Модель Стоуна
Москва
2007

Содержание

  Введение. 3
Решение задачи Стоуна для случая двух товаров. 4
Минимизация расходов потребителя: обратная задача. 7
Решение задачи Стоуна для случая трех товаров. 9
Пример 1. 9
Пример 2. 10
Пример 3. 11
Пример 4. 12
Пример 5. 14
Литература. 15

Введение

Пусть U – функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде
     (*)
,

(Доход мы нормировали на единицу, не теряя общности). Набор товаров  можно рассматривать в качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора  необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.
      (**)
Показатели степеней a_i > 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.

Решение задачи Стоуна для случая двух товаров

Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества).  Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = P_XX + P_YY.
Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение
L = U (X, Y) + l(I - P_XX - P_YY),    (1)
где  l - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже.  Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по X, Y и l из уравнения (1) и приравнивания их к нулю.[1] Получаем систему уравнений (2)

 (2)

Последнее уравнение из (2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из них следует, что
   (3)

Правые части в (3) есть ни что иное, как MU_X и MU_Y, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.
,                     (4)
где l может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MU_n/P_n может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.
Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем

   (5)

Решая систему уравнений (5) относительно X и Y получаем
,       
Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, P_X = 2 д.е, P_Y = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что P_X стало равно 5 д.е., а P_Y снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.
Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что
а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;
б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.

Минимизация расходов потребителя: обратная задача

В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.
Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.
Теперь мы минимизируем I = P_XX + P_YY при ограничении U (X, Y) = , где - определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая
L = ( P_XX  + P_YY) - m [U (X, Y) -  ]    
Тогда имеем
  (1)


Возьмем первые два уравнения из (1). Из них получаем
,   (2)
где m - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/l. Если заменить в (2) m на 1/l и возвести уравнение в степень - 1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).

Решение задачи Стоуна для случая трех товаров

Пример 1

Пусть функция полезности имеет вид

Бюджетное ограничение

составим фунцию Лагранжа

Найдем частные производные




решение системы

Пример 2

Пусть функция полезности имеет вид

Бюджетное ограничение

составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные




решение системы

Пример 3

Пусть функция полезности имеет вид

Бюджетное ограничение

составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные




решение системы

Пример 4

Пусть функция полезности имеет вид

Бюджетное ограничение

составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные




решение системы

Пример 5

Пусть функция полезности имеет вид

Бюджетное ограничение

составим фунцию Лагранжа

Найдем частные производные




решение системы

Литература

1.                 Экономика. Учебник / Под ред. А. С. Булатова. – М.: Юристъ, 2001.
2.                 Микроэкономика. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. – М.: ДИС, 2002.
3.                 Экономическая теория (политэкономия). Учебник / Под ред. В. И. Видянина, Г. П. Журавлевой. – М.: РЭА, 2000.
4.                 Курс экономики. Учебник / Под ред.Б. А. Райзберга. – М.: ИНФРА-М, 2000.
5.                 Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. Д. Камаева. – М.: Владос, 2001.
6.                 Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. И. Видянина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлевой, Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2000.
7.                 Микроэкономика. Учебник / Под ред. Е. Строганова, И. Андреева. – М.: Питер, 2002.

---