Таким образом, при осуществлении коммерческим банком операций у него образуются собственные и привлеченные ресурсы. В зависимости от условий и признаков ресурсы коммерческих банков подразделяют на различные виды. Ресурсная база в деятельности коммерческих банков предопределяет масштабы и направления активных операций и, следовательно, объем и структуру банковских доходов. Состав и структура ресурсов коммерческого банка оказывает существенное влияние на его ликвидность и финансовые результаты деятельности в целом. [1]
Собственные ресурсы банка
Собственные средства коммерческого банка состоят из сформированных им фондов и прибыли, полученной банком в результате его деятельности в текущем году и на протяжении прошлых лет. Фонды банка составляют основу собственных средств. Каждый из них имеет определенное целевое назначение. Различаются также порядок и источники их формирования.
Отправной точкой в организации банковского дела является формирование коммерческими банками уставного фонда (капитала). Собственный капитал по общему определению – это имущество банка, свободное от обязательств, собственное имущество (средства) банка. В среднем составляет около 17% в общей структуре банковских ресурсов. Обеспечивает экономическую самостоятельность, стабильность и устойчивую работу банка. Его создание в размерах, определенных законодательством, является обязательным условием регистрации банка как юридического лица. Независимо от организационно-правовой формы банка, его уставный фонд формируется полностью за счет вкладов участников — юридических и физических лиц. Средства, внесенные в уставный фонд, представляют собой стартовый капитал для начала осуществления хозяйственной и коммерческой деятельности вновь созданного банка и на протяжении всего периода функционирования кредитного учреждения являются экономической основой его существования.[1]
В обязательном порядке коммерческие банки должны формировать резервный фонд, который предназначается для возмещения убытков от активных операций банка, выплаты дивидендов по привилегированным акциям в случае недостаточности полученной прибыли и для других аналогичных целей. Резервный фонд формируется за счет отчислений от чистой прибыли банка. Размеры этого фонда находятся в непосредственной зависимости от размеров уставного фонда банка
Кроме обязательного формирования резервного фонда, коммерческими банками могут создаваться и другие фонды, источниками формирования которых служит банковская прибыль. Количество этих фондов, их названия, целевое назначение, размеры, порядок формирования и использования должны быть оговорены в учредительных документах банка или в специальных внутрибанковских положениях о фондах, утвержденных соответствующими органами управления банка. Чаще всего формируются фонд развития банка, фонды, аккумулирующие средства для выплаты дивидендов акционерам и индексации номинала акций, фонд текущих расходов банка. Могут создаваться также различные целевые фонды, например, для переподготовки и повышения квалификации персонала и т.д. В особую группу следует выделить фонды банка, образование которых связано с различными внешнеэкономическими факторами. Их можно объединить под общим названием фонды переоценки.
В состав собственных средств банка может входить и ряд других элементов:
·                   созданные за счет прибыли банка резервы на риски и платежи;
·                   эмиссионные разницы, образующиеся в результате реализации первично размещаемых акций по цене, превышающей их номинальную стоимость;
·                   нераспределенная прибыль отчетного года и прошлых лет.
Важно отметить, что отличительная особенность структуры банковских пассивов заключается в относительно небольшой доле собственных средств банка (около 10 %) по сравнению с долей привлеченных средств. [1]
Привлеченные ресурсы банка
Как отмечалось ранее привлеченные ресурсы можно классифицировать по разным типам:
·                   депозитные и недепозитные;
·                   бесплатные, дешевые, дорогие;
·                   банковские, юридических и физических лиц.
Разновидностью привлеченных ресурсов банков являются средства населения, размещенные во вклады. Кроме этого, в состав привлеченных средств в настоящее время стали входить средства индивидуальных предпринимателей. [1]
С переходом на рыночные отношения у коммерческих банков появились не только новые каналы привлечения средств, но и принципиально иные, нетрадиционные для прежней банковской системы, способы аккумуляции временно свободных денежных средств физических и юридических лиц. Среди привлеченных ресурсов появились такие новые виды, как средства, полученные от Национального банка, и средства, привлеченные от других коммерческих банков. Широко практикуется привлечение средств на депозитной основе, причем особое значение приобрело для коммерческих банков привлечение ресурсов на фиксированные сроки. С развитием корреспондентских отношений между банками появилась такая разновидность привлеченных ресурсов, как остатки средств на корреспондентских счетах. Принципиально новым способом аккумуляции средств стало их привлечение на основе выпуска банками собственных ценных бумаг долгового характера: облигаций, векселей, депозитных и сберегательных сертификатов.
Основную часть привлеченных ресурсов коммерческих банков составляют депозиты. Они представляют собой денежные средства, внесенные в банк его клиентами — юридическими и физическими лицами. По экономическому содержанию депозиты можно разделить на несколько групп:
·                   депозиты до востребования;
·                   срочные депозиты;
·                   сберегательные вклады.
Основной характеристикой всех депозитов до востребования является возможность их владельцев без предварительного уведомления пользоваться этими средствами: производить за счет них платежи и перечисления; получать их часть для использования на разрешенные законодательством цели в виде наличных средств; осуществлять их депонирование и даже полное изъятие. [1]
Наиболее устойчивую часть депозитных ресурсов представляют срочные депозиты и сберегательные вклады. Под срочными депозитами понимаются денежные средства, внесенные в банк на фиксированный срок. В некоторых случаях коммерческие банки прибегают к оформлению срочных депозитов и вкладов депозитными и сберегательными сертификатами. Сберегательные счета клиентов характеризуются в основном отсутствием фиксированного срока хранения денежных средств и условия их ведения не требуют предупреждения об изъятии средств.
Недепозитными средствами принято считать ресурсы, которые формируются коммерческими банками путем продажи собственных долговых обязательств на денежном рынке или путем получения займов от других кредитных учреждений, в том числе от центрального банка. Недепозитные источники банковских средств в отличие от депозитов не носят персональный характер и не ассоциируются с конкретными клиентами банка. Они приобретаются на рынке зачастую на аукционной основе, предполагающей конкуренцию. [1]
Таким образом, доля привлеченных средств в общей сумме банковских ресурсов составляет более 70 %.
2.2 Основные принципы и особенности управления банковскими ресурсами
Управление банковскими ресурсами представляет собой деятельность, связанную с привлечением денежных средств вкладчиков и других кредиторов, определением величины и соответствующей структуры источников денежных средств в тесной увязке с их размещением. [2]
Управление ресурсами коммерческих банков можно условно подразделить на 2 уровня:
·                   уровень государства;
·                   уровень коммерческого банка.
При этом на каждом уровне управления используются как экономические, так и организационные методы. Сами же методы прямо либо косвенно воздействуют на величину ресурсов коммерческих банков.
На уровне государства управление ресурсами коммерческих банков происходит через разные учреждения, в основном через Национальный банк РФ с использованием различных инструментов.
Предоставление Национальным банком РФ кредитов коммерческим банкам непосредственно влияет на величину их пассивов. Официальная учетная ставка выступает фактором регулирования спроса на межбанковский кредит. Другим инструментом, который использует Национальный банк, являются операции на открытом рынке. Операции по купле-продаже государственных ценных бумаг увеличивают или снижают величину пассивов коммерческих банков. Установление экономических показателей регулирования деятельности коммерческих банков непосредственно сказывается на величине их ресурсов. Минимальный размер уставного фонда не только прямо, но и косвенно влияет на величину собственного капитала коммерческого банка, поскольку образование других его фондов взаимосвязано с уставным фондом. Предельное соотношение между размером собственных средств коммерческого банка и суммой активов, взвешенных с учетом степени риска их потери, устанавливает относительную черту развертывания активных операций коммерческого банка, характеризует его платежеспособность. В регулировании ресурсов важное место отводится показателям ликвидности коммерческого банка и максимального размера риска на одного заемщика. Соблюдение указанных показателей требует поддержания соответствия между сроками, на которые привлекаются и размещаются средства. При размещении ресурсов коммерческие банки исходят из степени кредитоспособности клиентов. [2]
Важная роль в управлении банковскими ресурсами принадлежит самим коммерческим банкам. При этом им необходимо выполнять требования Национального банка РФ о соблюдении коммерческими банками установленных экономических нормативов, а также проводить сбалансированную пассивную и активную политику. В развитии операций по привлечение свободных денежных средств важное значение имеет качество обслуживания клиентов. Привлечению средств вкладчиков в коммерческие банки способствует изменение порядка выплаты процентов. Одним из направлений работы коммерческих банков в области привлечения ресурсов является использование различных видов ценных бумаг, в частности, сертификатов. Следует также развивать спектр банковских услуг для вкладчиков, что будет стимулировать внесение средств на счета в коммерческих банках. [1]
Проблема управления ресурсами, привлеченными коммерческими банками, имеет не только количественную, но и качественную сторону. Привлекать ресурсы без проработки вопроса об их размещении немыслимо. Перед коммерческими банками стоит задача эффективного размещения ресурсов, которое возместило бы затраты и принесло банку прибыль, а также обеспечило выполнение предъявляемых Национальным банком Украины требований по ликвидности банка. Это возможно при осуществлении коммерческим банком тесной взаимоувязки пассивных операций с активными.
Большинство коммерческих банков в области управления активами использует метод общего фонда денежных средств, который предполагает мобилизацию средств с последующим направлением их на потребности, которые возникают в данный момент. Ряд коммерческих банков использует в своей деятельности метод научного управления, в основу которого положены экономико-математические методы. Управление ресурсами коммерческих банков означает не только привлечение и размещение денежных средств, но и определение оптимальной структуры источников образования для конкретного банка. [2]
Следовательно, основная цель коммерческого банка - выбрать такую структуру банковского капитала, которая при наименьших затратах на формирование не банковских ресурсов будет способствовать поддержанию стабильного уровня дивидендов и доходов, а также репутации коммерческого байка на уровне, достаточном для привлечения им необходимых денежных ресурсов на выгодных условиях. Таким образом, управление банковскими ресурсами - сложная и многогранная проблема, не имеющая однозначного ответа и требующая ежедневного анализа состояния не только банковских активов и пассивов, но и перспектив ее развития экономики страны в целом.

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
3.1 Нечеткие множества
В традиционной прикладной математике множество понимается как совокупность элементов (объектов), обладающих некоторым общим свойством. Для любого элемента при этом рассматриваются лишь две возможности: либо этот элемент принадлежит данному множеству (т.е. обладает данным свойством), либо не принадлежит (не обладает данным свойством). Таким образом, в описании множества в обычном смысле должен содержаться четкий критерий, позволяющий судить о принадлежности или непринадлежности любого элемента к данному множеству.
Однако при попытках математического описания сложных систем язык обычных множеств может оказаться недостаточно гибким. Имеющаяся информация о системе может быть сформулирована на языке нечетких понятий, которые невозможно математически формализовать с помощью обычных множеств. [3]
Понятие нечеткого множества – попытка математической формализации нечеткой информации с целью ее использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью. При этом подходе высказывания типа "элемент x принадлежит данному множеству" теряют смысл, поскольку необходимо указать "насколько сильно" или с какой степенью данный элемент принадлежит данному множеству. [3]
Один из простейших способов математического описания нечеткого множества – характеризация степени принадлежности элемента множеству числом, например, из интервала [0, 1]. Пусть X – некоторое множество (в обычном смысле) элементов. В дальнейшем мы будем рассматривать подмножества этого множества. [4]
Определение 3.1.
Нечетким множеством С в Х называется совокупность пар вида , где , а  - функция , называемая функцией принадлежности нечеткого множества С. Значение  этой функции для конкретного х называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству С.
Нечеткое множество вполне описывается своей функцией принадлежности, поэтому ниже часто будем использовать эту функцию как обозначение нечеткого множества.
Л.А. Заде вводит в рассмотрение нечеткие множества с функциями принадлежности, значениями которых являются нечеткие подмножества интервала [0,1], и называет их нечеткими множествами типа 2. Обычные нечеткие множества, соответствующие определению 3.1, называются при этом нечеткими множествами типа 1. Продолжая это обобщение, Л.А. Заде приходит к следующему определению. [3]
Определение 3.2.
Нечеткое множество есть множество типа n, , если значениями его функции принадлежности являются нечеткие множества типа . Функция принадлежности нечеткого множества типа 1 принимает значения из интервала [0,1].
Далее будем рассматривать нечеткие множества, соответствующие определению 3.1, т.е. по терминологии Заде нечеткие множества типа 1.
Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Действительно, функцией принадлежности обычного множества  является его характеристическая функция


и в соответствии с определением 3.1 обычное множество B можно также определить как совокупность пар вида . Таким образом, нечеткое множество представляет собой более широкое понятие, чем обычное множество, в том смысле, что функция принадлежности нечеткого множества может быть, вообще говоря, произвольной функцией или даже произвольным отображением. [3]
Сравним обычное множество чисел  и нечеткое множество чисел . Функции принадлежности этих множеств представлены на рис. 3.1. Заметим, что вид функции принадлежности  нечеткого множества С зависит от смысла, вкладываемого в понятие "близко" в контексте анализируемой ситуации.

Рис. 3.1. Графики функций принадлежности
Нечеткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна нулю на всем множестве X, т.е.
.
Универсальное множество X также можно описать функцией принадлежности вида

.
Носителем нечеткого множества A (обозначение supp A) с функцией принадлежности  называется множество (в обычном смысле) вида
supp A={x|x }.
Нечеткое множество A называется нормальным, если выполнено равенство
.
В противном случае нечеткое множество называется субнормальным.[4]
Пусть A и B – нечеткие множества в X, а  и  - их функции принадлежности соответственно. Говорят, что A включает в себя B ( ), если для любого  выполнено неравенство . Множества A и B совпадают (эквивалентны), если  при любом . Если нечеткие множества A и B таковы, что , то и
.
Пусть . Ясно, что , т.е. функции принадлежности этих множеств  и  должны удовлетворять неравенству  при любом . Графически эти функции могут выглядеть, например, как показано на рис. 3.2. [3]


Рис. 3.2. Функции принадлежности множеств  и
Операции над нечеткими множествами.
Определение 3.3.
Объединением нечетких множеств A и В в X называется множество  с функцией принадлежности вида
.
Если  - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности  - параметр семейства, то объединением  множеств этого семейства является нечеткое множество с функцией принадлежности вида
.
Определение 3.3а.
Объединение нечетких множеств А и В в Х можно определить и через алгебраическую сумму их функций принадлежности:


Пусть нечеткие множества А и В в числовой оси описываются функциями принадлежности, показанными на рис. 3.3. Жирной линией показана функция принадлежности объединения этих множеств по определению 1.1.3.

Рис. 3.3. Функции принадлежности
Определение 3.4.
Пересечением нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида
.
Если  - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности  - параметр семейства, то пересечением  множеств этого семейства является нечеткое множество с функцией принадлежности вида
.
Определение 3.4а.
Еще один способ определения пересечения нечетких множеств А и В – использование алгебраического произведения их функций принадлежности:

.
Полезным может оказаться следующее свойство носителей нечетких множеств:

Пусть функции принадлежности нечетких множеств А и В имеют вид, показанный на рис. 3.4. Жирной линией показана функция принадлежности пересечения множеств А и В по определению 3.4.

Рис. 3.4. Функции принадлежности нечетких множеств А и В
Определение 3.5.
Дополнением нечеткого множества А в Х называется нечеткое множество A` с функцией принадлежности вида
.
В отличие от обычных множеств, при таком определении дополнения, вообще говоря, следует
.

Пусть нечеткое множество А={множество чисел, гораздо больших нуля}, и пусть функция принадлежности этого множества имеет вид, показанный на рис. 3.5 (сплошная кривая). Тогда пунктирная линия на этом рисунке соответствует функции принадлежности дополнения A` множества А в множестве всех чисел. Словами множество A` можно описать как множество чисел, не являющихся гораздо большими нуля. [3]
Непустое пересечение множеств А и A` в этом примере представляет собой нечеткое множество числе, "гораздо больших нуля и одновременно не являющимися гораздо большими нуля". Непустота этого нечеткого множества отражает тот факт, что само понятие "быть гораздо большим" описано нечетко, вследствие чего некоторые числа могут с определенной степенью принадлежать одновременно и тому и другому множеству. В некотором смысле это пересечение можно рассматривать как нечеткую "границу" между множествами А и A`.

Рис. 3.5. Функция принадлежности множества А
Определение 3.6.
Разность множеств А и В в Х определяется как нечеткое множество  с функцией принадлежности вида

Определение 3.7.
Декартово произведение  нечетких множеств  в , , определяется как нечеткое множество А в декартовом произведении  с функцией принадлежности вида
.
Определение 3.8.
Выпуклой комбинацией нечетких множеств  в Х называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида
 где .
Определение 3.9.
Операции концентрирования (CON) и растяжения (DIL) нечеткого множества А определяются следующим образом:
где .
Применение операции концентрирования к заданному нечеткому множеству означает уменьшение "нечеткости" этого множества. В реальной задаче это может означать поступление новой информации, позволяющей более точно описать данной нечеткое множество. Операция растяжения может применяться для моделирования ситуации, связанной с потерей информации.
Множества уровня и декомпозиция нечеткого множества.
Множеством уровня α нечеткого множества А в Х называется множество в обычном смысле, составленное из элементов  , степени принадлежности которых нечеткому множеству А не меньше числа α. Если - множество уровня α нечеткого множества А, то
.
Пусть  - множества уровня α объединения и пересечения нечетких множеств А и В, тогда справедливы связи

Если  - множество уровня α декартова произведения нечетких множеств , то
,
т.е. множество уровня α декартова произведения представляет собой декартово произведение множеств уровня α рассматриваемых нечетких множеств. [3]
Множество  уровня α любой выпуклой комбинации нечетких множеств  содержит пересечение множеств уровня α всех этих множеств, т.е.
.
Удобно пользоваться разложением нечеткого множества по его множествам уровня:
,
где , а объединение нечетких множеств  берется в соответствии с определением по всем α от 0 до 1. [3]
Пусть , а функция принадлежности нечеткого множества А в Х задана таблицей

х	0	1	2	3	4	5	6
	0	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	1

Тогда для А можно выписать следующие множества уровня:

и представить нечеткое множество А в виде

3.2 Нечеткие отношения
Нечеткое отношение представляет собой важное математическое понятие, позволяющее формулировать и анализировать математические модели реальных задач принятий решений. Отношение на множестве альтернатив, объектов и т.п. в таких задачах выявляется обычно путем консультаций с лицом, принимающим решения (л.п.р.), или с экспертами, которые зачастую не имеют вполне четкого суждения об этом отношении. В подобных случаях нечеткое отношение может служить удобной и более адекватной реальности формой представления исходной информации, чем обычное отношение. [3]
Свойства обычных отношений и операции над ними.
Отношением R на множестве Х называется подмножество декартова произведения . В соответствии с этим определением задать отношение на множестве Х означает указать все пары элементов,  такие, что  связаны отношением R. Для обозначения того, что элементы x и y связаны отношением R, мы будем пользоваться двумя эквивалентными записями: или . [3]
Простым примером отношения может служить отношение "не меньше" на интервале [0,1]. На рис. 3.6. это отношение (т.е. все пары , связанные отношением) представлено заштрихованной областью. Отношению "равно" в этом примере соответствует показанная на рис. диагональ единичного квадрата. [4]

Рис. 3.6. Отношение "не меньше" на интервале [0,1]
Если множество X, на котором задано отношение R, конечно, то это отношение удобно описывать матрицей , представляющей собой характеристическую функцию множества . Элементы этой матрицы определяются следующим образом:


Отношение В включает в себя отношение А, если для соответствующих множеств  выполнено .
Если А – отношение на множестве Х, то обратным к А отношением называется отношение А^-1 на Х такое, что  тогда и только тогда, когда . Если  - матрицы этих отношений (в случае конечного множества Х), то элементы этих матриц связаны соотношением , т.е. матрица А^-1 получается путем транспонирования матрицы А.
Дополнением отношения R на множестве Х называется множество, являющееся дополнением множества R в декартовом произведении . Матрица дополнения отношения R получается из матрицы отношения R путем замены нулевых элементов единичными, а единичных - нулевыми.
Произведение (композиция)  отношений А и В на множестве Х определяется следующим образом:  тогда и только тогда, когда найдется элемент , для которого выполнены отношения . Элементы матриц отношений , А и В связаны соотношением
,
т.е. матрица отношения С равна максиминному произведению матриц отношений А и В (в максимином произведении матриц вместо арифметических операций сложения и умножения используются операции max и min соответственно).
Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если  для любого . В матрице рефлексивного отношения все элементы главной диагонали равны единице. Примером рефлексивного отношения может служить отношение R ( ≥ ) на множестве чисел.
Отношение R на Х называется антирефлексивным, если из того, что , следует . Все элементы главной диагонали матрицы такого отношения равны нулю.
Отношение R на Х называется симметричным, если из того, что , следует . Матрица симметричного отношения – симметричная, т.е. .
Отношение R на Х называется антисимметричным, если из того, что  и , следует . Матрица такого отношения обладает следующим свойством: если , то .
Отношение R на Х называется транзитивным, если из того, что  и , следует . Транзитивность отношения R эквивалентна условию  или .
Транзитивным замыканием  отношения R на Х называется отношение, полученное из R следующим образом:

Транзитивное замыкание можно неформально определить как "наименьшее" транзитивное отношение на Х, включающее в себя отношение R. Для любого отношения R его транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, содержащих R. R – транзитивное отношение тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим транзитивным замыканием, т.е. когда . [3]
Определение нечеткого отношения.
Определение 3.10.
Нечетким отношением R на множестве Х называется нечеткое подмножество декартова произведения , характеризующееся функцией принадлежности . Значение  этой функции понимается как субъективная мера или степень выполнения отношения .
Обычное отношение можно рассматривать как частный случай нечеткого, функция принадлежности которого принимает лишь значения 0 или 1.
Приведем пример, иллюстрирующий принципиальное различие обычных и нечетких отношений. Для этого лучше всего рассмотреть два "похожих" отношения на одном и том же интервале [0, 1], причем одно из этих отношений обычное (четкое), а другое нечеткое. В качестве обычного отношения возьмем отношение R ( ≥ ), а в качестве нечеткого отношения возьмем отношение (>>) ("много больше"). [3]
На приведенном рис. 3.7, а пары (x,y) из интервала [0, 1], связанные отношением R (т.е. x, y – такие, что ), образуют множество, показанное штриховкой. Диагональ единичного квадрата является границей этого множества: все пары (x, y), находящиеся за этой диагональю (вне штрихованной области), не связаны данным отношением.
В случае же отношения  ситуация сложнее из-за того, что понятие "много больше" является нечетким. Пытаясь построить соответствующее отношению  подмножество единичного квадрата, мы обнаружим, что в этом квадрате есть пары (x, y), которые мы определенно относим к подмножеству  (т. е. считаем пары (x, y) связанными отношением ), и пары, которые мы считаем определенно не входящими в это подмножество (т. е. считаем не связанными отношением R). Так, например, можно считать, что  определено много больше , т.е. .
С другой стороны, ясно, что для  можно столь же определенно записать .
Однако подобной определенности нет в отношении, скажем, пары  с парой ,
то можно сказать, что отношение (>>) в большей степени приложимо к паре , чем к паре . [3]
Таким образом, существует некоторая промежуточная область перехода от пар, для которых отношение (>>) определенно выполняется, к парам, для которых это отношение определенно не выполняется, причем парам (х, у) из этой области можно приписать степени выполнения данного отношения или субъективные оценки, зависящие от смысла, вкладываемого в понятие "много больше" в контексте той или иной ситуации.

Рис. 3.7. Пары (x,y) из интервала [0, 1], связанные отношением R
На рис. 3.7, б отсутствие четкой границы множества R показано изменением плотности штриховки. [3]
Если множество X, на котором задано нечеткое отношение R, конечно, то функция принадлежности  этого отношения представляет собой квадратную матрицу. По смыслу эта матрицы аналогична матрице обычного отношения, но элементами ее могут быть не только числа 0 или 1, но и произвольные числа из интервала [0, 1]. Если элемент  этой матрицы равен , то это означает, что степень выполнения отношения  равна .
Носителем нечеткого отношения R на множестве Х называется подмножество декартова произведения  вида
.
Носитель нечеткого отношения можно понимать как обычное отношение на множестве X, связывающее все пары (х, у), для которых степень выполнения данного нечеткого отношения не равна нулю. В случае конечного множества X матрицу носителя можно получить, заменив в матрице исходного нечеткого отношения единицами все ненулевые элементы. [3]
При анализе задач принятия решений с нечеткими отношениями удобно пользоваться множествами уровня нечеткого отношения. Поскольку нечеткое отношение определяется как нечеткое множество, то и его множества уровня определяются как
.
Нетрудно видеть, что множество уровня  нечеткого отношения R на X представляет собой обычное отношение на X, связывающее все пары (х, у), для которых степень выполнения отношения R не меньше . Матрицу множества уровня  можно получить, заменив в матрице нечеткого отношения R единицами все элементы, не меньшие числа , и нулями – все остальные элементы. [4]
Пример.
Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве  имеет вид

Тогда матрица обычного отношения, являющегося множеством уровня 0,5 этого нечеткого отношения, выглядит так:
.
Операции над нечеткими отношениями.
Перейдем теперь к рассмотрению операций над нечеткими отношениями. Некоторые из этих операций являются аналогами соответствующих операций для обычных отношений, однако, как и в случае нечетких множеств, существуют операции, характерные лишь для нечетких отношений. Заметим, что так же, как и в случае нечетких множеств, операции объединения и пересечения нечетких отношений (и операцию произведения) можно определить различными способами. [4]
Пусть на множестве X заданы два нечетких отношения A и B, т.е. в декартовом произведении  заданы два нечетких множества A и B. Нечеткие множества

называются соответственно объединением и пересечением нечетких отношений А и В на множестве Х.
Для функции принадлежности получаем

Говорят, что нечеткое отношение В включает в себя нечеткое отношение А, если для нечетких множеств А и В выполнено . Для функций принадлежности этих множеств неравенство  выполняется при любых . В рассмотренном выше примере отношений ( ≥ ) и ( >> ) нечеткое отношение  содержится в отношении R, т.е. должно быть  для любых чисел .
Если R – нечеткое отношение на множестве X, то нечеткое отношение R, характеризующееся функцией принадлежности

,
называется дополнением в Х отношения R.
Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения. Например, для нечеткого отношения R=(лучше) его дополнение R` (не лучше).
Обратное к R нечеткое отношение R^-1 на множестве Х определяется следующим образом:

или с помощью функций принадлежности:
.
Важное значение в прикладных задачах имеет произведение или композиция нечетких отношений. В отличие от обычных отношений, произведение нечетких отношений можно определить различными способами. Здесь мы приведем некоторые из возможных определений этой операции. [3]
Определение 3.11.
Максиминное произведение  нечетких отношений А и В на множестве Х характеризуется функцией принадлежности вида
.
В случае конечного множества Х матрица нечеткого отношения  равна максиминному произведению матриц отношений А и В, т.е. получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения обычных отношений.
Определение 3.11а.
Минимаксное произведение нечетких отношений А и В на Х определяется функцией принадлежности вида

Определение 3.11б.
Максимультипликативное произведение нечетких отношений А и В определяется функцией принадлежности

Для сравнения друг с другом введенных операций произведения приведем простой пример произведения отношений А и В на конечном множестве X, состоящем из двух элементов.
Пример.

Проекции нечетких отношений.
Выберем некоторое число y и рассмотрим множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что  (рис. 3.8), т.е. множество вида .
Для фиксированного  множество R(y) образовано всеми числами из интервала [0,1], не меньшими y. Объединение всех таких множеств по всем  называется первой проекцией R⁽¹⁾ отношения R, т.е.

.
Множество R⁽¹⁾ обладает тем свойством, что для каждого его элемента x найдется элемент y , что  (в данном примере ). [3]

Рис. 3.8. Множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что
Если аналогичным образом ввести множества вида

и взять их объединение по всем , то получим вторую проекцию R⁽²⁾ отношения R:
.
Для любого элемента  найдется такой элемент , что  (в данном примере ).
В приведенном примере первая и вторая проекции отношения R ( ≥ ) совпадают со всем интервалом [0, 1], т.е. . Более общий случай иллюстрирует рис. 3.9.


Рис. 3.9. Общий случай проекции
Легко проверить, что декартово произведение  представляет собой наименьшее прямоугольное множество, содержащее R.
Вернемся к нечетким отношениям. Пусть R – нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности . Для произвольного  нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид , где y – фиксированный элемент множества X. Например, для нечеткого отношения R=(близко к), заданного на числовой оси, множество R(y) можно понимать как нечеткое множество чисел, близких к выбранному числу y.
Объединение нечетких множеств R(y) по всем  называется первой проекцией R⁽¹⁾ нечеткого отношения R. [3]
Согласно определению операции объединения нечетких множеств функция принадлежности  имеет вид
.
Если  - декартово произведение первой и второй проекций нечеткого отношения R, то . Этот факт следует из определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств:


Пример.
Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве  имеет вид

Тогда функции принадлежности первой и второй проекции этого отношения таковы:

Свойства нечетких отношений.
Рефлексивность.
Нечеткое отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполнено равенство
.
В случае конечного множества X главная диагональ матрицы рефлексивного нечеткого отношения R состоит целиком из единиц. Примером рефлексивного нечеткого отношения может служить отношение "примерно равны" в множестве чисел.
Антирефлексивность.
Функция принадлежности антирефлексивного нечеткого отношения обладает свойством

при любом . Антирефлексивно, например, отношение "много больше" в множестве чисел. Ясно, что дополнение рефлексивного отношения антирефлексивно.
Симметричность.
Нечеткое отношение R на множестве X называется симметричным, если для любых  выполнено равенство
.
Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного в конечном множестве, симметричная. Пример симметричного нечеткого отношения – отношение "сильно различаться по величине".
Антисимметричность.
Функция принадлежности антисимметричного нечеткого отношения обладает следующим свойством:

Это свойство можно описать и следующими двумя эквивалентными способами:

Антисимметричным, например, является нечеткое отношение "много больше".Заметим, что не всякое нерефлексивное (несимметричное) отношение является антирефлексивным (антисимметричным).
Транзитивность.
Нечеткое отношение R на множестве Х называется транзитивным, если .
Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения произведения нечетких отношений. Если обозначить через  максиминное, минимаксное и максимультипликативное произведения отношения R само на себя, то нетрудно убедиться в том, что . Действительно, при любых  выполняются неравенства

из которых и вытекают соответствующие включения. [3]
Если к слову транзитивность приписывать название соответствующей операции произведения нечетких отношений, то получаем: (минимаксная транзитивность R) => (максиминная транзитивность R) => (максимультипликативная транзитивность R). Иными словами, нечеткое отношение, обладающее свойством минимаксной транзитивности, обладает транзитивностью и двух других типов, а отношение, обладающее максимультипликативной транзитивностью, может, вообще говоря, и не быть транзитивным в двух других смыслах. [3]
Для обычного отношения, т. е. в случае, когда функция  принимает лишь значения 0 и 1, максиминная и максимультипликативная транзитивности эквивалентны обычной транзитивности отношения.
Всюду ниже под транзитивностью нечеткого отношения мы будем понимать максиминную транзитивность, т. е. считать, что при любых  функция принадлежности транзитивного нечеткого отношения R на множестве X удовлетворяет неравенству
.
Транзитивным, например, является рассматривавшееся ранее нечеткое отношение .
Транзитивное замыкание  нечеткого отношения R определяется по аналогии с обычными отношениями:

Нетрудно проверить, что транзитивное замыкание представляет собой транзитивное нечеткое отношение и что транзитивное нечеткое отношение совпадает со своим транзитивным замыканием. [3]

4. ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ БАНКОВСКИМИ РЕСУРСАМИ В СВЕТЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
4.1 Описание проблемы
Проблема формализации банковской деятельности и управления ресурсами банка как динамической системы актуальна и является одной из ведущих проблем современности. В работе рассмотрен сравнительно новый класс задач принятия решений, полученный путем объединения идей нечеткости и методик организации банковской деятельности.
В конкретных приложениях в технике, управлении, экономике или экологии подобные проблемы могут обладать самыми различными специфическими особенностями, в связи с чем построение единой "универсальной" методики, позволяющей без адаптации решать многокритериальные задачи в различных отраслях, представляется нецелесообразным как с методической, так и практической точек зрения. [5]
В то же время анализ важнейших проблем постановки и решения многокритериальных задач, а также накопленный опыт решения этих задач в различных отраслях, позволили сделать вывод о целесообразности и методической обоснованности разработки некоторой "базовой". Такая "базовая" методика должна обеспечивать разрешение ключевых проблем, присущих всем многокритериальным задачам, независимо от конкретных приложений.
Разработка "базовой" методики требует комплексного решения сформулированных проблем, в первую очередь, адекватного учета неопределенностей нестатистического характера. Последнее, в свою очередь, ставит на повестку дня необходимость дальнейшего развития математического аппарата теории нечетких множеств исходя из практических потребностей, возникающих в ходе постановки и решений многокритериальных задач управления банковскими ресурсами. [6]
В задачах формализации функционирования банка как системы управления необходимо учитывать такие исходные положения:
Основными видами управленческих действий являются:
·                   привлечения ресурсов, которые имеют разные свойства;
·                   распределение совокупного портфеля ресурсов соответственно принятых в банка стратегических и тактических решений. [5]
Ресурсами считают все допустимые объекты финансовой деятельности, использования которых имеет разноплановый характер. Главными критериями эффективности управленческой деятельности есть, как минимум, выполнения обязательных экономических нормативов и достижение высоких текущих и глобальных оценочных показателей, которые во многом определяются на качественном уровне. Чаще всего целесообразно, а иногда и необходимо, акцентировать внимание на вопросах, обусловленных стратегической политикой банка, социальными процессами, которые происходят, то есть слабо структурированными аспектами банковской деятельности. [5]
Несмотря на разную природу ресурсов, широкую диверсификацию операций, противоречивость критериев эффективности, сложность и многообразия влияния микро- и макросреды, нестационарные динамические процессы, применяемый математический аппарат, с одной стороны, должен быть довольно простым и конструктивной относительно анализа и синтеза стратегий тактического управления, а с другого - универсальным и адекватно отображать действительность. [5]
Важной особенностью управления банковскими ресурсами являются имеющиеся факторы неопределенности, случайности, неточности. Причины неопределенности - отсутствие, неполнота (недостаточность, неадекватность), недостоверность информации. Нечеткость принятия решений обусловленная субъективностью руководства банка, неточностью выводов и интерпретации данных, сложностью и (или) разнообразием выводов. Вероятностные модели в подобных случаях могут оказаться не только неэффективными, а и вредными. Наиболее адекватным математическим аппаратом для учета всего комплекса неопределенностей есть методы теории нечетких множеств. [6]
4.2 Модели управления, основанные на теории нечетких множеств
Синтез моделей управления банковскими ресурсами на основе методов теории нечетких множеств базируется на рассмотрении конечного множества X, что состоит из ряда элементов в виде:

Одна из его подмножеств G может быть приведена в виде  и характеризуется функцией :

Таким образом, понятия принадлежности получает обобщения, которые предопределяет полезные результаты, которые дают возможность учитывать многозначность и неопределенность на разных стадиях планирования и управления. [5]
Нечеткое подмножество можно четко определить.
Пусть X - множество, x - элемент множества X. Тогда нечеткое подмножество множества X определяется как множество упорядоченных пар:
,
где  - характеристическая функция принадлежности, которая принимает значения в полностью упорядоченном множестве M, которое указывает степень или уровень принадлежности элемента X подмножеству . Множество M – множество принадлежности. [5]
4.3 Формальное описание ресурсов банка на основе теории нечетких множеств
Описание ресурсов предусматривает деление их на две группы:
1.                ресурсы, принадлежность которых в банк не вызовет сомнений;
2.                ресурсы, принадлежность которых относительная.
Если предприятие, которое взяло кредит, является многолетним партнером банка, перспективы его развития известные, то принципиально нетрудно оценить вероятность возвращения кредита. Это и будет мера принадлежности данного ресурса банка. Если же кредит предоставлен предприятию, которое только начинает свою деятельность, то есть относительно его функционирования нет никакой статистики, то степень надежности возвращения кредита, а итак и степень его принадлежности банка, будет явным образом не вероятностной характеристикой.
Ресурсы банка можно рассматривать как определенную математическую конструкцию. Есть некоторое множество X, так называемое генеральное множество. Если рассматривать совокупность {X} ее нечетких подмножеств, то фиксированный конечный набор из этой совокупности и является ресурсной базой банка. [5]
Операции с ресурсами банка формально есть операциями с нечеткими множествами:
·                   равенства;
·                   дополнения;
·                   включения;
·                   пересечения;
·                   объединения;
·                   разности;
·                   декартового произведения;
·                   выпуклой комбинации нечетких множеств;
·                   концентрирования и растягивания нечеткого множества.
Отсюда получается, что ресурсы банка - это конечный набор упорядоченных пар

Любую нечеткое множество можно представить в виде разложения множества в виде уравнения:
,
где,
.
С этим определением связано и понятие носителя, который задается выражением
.
Нечеткое подмножество G множества X подают в прямоугольной системе координат, в которой на оси ОХ откладывают X, а на оси ОY - множество принадлежностей М. Если X - целиком упорядоченное множество, то такой самый порядок должен сохраняться в расположении элементов на оси абсцисс.


Рис.4.1. Задание нечеткого множества
На рис.4.1. принадлежность каждого элемента изображенная его ординатой, заштрихованная часть отображает нечеткое подмножество .
Множество X определяет совокупность всех банковских ресурсов, а нечеткое множество G - подмножество ресурсов банка, необходимую, например, в случае комиссионно-посреднического обслуживания.
Операцию дополнения можно интерпретировать как недоступность ресурсов (нечетким множеством G можно представить, например, совокупность обязательных резервов коммерческого банка). [5]
Вместе с тем любая совокупность нечетких множеств

может определенной мерой характеризовать банковские ресурсы, то есть срок "принадлежности" трактуется существенным образом шире, чем "иметь". Например, за формализацией методов анализа ликвидности нечеткость описывает временные и стоимостные свойства реализации ресурсов.
Операция включения может быть интерпретирована в такой способ. Свойства ресурса A вообще не худшие (не лучшие), чем ресурса B. Операция включения наиболее наглядно иллюстрирует задача управления пассивами, когда нужно оценить необходимое количество ресурсов в данный промежуток времени. Если нечеткое множество A определяет ресурсы, израсходованные на проведение депозитных операций в некоторый период времени, а B - в один и тот же период времени, но с излишком, то на основании операции включения можно определить оптимальное количество ресурсов на данный промежуток времени. [5]
Операция нечеткой принадлежности фактически означает, что свойство одного ресурса не худшее от свойств другого; операция нечеткого дополнения инвертирует свойства (например, вместо имеющегося ресурса с низкой ликвидностью надо привлечь ресурс с высокой) и т.п..
Предположим, что рост прибыли определяется в планах на качественному равные сроками: очень маленький, маленький, сравнительно маленький, средний, небольшой, большой, сравнительно большой, очень большой. На рис. 2 приведен функции принадлежности, которые характеризуют маленький, средний и большой приросты. Видно, что кривые в принципе связанные с некоторой величиной прироста прибыли, но их форма задает степень "размытости" числовых характеристик каждого из понятий: маленький, средний и большой прирост. В этом примере функция принадлежности связанная с универсальным множеством и описывает степень нечеткости, которая укладывается в указанные выше дефиниции. Чаще функция принадлежности связанная с некоторой оценочной функцией. [5]

Рис. 4.2. Варианты нечеткого задания прироста прибыли: 1 - маленький; 2 - средний; 3 - большой прирост
На рис.4.3. приведены функции принадлежности, которые характеризуют некоторую интегральную оценку ликвидности пяты ресурсов: с маленьким, высоким, средним, не средним и не очень высоким, очень маленьким и не очень высокой степенью ликвидности. [5]

Рис.4.3.Варианты нечеткого задания ликвидности ресурсов: 1 - маленький; 2 - высокий; 3 - средний; 4 - не средний и не очень высокий; 5 - не очень маленький и не очень высокий уровень ликвидности
Предположим, что ресурсы, которые отвечают кривым 4 и 5 используются совместно:
·                   объединяются для общего использования в общем объеме (ликвидность не очень маленькая, не средняя и не очень высокая, что отвечает операции нечеткого сечения (рис.4, а);
·                   объединяются в один портфель для использования частями, без деления источников (ликвидность не средняя, не очень высокая, но может быть и маленькой, рис. 4, б, и отвечает операции нечеткого объединения).
Таким образом, управления ресурсами банка можно формально рассматривать как операции с нечетким множеством, содержание которых может быть интерпретирован любым удобным способом. В общей оценке эффективности работы банка важную роль сыграет точная оценка общего объема его ресурсов. Тогда в любой матрице (относительно свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности и неопровержимости) необходимо найти четкие подмножества, которые приближают банковские ресурсы, к нечетким подмножествам E. [5]


Рис.4.4a - Варианты нечетких операций с ликвидностью

Рис.4.4б - Варианты нечетких операций с ликвидностью
В рассмотренных примерах для повышения наглядности использована нечеткость, обусловленная субъективностью восприятия, распространенную в задачах управления в банковской сфере. Так, чем больший объем свободного средства, тем стабильнее данный банк, но и тем меньшая прибыль он получает. Наоборот, чем меньший объем свободного средства, тот менее стабильный банк, но и тем большая прибыль он получает. Поэтому каждый коммерческий банк стремится к тому, чтобы оптимизировать объем свободного средства. [5]
На практике больший интерес составляют другие виды неопределенности:
·                   недостаточность,
·                   неадекватность,
·                   недостоверность используемой информации как о макро- и микросреда, так и о целях банка и ограничения его деятельности. [5]
Приведенный инструментальный аппарат служит основой для разработки автоматизированных систем поддержки принятия управленческих решений. В особенности актуальной автоматизация становится в случае увеличения клиентуры, масштабной диверсификации, возрастания количества конкурентов и уровня конкурентной борьбы. Как правило, большинство задач принятия управленческих решений в банке основано на том, что и цель, и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Нечеткой целью принятия решений является нечеткое множество типа: "желательно, чтобы прибыльность данной операции была не ниже средней", "после предоставления кредита ликвидность должна быть не слишком маленькой", "приблизительно через трех недели необходимо, в границах допустимого, значительно увеличить показатель рефинансирования". Чем большая степень принадлежности альтернативы нечеткому множеству, тем выше достижения этой цели в случае выбора данной альтернативы как решения. [6]
Нечеткие ограничения или множества допустимых альтернатив также описываются нечеткими множествами типа:
·                   кредитная деятельность должна быть эффективной (чистый процентный спред положительный)";
·                   "чистая процентная маржа должна быть положительной".
Решить задачи управления банковскими ресурсами вообще означает достижения цели и соответствие ограничениям. Итак, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели есть пересечение нечетких множеств цели и ограничений. [5]
4.4 Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу деятельности коммерческого банка
В практике финансового анализа хорошо известен ряд показателей, характеризующих отдельные стороны текущего финансового положения коммерческого банка. Сюда относятся показатели ликвидности, рентабельности, устойчивости, оборачиваемости капитала, прибыльности и т.д. По ряду показателей известны некие нормативы, характеризующие их значение положительно или отрицательно.
В Инструкции ЦБ РФ №1 "О порядке регулирования деятельности банков" записано, что "в целях обеспечения экономических условий устойчивого функционирования банковской системы Российской Федерации, защиты интересов вкладчиков и кредиторов и в соответствии с Федеральным законом России "О Центральном банке Российской Федерации (Банке России)" ЦБ РФ устанавливает обязательные экономические нормативы деятельности банков. [6]
Например, когда собственные средства банка превышают половину всех пассивов, соответствующий этой пропорции коэффициент автономии больше 1/2, и это его значение считается "хорошим" (соответственно, когда оно меньше 1/2 - "плохим"). Но в большинстве случаев показатели, оцениваемые при анализе, однозначно нормировать невозможно. Это связано со спецификой отраслей экономики, с текущими особенностями действующих предприятий, с состоянием экономической среды, в которой они работают. [7]
Тем не менее, любое заинтересованное положением банка лицо (руководитель, инвестор, кредитор, аудитор и т.д.), далее именуемое лицом, принимающим решения (ЛПР), не довольствуется простой количественной оценкой показателей. Для ЛПР важно знать, приемлемы ли полученные значения, хороши ли они, и в какой степени.
Кроме того, ЛПР стремится установить логическую связь количественных значений показателей выделенной группы с неким комплексным показателем, характеризующим финансовое состояния банка в целом. То есть ЛПР не может быть удовлетворено бинарной оценкой "хорошо - плохо", его интересуют оттенки ситуации и экономическая интерпретация этих оттеночных значений. Задача осложняется тем, что показателей много, изменяются они зачастую разнонаправлено, и поэтому ЛПР стремится "свернуть" набор всех исследуемых частных финансовых показателей в один комплексный, по значению которого и судить о степени благополучия ("живучести") фирмы. [7]
В анализе хорошо известны так называемые Z-показатели, сопряженные с вероятностью предполагаемого банкротства:

где X_i - функции показателей бухгалтерской отчетности,
A_i - веса в свертке, получаемые на основе так называемого дискриминантного анализа выборки предприятий, часть из которых обанкротилась.
Также устанавливаются пороговые нормативы Z1 и Z2:
·                   когда Z < Z1 , вероятность банкротства предприятия высока,
·                   когда Z > Z2 - вероятность банкротства низка,
·                   когда Z1 < Z < Z2 - состояние предприятия не определимо.
Этот метод, разработанный в 1968 году Э. Альтманом, получил широкое признание на всех континентах и продолжает широко использоваться в анализе, в том числе и в России. Но сопоставление данных, полученных для ряда стран, показывает, что веса в Z - свертке и пороговый интервал [Z1, Z2] сильно разнятся не только от страны к стране, но и от года к году в рамках одной страны.
Статистика, на которую опирается Альтман и его последователи, возможно, и репрезентативна, но она не обладает важным свойством статистической однородности выборки событий. Здесь невозможно говорить о статистической однородности событий, и, следовательно, допустимость применения вероятностных методов, самого термина "вероятность банкротства" ставится под сомнение. К тому же, при использовании методов Альтмана возникают передержки. [7]
Словом, подход Альтмана имеет право на существование, когда в наличии (или обосновываются модельно) однородность и репрезентативность событий выживания/банкротства. Но ключевым ограничением этого метода является даже не проблема качественной статистики. Дело в том, что классическая вероятность - это характеристика не отдельного объекта или события, а характеристика генеральной совокупности событий. Рассматривая отдельное предприятие, мы вероятностно описываем его отношение к полной группе. Но уникальность всякого предприятия в том, что оно может выжить и при очень слабых шансах, и, разумеется, наоборот. Единичность судьбы предприятия подталкивает исследователя присмотреться к предприятию пристальнее, расшифровать его уникальность, его специфику, а не "стричь под одну гребенку"; не искать похожести, а, напротив, диагностировать и описывать отличия.
При таком подходе статистической вероятности места нет. Исследователь интуитивно это чувствует и переносит акцент с прогнозирования банкротства на распознавание сложившейся ситуации с определением дистанции, которая отделяет предприятие от состояния банкротства. [6]
В последнее время для выявления природы вероятности появляются неклассические вероятности различных типов. В данной работе речь идет о нечетких множествах и нечеткой логике применительно к деятельности коммерческого банка.
Чем глубже исследуется деятельность банка, тем больше обнаруживается новых источников неопределенности. Декомпозиция исходной, обычно грубой и приблизительной, модели анализа сопряжена с растущим дефицитом количественных и качественных исходных данных. Сплошь и рядом мы сталкиваемся с неопределенностью, которая в принципе не может быть раскрыта однозначно и четко. Ряд параметров оказывается недоступным для точного измерения, и тогда в его оценке неизбежно появляется субъективный компонент, выражаемый нечеткими оценками типа "высокий", "низкий", "наиболее предпочтительный", "весьма ожидаемый", "скорее всего", "маловероятно", "не слишком" и т.д. Появляется то, что в науке описывается как лингвистическая переменная со своим терм-множеством значений, а связь количественного значения некоторого фактора с его качественным лингвистическим описанием задается так называемыми функциями m-принадлежности фактора нечеткому множеству. [6]
Кривая m строится на основании:
·                   данных объективных тестов для работников различных возрастных групп, с выявлением психофизиологических особенностей этих групп (контекст наблюдений такого рода есть контекст свидетельств Е);
·                   интуитивных представлений экспертов (контекст S).
Таким образом, функции принадлежности параметров нечетким множествам обладают теми же достоинствами в анализе, что и неклассические типы вероятностей, и вдобавок к этому они являются количественной мерой наличной информационной неопределенности в отношении анализируемых параметров, значение которых описывается в лингвистически-нечеткой форме.
4.5 V&M-метод финансового анализа деятельности банка
Рассмотрим комплексный показатель финансового анализа на основании результатов теории нечетких множеств. [6]
Алгоритм построения так называемого V&M-показателя следующая:
1.                Полное множество состояний А банка разбивается на пять (в общем
случае пересекающихся) нечетких подмножеств вида:
А1 - нечеткое подмножество состояний "предельного неблагополучия (фактического банкротства)";
А2 - нечеткое подмножество состояний "неблагополучия";
А3 - нечеткое подмножество состояний "среднего качества";
А4 - нечеткое подмножество состояний "относительного благополучия";
А5 - нечеткое подмножество состояний "предельного благополучия".
То есть терм-множество лингвистической переменной "Состояние банка" состоит из пяти компонент. Каждому из подмножеств А1, …, А5 соответствуют свои функции принадлежности
m1(V&M) … m5(V&M),
где V&M - комплексный показатель финансового состояния положения банка, причем, чем выше V&M, тем "благополучнее" данное состояние.
2.                Осуществляется выбор базовой системы показателей Х_i и производится нечеткая классификация их значений.
Пусть D(Х_i) - область определения параметра Х_i, несчетное множество точек оси действительных чисел. Определим лингвистическую переменную "Уровень показателя Х_i" с введением 5 нечетких подмножеств множества D(Х_i):
В1 - нечеткое подмножество "очень низкий уровень показателя Х_i",
В2 - нечеткое подмножество "низкий уровень показателя Х_i",
В3 - нечеткое подмножество "средний уровень показателя Х_i",
В4 - нечеткое подмножество "высокий уровень показателя Х_i",
В5 - нечеткое подмножество "очень высокий уровень показателя Х_i".
Задача описания подмножеств {В} - это задача формирования соответствующих функций принадлежности.
3.                Построение функций принадлежности {m} нечетких подмножеств {А}.
Анализируя опыт различных квалификаций лингвистической переменной "Состояние", мы задаемся набором функций принадлежности {m}. Эти функции мы сформировали таким образом, что искомый комплексный показатель финансового состояния V&M по построению принимает значения от нуля до единицы.
4.                Оценка значимостей показателей для комплексной оценки.
Каждому i-му показателю в отношении каждого k-го уровня состояния предприятия можно сопоставить оценку p_ik значимости данного показателя для распознавания данного уровня состояния предприятия. Например, ряд банков, анализируя кредитоспособность заемщика, присваивает большую значимость показателям финансовой устойчивости и ликвидности, и меньшую - показателям прибыльности и оборачиваемости. В то же время, этот критерий не может считаться приемлемым в отношении приватизированных предприятий, ранее находящихся в госсобственности. Обыкновением для таких предприятий является то, что значительный вес основных средств в структуре активов (здания, сооружения и т.д.) соседствует с низкой рентабельностью или даже убыточностью. То есть построение системы весов p_ik должно проводиться по каждому предприятию строго индивидуально.
Систему оценок значимостей {p} целесообразно пронормировать следующим образом:

k = 1,…,5.
Если система предпочтений одних показателей другим отсутствует, то показатели являются равнозначными, и p_ik = 1/N.
5.                Построение показателя V&M.
Комплексный показатель V&M строится как двумерная свертка по совокупности показателей Х_i с весами р_i и по совокупности их качественных состояний с весами {l}.
6.                Распознавание текущего состояния банка.
Правило для распознавания состояния предприятия имеет вид таблицы 1. Одновременно, в соответствии с результатом распознавания по таблице 1, оценивается степень риска банкротства.
Таблица 1. Правило распознавания финансового состояния предприятия.

Наименование показателя	Интервал значений	Классификация уровня параметра	Степень оценочной уверенности (функция принадлежности)
V&M	0<V&M<0.15	"предельное неблагополучие"	1
	0.15<V&M<0.25	"предельное неблагополучие"	m1=10 (0.25 – V&M)
		"неблагополучие"	1 – m1=m2
	0.25<V&M<0.35	"неблагополучие"	1
	0.35<V&M<0.45	"неблагополучие"	m2=10 (0.45 – V&M)
		"среднего качества"	1 - m2=m3
	0.45<V&M<0.55	"среднего качества"	1
	0.55<V&M<0.65	"среднего качества"	m3=10 (0.65 – V&M)
		"относительное благополучие"	1 – m3=m4
	0.65<V&M<0.75	"относительное благополучие"	1
	0.75<V&M<0.85	"относительное благополучие"	m4=10 (0.85 – V&M)
		"предельное благополучие"	1 – m4=m5
	0.85<V&M<1.0	"предельное благополучие"	1

Предложенная методика комплексной оценки финансового состояния предприятия, в действительности, воспроизводит мыслительные человеческие процессы, основанные на субъективных суждениях. Мы добиваемся, чтобы предложенная модель была адекватна не только реалиям объекта исследования, но и специфическим особенностям познающего субъекта, а также формально очерченным границам наличной информационной неопределенности. То, что мы знаем об объекте исследования, и то, как мы это знаем, - все это находит отражение в логико-математических формализмах, на которых основан метод. Мы не пытаемся строить сомнительные свертки на финансовых показателях, тем самым как бы складывая килограммы с километрами, а осуществляем свертку сопоставимых компонент принадлежности показателей к тем или иным нечетким классам и этим обеспечиваем корректность модели.

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
5.1 Задача формализации функционирования банка как системы управления
Успешное функционирование банка заключается в эффективном управлении ресурсами банка. Выделяют два уровня – уровень государства и уровень самого коммерческого банка. При этом на каждом из них используются как экономические, так и организационные методы. В особый класс выносят задачи принятия решений.
Во многих случаях задача принятия решений в общем виде математически может быть описана множеством допустимых выборов (альтернатив) и заданным на этом множестве отношением предпочтения, которое отражает интересы лица, принимающего решение (л.п.р.). Как правило, это отношение бинарное, т.е. позволяет сравнивать друг с другом лишь две альтернативы. Собственно задача принятия решений заключается в выборе допустимойальтернативы, которая лучше или не хуже всех остальных альтернатив в смысле заданного отношения предпочтения. [8]
 Бинарное отношение предпочтения на множестве альтернатив может быть описано двумя способами: в виде подмножества декартова произведения множества альтернатив само на себя или в форме так называемой функции полезности. Функция полезности обычно имеет вид отображения множества альтернатив на числовую ось. Каждой альтернативе эта функция ставит в соответствие число (оценку альтернативы), причем так, что эквивалентным альтернативам соответствуют одинаковые числа (значения функции полезности), а из каждых двух неэквивалентных альтернатив лучшей приписывается большее число. [8]
Задачи принятия решений, в которых отношение предпочтения описано в форме функции полезности, называют задачами математического программирования. Рациональным решением в таких задачах является выбор допустимой альтернативы, на которой функция полезности принимает по возможности большее значение. [8]
Нечеткость в постановке задачи математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании функции полезности. Будем рассматривать задачи, в которых нечетко описано множество альтернатив и четко — функция полезности Такие задачи называют ниже задачами нечеткого математического программирования (н.м.п.). [9]
Анализируя задачи н.м.п., будем опираться на следующий подход к определению решения задачи. Задача н.м.п. формулируется как задача выполнения нечетко определенной цели, причем решением задачи считается пересечение нечетких множеств цели и ограничений (допустимых альтернатив). [9]
5.2 Формулировка и определение решения задачи
Основным в данном подходе к решению задачи является то, что цели принятия решений и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Это позволяет определить решение задачи в относительно простой форме. [8]
Пусть X — универсальное множество альтернатив, т. е. универсальная совокупность всевозможных выборов лица, принимающего решения (л. п.р.). Нечеткой целью в Х является нечеткое подмножество Х, которое будем обозначать G. Описывается нечеткая цель функцией принадлежности:
 QUOTE    .
Допустим, X – числовая ось. Тогда нечеткой целью принятия решений может быть нечеткое множество типа "величина х должна быть примерно равна 5", "желательно, чтобы величина х была значительно больше 10" и т.п. Чем больше степень принадлежности альтернативы х нечеткому множеству цели  QUOTE   , т.е. чем больше значение  QUOTE   , тем больше степень достижения этой цели при выборе альтернативы х в качестве решения. [3]
Связывая данные формулировки с банковскими ресурсами, имеем следующее. Ресурсная база коммерческого банка – это собственный капитал и привлеченные средства. Каждый ресурс представляет собой средства, непосредственно принадлежащих банку или сформированных им в результате проведения активных и пассивных операций. Тогда множество X можно интерпретировать как набор ресурсов банка. Есть ряд ограничений в соответствии с инструкцией ЦБ РФ № 110-И "Об обязательных нормативах банков", которые будут рассмотрены в данной работе. Например, размер уставного капитала банка на 2009 год должен составлять не менее 173 124 500 руб., или размер резервного фонда должен определяться самими коммерческим банком, но не может составлять минее 15% величины уставного капитала. [9]
5.3 Подход Беллмана-Заде к решению задачи
Опишем математический аппарат, который применим в задаче управления банковскими ресурсами (задаче достижения нечеткой цели) в условиях нечетких ограничений. [3]
Общей является постановка задачи, в которой нечеткие цели и ограничения представляют собой подмножества различных универсальных множеств. Пусть, как и выше, X — универсальное множество альтернатив, и пусть задано однозначное отображение  QUOTE   , значения которого (элементы множества Y) можно понимать как реакции некоторой системы на входные воздействия  QUOTE    или как некоторые оценки (эффекты) выборов соответствующих альтернатив. Например, эффект от выбора в большей степени в составе основного капитала средств фондов коммерческого банка и как это повлияет на возможность покрытия непредвиденных убытков. Нечеткая цель задается в виде нечеткого подмножества универсального множества реакций (оценок) Y, т.е. в виде функции  QUOTE   .
Задача при этом сводится к прежней постановке (т.е. к случаю, когда цель – нечеткое подмножество Х, например, цель – максимизация уставного капитала) следующим приемом. [10]
Определим нечеткое множество альтернатив  QUOTE   , обеспечивающих достижение заданной цели  QUOTE   . Это множество представляет собой прообраз нечеткого множества  QUOTE    при отображении  QUOTE   , т.е.
 QUOTE   ,  QUOTE   .
После этого исходная задача рассматривается как задача достижения нечеткой цели  QUOTE    при заданных нечетких ограничениях.
Перейдем теперь к определению решения задачи достижения нечеткой цели. Решить задачу означает достигнуть цели и удовлетворить ограничениям, причем в данной нечеткой постановке следует говорить не просто о достижении цели, а о ее достижении с той или иной степенью, причем следует учитывать и степень выполнения ограничений. В подходе Беллмана-Заде оба этих фактора учитываются следующим образом. [3], [10]
Пусть, например, некоторая альтернатива x обеспечивает достижение цели (или соответствует цели) со степенью  QUOTE   , удовлетворяет ограничениям (или является допустимой) со степенью  QUOTE   . Тогда полагается, что степень принадлежности этой альтернативы решению задачи равна минимальному из этих чисел. Иными словами, альтернатива, допустимая со степенью, например, 0,3, с той же степенью принадлежит нечеткому решению, несмотря на то, что она обеспечивает достижение цели со степенью, равной, например, 0,8. [3]
Таким образом, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функция принадлежности решений  QUOTE    имеет вид
 QUOTE   .
При наличии нескольких целей и нескольких ограничений нечеткое решение описывается функцией принадлежности
 QUOTE   .
Если различные цели и ограничения различаются по важности и заданы соответствующие коэффициенты относительной важности целей  QUOTE    и ограничений  QUOTE   , то функция принадлежности решения задачи определяется выражением
 QUOTE  
В отмеченном выше случае, когда задано отображение  QUOTE    множества альтернатив X в множестве реакций или оценок Y, а нечеткая цель задана в множестве Y, понадобится и следующее эквивалентное приведенному выше определению нечеткого решения. [3], [10]
Пусть G и C – нечеткие множества цели (в Y) и ограничений (в Х).
Нечетким решением задачи достижения цели G при ограничениях С называется максимальное по отношению вложенности нечеткое множество D, обладающее свойствами:
 QUOTE    (допустимость решения)
 QUOTE    (достижение нечеткой цели), где  QUOTE    – образ D при отображении  QUOTE   .
Определенное таким образом решение можно рассматривать как нечетко сформулированную инструкцию, исполнение которой обеспечивает достижение нечетко поставленной цели.
Нечеткость полученного решения есть следствие нечеткости самой исходной задачи. При таком представлении решения остается неопределенность, связанная со способом исполнения подобной нечеткой инструкции, т.е. с тем, какую альтернативу выбрать. [3]
Один из наиболее распространенных в литературе способов состоит в выборе альтернативы, имеющей максимальную степень принадлежности нечеткому решению, т.е. альтернативы, реализующей
 QUOTE   .
Такие альтернативы называют максимизирующими решениями. [3]
Рассматривая предложенную методику в связи с банковской деятельностью необходимо выделять временные промежутки, этапы выбора и действия альтернатив (например, в течение текущего года, в течение прошлых лет, за отчетный период, квартал и т.п.).
Поэтому далее опишем многоэтапные процессы принятия решений.
Постановка и анализ многоэтапной задачи принятия решений при нечетких условиях также описаны в работах Р.Беллмана и Л.Заде. Рассмотрим задачу управления динамической системы. [3], [10]
Пусть X – конечное множество возможных состояний динамической системы, U – конечное множество возможных значений управляющего параметра. Например, X – это необходимость покрытия расходов на страхование от возможных рисков за счет резервных средств, тогда U – размер уставного капитала банка. [9]
Состояния системы и значение управления в момент времени  QUOTE   , будем обозначать  QUOTE    соответственно.
Функционирование системы, т.е. ее переходы из состояния в состояние, описывается системой уравнений состояния
 QUOTE   ,  QUOTE   (1)
Тип системы определяется типом заданного отображения f. Будем рассматривать детерминированные системы, когда f – однозначное отображение  QUOTE   , т.е. состояние системы в момент времени t+1 однозначно определяется ее состоянием и значением управления в момент t. Нас будет интересовать задача управления такой системой при нечетких исходных условиях. Будем считать, что в любой момент времени t значение управления  QUOTE    должно подчиняться заданному нечеткому ограничению  QUOTE   , которое описывается нечетким подмножеством множества U с функцией принадлежности  QUOTE   . [9], [10]
Рассмотрим управление этой системой на интервале времени от 0 до N_1. Пусть задана нечеткая цель управления в виде нечеткого подмножества  QUOTE    множества X, представляющая собой нечеткое ограничение на состояние системы  QUOTE    в последний момент времени N.
Задача заключается в том, чтобы выбрать последовательность управлений  QUOTE   , которая "удовлетворяет" нечетким ограничениям и "обеспечивает" достижение нечеткой цели  QUOTE   . Начальное состояние системы  QUOTE    полагаем заданным. [11]
Заметим, что нечеткую цель  QUOTE    можно считать нечетким подмножеством множества  QUOTE   , поскольку состояние  QUOTE    можно выразить в виде  QUOTE    путем решения системы уравнений состояния (1) для  QUOTE   .
После этого в соответствии с подходом Беллмана-Заде нечеткое решение задачи можно представить в виде
 QUOTE   ,
т.е. в виде нечеткого подмножества множества  QUOTE   .
Будем искать максимизирующее решение задачи, т.е. последовательность управлений  _{QUOTE   0},…, _{QUOTE   N-1}, имеющую максимальную степень принадлежности нечеткому решению D, т.е.
 _{QUOTE   0},…, _{QUOTE   N-1})= QUOTE   (2)
Воспользуемся для этого обычной процедурой динамического программирования. Запишем (2) в следующей форме:
 _{QUOTE   0},…, _{QUOTE   N-1})= QUOTE   (3)
Имеет место следующее равенство. Пусть  QUOTE    – величина, не зависящая от  QUOTE   , и  QUOTE    - произвольная функция  QUOTE   . Тогда
 QUOTE   .
С помощью этого равенства запишем (3) в следующей форме:
 _{QUOTE   0},…, _{QUOTE   N-1})= =
и введем обозначение
 QUOTE   .
Функция  QUOTE    представляет собой функцию принадлежности нечеткой цели для задачи управления на интервале времени от 0 до N-2, соответствующую заданной цели G_N управления на интервале от 0 до N-1. Смысл этой функции можно пояснить следующим образом.
Допустим, что в результате выбора каких-либо управлений  QUOTE    система перейдет из состояния  QUOTE    в состояние  QUOTE   , определяемое системой уравнений (1). Тогда выбором управления  QUOTE    можно добиться максимальной степени достижения заданной цели, равной  QUOTE   . Таким образом,  QUOTE    есть максимальная степень достижения цели G_N в случае, когда на N-2 шаге системы оказалась в состоянии  QUOTE   .
Поскольку  QUOTE   , то ясно, что величина  QUOTE    есть максимальная степень достижения цели G_N в случае, когда система оказалась (после N-2 шагов управления) в состоянии  QUOTE    и на N-1 шаге было выбрано управление  QUOTE   . Выбор  QUOTE    на N-1 шаге следует сделать так, чтобы обеспечить по возможности большее значение величины
 QUOTE   .
Введем обозначение
 QUOTE   .
Величина  QUOTE    - максимальная степень достижения заданной цели G_N в случае, когда на N-2 шаге система оказалась в состоянии  QUOTE   .
Продолжая эти рассуждения для  QUOTE   , получим систему рекуррентных соотношений:

 QUOTE   .
С помощью этих соотношений мы получаем последовательно (начиная с  QUOTE   ) функции  QUOTE   , а затем по заданному начальному состоянию и пользуясь уравнениями состояния системы (1), вычисляем в обратном порядке максимизирующие решения



Рассмотрим пример, иллюстрирующий описанную процедуру решения.
Пусть имеем трехэтапный процесс управления, т.е. примем, что  QUOTE   . В любой момент времени управления система может находиться в одном из трех состояний  QUOTE   , а параметр управления  QUOTE    может принимать лишь два значения  QUOTE   . Нечеткая цель управления (ограничение на  QUOTE   ) описывается таблицей

x2
	0.3	1	0.8

Нечеткие ограничения на управления в моменты t=0 и t=1 имеют вид
t=0:

	0.7	1

t=1:

	1	0.8

Переходы системы из состояния в состояние описываются матрицей (отображение f):

ut  x

Применим теперь рекуррентные соотношения для решения задачи. Для t=1 получаем

x1
	0.6	0.8	0.6

а соответствующая максимизирующая функция имеет вид

x1

Далее, на следующем шаге t=0 получаем

x0
	0.8	0.6	0.6

а соответствующая максимизирующая функция имеет вид

x0
		QUOTE    или  QUOTE	QUOTE    или  QUOTE

Допустим теперь, что начальное состояние системы (т.е. состояние при t=0)  QUOTE   . Тогда соответствующее максимизирующее решение исходной задачи имеет вид  QUOTE   , причем это решение обеспечивает выполнение цели G₂ со степенью 0.8.
Подход Беллмана-Заде опирается на возможность симметричного описания множеств цели и ограничений в виде нечетких подмножеств одного и того же универсального множества альтернатив. Это позволяет определить решение задачи в довольно простой форме, как описано выше. [3], [10]

5.4 Метод комплексного финансового анализа на основе нечетких представлений
Полагается, что можно существенно усилить подход к анализу риска банкротства, объединяя учет количественных (финансовых) и качественных (индикаторных) показателей в анализе, причем рассматривая их не только в статике, но и в динамике. Однако имеющиеся методы не предоставляют аналитикам подобной возможности. Излагаемый далее подход к анализу риска банкротства позволяет, учитывая недостатки существующих подходов, анализировать риск банкротства, настраиваясь не только на страну, период времени, отрасль, но и на само предприятие, на его экономическую и управленческую специфику. Предлагается своего рода конструктор, который может быть использован (собран) любым экспертом по своему усмотрению.
Нечеткие описания в структуре метода анализа риска появляются в связи с неуверенностью эксперта, что возникает в ходе различного рода классификаций. Например, эксперт не может четко разграничить понятия "высокой" и "максимальной" вероятности. Или когда надо провести границу между средним и низким уровнем значения параметра. Тогда применения нечетких описаний означает следующее. [9]
Эксперт строит лингвистическую переменную со своим терм-множеством значений. Например: переменная "Уровень менеджмента" может обладать терм–множеством значений "Очень низкий, Низкий, Средний, Высокий, Очень высокий".
Чтобы конструктивно описать лингвистическую переменную, эксперт выбирает соответствующий ей количественный признак – например, сконструированный специальным образом показатель уровня менеджмента, который принимает значения от нуля до единицы. [10]
Далее эксперт каждому значению лингвистической переменной (которое, по своему построению, является нечетким подмножеством значений интервала (0,1) – области значений показателя уровня менеджмента) сопоставляет функцию принадлежности уровня менеджмента тому или иному нечеткому подмножеству. Общеупотребительными функциями в этом случае являются трапециевидные функции принадлежности (см. рис. 5.1.). Верхнее основание трапеции соответствует полной уверенности эксперта в правильности своей классификации, а нижнее – уверенности в том, что никакие другие значения интервала (0,1) не попадают в выбранное нечеткое подмножество. [10]
\s
Рис. 5.1. Трапециевидные функции принадлежности
Для целей компактного описания трапециевидные функции принадлежности m(х) удобно описывать трапециевидными числами вида b(а1, а2, а3, а4), где а1 и а4 - абсциссы нижнего основания, а2 и а3 - абсциссы верхнего основания трапеции, задающей m(х) в области с ненулевой принадлежностью носителя х соответствующему нечеткому подмножеству.
Теперь описание лингвистической переменной завершено, и аналитик может употреблять его как математический объект в соответствующих операциях и методах. [10]
Продемонстрируем это на примере следующего метода комплексного финансового анализа на основе нечетких представлений.
Алгоритм метода.
Этап 1 (Лингвистические переменные и нечеткие подмножества).
Введем следующие базовые множества и подмножества состояний, описанные на естественном языке:
а. Лингвистическая переменная Е "Состояния предприятия" имеет 5 значений:
E₁ – нечеткое подмножество состояний "предельного неблагополучия";
E₂ - нечеткое подмножество состояний "неблагополучия";
E₃ - нечеткое подмножество состояний "среднего качества";
E₄ - нечеткое подмножество состояний "относительного благополучия";
E₅ - нечеткое подмножество состояний "предельного благополучия".
б. Соответствующая переменной E лингвистическая переменная G "Риск банкротства" имеет 5 значений:
G₁ - нечеткое подмножество "предельный риск банкротства",
G₂ - нечеткое подмножество "степень риска банкротства высокая",
G₃ - нечеткое подмножество " степень риска банкротства средняя",
G₄ - нечеткое подмножество " низкая степень риска банкротства ",
G₅ - нечеткое подмножество "риск банкротства незначителен".
Носитель множества G – показатель степени риска банкротства g - принимает значения от нуля до единицы по определению.
в. Для произвольного отдельного финансового или управленческого показателя Х_i задаем лингвистическую переменную В_i "Уровень показателя Х_i" на нижеследующем терм-множестве значений:
B_i1 - подмножество "очень низкий уровень показателя Х_i",
B_i2- подмножество "низкий уровень показателя Х_i",
B_i3 - подмножество "средний уровень показателя Х_i",
B_i4 - подмножество "высокий уровень показателя Х_i",
B_i5- подмножество "очень высокий уровень показателя Х_i".
Причем здесь и далее по умолчанию предполагаем:
Рост отдельного показателя Х_i сопряжен со снижением степени риска банкротства с улучшением самочувствия рассматриваемого предприятия. Если для данного показателя наблюдается противоположная тенденция, то в анализе его следует заменить сопряженным. Например, показатель доли заемных средств в активах предприятия разумно заменить показателем доли собственных средств в активах.
Выполняется дополнительное условие соответствия множеств B, Е и G следующего вида: если все показатели в ходе анализа обладают, в соответствии с классификацией, уровнем подмножества B_ij, то состояние предприятия квалифицируется как E_j , а степень риска банкротства – как G_j. Выполнение этого условие влияет, с одной стороны, на правильную количественную классификацию уровней показателей (см. далее этап 5 метода) и на правильное определение уровня значимости показателя в системе оценки (см. далее этап 3 метода).
Этап 2 (Показатели).
Построим набор отдельных показателей X={Х_i}общим числом N, которые, по мнению эксперта-аналитика, с одной стороны, влияют на оценку риска банкротства предприятия, а, с другой стороны, оценивают различные по природе стороны деловой и финансовой жизни предприятия (во избежание дублирования показателей с точки зрения их значимости для анализа).
Этап 3 (Значимость).
Сопоставим каждому показателю Х_i уровень его значимости для анализа r_i. Чтобы оценить этот уровень, нужно расположить все показатели по порядку убывания значимости так, чтобы выполнялось правило
(1)
Если система показателей проранжирована в порядке убывания их значимости, то значимость i-го показателя r_i следует определять по правилу Фишберна (4):
(2)
Правило Фишберна отражает тот факт, что об уровне значимости показателей неизвестно ничего кроме (1). Тогда оценка (2) отвечает максиму энтропии наличной информационной неопределенности об объекте исследования.
Если же все показатели обладают равной значимостью (равнопредпочтительны или системы предпочтений нет), тогда
r_i = 1/N(3)
Этап 4 (Классификация степени риска).
Построим классификацию текущего значения g показателя степени риска как критерий разбиения этого множества на нечеткие подмножества (таблица 1):
 Таблица 1

Интервал значений g	Классификация уровня параметра	Степень оценочной уверенности (функция принадлежности)
0 £ g £ 0.15	G5 - "риск банкротства незначителен"	1
0 .15 < g < 0.25	G5- "риск банкротства незначителен"	m5 = 10 ´ (0.25 - g)
	G4 – "низкая степень риска банкротства"	1- m5 = m4
0.25 £ g £ 0.35	G4– "низкая степень риска банкротства"	1
0.35 < g < 0.45	G4– "низкая степень риска банкротства"	m4 = 10 ´ (0.45 - g)
	G3 – "степень риска банкротства средняя"	1- m4 = m3
0.45 £ g £ 0.55	G3– "степень риска банкротства средняя"	1
0.55< g < 0.65	G3– "степень риска банкротства средняя"	m3 = 10 ´ (0.65 - g)
	G2 – "степень риска банкротства высокая"	1- m3 = m2
0.65 £ g £ 0.75	G2– "степень риска банкротства высокая"	1
0.75 < g < 0.85	G2– "степень риска банкротства высокая"	m2 = 10 ´ (0.85 - g)
	G1– "предельный риск банкротства"	1- m2 = m1
0.85 £ g £ 1.0	G1– "предельный риск банкротства"	1

Этап 5 (Классификация значений показателей).
Построим классификацию текущих значений x показателей Х как критерий разбиения полного множества их значений на нечеткие подмножества вида В (Таблица 2).
Таблица 2.

Наименование показателя	Критерий разбиения по подмножествам
	Вi1	Вi2	Вi3	Вi4	Вi5
Х1	x1<b11	b11< x1<b12	b12< x1<b13	b13< x1<b14	b14< x1
…	…	…	…	…	…
Хi	xi<bi1	bi1< xi<bi2	bi2< xi<bi3	bi3< xi<bi4	bi4< xi
…	…	…	…	…	…
ХN	xN<bN1	bN1< xN<bN2	bN2< xN<bN3	bN3< xN<bN4	bN4< xN

Этап 6 (Оценка уровня показателей).
Произведем оценку текущего уровня показателей и сведем полученные результаты в Таблицу 3.
Таблица 3.

Наименование показателя	Текущее значение
Х1	х1
…	…
Хi	хi
…	…
ХN	хN

Этап 7 (Классификация уровня показателей).
Проведем классификацию текущих значений х по критерию таблицы вида 2. Результатом проведенной классификации является таблица 5, где l_ij – уровень принадлежности носителя х_i нечеткому подмножеству В_j.
Таблица 4

Наименование показателя	Результат классификации по подмножествам
	Вi1	Вi2	Вi3	Вi4	Вi5
Х1	l11	l12	l13	l14	l15
…	…	…	…	…	…
Хi	li1	li2	li3	li4	li5
…	…	…	…	…	…
ХN	lN1	lN2	lN3	lN4	lN5

где l_ij=1, если b_i(j-1)< x_i<b_{ij ,} и l_ij=0 в противоположном случае (когда значение не попадает в выбранный диапазон классификации).
Этап 8 (Оценка степени риска).
Теперь выполним формальные арифметические действия по оценке степени риска банкротства g:
,(4)
где ,(5)
l_ij определяется по таблице 4, а r_i – по формуле (2) или (3).
Существо формул (4) и (5) состоит в следующем. Первоначально мы оцениваем веса того или иного подмножества из B в оценке состояния предприятия Е и в оценке степени риска G (внутреннее суммирование в (4)). Эти веса в последующем участвуют во внешнем суммировании для определения среднего значения показателя g, где g_j есть не что иное как средняя оценка g из соответствующего диапазона таблицы 1 этапа 4 метода.
Этап 9 (Лингвистическое распознавание).
Классифицируем полученное значение степени риска на базе данных таблицы 1. Результатом классификации являются лингвистическое описание степени риска банкротства и (дополнительно) степень уверенности эксперта в правильности его классификации. И тем самым наш вывод о степени риска предприятия приобретает не только лингвистическую форму, но и характеристику качества наших утверждений.

5.5 Анализ риска банкротства с использованием нечетких описаний на примере ОАО "Газпромбанк"
Постановка задачи.
Для расчетов рассмотрим реальные экономические результаты ОАО "Газпромбанк", представленные на официальном сайте банка (www.gazprombank.ru). По основным финансовым показателям Газпромбанк с 2003 года входит в тройку крупнейших российских банков. По итогам I квартала 2009 года Газпромбанк занимает по активам-нетто 3 место, по собственным средствам 4 место, по прибыли 1 место, по кредитной экономике 3 место, по средствам корпоративных клиентов 2 место. Газпромбанк занимает 112 место в мире по величине капитала по версии журнала The Banker и в ходит в тройку крупнейших банков стран Центральной и Восточной Европы. На протяжении всей совей деятельности Газпромбанк уделяет огромное внимание выполнению требований Банка России по соблюдению обязательных нормативов. Все значения на 01.04.2009 выполняются. Анализ риска банкротства проведем по нескольким периодам – на квартальные даты 2008 и 2009г., т.е. факты на 01.01.2008, 01.04.2008, 01.07.2008, 01.04.2009. [11]
Решение.
1.                а) Полное множество состояний E:
E₁ – нечеткое подмножество состояний "предельного неблагополучия";
E₂ - нечеткое подмножество состояний "неблагополучия";
E₃ - нечеткое подмножество состояний "среднего качества";