РОЗРАХУНОК ЛIНIЙНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА СИМВОЛІЧНИМ МЕТОДОМ В РЕЖИМІ СИНУСОЇДАЛЬНОГО СТРУМУ

Змiст i порядок виконання завдання

Задано схему електричного кола Рис. 1

рис 1

Де: L1= 1 мГН = 0, 001 =10^-3 Гн.

L2 = 10 мГн = 0.01 = 10^-2 Гн.

С = 1 мкФ = 0,000001= 10^-6 Ф.

R = 1кОм = 1000= 10³ Ом.

Вхідна напруга:

u(t)=10 cos(ωt+30⁰) В.

f₁=1 кГц = 1000=10³ Гц. f₂=100кГц = 100 000 = 10⁵ Гц.

Завдання:

1. Розрахувати напруги i струми ЕК в режимi синусоїдального струму на частотах f₁ та f₂, Розрахунки провести символічним методом.

2. Розрахувати повну потужність (S) електричного кола, та коефіцієнт потужності Cos(φ).

3 Намалювати трикутник потужностей.

Розв’язок:

- Позначимо на схемі напрямки протікання струмів, які підлягають розрахунку.

- Позначимо на схемі комплексні опори елементів Z_L2 Z_C Z _L1

- Представимо задану вхідну напругу:

а) у вигляді комплексної амплітуди (тобто показниковій формі):

б) та у алгебраїчній комплексній формі, використавши для цього формулу Ейлера → е ^jφ = cos φ + j sinφ, ) і будемо мати:

.

Проведемо розрахунки за умов :

f₁ = 1000 Гц.

ω₁ = 2π f₁ = 6.28· 1000 = 6280 рад/сек.

1.Розрахунок комплексних опорів елементів схеми :

(1000 + j0) = Ом.

Z_L2 = (0+j X_L2) = (0+j ω₁ L2) = (0 + j 6280 · 0.01)= (0 + j 62,8) = Ом.

Z_C = (0+j X_C) =

= (0- j 159) =Ом.

Z _L1 =(0+j X_L1) = ( 0 +j ω₁ L1) = ( 0 +j · 0.001) = (0 + j 6.28) = Ом.

2. Розрахунок комплексного еквівалентного опору (Z =Zекв) заданої схеми

Так як задане Е.К. драбинної (щаблевої) структури, то шуканий опір буде розраховуватися методом еквівалентних перетворень заданої схеми.

2.1 Розрахунок комплексного опору Z1, як послідовне з’єднання елементів R та L₂ і відповідно послідовне з’єднання комплексних опорів Z_R та Z_L2.

Z1= Z_R + Z_L2= (1000 + j0)+(0 + j62.8) =( 1000 + j0 + 0 + j62.8) =

= (1000 + j62.8) Ом.→ алгебраїчна форма комплексного опору (Ком.Оп.).

Представимо Z1 в показниковій формі для чого використаємо вираз:

Тоді задану схему можна представити у вигляді рис. 2.

Рис. 2

Примітки:

а) якщо кут α знаходиться у першій чверті комплексної площині, тоді

розрахунок аргумента ведеться за формулою:

б) якщо кут α знаходиться у четвертій чверті комплексній площині, тоді розрахунок аргумента ведеться за формулою:

в) якщо кут α знаходиться у другій чверті комплексній площині, тоді розрахунок аргумента ведеться за формулою:

в) якщо кут α знаходиться у третій чверті комплексній площині, тоді розрахунок аргумента ведеться за формулою:

2.2 Розрахунок комплексного опору Z2, як паралельне з’єднання елементів C та Z1 і відповідно паралельне з’єднання комплексних опорів Z_с та Z1

Розрахунок іншим способом:

Тоді задану схему можна представити у вигляді рис. 3.

Рис. 3

2.3 Розрахунок комплексного еквівалентного опору (Z =Zекв) заданої схеми, як послідовне з’єднання елементі L₁ та Z2 і відповідно послідовне з’єднання комплексних опорів Z_L1та Z2

В алгебраїчній формі:

Z= Z_екв= Z_L1+ Z2=(0 + j 6.28) + (25.049 – j156.737)= (25.097 – j150.454) Ом.

В показниковій формі:

3. Розрахунок амплітуди вхідного комплексного струму заданої схеми:

→ спряжений струм

Представимо вхідний комплексний струм в алгебраїчній формі, використовуючи для цього формулу Ейлера: е ^jφ = cos φ + j sinφ, та виходячи з того, що cos(- φ)= sinφ будемо мати:

= 0,065 ·cos110⁰31^׳ + j 0,065·sin110⁰31^׳ =

= 0,065 ·cos(90⁰+20⁰31^׳) + j 0,065·sin(90⁰+20⁰31^׳) =

= 0,065 ·(-sin20⁰31^׳) + j 0,065·cos20⁰31^׳ =

= 0,065 · (- 0,35) + j 0,065· 0,93657 =

= -0,02299 + j 0.06

4. Розрахунок комплексної амплітуди напруги на елементі L₁

5. Розрахунок комплексної амплітуди напруги та струму на елементі C :

В.

A.

6. Розрахунок комплексної амплітуди напруги та струму на елементі R:

Перевірка виконання рішень за 1^м законом Кірхгофа:

( -0,0229 + j 0.06)- -=0

Перевірка виконання рішень за 2^м законом Кірхгофа:

--=0

7. Розрахунок повної потужності (S) електричного кола, та коефіцієнта потужності Cos(φ)

Повна потужність ЕК

Активна потужність

Реактивна потужність

Тоді коефіцієнт потужності .

8 Трикутник потужностей:

Проведемо розрахунки за новими умовами :

f₂ = 100 000 Гц.

ω₂ = 2π f₂ = 6.28· 100 000 = 628000 рад/сек.

1.Розрахунок комплексних опорів елементів схеми :

Z_R = (R + j0)= (1000 + j0) = 1000 e ^j0 Ом.

Z_L2 = (0+j X_L2) = (0+j ω₁ L2) = (0 + j 628000 · 0.01)= (0 + j 6.28) = 6.28 e ^j90 Ом.

Z_C = (0+j X_C) =

= (0- j 1.59) =1.59e ^-j90 Ом.

Z _L1 =(0+j X_L1) = ( 0 +j ω₁ L1) = (0 + j 628) = 628 e ^j90 Ом.

Подальші розрахунки проводяться аналогічно попереднім, але з новими розрахованими вище данними.

Векторна діаграма потужностей представлені на рисунку 5.

Рис. 5

Проведемо розрахунки за новими умовами :

f₂ = 100 000 Гц.

ω₂ = 2π f₂ = 6.28 100 000 = 628000 рад/сек.

Використання методу комплексних амплітуд для розрахунку ЕК

ЗАДАЧА № 1

Скласти дві напруги, які змінюються за гармонічним законом з однією і тією ж частотою: w

U₁(t)=10cos(ωt+65^o);

U₂(t)=15cos(ωt+23^o)

Рішення:

Перейдемо від миттєвих значень напруг U₁(t) та U₂(t) до відповідних комплексних амплітуд і додамо їх:

U₁(t)=10cos(ωt+65^o)→Ů_m1=10e ^j65º

U₂(t)=15cos(ωt+23^o)→Ů_m2=15e ^j23º

Ů_m=10e ^j65º+15e ^j23º

Перейдемо від показового Ů_m вигляду запису до алгебраїчного:

Ů_m=4,24+j9,1+13,8+j5,86=18,04+j14,96

Переведемо знайдене комплексне число в показову форму:

Запишемо миттєве значення сумарної напруги:

U_∑(t)=23,4cos(ωt+39^o40')

ЗАДАЧА № 2

Дано: е(t)=12 cos(10³t+40) B; R=300 Ом; C=2,5 мкФ; Визначити:│Z│та побудувати трикутник опорів

Рис. 1

Рішення:

Рис. 2

ЗАДАЧА № 3

Дано: і(t)=10 cos(10⁶t+60^о) ; L=1 мГн; R=250 Ом; C=4 нФ; Визначити: Модуль еквівалентної провідності кола. Записати еквівалентну провідність в показниковому вигляді

Рис. 3

Рішення:

Визначення параметрів потужності при гармонічній дії на коло

ЗАДАЧА № 4

Пересувна електростанція, яка використовується при проведенні ремонтних та регулювальних робіт, має середню потужність Р=12 кВт.

Визначити повну та реактивну потужність і побудувати трикутник потужностей, якщо відомо, що при підключених споживачах сos φ=0,8.

Рішення:

Оскільки , то , тому повна потужність

Реактивна потужність Q може бути розрахована двома способами:

1. розрахувати одним з методів sin φ (φ=arccos 0,8, а звідсіля визначається sin φ)

а потім розрахувати Q = S·sin φ = 15 ·0,6 =9 кВАР.

2. Оскільки , то

Реактивна потужність - це потужність, якою обмінюються двічі за період генератор та навантаження і яка не виконує корисної роботи, а витрачається на нагрів з’єднувальних кабелів, перемикаючих та комутуючих приладів та обладнання. Тому на практиці необхідно вживати міри для її зменшення.

Трикутник потужності має вигляд (рис. 4)

Рис. 4

В кінці відпрацювання другого навчального питання курсанти для перевірки отриманих практичних навичок розрахунку ЕК методом комплексних амплітуд виконують пісьмову самостійну роботу згідно одержаному варіанту. Час на її виконання 10-12 хвилин.

При проведені підсумків заняття відмітити ступінь досягнення мети заняття, кращих курсантів та найбільш слабо підготовлених, дати завданя щодо самостійної роботи. Оцінки за заняття виставити після перевірки письмової самостійної роботи (з урахуваням відповідей в ході заняття).