Введение

Законы сохранения в физике играют особую роль. Они подтверждают стабильность природы. К законам сохранения в физике относятся: закон сохранения энергии, импульса, момента импульса, заряда.

Законы сохранения играют принципиально важную роль в физике в практике, но не менее важно их значение в мировоззренческом плане. Закон сохранения энергии определяет незыблемость энергии. Закон сохранения импульса определяет незыблемость движения, неуничтожимость поступательного движения. Закон сохранения момента импульса определяет незыблемость вращательного движения. Закон сохранения заряда определяет кулоновского взаимодействия, которое наряду с гравитационным и сильным определяет структуру мира. Поэтому принципиально знать причину появления в физике этих законов.

После фундаментальных работ Э. Нётер стало известно, что за каждым из законов сохранения стоит некоторая симметрия.

Целью настоящей работы является показать,что законы сохранения являются отражением проявления различного типа симметрии в физике и наоборот установление этой связи позволяет понять сущность и природу этих законов.

Глава I. Симметрия в физике

Симметрия, инвариантность, законы сохранения играют, несомненно, важную роль в физической науке. K примеру, поиски гармонии мира (симметрии) привели одного из самых ярких естествоиспытателей всех времен Иогана Кеплера к открытию законов движения планет. Т. Вейель отмечал, что симметрия «является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство» [2]. «Для человеческого разума симметрия обладает, по-видимому, совершено особой притягательной силой, - писал Р. Фейнман. – Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет или Солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, наконец, на цветы, которые почти симметричны». [17]

Что же такое симметрия? Слово это греческое и переводится как «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Часто проводится параллели: симметрия и уравновешенность, симметрия и гармония, симметрия и совершенство. Согласно современным представлениям, симметрию можно определить примерно так: «симметричным называется такой предмет, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали» [Фейнман Р.]. Таким образом, симметрия предполагает неизменность объекта (каких-то свойств объекта) по отношению к каким-нибудь преобразованиям, каким-нибудь операциям, выполняемым над объектом.

Понятие симметрии имеет определённую «структуру», состоящую из трёх факторов:

1)        объект или явление, симметрии которого рассматривается;

2)        изменение (преобразование), по отношению к которому рассматривается симметрия;

3)        инвариантность (неизменность, сохранение) каких-то свойств объекта, выражающая рассматриваемую симметрию.

Подчеркнём: инвариантность существует не сама по себе, не вообще, а лишь по отношению к определённым преобразованиям. С другой стороны, изменение (преобразование) представляют интерес постольку, поскольку что-то при этом сохраняется. Иными словами, без изменений не имеет смысла рассматривать сохранение, равно как без сохранения исчезает интерес к изменениям. Симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или, иначе, сохранение чего-то несмотря на изменения. Таким образом, понятие симметрии основывается на диалектике сохранения и изменения.

В физике общепринято выделять две формы симметрии: геометрическую и динамическую.

Симметрии, выражающие свойство пространства и времени, относят к геометрической форме симметрии. Примерами геометрических симметрий являются: однородность пространства и времени, изотропность пространства, пространственная чётность, эквивалентность инерциальных систем отсчёта.

Симметрии, непосредственно не связанные со свойствами пространства и времени выражающие свойства определённых физических взаимодействий, относят к динамической форме симметрии. Примерами динамических симметрий являются симметрии электрического заряда.

Вообще говоря, к динамическим симметриям относят симметрии внутренних свойств объектов и процессов. Так что геометрические и динамические симметрии можно рассматривать как внешние и внутренние симметрии.

Взаимосвязь форм симметрии вытекает из единства таких атрибутов материи, как пространство, время и движение. Жесткое противопоставление этих форм принципиально недопустимо. В самом деле, рассматривая, например, такую «типичную» геометрическую симметрию, как однородность пространства, можно заметить, что в её определении в скрытом виде содержатся динамические характеристики. Ведь суть этой симметрии в том, что в пространственных перемещениях при определённых физических условиях, например при слабых полях тяготения, поведение тел не зависит от занимаемого ими места в пространстве, что и выражается в независимости присущего им импульса от их пребывания в тех или других точках пространства. Без учёта единства пространства и движения материи говорить о каких-либо свойствах симметрии пространства просто бессмысленно. В абсолютно пустом пространстве нет ни однородности, ни разнородности. В нём вообще ничего нет и о нём ничего сказать нельзя. Ни одну геометрическую симметрию нельзя определить без привлечения прямого или опосредованного, динамических параметров. Даже определение такой простой геометрической симметрии, как симметрия двух точек по отношению к какой-то прямой, включает в себя возможность их совмещения, т.е. определённого движения. Без движения и вне движения не существует ни одной геометрической симметрии.

В свою очередь динамические симметрии связанны со свойством пространства и времени, что выражается в возможности их геометрической интерпретации. Например, такая динамическая симметрия, как симметрия изотопического спина, в котором поворот на 180° независимо от направления поворота, превращает протон в нейтрон, а нейтрон в протон. Возможность такой интерпретации симметрии изотопического спина, т.е. тождественность протонов и нейтронов по отношению к сильным взаимодействиям, ясно указывает на то, что эта симметрия связанна с определёнными пространственными формами.

Таким образом, любая геометрическая симметрия связанна с движением и взаимодействием материальных объектов, а любая динамическая симметрия - со свойствами пространства и времени.

Приведём ряд примеров геометрической симметрии. Предположим, что все электроны одного атома поменялись с электронами другого атома. Поскольку электроны тождественны (любой наугад выбранный электрон ничем не отличается от мириадов других электронов), то от обмена электронов никаких изменений в атомах не произойдёт. Это есть симметрия. Или возьмём известные всем со школьной скамьи агрегатные состояния вещества - твёрдые, жидкие, газообразные. Для определённости в качестве твёрдого вещества рассмотрим идеальный бесконечный кристалл. В нём существует определённая, так называемая дискретная симметрия относительно переноса. Это означает, что, если сдвинуть кристаллическую решётку на расстояние, равное интервалу между двумя атомами, в ней ничего не изменится - кристалл совпадет сам с собой. Если же кристалл расплавить, то симметрия получившейся из него жидкости будет иной: она возрастёт. В кристалле равноценными были только точки, удалённые друг от друга на определённые расстояния, так называемые узлы кристаллической решётки, в которых находились одинаковые атомы. Жидкость же однородна по всему объёму, все её точки неотличимы одна от другой. Это означает, что жидкости можно смещаться на любые произвольное расстояния (а не только на какие-то дискретные, как в кристалле) или поворачиваться на любые произвольные углы (чего в кристаллах делать нельзя вообще) и она будет совпадать сама с собой. Степень её симметрии выше.

Газ ещё более симметричен: жидкость занимает определённый объём в сосуде и наблюдается асимметрия внутри сосуда, где жидкость есть, и точки, где её нет. Газ же занимает весь предоставленный ему объём, и в этом смысле все её точки неотличимы одна от другой. Всё же здесь было бы правильнее говорить не о точках, а о малых, но макроскопических элементах, потому что на микроскопическом уровне отличия всё-таки есть. В одних точках в данный момент времени имеются атомы или молекулы, а в других нет. Симметрия наблюдается только в среднем, либо по некоторым макроскопическим параметра объёма, либо по времени. Но мгновенной симметрии на микроскопическом уровне здесь по-прежнему ещё нет. Если же вещество сжимать очень сильно, до давлений которые в обиходе недопустимы, сжимать так, что атомы были раздавлены, их оболочки проникли друг в друга, а ядра начали соприкасаться, возникает симметрия и на микроскопическом уровне. Все ядра одинаковы и прижаты друг к другу, нет не только межатомных, но и межъядерных расстояний и вещество становится однородным. Но есть ещё субмикроскопический уровень. Ядра состоят из протонов и нейтронов, которые как двигается внутри ядра. Между ними тоже есть какое-то пространство. Если продолжать сжимать так, что будут раздавлены и ядра, нуклоны плотно прижмутся друг к другу. Тогда и на субмикроскопическом уровне появится симметрия, которой нет даже внутри обычных ядер. Именно в этом состоянии вещество находится внутри так называемых нейтронных звёзд.

Из сказанного можно усмотреть вполне определённую тенденцию: чем выше температура и больше давление, тем более симметричным становится вещество. Эта тенденция оказалась чрезвычайно общим законом.

До сих пор мы говорили о самой простой, геометрической симметрии. Однако в природе существуют и другие неизмеримо более сложные её виды. Пространство и время, из свойств симметрии которых следуют основные законы сохранения, заполнены материей и «пропитаны», силами, посредством которых разные части этой материи взаимодействуют друг с другом. Согласно современным представлениям, в природе существуют четыре основных типа сил, или, иными словами, четыре типа взаимодействий: сильные, электромагнитные, слабые, гравитационные. Природа их выглядит совершенно различной, но за каждой стоит какая-то симметрия.

Наиболее интересные различия типов взаимодействий связано с симметрией. Все взаимодействия элементарных частиц, контролируются абсолютными законами сохранения. Однако существуют законы сохранения (и соответствующие им принципы симметрии), справедливые для одних взаимодействий и не справедливые для других. Так, законы сохранения пространственной и зарядовой чётности выполняются в электромагнитных и сильных взаимодействиях, но не выполняются в слабых взаимодействиях. Существует правило: чем сильнее взаимодействие, тем оно симметричнее. Иначе говоря, чем слабее взаимодействие тем в меньшей мере оно контролируется законами сохранения. Так сильное взаимодействие наиболее симметрично. В обусловленных им процессах сохраняются все квантовые числа, справедливы законы сохранения странности и изоспина.

Электромагнитное взаимодействие является чуть менее симметричным, чем сильное. В процессах, им обусловленных, изоспин не сохраняется, но все прочие законы сохранения, в том числе и для проекции изоспина остаются справедливыми.

Слабое взаимодействие наименее симметрично. В процессах, им обусловленных, выполняются только универсальные законы сохранения (законы сохранения четырёх-импульса, момента импульса и электрического заряда).

Перейдем теперь к конкретным свойствам симметрии пространства и времени. Рассмотрим сначала симметрию относительно переноса вдоль любой прямой. Перенос в любом направлении можно разложить по трем взаимно перпендикулярным осям. Таким образом, пространство имеет группу симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Время задается одной величиной, а не тремя, как точка в пространстве. Симметрия времени уже, чем симметрия бесконечной прямой, если рассматривать время во всех его аспектах, но тем не менее не исключена возможность, что время симметрично по отношению к одному определенному классу законов природы. К этому классу принадлежат законы механики, которым подчинены движения тел в пространстве и во времени. К примеру, обращение Земли вокруг Солнца совершается одинаково в течение десятков тысяч лет; если бы не влияли другие планеты и приливы и Солнце не теряло постепенно свою массу вследствие излучения, орбита Земли оставалась бы неизменной сколь угодно долго. Отсюда надо заключить, что время однородно, т.е. все его моменты равносильны, по крайне мере по отношению к чисто механическим явлениям.

Есть еще одно преобразование симметрии, связанное с временем. Уподобив его точкам на прямой, мы можем пойти еще дальше и спросить: существует ли симметрия относительно перемены направлений времени? Абстрактная прямая, безусловно, обладает такой симметрией, но обладает ли время?

Если изменить (мысленно) направление времени на обратное, то все материальные частицы переменят знак скорости. Но «попятное» движение будет совершаться строго по тем же траекториям, по каким происходило движение вперед. Законы механики полностью симметричны относительно прошедшего и будущего. Например, затмения Солнца так же хорошо определяются в прошлом, как и в отдаленном будущем.

Таким образом, по отношению к определенному классу явлений – механическим движениям – время допускает замену прошедшего на будущее. Можно сделать и более общее определение: все законы физики в таком виде, как мы знаем их до сих пор, симметричны относительно изменения знака времени.

Рассмотрим симметрию пространства. Есть существенная разница между координатной системой на плоскости и в пространстве. Координатные системы на плоскости всегда могут быть полностью совмещены друг с другом. Действительно, пусть совмещены абсциссы. Тогда возможны два случая: либо ординаты тоже совмещены, либо они направлены в противоположные стороны. В первом случае нечего больше доказывать, а во втором случае надо повернуть одну из систем вокруг абсциссы на 180°, выведя ординату из плоскости.

Теперь рассмотрим, как обстоит дело в пространстве. Две оси легко совместить только что описанным способом. После этого третьи оси могут иметь либо одинаковое, либо противоположное направление. В последнем случае их невозможно совместить никаким поворотом. Ведь если повернуть систему вокруг оси абсцисс, то ординаты тоже повернутся вместе с третьей осью. Следовательно, если две из трех осей совпадают, а третьи направлены противоположно, то такие координатные системы невозможно совместить. По аналогии с руками координатные системы называются правой и левой. Отличать их следует так. Обычный «правый» винт направляют (мысленно) по оси Z. Тогда, если вращать головку винта от оси Х к оси Y по часовой стрелке, то сам винт будет перемещаться по оси Z. Правый винт, отраженный в зеркале, становится левым. Законы механики совершенно тождественно формулируются в обеих системах координат.

Всегда следует помнить, что симметрия того или другого рода есть свойство определенных законов движения, а не абстрактного пространства, как его представляют себе по учебникам геометрии. Всякие физические законы выражают известное приближение к истине: абсолютных законов пока нет, и мы не знаем, существуют ли они. Поэтому свойства симметрии являются приближенными в той же мере, как сами законы движения, обладающие этими свойствами.

Столь осторожное высказывание относится к законам, которые еще не уточнены: мы не можем предугадать, в какую сторону пойдет уточнение. Но бывают случаи, когда свойства симметрии не нарушаются при переходе к более детальным закономерностям движения. Так, все что сказано о симметрии пространства и времени в ньютоновской механике, целиком переносится в квантовую механику. Особенно важно при этом свойство симметрии относительно правого  левого: в квантовой механике из него получается новый закон сохранения, который нельзя формулировать в классической механике.

Пространство обладает еще одним видом симметрии – относительно поворотов координатных систем. Достаточно далеко от всех тяготеющих тел все точки пространства равноценны, равно как все прямые, проведенные через любую точку. Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна первоначальной. Симметрию относительно поворотов называют изотропией, относительно переносов – однородностью.

Может показаться, то рассуждение о свойствах симметрии пространства, основанное на законах движения, ничего не прибавляет к нашим действительным знаниям о движении. Все свойства пространства заключены в геометрии Евклида, которой механика пользуется от своего зарождения и по сей день. Но интуитивное чувство реальности, с которым связано применение геометрии Евклида, основано в конечном счете на повседневном опыте. Насколько он хорош в масштабе Солнечной системы? А во всей вселенной? Ньютон высказался осторожно в этом смысле, чувствуя, что свойства пространства могут быть определены только физически, а не чисто геометрически. Но последующие поколения ученых были более догматичны.

По-новому подошел к вопросу только Эйнштейн, который показал, что пространство удовлетворяет аксиомам евклидовой геометрии приближенно. Как раз отклонение от евклидовости воспринимаются как действие сил тяготения. Но механика Эйнштейна существенно уточняет ньютоновскую. В рамках механики Ньютона пространство однородно и изотропно.

Что же все-таки мы получаем, привлекая свойства симметрии пространства в явном виде при анализе законов механики? Реальное удобство от пользования понятиями симметрии заключено в том, что из них легко и непринужденно вытекают все механические законы сохранения. Покажем, что с каждым свойством симметрии связан закон сохранения.

Глава II. Законы сохранения как следствие симметрии в физике

1. Теорема Нётер

Немецкий математик Эмми Нётер в 1918 году математически доказала связь между законами сохранения и симметрией, которой обладают в физике законы природы. По выражению Феймана, «среди наиболее мудрейших и удивительнейших вещей в физике эта связь - одна из самых интересных и красивых».

Теорема Нётер утверждает, что для физической системы, уравнение движения которой имеет форму системы дифференциальных уравнений и могут быть получены из вариационного принципа, каждому однопараметрическому непрерывному преобразованию , преобразуется один параметр - dt, или dq, или dj, оставляющему вариационный функционал инвариантным, соответствует один дифференциальный закон сохранения.

Теорема Нетер заключается в том, что существует физическая величина, которая называется действие



где  - функция Лагранжа, с помощью которой описывается некоторая система. Действие S имеет экстремум вблизи истинной траектории, вариация действия dS вдоль истинной траектории остается неизменной, т.е. dS=0. Вариация действия зависит от вариации начала отсчета времени dt и вариации начала координат dq таким образом



Можно показать из того, что dS=0 следует



Величина



сохраняется во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нетер.

В упрощенной формулировке теорема Нётер гласит, что если свойства системы не меняются от какого-либо преобразования переменных, то этому соответствует некоторый закон сохранения. Теорема Нётер - самое простое и универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в классической механике, квантовой механике, теории поля и т.д. Так, например, инвариантность действия для системы по отношению к сдвигам времени (что отвечает физическому представлению об однородности времени) влечёт за собой, по теореме Нётер, закон сохранения энергии. Из однородности пространства (инвариантности действия по отношению к пространственным сдвигам) вытекает закон сохранения импульса. Подобным же образом из изотропности пространства (т.е. равноценности всех пространственных направлений и связанной с этим инвариантности действия относительно вращения системы координат в пространстве) следует закон сохранения момента.

Таким образом, из физического представления об однородности и изотропности пространства-времени следует, что для всякой замкнутой системы должны существовать семь фундаментальных сохраняющихся величин: энергия, компоненты импульса (три величины) и моментов (три величины).

При наличии в системе симметрий другого рода (не связанных с пространством-временем) теорема Нётер позволяет построить и другие сохраняющиеся величины (например, электрический заряд и т.п.). Особо важное значение теорема Нётер принимает в квантовой теории поля, где часто вытекающие из наличия группы симметрий законы сохранения являются единственным источником информации о свойствах системы.

2. Динамические законы сохранения

2.1. Закон сохранения энергии

Начнём применение теоремы Нётер к универсальным преобразованиям симметрии с рассмотрения сдвига во времени. Чтобы получить это преобразование надо, очевидно, считать  за независимый и постоянный параметр преобразования, .

Уравнение (3) иметь вид



Оно означает, что как следствие инвариантности действия относительно временного сдвига сохраняется динамическая величина



Эта величина называется энергией системы.

Если функцию Лагранжа можно представить в виде разности (Т‑U) кинетической и потенциальной энергий



то для энергии получится



т.е. она представится в виде кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии характерен не только для классической механики, а носит общефизический характер. Найдем закон сохранения энергии в квантовой механике.

Как известно состояние частицы задает волновая функция y. Произведем бесконечно малый сдвиг во времени Dt. При этом волновая функция преобразуется с помощью оператора трансляции .



Из однородности времени следует, что оператор трансляции коммутирует с оператором полной энергии .



Как известно в квантовой механике, поскольку оператор смещения коммутирует с оператором полной энергии , трансляция не меняет Н. Отсюда однозначно следует, что собственное значение оператор трансляции T_t есть величина сохраняющаяся. А так как оператор трансляции линейно зависит от оператора энергии (Dt=const), следовательно энергия частицы остается величиной инвариантной относительно трансляции времени.

2.2. Закон сохранения импульса

Найдём теперь аддитивный закон сохранения, вытекающий из однородности, т.е. выберем в качестве в качестве преобразования пространственный сдвиг. Прежде всего (если пользоваться инерциальной системой отсчёта) такое преобразование не затрачивает времени, следовательно первые члена (3), (4) пропадут, т.е. будем считать .

Поэтому уравнение (3) примет в этом случае вид:



Величина



называется импульсом a‑той материальной точки. Поэтому из (4) получаем, что вектор



называемый импульсом системы материальных точек сохраняет во время движения постоянное значение

.

Найдем закон сохранения импульса в квантовой механике.

Произведем вариацию координаты Dх – приращение начала отсчета. Легко видеть, что операция смещения начала отсчета приводит к преобразованию волновой функции y с помощью оператора трансляции .



В силу однородности пространства  коммутирует с оператором полной энергии  (Н не зависит от трансляции координат, поскольку потенциальная энергия зависит только от относительных расстояний), т.е. собственное значение оператора Т_х остается неизменным. А поскольку оператор трансляции линейно зависит от оператора импульса (Dх=const), следовательно х‑вая компонента импульса остается величиной инвариантной относительно трансляции начала координат.

2.3. Закон сохранения момента импульса

Найдем аддитивную величину, сохраняющуюся в силу изотропности пространства. Совершим бесконечно малый поворот, преобразование в этом случае имеет вид



Теорема Нётер тогда утверждает, что



Векторную величину



называют моментам импульса материальной точки. Таким образом, из теоремы Нётер получаем, что из инвариантности относительно пространственных поворотов следует сохранение вектора



называемого моментом системы



Отыщем закон сохранения момента импульса в квантовой механики.

Рассмотрим бесконечно малое вращение частицы в изотропном пространстве вокруг оси OZ на угол . Это вращение приводит к изменению координат частицы



Поведение частицы в этом случае описывается функцией



А так как



есть оператор момента импульса, то оператор трансляции будет иметь вид



В силу изотропности пространства и однородности времени операторы  коммутируют, а следовательно, оператор момента импульса  коммутирует  с оператором полной энергии . Таким образом, z‑вая компонента момента импульса частицы инвариантна относительно трансляции вращения.

2.4. Закон сохранения электрического заряда

Во всех процессах, происходящих в мире элементарных частиц, выполняется закон сохранения электрического заряда.

Принцип симметрии, лежащий в основе этого закона сохранения, оказывается более тонким, нежели обсуждавшаяся выше симметрия физических законов относительно пространственно-временных перемещений, выражающихся в виде законов сохранения энергии, импульса, момента импульса. Закон сохранения электрического заряда является следствием калибровочной инвариантности - это преобразование потенциалов вида:



где j – произвольная функция от координат и времени. Заметим, что калибровочная инвариантность есть один из важнейших принципов теории поля.

Можно показать, что если записать действие S для системы заряд-поле и провести калибровочное преобразование, то совершенно очевидно, что действие остается неизменным.



Инвариантность действия при преобразовании калибровки будет иметь место при условии сохранения заряда. В этом выводе мы использовали постоянство заряда, т.е. e=const, то вариация действия равна нулю.

Заключение

В работе отражены основные аспекты проблемы взаимосвязи симметрии и законов сохранения. Рассмотрен целый ряд примеров симметрии в физике.

Опираясь на результаты теоремы Нетер, в работе получены динамические законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Показано также, что эти законы не зависят от использованной теории (классической или квантовой). Использование законов квантовой механики и той же пространственно-временной симметрии опять таки приводит к тем же законам сохранения.

Показано также, что симметрия калибровочного преобразования полей напрямую связано с законом сохранения заряда. Эта общая закономерность справедлива для полей любого характера, в том числе и для полей.

Данную работу можно использовать при изучении курса физики как в школе, так и в высших учебных заведениях.