МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Контрольная работа

по курсу «Проектирование автоматических систем»

Проектирование двухстепенного манипулятора с самонастройкой

Выполнила: Губарева О.Е.

Заочная форма обучения

Курс V

Специальность 210100

№ зачетной книжки 607932

Проверил преподаватель: Воронин Ю.Ю.

Москва 2010 г.

1. Уравнение динамики исполнительного механизма двухстепенного манипулятора

Параметры манипулятора для 2-го варианта

М₁,(кг)= 10

М₂,(кг)=15

l₁,(м)=1,8

l₁,(м)=3

Входными сигналами манипулятора служат управляющее напряжение на приводе. Выходными сигналами служат обобщенные координаты q.

М₁, М₂ – масса первого и второго звена;

l₁, l₂ – длины приводов.

Динамика данного исполнительного механизма описывается уравнением:

А(q)+ B(q,) + G(q) = [H•м]

q = - обобщенные координаты манипулятора;

= - управление (момент нагрузки приводов всех подвижностей).

А(q) – матрица инерции (2×2);

G(q) – матрица гравитационных сил;

B(q,) – матрица моментов скоростных сил;

- ускорение ротора.

B(q,) =

B₁(q) и B₂(q) – симметричные матрицы 2×2;

G(q) – моменты гравитационных сил (сил тяжести).

Выражения для матриц

1. Для матрицы А(q) = , где

Элемент А₁₁ определяет момент инерции нагрузки на первый привод манипулятора

А₁₁ = Н₁+Н₂+Н₃+М₂ · l₁ ·l₂ · Cos q₂, где

Н₁ =

Н₁ = (10 · 1,8² )/4= 8,1

Н₂ = М₂ l₁²

Н₂ = 15 · 1,8² = 48,6

Н₃ =

Н₃ = (15 · 3² ) / 4 = 33,75

А₁₁ = 8,1 + 48,6 + 33,75 + 15 ·1,8 ·3 · Cos q₂ = 90,45 + 81 Cos q₂

А₁₂ = А₂₁ = Н₃ + ½М₂ l₁ l₂ Cosq₂ – определяют взаимовлияние друг на друга двух степеней подвижности.

А₁₂ = А₂₁ = 33,75 + ½(15 · 1,8 · 3) · Cos q₂ = 33,75 +40,5 Cos q₂

А₂₂ = Н₃ – определяет момент инерции на второй привод;

А₂₂ = 33,75

А(q) =

2. Для матрицы B₁(q) и B₂(q):

B₁(q) = ,

где

= -½ М₂ l₁ l₂ Sin q₂

= = - ½ (15 ·1,8 ·3) Sin q₂ = - 40,5 Sin q₂

B₁(q) = ,

B₂(q) = ,

= ½ М₂ l₁ l₂ Sinq₂

= 40,5 Sin q₂

B₂(q) =

При расчете управления потребуются собственные числа:

матриц В₁(q) и В₂(q). Эти матрицы симметричные.

Собственные числа находят из уравнения:

det = 0

B₁(q) - E = - =

-

- =

=

det = = (40,5 Sin q₂ + ) –

1640,25 Sin²q₂ = +40,5 Sinq₂ - 1640,25 Sin²q₂

Решим уравнение:

+40,5 Sinq₂ - 1640,25 Sin²q₂ = 0

= 25 Sinq₂

= -65,5 Sinq₂

Таким образом найдены собственные числа для матрицы В₁(q).

B₂(q) - E = - = - =

=

det = = (40,5 Sinq₂ + )

(40,5Sinq₂ + ) = 0

40,5 Sinq₂ +

= - 40,5 Sinq₂

= 0

= - 40,5 Sinq₂

Таким образом найдены собственные числа для матрицы В₂(q).

Для моментов всех тяжестей матрица моментов гравитационных сил G(q):

а) для первого привода:

G₁(q) = - момент тяжести для первого привода

G₁(q) =

=352,8·Cosq₁+220,5·Cos(q₁+q₂)

G₂(q) = = 220,5Cos (q₁ + q₂)

Выразим частные производные:

2. Управление двухстепенного манипулятора с самонастройкой по эталонной модели

Требуется сформировать такое управление , при котором динамика манипулятора описывалась бы уравнением желаемой модели:

Управление описывается уравнением:

= u_Л + d, где

Здесь q_d(t) – заданная траектория движения манипулятора в обобщенных координатах.

u_Л – линейная составляющая управления для упрощенной модели манипулятора;

d – сигнал самонастройки, позволяющий обеспечить нужное поведение системы для полной модели объекта управления.

Для траекторных задач, где известна траектория q_d(t) системы, можно желаемую модель выбрать так, чтобы не было ошибки слежения по траектории:

u_Л =, где

А₀ – постоянная матрица 2×2

= - вход

k_V = const; k = const – параметры желаемой модели.

Для формирования сигнала самонастройки вводится эталонная модель системы:

, где

- выходной сигнал скорости эталонной модели.

- ускорение эталонной модели.

В системе управления формируется сигнал ошибки по скорости , несущий информацию об отклонении движения манипулятора от заданной эталонной модели. Этот сигнал используется в блоке самонастройки (БСН) для формирования дополнительного сигнала управления. БСН обеспечивает поддержание .

Таким образом, ошибка системы относительно эталонной модели е:

Уравнение сигнала самонастройки d_i:

, здесь

с_i (t)sign е_i – разрывной сигнал переменной амплитуды, обеспечивающий наличие эталонного режима, в котором поддерживается е_i = 0.

Интегрирующая составляющая g_i(t)введена для компенсации гравитационных моментов G_i(q).

За счет регулировки коэффициентов с_i (t) в зависимости от составляющих системы можно осуществлять управление с малыми амплитудами разрыва составляющих в сигнале самонастройки. Причем, целесообразно получить с_i → 0 при приближении к состоянию равновесия.

Тогда становится возможным обеспечить невысокие потери мощности приводов и нормальный тепловой режим их работы при управлении самонастройки.

Возьмем следующий закон формирования сигналов самонастройки:

, где

, i = 1, 2.

Структурная схема самонастраивающейся системы

- передаточная функция системы.

3. Расчет параметров системы

Задается положение манипулятора:

q₁ = 90⁰ q₁

q₂ = 90⁰

q₂

Для этого положения вычисляется А(q), которая задает значение А₀:

А₀ = А(q)

q₁ = 90⁰

q₂ = 90₀

Берется второе положение манипулятора максимально удаленное от первого положения:

q₁ = 180⁰

q₂ = 0₀

q₁

А₀ = =

Для второго положения рассчитывается А(q).

А(q) = =

А(q) - А₀ = - =

, i = 1, 2.

Рассчитаем B₁(q) и B₂(q) для первого положения (для второго положения они нулевые).

B₁(q) = =

B₂(q) = =

Рассчитаем , i = 1, 2.

= 25

=-65,5

>, следовательно

25

= 0

= -40,5

< , следовательно

40,5

Рассчитаем :

, i = 1, 2.

=-352,8

>, следовательно

= 352,8

== 0, следовательно

= 0

Таким образом, коэффициент настройки , учитывающий изменение матрицы манипулятора А(q):

= (40,5; 40,5)

Коэффициент настройки , учитывающий наличие моментов скоростных сил:

= (25; 40,5)

Коэффициент настройки , учитывающий скорость изменения моментов сил тяжести при движении манипулятора:

= (352,8; 0)