Задача №1. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис, заданы сопротивления всех резисторов и падение напряжения на одном из них. Найти токи в каждом резисторе и мощность, потребляемую всей цепью, если U= 360 В.

Решение: Начертим эквивалентную схему. Обозначим узлы цепи буквами А, В, С, D, E, F. Покажем направление токов во всех участках цепи. Индексы токов и напряжений для каждого сопротивления должны быть такими, как индекс сопротивления.

Схема имеет смешанное соединение. Определим общее сопротивление цепи.

Начнем с участка CD: R₆ и R₇ соединены параллельно, тогда

Ом;

На участке DE R₁₀ и R₉ также соединены параллельно, тогда

Ом;

На участке CF соединены последовательно R_6,7 R_10,9 R₈, тогда

R_6,7,10,9,8 = R_6,7 +R_10,9 +R₈;

R_6,7,10,9,8 = 6 + 4,77 + 4 = 14,77 Ом;

На участке CF соединены параллельно сопротивления R_6,7,10,9,8 и R₅, тогда общее сопротивление участка CF:

Ом;

На участке АС R₂ и R₃ также соединены параллельно, тогда

Ом;

На участке АВ соединены последовательно R_2,3 R_6,7,10,9,8,5 R₄, тогда

R_{2,3,6,7,10,9,8,5,4} = R_2,3 +R_6,7,10,9,8,5 +R₄; R_{2,3,6,7,10,9,8,5,4} = 1,5+ 8,5 + 8 = 18 Ом;

На участке АВ соединены параллельно сопротивления R_{2,3,6,7,10,9,8,5,4} и R₁, тогда общее сопротивление участка АВ

Ом;

По закону Ома для участка цепи определим ток I:

; А;

По формуле определим мощность, потребляемую цепью:

Р = 360 32 = 11520 Вт;

Определим токи в каждом сопротивлении.

По закону Ома для участка цепи;

I₁ = U/R₁, I₁ = 360/30 = 12 А;

Определим напряжение U_AF: по 2 закону Кирхгофа

U_AF = U_AВ - U_FВ;

По закону Ома для участка цепи

U_FВ = I₄ · R₄; U_FВ = 20 · 8 = 160 В;

U_AF = 360 – 160 = 200 В;

Определим ток I_2.3: так как сопротивления R_2.3 и R_6.7.10.9.8.5 и R₄ соединены последовательно, то,

I_2.3 = I_6.7.10.9.8.5 = I₄ = 20 A;

Напряжение

U_AС = I_2.3 · R_2.3 = 20 · 1,5 = 30 В;

По 2 закону Кирхгофа

U_CF = U_AF - U_AС; U_CF = 200 – 30 = 170 В;

Зная напряжение U_AС определим токи на сопротивлениях R₂ и R₃ (сопротивления соединены параллельно):

I₂ = U_AС / R₂ = 30/3=10 А; I₃ = U_AС / R₃ = 30/3=10 А;

Зная напряжение U_СF определим токи на сопротивлениях R₅ и R_6.7.10.9.8 :

I₅ = U_СF / R₅ = 170/20 = 8,5 А; I_6,7,10,9,8 = U_СF / R_6.7.10.9.8 = 170/14,77 = 11,5

Так как сопротивления R_6,7 и R_10.9 и R₈ соединены последовательно, то

I_6,7,10,9,8 = I_6.7 = I_10,9 = I₈ = 11,5 А;

По закону Ома для участка цепи

U_СD = I_6.7 · R_6.7 = 11,5·6 = 69 В;

Зная напряжение U_СD определим токи на сопротивлениях R₆ и R₆ (сопротивления соединены параллельно):

I₆ = U_СD / R₆ = 69/15=4,6 А; I₇ = U_СD / R₇ = 69/10=6,9 А;

По закону Ома для участка цепи

U_DЕ = I_10,9 · R_10,9 = 11,5·4,77 = 55 В;

Зная напряжение U_DЕ определим токи на сопротивлениях R₁₀ и R₉ (сопротивления соединены параллельно):

I₁₀ = U_DЕ / R₁₀ = 55/7=7,85 А; I₉ = U_DЕ / R₉ = 55/15 = 3,65 А;

Ответ: Р = 11520 Вт; I = 32 А; I₁ = 12 А; I₂ = 10 А; I₃ = 10 А; I₄ = 20 А; I₅ = 8,5 А; I₆ = 4,6 А; I₇ = 6,9 А; I₈ = 11,5 А; I₉ = 3,65 А; I₁₀ = 7,85 А;

Задача №2. Для неразветвленной цепи переменного тока с активными, индуктивными и емкостными сопротивлениями определить следующие величины:

Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи и пояснить ее построение, если: R₁ = 4 Ом, R₂ = 8 Ом; X_L1 = 10 Ом; X_L2 = 6 Ом;

Решение:

Определим полное сопротивление цепи по формуле:

; R = R₁ + R₂ = 4 + 8 = 12 Ом

арифметическая сумма всех активных сопротивлений;

X_L = X_L1 + X_L2 = 10 + 6 = 16 Ом

арифметическая сумма однотипных индуктивного и емкостного сопротивлений;

Ом;

Из треугольника сопротивлений определим угол φ:

;

По таблицам тригонометрических величин найдем значение угла сдвига фаз: φ = 53,1°;

Из формулы

Q = S Sinφ

определим полную мощность цепи S:

; Sin 53,13º = 0,8; ВА;

По формуле P = S · Cos φ определим активную мощность цепи:

Р = 80 · 0,6 = 48 Вт;

Из формулы Р = I² · R определим ток цепи I;

А;

По закону Ома для цепи переменного тока определим напряжение U:

U = I · Z = 2 · 20 = 40 В;

Построение векторной диаграммы:

При построении векторной диаграммы исходим из следующих условий:

Ток одинаков для любого участка цепи, так как разветлений нет;

На каждом сопротивлении при прохождении тока создается падение напряжения, значение которого определяем по закону Ома для участка цепи;

Задаемся масштабом: m_u= 2 в/см; m_I= 0,5 А/см;

Для построения векторов напряжений определим напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях:

U_R1 = I ·R₁ = 2 · 4 = 8 В;

U_R2 = I ·R₂ = 2 · 8 = 16 В;

U_X1 = I ·X_L1 = 2 ·10 = 20 В;

U_X2 = I ·X_L2 = 2 ·6 = 12 В;

Определим длины векторов:

L_UR1 = U_R1/m_u= 8/2 = 4 см;

L_UR2 = U_R2/m_u= 16/2 = 8 см;

L_UL1 = U_X1/m_u= 20/2 = 10 см;

L_UL2 = U_X2/m_u= 12/2 = 6 см;

L_I = I/m_I = 2/0,5 = 4 см;

По горизонтали откладываем вектор тока Ī, вдоль вектора тока Ī откладываем вектор напряжения на активном сопротивлении Ū_R1 (при активном сопротивлении ток совподает с напряжением). От конца вектора Ū_R1 откладываем вектор напряжения на активном сопротивлении Ū_R2 (при активном сопротивлении ток совподает с напряжением). От конца вектора Ū_R2 откладываем вектор напряжения Ū_L1 на индуктивном сопротивлении в сторону опережения от вектора тока Ī на 90º (при индуктивном сопротивлении направление тока опережает от направления напряжения на 90º). От конца вектора Ū_L1 откладываем вектор Ū_L2. Геометрическая сумма векторов Ū_R1, Ū_R2, Ū_L1, и Ū_L2 равна напряжению Ū, приложенному к цепи. Косинус угла φ между вектором Ū и Ī является коэффициентом мощности цепи.

Задача № 3. Цепь переменного тока, схема которой приведена на рис., содержит различные элементы сопротивлений, образующие две параллельные ветви. Определить токи в ветвях; ток в неразветвленной части цепи I; активную мощность Р, реактивную Q и полную мощность цепи S; коэффициент мощности Cos φ, напряжение цепи U, если задано: R₁ = 4 Ом; R₂ = 6 Ом; X_L2 =8 Ом; X_C1 =3 Ом; P₁ = 256 Вт;

Построить в масштабе векторную диаграмму напряжения и токов и объяснить ее построение. Какой элемент надо дополнительно включить в цепь и какой величины, чтобы получить резонанс токов? Начертить схему такой цепи.

Дано: R₁= 4 Ом; R₂= 6 Ом; X_L2=8 Ом; X_C1=3 Ом; P₁ = 256 Вт;

Определить: I - ?; I₁ - ?; I₂ - ?; P - ?; Q - ?; S - ?; Cos φ - ?; U - ?;

Решение:

1. Полное сопротивление первой ветви:

; Ом;

2. Полное сопротивление второй ветви:

; Ом;

3. Ток в первой ветви определим по формуле: Р=I² · R; ;

А;

4. Коэффициент мощности первой ветви:

;

;

5. Активная и реактивная составляющие первой ветви:

А;

А;

6. Так, как имеется две параллельные ветви, то напряжение, приложенное к первой ветви U₁ равно напряжению, приложенное ко второй ветви U₂.

U₁ = U₂ = U;

Из формулы Р=U∙I∙Cos φ₁ определим напряжение, приложенное к цепи U:

; В;

7. Ток во второй ветви I₂:

; А;

8. Коэффициент мощности второй ветви:

;

;

9. Активная и реактивная составляющие второй ветви:

А;

А;

; А;

Коэффициент мощности цепи:

; ;

; ;

P = U∙I∙Cosφ; Р = 40∙8,94∙0,984 = 351,88 Вт; Реактивная мощность цепи:

Q = U∙I∙Sinφ = 40∙8,94∙0,179 = -64,01 Вар;

10. Полная мощность цепи:

S = U∙I = 40∙8,94 = 357,6 ВА;

11. Построение векторной диаграммы (рис.5):

Векторную диаграмму токов строим в масштабе m_I =1 А/см; m_u = 5 В/см. Длины векторов:

L_IА1 = I_A1/m_A= 6,4/1 = 6,4 см;

L_IА2 = I_A2/m_A = 2,4/1 = 2,4 см;

L_IС1 = I_С1/m_A = 4,8/1 = 4,8 см;

L_IL2 = I_L2/m_A = 3,2/1 = 3,2 см;

L_U = U_R1/m_u= 40/5 = 8 см;

От точки О горизонтально вправо проводим вектор напряжения , общий для всех ветвей.

1. От точки О горизонтально вправо проводим вектор активного тока : на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.

2. От конца вектора откладываем вертикально вверх вектор емкостного тока : на емкости ток опережает напряжение на угол 90º.

3. Ток равен геометрической сумме векторов токов и .

4. От точки О горизонтально вправо проводим вектор активного тока : на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.

5. От конца вектора откладываем вертикально вниз вектор индуктивного тока : на индуктивности напряжение опережает ток на угол 90º.

6. Ток равен геометрической сумме векторов токов и .

7. Ток неразветвленной части цепи равен геометрической сумме векторов токов и .

1. Условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость.

Для получения явления резонанса токов в данной схеме, нужно включить во вторую ветвь индуктивное сопротивление X_L2 = 3 Ом (такое же по величине, как и емкостное). В этом случае направление тока совпадет с направлением напряжения.

Ответ: I = 8,94 А; I₁=8А; I₂ = 4А; P =351,88 Вт; Q = -64,01 Вар; S =357,6 ВА; Cos φ = 0,984; U =40 В;

Задача №4.

В четырехпроводную сеть трехфазного тока включены по схеме «звезда», три группы сопротивлений. Характер сопротивлений указан на рис.

Определить R_B, R_C, X_B, I_A, I_B, P_C, Q_A, Q_C, если известно: X_А = 4 Ом, _С = 3 Ом, I_C = 76 A, P_B = 8670 Bт, Q_B = 11550 Вар. Номинальное напряжение U = 660В. Начертить векторную диаграмму цепи и определить ток в нулевом проводе. Построение диаграммы пояснить.

Решение:

1. Определим фазное напряжение из формулы

:

В; U_Ф = U_С = U_В = U_А;

2. По закону Ома для цепи переменного тока определим полное сопротивление Z_С:

Ом;

Из формулы

определим активное сопротивление R_C:

Ом;

3. Из формулы

определим реактивную мощность Q_С:

; ; ;

Вар;

4. Из формулы

определим активную мощность Р_С:

; ; ;

Вт;

Из формулы

определим полное сопротивление Z_A:

Ом;

5. По закону Ома для цепи переменного тока определим ток I_A:

А;

6. Из формулы

определим реактивную мощность Q_А:

; ; ;

Вар;

7. Из формулы

определим полную мощность S_В:

ВА;

8. Из формулы

определим Sinφ_B:

;

9. Из формулы

определим ток I_В:

А;

10. Из формулы

определим сопротивление R_В:

Ом;

Из формулы

определим сопротивление X_В:

Ом;

11. Построение диаграммы.

    1. Выбираем масштаб для напряжений: m_U = 100 в/см; для токов: m_I = 10 А/см;

    2. Построение диаграммы начинаем с векторов фазных напряжений U_A, U_B, U_C, располагая их под углом 120° друг относительно друга.

Длины векторов Ū:

L_UA = L_UB = L_UC = U/ m_U = 380/100 = 3,8 см;

3. Соединив концы фазных напряжений получим треугольник линейных напряжений Ū_AB, Ū_BС, Ū_СА.

4. Ток I_А опережает напряжение U_А на угол 90°;

Длина вектора

L_IA = I_A/m_I = 95/10 = 9,5 см;

5. Ток I_В отстает напряжение U_В на угол φ_В;

Cos φ_В = 0,6; φ_В = 53,1°;

Длина вектора

L_IВ = I_В/m_I = 38/10 = 3,8 см;

6. Ток I_С отстает напряжение U_С на угол φ_С;

Cos φ_В = 0,8; φ_В = 36,8°;

Длина вектора

L_IС = I_С/m_I = 76/10 = 7,8 см;

7. Ток в нулевом проводе равен геометрической сумме трех фазных токов. Измеряя длину вектора тока Ī₀, которая оказалась равной 16,8 см, находим ток

I₀ = L_Io m_I = 16,8 · 10 = 168 А.

Ответ: R_C = 4 Ом; X_B = 8 Ом; I_A = 95 А; I_B = 38 А; P_C = 23104 Вт; Q_A = 36100 Вар; Q_C = 17328 Вар; I₀ = 168 А;