Вступ.

Актуальність роботи.
В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію ,що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.
В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.
Наукова новизна.
В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.
Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.
Практична цінність.
В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв'язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв'язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного «голоду». Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп'ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.
Апробація роботи.
          Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.
Завдання 1.

На базі статистичних показників змінних X(i) та Y(i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a=0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
X(i)	6,15	6	6,05	6,8	7,15	6,5	7,2	6,65	7,3	7,25	7,25	7	6,9	6,9	6,7	6,9	6,75
Y(i)	12	13,8	14	14,4	13,6	14,2	13,8	14,2	14,6	17	14,6	14,4	15,2	17,4	14,8	16	15,2

 

Рішення.

1-й крок:
1.1)         взяти декартову систему координат на площині;
1.2)         відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,….., n;
1.3)         обвести всі  відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;
1.4)         на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.
\s
У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити,  що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді
 
2-й крок:
2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:




2.2)обчислити значення  для кожного значення  і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;
\s
2.3)побудувати графік регресійної функції
3-й крок:
3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:
, де n – довжина  вибірки, m – число факторів(m=1)

3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:
,
а середнє значення відносної похибки, як
,         
4-й крок:
4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:
,     де
,   
;     

5-й крок:
5.1) обчислити центровані значення  за формулою:

5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента , де a=1-p, k=n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),
в нашому випадку =1.75
5.3) обчислити дисперсію:


5.4) обчислити  за формулою:

\s
5.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення  і  та отримані дані занести у таблицю ( отримуємо надійну зону).
6-й крок:
6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою
, де =1, 2,…., n
6.2) визначити d- статистику за формулою

6.3) знайти верхню ( ) і нижню ( ) межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона); ;
6.4) зробити висновок про автокореляцію.
Так як  , то ряд не містить автокореляцію.
7-й крок:
7.1) у рівняння  підставити значення ;
Коли Xp=15, Yp=25,88365.
Коли Xp=17, Yp=28,61847.
Коли Xp=20, Yp=32,7207.
7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою

Коли Xp=15, DYp=12,318.
Коли Xp=17, DYp=15,207.
Коли Xp=20, DYp=19,567.
7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень (  ;   ).
(13,56565; 38,20165)
(13,41147; 43,82547)
(13,1537; 52,2877)

n	X(i)	Y(i)	Xi2	X(i)×Y(i)		U(i)	Ui2	di						Ui – Ui-1	(Ui – Ui-1)2
1	6,15	12	37,8225	73,8	13,78207	-1,7820715	3,17577883	-14,8506	-0,64118	0,411107	1,112438	12,66963	14,89451
2	6	13,8	36	82,8	13,57696	0,22304	0,04974684	1,616232	-0,79118	0,625959	1,304358	12,2726	14,88132	2,005112	4,020472
3	6,05	14	36,6025	84,7	13,64533	0,3546695	0,12579045	2,533354	-0,74118	0,549342	1,239332	12,406	14,88466	0,131629	0,017326
4	6,8	14,4	46,24	97,92	14,67089	-0,270888	0,07338031	-1,88117	0,008824	7,79E-05	0,591756	14,07913	15,26264	-0,62556	0,391322
5	7,15	13,6	51,1225	97,24	15,14948	-1,5494815	2,40089292	-11,3932	0,358824	0,128755	0,792444	14,35704	15,94193	-1,27859	1,634801
6	6,5	14,2	42,25	92,3	14,26067	-0,060665	0,00368024	-0,42722	-0,29118	0,084783	0,730096	13,53057	14,99076	1,488817	2,216575
7	7,2	13,8	51,84	99,36	15,21785	-1,417852	2,01030429	-10,2743	0,408824	0,167137	0,843106	14,37475	16,06096	-1,35719	1,841957
8	6,65	14,2	44,2225	94,43	14,46578	-0,2657765	0,07063715	-1,87167	-0,14118	0,019931	0,626924	13,83885	15,0927	1,152076	1,327278
9	7,3	14,6	53,29	106,58	15,35459	-0,754593	0,5694106	-5,16845	0,508824	0,258902	0,95338	14,40121	16,30797	-0,48882	0,238942
10	7,25	17	52,5625	123,25	15,28622	1,7137775	2,93703332	10,08104	0,458824	0,210519	0,89693	14,38929	16,18315	2,468371	6,092853
11	7,25	14,6	52,5625	105,85	15,28622	-0,6862225	0,47090132	-4,70015	0,458824	0,210519	0,89693	14,38929	16,18315	-2,4	5,76
12	7	14,4	49	100,8	14,94437	-0,54437	0,2963387	-3,78035	0,208824	0,043607	0,666445	14,27793	15,61081	0,141853	0,020122
13	6,9	15,2	47,61	104,88	14,80763	0,392371	0,153955	2,581388	0,108824	0,011843	0,612841	14,19479	15,42047	0,936741	0,877484
14	6,9	17,4	47,61	120,06	14,80763	2,592371	6,7203874	14,89868	0,108824	0,011843	0,612841	14,19479	15,42047	2,2	4,84
15	6,7	14,8	44,89	99,16	14,53415	0,265853	0,07067782	1,796304	-0,09118	0,008313	0,606592	13,92756	15,14074	-2,32652	5,412686
16	6,9	16	47,61	110,4	14,80763	1,192371	1,4217486	7,452319	0,108824	0,011843	0,612841	14,19479	15,42047	0,926518	0,858436
17	6,75	15,2	45,5625	102,6	14,60252	0,5974825	0,35698534	3,930806	-0,04118	0,001695	0,5947	14,00782	15,19722	-0,59489	0,353892
Сума	115,5	249,2	786,7975	1696,13	249,2	1,55E-05	20,9076491	-9,457	8E-06	2,756176	13,69395	235,506	262,8939	2,379554	35,90415

Таблиця 2

Завдання 2.
    На базі статистичних даних показників змінних  x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a=0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (t_р): 

t	X (t)
1	9,51
2	11,62
3	11,22
4	15,22
5	13,99
6	15,18
7	14,98
8	17,88
9	16,78
10	18,94
11	20,98
12	15,71
13	20,74
14	24,7
15	20,78
16	20,74
17	19,75
18	23,92
k кор.	0,899208

Рішення:
  Побудуємо графік тренду зміни Х(t)

Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=bt^α.Визначимо параметри цієї регресії:
        18                                                                                    18
α=( Σ t ₁ x ₁ (t)-18 t ₁ x ₁ (t) )/(Σ x ₁ ² (t)-18 x ₁ ² ) =0.3081
        t=1                                                                                   t=1          
                 b ₁=x ₁(t)-α t ₁=2.2002.
Де х ₁ (t)=ln x(t), t ₁ =ln t ,α  ₁ = α ,b ₁= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.
Дисперсію визначаємо за формулою:
                         n
S²= Σ(x ₁-x)²/( n-p-1)=1.9044
                       i=1        
Вибірковий коефіцієнт детермінації :
                                    n                                               n
R=(1-(S(x_i-x_i)²/S(x_i-x)²))^1/2= 0.9095
                         i=1                                           i=1
Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення F_p-критерію Фішера:
                   F_p=d_x²/S²=5.445,
                                  n
де d_x²= Σ(x ₁-x)²/(n-1).Оскільки F_розр>F_табл=1,95,то прийнята
                                i=1
модель адекватна експерементальним даним.
Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
             Dx_1i=t_a,kS/n^1/2(1+(x_1i-x₁)²/d_x1²)^1/2
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :
             Y_i±DY_i=exp(Y_1i±DY_1i).
Складемо таблицю1.
Визначимо автокореляцію за формулою:
                                                         n                                     n 
                                         d= Σ(l_t-l_t-1)²/Σl_t²=2.425.
                                                       t=2                                   t=1
Визначимо границі d-статистики: d₁=1.16,d_n=1.39.Оскільки виконується нерівність d_n<d<4-d_n ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.
Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
                DX_1p=t_a,kS/n^1/2(1+n+(X_1i-X₁)²/d_x1²)
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:
                 Y_p±DY_p=exp(Y_1p±DY_1p)
Складемо таблицю 2.
Таблиця 1.

t	x(t)	t1	x1 (t)	x1r	xr	Dx1	xmin	xvf[
1	9,51	0	2,2523	2,2002	9,0268	2,6461	0,6402	127,267
2	11,62	0,6931	2,4527	2,4137	11,1757	1,8811	1,7034	73,3196
3	11,22	1,0986	2,4177	2,5338	12,6626	1,4754	2,8958	55,371
4	15,22	1,3863	2,7226	2,6273	13,8362	1,228	4,0522	47,2427
5	13,99	1,6094	2,6383	2,696	14,8202	1,0767	5,0498	43,4978
6	15,18	1,7918	2,72	2,7522	15,6771	0,9922	5,8123	42,2844
7	14,98	1,9459	2,7067	2,7997	16,4396	0,9561	6,3193	42,7674
8	17,88	2,0794	2,8837	2,8408	17,13	0,9541	6,5974	44,4772
9	16,78	2,1972	2,8202	2,8771	17,763	0,9753	6,6978	47,1082
10	18,94	2,3026	2,9413	2,9096	18,349	1,0114	6,6738	50,4487
11	20,98	2,3979	3,0436	2,9389	18,8958	1,0568	6,5695	54,3499
12	15,71	2,4849	2,7543	2,9657	19,4092	1,1068	6,4169	58,7071
13	20,74	2,5649	3,0321	2,9904	19,8937	1,1598	6,2377	63,446
14	24,7	2,6391	3,2068	3.0132	20,3532	1,2138	6,0463	68,5134
15	20,78	2,7081	3,034	3,0345	20,7904	1,2678	5,8514	73,8702
16	20,74	2,7726	3,0321	3,0544	21,2079	1,3212	5,6585	79,4872
17	19,75	2,8332	2,9832	3,0731	21,6077	1,3736	5,4709	85,342

Таблиця 2.

t	xlp(t)	xp(t)	Dxlp	xpmin	xpmax
19	3.1073	22.3610	7.1463	0.0176	28385.4
20	3.1231	22.7172	7.1565	0.0177	29131.4
21	3.1382	23.0612	7.1666	0.0178	29874.0

Відповідь.
З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X^0.3081.
Для t_p=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).
Для t_p=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).
Для t_p=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).
Завдання 3.
Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис  $).
Дано:

І	С(і)	D(i)	S(i)	L(i)
1	9,08	10,11	12,29	9
2	10,92	12,72	11,51	8,03
3	12,42	11,78	11,46	9,66
4	10,9	14,87	11,55	11,34
5	11,52	15,32	14	10,99
6	14,88	16,63	11,77	13,23
7	15,2	16,39	13,71	14,02
8	14,08	17,93	13,4	12,78
9	14,48	19,6	14,01	14,14
10	14,7	18,64	1625	14,67
11	18,34	18,92	16,72	15,36
12	17,22	21,22	14,4	15,69
13	19,42	21,84	18,19	17,5

Рішення:
       Припустимо, що між показником  Ŷ і чинниками Х1  Х2  Х3  існує лінійна залежність  Ŷ=А₁Х₁+А₂Х₂+А₃Х₃ . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]^T[X]ā=[X]^TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]^T[X]]^-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:
  ā=[[X]^T[X]]^-1[X]^Ty, звідки а₁ =0,0603; а ₂=0,151;а₃=0,859.
Складемо таблицю:

І	D(i)	S(i)	L(i)	C(i)	Cроз  (i)	1
1	10,11	12,29	9	9,08	10,1954	1,1154
2	12,72	11,51	8,03	10,92	9,4018	-1,5182
3	11,78	11,46	9,66	12,42	10,7376	-1,6824
4	14,87	11,55	11,34	10,9	12,3803	1,4803
5	15,32	14	10,99	11,52	12,4768	0,9568
6	16,63	11,77	13,23	14,88	14,1429	-0,7371
7	16,39	13,71	14,02	15,2	15,1	-0,1
8	17,93	13,4	12,78	14,08	14,0809	0,0009
9	19,6	14,01	14,14	14,48	15,4418	0,9618
10	18,64	16,25	14,67	14,7	16,1774	1,4774
11	18,92	16,72	15,36	18,34	16,8579	-1,4821
12	21,22	14,4	15,69	17,22	16,9296	-0,2904
13	21,84	18,19	17,5	19,42	19,0939	-0,3261

Коефіцієнт множинної детермінації:
                13                       13        
R²=1-Σ(y_i-ŷ_i)²/Σ(y-ỳ)²=0.863
          I=1                    i=1
Визначимо автокореляцію за формулою:
     13                           13
d=Σ(l_t–l_t-1 )²/Σl_t²=2.0531. 
     t=2                         t=1
Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х²   . Розрахункове значення  Х²  знаходимо за формулою:
             Х²_р=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]^T [X]│=3.1025  
Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3  X²=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.
Відповідь:
Коефіцієнт детермінації R²=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.      
Завдання 4.
       Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками  Y ,k та L за 12 років.

T	Y(t)	k(t)	L(t)
1	54,24	4,41	11,89
2	49,56	4,97	11,04
3	52,32	6,63	11,46
4	73,92	7,39	15,56
5	67,2	7,44	15,67
6	64,44	8,31	17,44
7	80,04	8,9	15,71
8	93,12	12,12	19,91
9	95,4	14,77	16,52
10	90,54	15,06	21,54
11	116,94	14,21	17,9

Рішення:
        Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b₀x₁^b1x₂^b2…x_m^bm,де ŷ  -продуктивність ; x₁, x₂,…, x_m –впливові фактори ;b₀ -нормований множник ; b₁, b₂, b_m -коефіціенти еластичності.
         Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : ŷ=bx² (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y₁=Ln(y), X₁=Ln(x) та b₁=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y₁= b₁+a X_{1 .} Оцінки параметрів і  для цієї  регресії визначаються за формулами:      
                                      n                   n          n               n                   n 
                             a=(nΣX_1i   Y_1i -  Σ X_1i Σ Y_1i)/(n  Σ X ²_1i - (Σ X_1i)² ) _{=0.3695
                                                         i=1                             i=1            i=1                      i=1                          i=1}
          -      -
b₁=Υ₁-aΧ₁=1.7655,b=exp(b₁)=5.8444.
Складемо таблицю:

t	Y(t)	k(t)	L(t)	x=k/l	x	y	y	y
1	54.24	4,41	11,89	0,3709	-0,9918	1,5177	1,39896	4,0651
2	49.56	4,97	11,04	0,4502	-0,7981	1,5017	1,470543	4,3516
3	52.32	6,93	11,46	0,6047	-0,503	1,5185	1,579598	4,853
4	73.92	7,39	15,56	0,4749	-0,7446	1,5583	1,490325	4,4385
5	67.20	7,44	15,67	0,4748	-0,7449	1,4559	1,490214	4,438
6	64.44	8,31	17,44	0,4765	-0,7413	1,307	1,491533	4,4439
7	80.04	8,90	15,71	0,5665	0,5682	1,6282	1,555488	4,7374
8	93.12	12,12	19,91	0,6087	-0,4964	1,5427	1,582051	4,8649
9	95.40	14,77	16,52	0,8941	-0,112	1,7535	1,724102	5,6075
10	90.64	15,06	21,54	0,6992	-0,3579	1,4359	1,633232	5,1204
11	116.94	14,21	17,9	0,7939	-0,2309	1,8769	1,68017	5,3665

Коефіцієнт множинної детермінації 
                 11                            11        
R²=1-Σ(y_1i-ŷ_1i)²/Σ (y_l1-э₁)² =0,4370.
             t=1                           t=1
Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:
                                                                               11                           11
               d  =  Σ(l_t- l_t-1 )²/Σ l_t² = 2,4496.
                                                      t=2                            t=1
Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.
Відповідь:
        Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами:
                                                          Y=5.8444*X^0.3695
Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою. 
Завдання 5.
Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:
,
,
де e(t) – стохастичне відхилення, похибка; C(t) – споживання; Y(t) – національний дохід; I(t) – інвестиції (всі дані у тис.$).
Дано:

t	C(t)	Y(t)	I(t)
1	58,8	7,3	9,22
2	67,4	9,56	13,82
3	68,9	11,1	15,02
4	80,1	12,04	17,08
5	70,45	13,34	18,94
6	84,35	13,26	20,36
7	77,25	15,4	21,56
8	81,4	13,98	22,2
9	73,35	16,86	27,56
10	77,95	15,88	30,36
11	77,65	18,98	28,14
12	82,35	17,18	31,46

Рішення.
Введемо гіпотезу про те, що змінну C(t) розподілено за законом лінійної парної регресії, тобто  . Визначимо параметри цієї регресії:


                              .
Складемо таблицю:

T	C(t)	Y(t)	I(t)	C(t)Y(t)	Y2	Cr(t)	e(t)
1	58,8	7,3	9,22	429,24	53,29	65,43599	-6,63599
2	67,4	9,56	13,82	644,344	91,3936	68,79084	-1,39084
3	68,9	11,1	15,02	764,79	123,21	71,07689	-2,17689
4	80,1	12,04	17,08	964,404	144,9616	72,47227	7,627726
5	70,45	13,34	18,94	939,803	177,9556	74,40206	-3,95206
6	84,35	13,26	20,36	1118,481	175,8276	74,2833	10,0667
7	77,25	15,4	21,56	1189,65	237,16	77,46002	-0,21002
8	81,4	13,98	22,2	1137,972	195,4404	75,3521	6,047897
9	73,35	16,86	27,56	1236,681	284,2596	79,62731	-6,27731
10	77,95	15,88	30,36	1237,846	252,1744	78,17255	-0,22255
11	77,65	18,98	28,14	1473,797	360,2404	82,77434	-5,12434
12	82,35	17,18	31,46	1414,773	295,1524	80,10234	2,247663
Сумма	899,95	164,88	255,72	12551,78	2391,066	899,95	-2,6E-05

Відповідь:
Параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:
C(t)=54,59952+1,484448Y(t)+e(t)
Y(t)=C(t)+I(t)