весят в десять раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см³ смеси весят столько же, сколько вся вторая жидкость, входящая в ту смесь?
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.

                                           q
=
V
₁
*
d
₁
+
V
₂
*
d
₂

где q вес полученной смеси или q
=
V
₃
*
d
₃
нам известно что  
                 V
₁
*
d
₁
= 40 *
d
₃
                     
d
₃
= (
V
₁
*
d
₁
)/40   

Можно выразить,                                                                  ( * )      
              V
₂
*
d
₂
= 50 *
d
₃
                     
d
₃
= (
V
₂
*
d
₂
)/50

или
V
₂
*
d
₂
= 5/4 * (
V
₁
*
d
₁
)
или  V
₂
=( 5/4 * (
V
₁
*
d
₁
))/
d
₂
    (1)

 

V
₁
*
d
₁
= 4/5 * (
V
₂
*
d
₂
)
или  V
₁
=( 4/5 * (
V
₂
*
d
₂
))/
d
₁
    (2)
Нам известно что,

                                        X
*
P
+
Y
*
q


                                                             =
r


                                          
X
+
Y


 

Подставим наши значения в формулу:                                                               
                                         V
₁
*
d
₁
+
V
₂
*
d
₂

                                                                           = d
₃

                                                   V
₁
+
V
₂ 
Давайте подставим в эту формулу значения из ( 1 ) формулы.
                               V
₁
*
d
₁
+ 5/4 * (
V
₁
*
d
₁
)

                                                                                   = (
V
₁
*
d
₁
)/40

                                V
₁
+ (5/4 * (
V
₁
*
d
₁
))/
d
₂
Отсюда выражаем  V
₁
:

       

            
V
₁
= 540/11
Проделаем тоже самое для V
₂ , для этого надо в формулу подставить уже  ( 2 ) формулу, отсюда следует.

V
₁
= 540/11

А теперь подставим любое из этих значений в формулу ( * ) и получим равенство:

         d
₃
= 27/11          
Таким образом, мы пришли к решению задачи и теперь можно записать ответ.
Ответ:
V
₁
= 540/11
г,
V
₁
= 540/11
г,
d
₃
= 27/11
г/см³.
Задача 5: Имеются два раствора одной той же соли в воде. Для получения смеси, содержащей 10 г. соли и 90 г. воды, берут первого раствора вдвое больше по массе, чем второго раствора. Через неделю из каждого килограмма первого и второго раствора испарилась по 200 г. воды и для получения такой же смеси, как раньше, требуется первого раствора уже вчетверо больше по массе, чем второго раствора. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 г. каждого раствора?     
Решение: Воспользуемся формулой
      
V
₁
*
d
₁
+
V
₂
*

d
₂


                                                         =  
d
₃

                                           
V
₁
+

V
₂
Известно, что первой смеси нужно в два раза больше значит можно записать.

 

      2*
V
₂
*
d
₁
+
V
₂
*

d
₂


                                                         =  
d
₃

                                      2 *
V
₂
+

V
₂
через неделю с литра испарится по 200 г. воды значит, концентрация в растворах возрастет в 5/4 и  для того же раствора нужно четыре части первого раствора и одна второго раствора.
4*
V
₂
*5/4*
d
₁
+
V
₂
*5/4*
d
₂


                                                                       =   
d
₃


                                4 *
V
₂
+

V
₂

 

можно записать систему:




         2d
₁
+
d
₂
=3
d
₃

                                                          известно  d
₃
=0,1

         20d
₁
+ 5
d
₂
=20
d
₃




         2d
₁
+
d
₂
=0,3

                                                         

         20d
₁
+ 5
d
₂
=2
отсюда можно выразить

        

d
₂
= 0,2 а d
₁
=0,05
Ответ: 5 г. 20 г.
Задача 6: Три одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из второго и третьего сосудов отливают по А л. ( строго больше половины ) спирта и доливают водой. Затем из третьего сосуда отливают А л. смеси и доливают его водой. После того объем спирта в первом и втором сосудах, вместе взятых, в 6/5 раза больше, чем объем спирта в первом и третьем сосудах, вместе взятых. Какую часть объема сосуда составляет величина А ?

Решение: Нам известна формула.
                             Cn
=
(
p
/100 ) * ( 1 –
A
/
V₀
)
ⁿ

Где Cn
концентрация после N переливаний, а начальная концентрация спирта (
p
/100 ) равна 1.

По условию можно составить выражение.
                      ( 1 + ( 1 – A/V
₀
)) /( 1 + ( 1 – A/V
₀
)
²
) = 6/5

или
                       6(A/V
₀
)² – 7(A/V
₀
) + 2 = 0
корни
                      A
/
V₀
= 1/2
  и  A
/
V₀
= 2/3
По условию задачи удовлетворяет только 2/3.
Ответ:
A
/
V
₀
= 2/3.
Задача 7: Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 3:5, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:2, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?
Решение: при решение этой задачи нужно подойти как к системе уравнений .

       X * 3 * A + Z * 5 * A = 3

       Y * B + X * 5 * B = 5

        Z * 2 * C + 3 * Z * C = 2

Решаем систему из трех неизвестных только надо понимать, что все части равны по объему.

получаем  X = 25, Y = 20, Z = 6.

Ответ: 25:20:6.
Задача 8: Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на Р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она выросла на 10 % больше, чем за первый год. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 24 %.

Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.




q
/100 =
 
ⁿ
√(
( 1 + Р1
/100 )  * ( 1 + Р2
/100 )* … *( 1 +Р
n /100 )) – 1
так как по условию у нас тольк4о два года то это значит N = 2




             
q
/100 =
 
√(
( 1 + Р1
/100 )  * ( 1 + Р2
/100 )) – 1
где q = 24 %, Р₂   =  10 %.

Нужно найти Р
₁
 
выразим его
                                       Р
₁
= (( 1 + 0,24 )² – 1,1 )/1,1 ≈ 0,3978

Ответ: Выработка за первый год увеличилась на 39,78 %.
Задача 9: В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых олений. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце года совхоз купил 700 голов. В конце второго года стадо составляло 4400 голов. Определите процент естественного прироста.  

Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
             
An
=
А
0
* ( 1 +Р1
/100 )  * ( 1 +Р2
/100 ) * … * ( 1 +Р
n /100 ).

Теперь подставим значения в формулу.
                       4400 = ( 3000 * ( 1 + Р/100 ) + 700 ) = 0.
или
                       3Р² + 670Р – 700 =0
в этом квадратном уравнении существует один корень, который удовлетворяет условию это Р = 10.
Ответ: Процент естественного прироста равен 10 %.
Задача 10: В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце стал выпускать ежемесячно 726 изделий.   

Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
                                                       Аn

= А
0

* ( 1 + Р/100)
ⁿ
.

Где А
n
= 726,
А
₀
=600 ,
n
= 2
Нам нужно найти Р для этого выразим,
   Р = ( 726/600 ) – 1 или Р ( 1,21 ) – 1 или Р = 1,1 – 1
   Р = 0,1 в процентах Р = 10 %.
Ответ: Процент увеличения выпуска равен 10 %.
3.2 Методика решения задач, связные с понятиями
 «концентрация » и « процентное содержания »

Рассматривая задачи на проценты нужно обратить внимание  на задачи где нужно составлять уравнения, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий           « концентрация » и « процентное содержания ». Обычно в условиях таких задач речь идет о составлений сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

Основное   допущения,   которые   принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

A) все получающиеся сплавы или смеси однородные;

B) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2 , получается смесь, объем которой равен V1 + V2, т.е.

V0
=
V1
+
V2
.

             Заметим, что такое допущение не представляет собой закон физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняется сумме масс или весов составляющих ее компонент.

  Рассмотрим для определенности смесь трех компонент А, В и С. объем смеси Vo складывается из объемов чистых компонент:

V0
=
V
A
 
+
V
B
 
+
V
C
,

а три отношения:

                     C
A
= V
A
/V
0
,  C
B
= V
B
/V
0
,  C
C
= V
C
/V
0
.

показывают, какую долю полного объема смеси составляют объемы отдельных компонент:

               
V
A =
C
A
  * V
0 , 
 V
B  =
C
B
* V
0
,  V
C
  = C
C
* V
0
.
  

         Отношение объема чистой компоненты ( V
A ) а растворе ко всему объему смеси ( V0 ).
                           
C
A
= V
A
/V
0 =
V
A
/( V
A +
V
B+
V
C
)

                          
(*)
называется объемной концентрацией этой компоненты.

          Концентрация – это безразмерные величины; сумма концентрации   всех   компонент,   составляющих   смесь очевидно, равна единицы:

C
A
 
+
C
B
  +
C
C
= 1.


Поэтому, для того чтобы структура раствора,  состоящего из n компонент, была определена, достаточно





                                                                 Рис. 1.

знать концентрацию ( n – 1 ) – й  компоненты. Если известны  концентрации C
A, C
B и C
C компоненты, составляющих данную смесь, то ее объем можно разделить на объемы отдельных компонент ( рис. 1 ):

V 0 =C A   * V 0 + C B * V 0 + C C * V 0 .

                                                                                             
( 1 )

   Объемным процентным содержанием компоненты А называется величина

P
A
=
C
A
* 100% ,

т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
         Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле

               
C
A
=
P
A 
/ 100 .

          Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то
соответствующая     концентрация       равна                    0,7. Процентному
содержанию 10% соответствует концентрация 0,1 и т.д.  

          Таким же способом определяются и весовые ( массовые )
концентрация и процентное содержание, а именно как отношение
веса ( массы ) чистого вещества А в сплаве к весу ( массе ) всего
сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в
конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

   Встречаются сравнительно немного задач, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать удельные веса компонент, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонент C1 и С2 (С1 + С2 = 1 ) и удельными весами компонент d1 и d2. Вес смеси может быть найден по формуле

q
=
V1
*
d
1 +
V2
*
d
2 ,

в    которой    V1 и V2 – объемы составляющих смесь компонент.  Весовые концентрации компонент находятся из равенства

 k1 =  V
1
d1 /( V
1
d1 + V
2
d2 ) = C
1
d1 /( C
1
d1 + C
2
d2) =  C
1
d1/(  C
1
( d1 – d2 ) + d2 ),


  k2 =  V
2
d2/( V
1
d1 + V
2
d2 ) = C
2
d2 /( C
1
d1 + C
2
d2) =  C
2
d2/(  C
2
( d2 – d1 ) + d1 ),


которое определяют связь этих величин с объемными концентрациями.

           Как правило, в условиях задач рассматриваемого типа встречаются один и тот же повторяющийся элемент: из двух или нескольких смесей, содержащих   компоненты   A1,   A2,   A3,   ..., An, составляется новая  смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты  A1,   A2,   A3,   ..., An, войдут в получившуюся смесь.

    Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а так же концентрации составляющих их компонент A1,   A2,   A3,   ..., An. С помощью концентрации нужно « расщепить » каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле ( 1 ), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При  этом легко подсчитать, какое количество каждой компоненты входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонент A1,   A2,   A3,   ..., An, в новой смеси.
          Проиллюстрируем  сказанное  выше  на  примере следующей
задачи
Задача:  Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р % и q % соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вмести, получить  сплав, содержащий r % меди?

			Cu + Zn     q%
	Cu + Zn     P%

  





                                                           
Рис. 2.
Решение.  Составим   иллюстративный   рисунок к этой задаче ( рис. 2 ). Концентрация меди в первом сплаве равна Р/100, во  втором q/100. Если первого сплава взять Х кг, a второго Y кг, то с   помощью   концентраций   (   ясно,   что   речь  идет о весовых концентрациях   )   можно                         «   расщепить   »   эти количества на отдельные составляющие:

X
=
X

*
Р/100 (кг меди) + Х * ( 1 - Р/100) (кг цинка)

и

У = У *
q
/100 ( кг меди ) + У * ( 1-
q
/100) (кг цинка).

Количество меди в получившемся сплаве равно

                            
X

*
Р/100 + У *
q
/100 (кг меди),
а   масса   этого   сплава   составит      X
   +   У   кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, ровна.

  

         
X
* Р/100 + У *
q
/100


                       
Х+У


По условию задачи эта концентрация должна равняться
X
* Р/100+ У*
q
/100


                                             =  
r
/100

                                    Х+У

или
        Р*Х
+
q
*
Y


                                 =  
r

                                       Х+У
           Решим полученное уравнение. Прежде всего заметим, что уравнение содержит два неизвестных Х и Y. Нетрудно понять, что оба неизвестных однозначно не находится. Концентрация получившегося сплава определяется не массой взятых кусков, а отношением этих масс. Поэтому в задаче и требуется определить не сами величины Х и Y, а только их отношения.

             Отметим попутно, что выражение вида

     
A
*
X +
B
*
Y

            
F
(
X
,
Y
)  =    ——————————

                                        
C
*
X
+
d
*
Y

называемое дробно-линейной функцией, часто встречаются в  задачах на составление уравнений. В числители и знаменателе этой дроби стоят линейно однородные выражения, зависящие от Х и Y. Если не рассматривать случай Y =0, функция r( х, у ) зависят фактически только от одной переменой, а именно от отношения  Х/Y:

А*(Х/
Y
)
+В

F
(
X
,
Y
)=  —————————— =φ
(
X
/
Y
)

С*(Х/
Y
)+
d
При этом уравнение F ( X ,Y ) = С  позволяет найти это отношение.

           

             Запишем уравнение задачи в следующем виде:

                               

                                   Х*(р –
r

)
= У*(
r
–
q
).

Рассмотрим возможные случаи:

1)                            р = г =
q
.

       В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и  уравнение показывает, что имеется бесчисленное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.
2)                            р = г ≠
q
.
В этом случае уравнение приобретает вид
                             X
* 0 =
Y
* (
r
–
q
),



Откуда находим: Х – любое, Y = 0. Физический смысл этого решения понятен: если концентрация сплава, который требуется получить, совпадает с концентрацией первого сплава, но не равна концентрации второго сплава, то первого сплава можно взять сколько угодно, а второго сплава не брать вовсе.
3)                            р ≠ г =
q
.
Получаем уравнение

X

*(
p
–
r

)
=
Y

* 0,
               откуда находим: Y – любое, X = 0.

4)                                
p
≠
r
,
   
p
≠
q
,
    q≠
r.

В этом случае можно написать

                                       
Х =
Y
* (
r
–
q
)/(р –
r

).

Поскольку Y ≠ 0, то

                             Х/Y
= (
r
–
q

)/(
p

–
r

).


Это значение будет давать решение задачи, если выполняется неравенство

                    (
r
–
q

)/(
p
–
r

)>0,


которое, как нетрудно показать, имеет место, если значение r  заключено между значениями р и q. Таким образом, если p
≠
q, то можно получить сплав с любым процентным содержанием меди  между р и q.

      Несмотря на то, что этот пример весьма простой, он достаточно хорошо иллюстрирует основной метод решения задач, связанных со смеся смесями.      
   Рассмотрим еще одну задачу

         

         Задача: Три одинаковые пробирки наполнены до половины растворами спирта. После того как содержимое третьей пробирки разлили поровну в, первые две, объемная концентрация спирта в первой уменьшилась на 20% от первоначальной, а во второй увеличилась 10% от первоначального значения. Во сколько раз первоначальное количество спирта в первой пробирке превышало начальное количество спирта во второй пробирке? 

V0 C3

V0 C2

V0 C1

Решение: Введем рассмотрение объем половины пробирки V
0 и концентрации растворов спирта в каждой из пробирок С1, С2 и СЗ. Тогда первоначальное количества спирта в первой пробирки равно     V0 * С1, во второй V0 * С2, в третьей V0 * СЗ ( рис 3 ). Для того чтобы решить задачу, подсчитаем количество спирта в первой и второй пробирках после того, как туда добавят содержимое третьей пробирки. Эти количества будут равны: в первой проборке                                                    

                                                                                                  (  рис. 3 )

                     

                                                     V0
*
C1
+
S
*
V0
* С3
,

во второй пробирке

       V0
* С2
+
S
*
V0
* С3
.


     Найдем  новые  концентрации  спирта в  этих  пробирках. Для  первой пробирки она равна
V0
*
C1
+
S

*
V0
* С3


                             
C1
’
=


3/2
V0


для второй
V0
*
C2
+
S
*
V0
* С3


                             
C2
’
=


3/2
V0

По условию  C2’ = 0,8 * C2 и  C2’ = 1,1 * C2. Тогда имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

                                  2/3 *
C1
+
l
/3 * С3

= 0,8 *
C1
,

                                 
2/3 *
C2
+
l
/3 * С3
= 1,1
*
C1

или. 

                                2 * C1
– 5 * С3
= 0,

                                 13 * С2
– 10 * С3
= 0.
             Из этой системы, так же как и в предыдущее, задаче, нельзя определить все три концентрации C1, C2 и С3. Но благодаря тому, что уравнение системы представляют собой  однородные линейные  выражения, из нее можно найти отношения двух концентраций к третьей, например C1/ C3 и C2/ C3:

m
=
C1
/
C2
= 5/2,


 
n
=
C2
/С3
=13/10.


          Количество спирта в первой пробирке относится к количеству спирта во второй пробирке как  m
/
n. Действительно,

(
V0
*
C1
)/(
V0
* С3
) =
m
/
n
= 13/4.

Поэтому ответ в данной задаче равен 13/4.

   Обратимся теперь к задачам, которые можно объединить в одну  группу из-за того, что их решение связано с выявлением общей закономерности изменения той или иной величины в результате многократно повторяющейся операции.

  

Рассмотрим следующий пример.

           В сосуде, объем которого равен V0 л. Содержится Р % -ный  раствор соли ( рис. 4 ). Из сосуда выливается А л. смеси и доливается А л. воды, после чего раствор перемешивается. 

V 0            P% - ный раствор.

 




А л.                                                                            А л.

      Воды                                                                        Смесь


                                                              ( Рис. 4. )

 Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в  сосуде, т. е. какова будет концентрация соли после n процедур?

    Решение: Очевидно, что первоначальное количество соли в  растворе  равно

     ( Р/100 ) *
V0
.


После того как отлили А л. смеси, в растворе осталось

           ( Р/100 ) *
V0
- ( Р/100 ) * А = ( Р/100 ) *
V0
* ( 1 – А/
V0
).


соли, а ее концентрация после добавления А л. воды стала равной

C1
=
( Р/100)

* (
l
–
A
/
V0
).

      После того как отлили еще А л. смеси ( но уже с концентрацией С1 ), в растворе осталось соли
( Р/100 ) *
V0 
* ( 1 – А/
V0
) -

C1
* А =
( Р/100 ) *
V0 
* ( 1 – А/
V0
)²
а ее концентрация после добавления А л. воды стала равной
                                 C2
=
( Р/100)

* (
l
–
A
/
V0
)
²
       Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы  убедится, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой

	C n = ( Р/100) * ( l – A / V 0 ) n

                                                                              ( 2 )
представляющей собой убывающею геометрическую прогрессию. Множитель

      1 - A
/
Vo

являющийся знаменателем этой прогрессии, показывает во сколько раз убывает концентрация после очередного переливания.

   Пример 1. Пусть величина A
/
Vo известна. После скольких переливаний концентрация соли в растворе уменьшится более чем в  к раз?

   Решение:  Используя формулу ( 2 ) для концентрации соли в  растворе после n переливаний, получаем

  ( Р/100 ) * ( 1 -
A
/
Vo

)
ⁿ
< ( 1/К ) * (
P
/100).


Отсюда находим

      
n
>
log

_{(1–
a
/
v
0
)}
1/
K
.


       Наименьшее количество таких переливаний равно целой части числа   log

_{(1–
a
/
v
0
)}
1/
K  плюс единица.

              Пример 2: Известно, что после n переливаний концентрация соли в растворе уменьшилась в к раз. Определить, какую часть объема сосуда составляют А л.

              Решение: Согласно формуле ( 2 ) имеем  
                ( Р/100 ) * ( 1 -
A
/
Vo

)
ⁿ
< ( 1/К ) * (
P
/100)
или
                                        ( 1 -
A
/
Vo

)
ⁿ
= ( 1/К ).
Отсюда находим отношение A/Vo:

A
/
Vo
=
l
– 1/(
ⁿ
√
k
)


       Пример 3: В каждом из двух сосудов находится по V0 л. кислоты одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлил долили А л. раствора и долили А л. воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Из  второго сосуда отлили 2А л. раствора и добавили 2А л. воды. Потом  эту процедуру повторили еще раз. Известно, что концентрация кислоты в первом сосуде оказалось в 25/16 раз больше, чем концентрация кислоты во втором сосуде. Какую часть от объема сосуда составляет     А л?

         Решение. Используя полуученые выше результаты, имеем

  
(P/100)*(l-A/Vo)²
= ( 25/16 ) * (
Р
/100 ) * ( 1 –
2 * A/Vo )²

или

     
( 1 –
A
/
Vo
)²  = ( 25/16
) * ( 1 – 2 *
A
/
V0
)²

Из этого уравнения находим отношение A/V0. Извлекая из обеих частей уравнения арифметический корень, получаем

     
[ 1 – A/Vo ] = ( 5/4 ) * [ 1 – 2 *A/Vo ].

Поскольку

A/Vo < 1
и
2 * A/Vo < 1
, то

 
1 –
A
/
Vo

=(5/4)*(
l
– 2 *
A
/
Vo

).

Отсюда находим решение задачи:

                                                          A
/
Vo

=1/6.

Замечание:
  При извлечении арифметического корня из обеих частей уравнения используется формула

                                                               
√Х = [
X
].

            Приведем обобщение формулы ( 2 ) на случай, когда каждый раз в сосуд доливается не вода, а раствор той же соли с постоянной  концентрацией q/100. Эта формула имеет вид

 

	Cn = (p/100) + (( p – q )/100) * [( 1 – A/V 0 )n-1]

                                                                                                             ( 3 )
      Для доказательства этой формулы обозначим концентрацию раствора соли, который содержится в сосуде после n переливаний, через Сn. Тогда после очередной ( n + 1) -ной процедуру, которая состоит в том, что выливают А л. раствора с концентрацией Cn и доливают А л. q% -ного раствора, концентрация соли становится равной Сn + 1:
                      
V₀* Cn – A * Cn + A( q/100 )          

        
С
n +
1
= 


                                      V₀     

или

    Cn +
1
= ( 1 - A/Vo ) * Cn + ( A/Vo ) * ( q/100 )

 n = 0,1,2,…

Постараемся   определить   концентрацию   Сn   из полученного  соотношения. При этом будем учитывать, что начальное концентрации известно:

          Со = Р/100 
       при n = 0.

Запишем следующие два равенства:

    С
n
+ 1
= ( 1 –
A
/
Vo
) * С
n
+ (
A
/
Vo
) * (
q
/100 )

         С
n = ( 1 – A/Vo ) *
С
n –
1
+ ( A/Vo ) * ( q/100 )
    n = 0,1,2,…

Вычитая эти выражения почтенно друг из друга, получим
                  С
n +
1 –
С
n  –
1
=
( 1 – A/Vo) * (
С
n –
С
n –
1
).
Если обозначить разность концентраций Сn – Сn – 1 через Un, последнее равенство можно переписать в более простом виде:
                                      Un +
1
=
(1 – A/Vo ) * Un


или

          

                                     Un +
1
/Un =
(1 – A/Vo ) 
Отсюда   видно,   что   последовательность   чисел Un образует геометрическую прогрессию со знаменателем 1 – А/V
₀
:

                         
Un
=
U1
* ( 1 – А/
V
₀
)
^n
-1
.

Первым членом этой прогрессии легко определяется:

U
1
=
C
1
–
Со

=
[( 1 – A/Vo ) * (
Р
/100 ) + ( A/Vo ) * (q/100)] –
Р
/100


      U1
=
((
q

–
p

)/100) * (
A
/
Vo

).

После этого находим

      
Un = (( q –
р
)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n – 1} 

или

               
С
n -
С
n –
1
=
(( q –
р
)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n – 1} 

              Запишем последнее равенство для значений n, равных 1, 2,3, …, n, и сложим получающиеся соотношение между собой

С
1
–
С
0
=
(( q –
р
)/100 ) * ( A/Vo ) * 1

С
2
-
С
1
=
(( q –
р
)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo) ¹

 + ……………………………………………

      С
n -
С
n –
1
=
(( q –
р
)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n – 1}

С
n –
С
0
=
(( q –
р
)/100 ) * ( A/Vo ) * ((1 -A/Vo)ⁿ – 1)/((1 -A/Vo) – 1)
или
              С
n
= С0
+ ((
q
– р )/100 ) * [(1 -
A
/
V
o
)
ⁿ
– 1].   
            При     сложение     правых     частей     рассматриваемых равенств использовалась    формула    для    суммы    членов геометрической прогрессии.

  Подставляя вместо Со ее значение Р/100, получим формулу ( 3 ). Заметим, что при q = 0 эта формула переходит в ранее полученную формулу ( 2 ).

   Формула ( 2 ) тесно связана с известным в теории процентов правилом начисления « сложных процентов ».

 Мы говорим, что имеем дело со « сложных процентов », в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменения составляет определенное число процентов от значение, которое имела эта величина на предыдущем этапе.

  Рассмотрим  сначала  случай,  когда  в  конце каждого этапа величина, изменяется на одно и то же постоянное количество – Р%.

  Некоторая величина А, исходное значение которой равно А0, в конце первого этапа будет равна

   
A
l
= А0

+ ( Р/100 ) * А0

= А0
* ( 1 + Р/100 ).


В конце второго этапа ее значение станет равным

      А2
=
А1
+ (Р/100 ) *
А1
=
А1
* ( 1 + Р/100 ) =
А0

* (1 + Р/100 )².


Здесь множитель 1 + Р/100 показывает, во сколько раз величина А увеличилась  за один этап. В предыдущих задачах о концентрациях эту роль играл множить   1 – A
/
Vo.

В конце третьего этапа

        А3
= А2
+ ( Р/100 ) * А
2
= А
0

* ( 1 + Р/100)³.

и т. д.

            Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значения величины А определяется формулой

	Аn = А 0 * ( 1 + Р/100) n .

                                                                                                            ( 4 )

Эта формула показывает, что величина А растет ( или убывает, если  р < 0 ) как геометрическая прогрессия, первый член который равен А
0, а знаменателем прогрессии служит величина

           1 + Р/100.


  Формула ( 4 ) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.

  Пример: Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

  Решение: Пусть величина вклада, составляв А0 руб. Тогда через n лет станет равной  2 А0 руб. Имеем

    А
0

* ( 1 + 3/100 )
ⁿ
= 2 * А
0
,

n
=
log

_1,03
2 ≈ 23.

Ответ: Через 23 года.

        Формула ( 4 ) имеет интересное приложение. Во многих областях практики имеются величины, которые испытывают приращение   не скачкообразным образом, а меняется непрерывно, так их изменение за этап составляет Р %.

        Нетрудно определить, как меняется эти величины, если начисление процентов производить в течение каждого этапа не  один раз, a m раз из расчета р % за этап ( т. е. каждый раз начислять по р/m % ). Легко понять, что за n этапов начисление процентов произойдет m * n раз.

Воспользовавшись формулой ( 4 ), получаем

        
An
* (
m
) =
А
0

* (1 + Р/(
m
* 100 ) )
^n
*
m
.

Здесь An * ( m ) – значение величины А в конце n-го этапа при условии, что в течение каждого этапа проценты начислялись m раз.

            Неограниченно увеличивая число m, мы переходим к рассмотрению непроизвольного изменения величины А. Тогда предельное значение А в конце n-го этапа определяется формулой
                     
An = lim[
А
0

* (1 +
Р
/( m * 100 ) )^n*m].
        при m → ∞
     Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости вычислить один из знаменитых пределов математики. Этот предел обозначается буквой е и называется основанием натуральных логарифмов:

      е =
lim
(1 +
1/х )^х = 2,7182...         при х
→ ∞


Окончательный вид рассматриваемой формулы имеет вид:

             
An
=
А
0
*
е<sup>((
n
* р )/100 )</sup>
.


Показательная функция, стоящая в правой части последней формулы, называется экспонентой.

             В заключение приведем обобщение формулы ( 4 ) на случай, когда прирост величины А на каждом этапе свой.

            Пусть величина А в конце первого этапа испытывает изменение на Р1 %, в конце второго этапа – на Р2 %, в конце третьего этапа – на  Р3% и т. д. Если Pk > 0, то величина А на этом этапе возрастает; если Pk < 0, то величина А на этом этапе убывает.

           Как говорилось выше изменение величины А на Р % равносильно умножению этой величины на множитель 1 + Р/100.  Поэтому окончательный вид искомый формулы такой:

	An = А 0 * ( 1 +Р1 /100 )  * ( 1 +Р2 /100 ) * … * ( 1 +Р n /100 ).

                                                                                                                               ( 5 ) 
Здесь А0 - первоначальное значение величины А.

          Иногда в задачах на составление уравнений встречаются  понятия « средний процент прироста ». Под этим термином понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов задал бы такое же изменение величины А, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных изменениях.

       Средний процент прироста q % определяется формулой
А
0
* ( 1 +Р1
/100 )  * ( 1 +Р2
/100 )* … *( 1 +Р
n /100 ) =
А
0
* (
1 +
q
/100

 )
ⁿ
или



q
/100 =
 
ⁿ
√(
( 1 +Р1
/100 )  * ( 1 +Р2
/100 )* … *( 1 +Р
n /100 )) – 1
Отсюда видно, что средний процент прироста не равен  среднему  арифметическому величин P1, P2, Р3,..., Рn. Здесь существует полная аналогия с определением известно из физики понятия « средняя скорость движения ».

Пример: Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8 %. Определить средний ежегодный процент прироста продукции за  этот период.

Решение: Обозначим средний ежегодный прирост продукции через q %. Тогда

      ( 1 + 4/100 ) * (1 + 8/100 ) = (1 +
q
/100 )²

Отсюда находим

                   
q

= √( 104 * 108 ) – 100 ≈ 5,98.

Ответ:
q

≈
 5,98.






3.3 Приложение.



Задача 1:
У Алисы было 2000 рублей, а ей нужно 2500 рублей. Она положила их в банк по 3 % годовых, сколько ей нужно ждать, чтобы у ней получилась нужная сумма.

Решение:

Воспользуемся формулой для сложных процентов

                                       Аn = А
0

* ( 1 + Р/100)
ⁿ


Подставим значения

                         2500 = 2000 *( 1 + 3/100 )ⁿ

выразим n ( количество лет )

                          n
=
log

_1,03
1,25 ≈ 8 ( ответ только в натуральных числах )


Ответ: 8 лет.