Выпускная квалификационная работа
Положительные и ограниченные полукольца

Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец ............................................. 4
1.1. Определение полукольца. Примеры.................................................. 4
1.2. Дистрибутивные решетки.................................................................... 5
1.3. Идеалы полуколец............................................................................... 6
Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца.................................. 7
2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец      7
2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец..... 7
Библиографический список........................................................................... 16

Введение
Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава I. «Основные понятия теории полуколец»
1.1.         Определение полукольца. Примеры
Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1.  (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
·        Ассоциативность: ;
·        Коммутативность: ;
·        Существование нейтрального элемента: .
2.  (S,·) – полугруппа:
·        Ассоциативность: ;
3.  Умножение дистрибутивно относительно сложения:
·        левая дистрибутивность:  а(в+с)=ав+ас;
·        правая  дистрибутивность:  (а+в)с=ас+вс.
4.  Мультипликативное свойство 0:
·        .
Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S называется коммутативным, если операция  в нем коммутативна: .
Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):
Примеры полуколец:
1.    <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;
2.    <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3.    Двухэлементные полукольца:<Z₂ ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
4.    Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;
5.    Множества N, Z, Q⁺, Q, R⁺, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум  и минимум  двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.
Полукольцо с импликацией    называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняется равенство   , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивные решетки.
Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношение  положив,
.
Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.
Отношение  на множестве L является отношением порядка.   
Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент , что   для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n – произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.
Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю  и точную нижнюю  грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:


Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
 , ;
Решетка называется дистрибутивной, если для любых   , ограниченной, если она имеет 0 и 1.
1.3. Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, b I, s S элементы a+b и sa (as) принадлежат I.
Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .
Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если  влечет M=A или A=S для каждого идеала A .
Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:
1.    {0} – нулевой идеал;
2.    S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;
3.    Идеал на полукольце : ;
4.    Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .

Глава II «Положительные и ограниченные  полукольца»
2.1. Определение, примеры  и основные свойства
Полукольцо S  с 1 называется положительным, если для любого элемента а  S элемент а+1 обратим в S, т.е. .
Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
1.              ограниченные дистрибутивные решетки;
2.              полукольца непрерывных R⁺ - значных функций;
3.              множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если для любого  выполняется . Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных полуколец:
1.               ограниченные дистрибутивные решетки;
2.               множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные свойства положительных и ограниченных  полуколец:
I.                  Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b  S
(a+b  M)  (a  M & b  M).
Доказательство:
1 2. Пусть  для произвольных  и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда  и для некоторых  и . Имеем:
.
В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
2 1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к.  в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда
,т.к. . Получили y=1 и значит .
Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,
Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.
Поскольку  выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.
III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента  и любого обратимого элемента  элемент  обратим.
Доказательство.
 Полукольцо положительно, следовательно, элемент  - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.
    и  – обратимы,  тогда их произведение также обратимо , значит  обратим.
IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:
1.     S – дистрибутивная решетка.
2.    
Доказательство.
. Очевидно.
. По свойству  2 следует , тогда:
 и .
Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый элемент u,
 и

VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:
1.     a+1=1;
2.        
3.      
Доказательство.
. Докажем методом математической  индукции по числу n.
I.                         База. к=1. (выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
 и a+1=1

Из I и II Следует .
. .
Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.
Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2
 верно, но  совсем неверно.
VII. Если  S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать .
Имеем  . Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.
VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое  , что  для всех . Тогда:
1.          для всех ;
2.          - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операция определяется так:
.
Доказательство.
1.         Возьмем .
Тогда , т.к. .
Для доказательства понадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
.
Доказательство: ММИ по числу n в  .
I. База. n=1.  Из условия ограниченности


II. И.П. n=i-1.

 Из условия II и ограниченности:

.
По ИП:

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.
Рассмотрим :

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо  (1 группа), либо  (2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии  и лемме 1. из группы 1 останется только элемент
Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем

2 .Прежде всего проверим замкнутость операций  и + на множестве I.


(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент




Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент  имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.



С другой стороны


Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.
b). 1 – нейтральный элемент:

с). Коммутативность:
,
1.

2.

Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:


(4)      
Все аксиомы полукольца доказаны, а значит  - коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.
IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
  ,
то S – аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
 
Рассмотрим  t>1





 
 

Рассмотрим  t=1,



…


 
 




 

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X.        В положительном полукольце S   справедливо следующее тождество:

Доказательство.

Домножим на обратный  к :  
Получим:

Что и требовалось доказать.

Библиографический список
1.                      Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.
2.                      Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.