Контрольная работа Алгебра и начало анализа
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Алгебра и начала анализа. | |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
| Ответ |
Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k
0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.
Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; +
).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).
Свойства функции y = ax2 при а < 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (-
; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].
И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n=
. Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.
Ответ 3
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где
- коэффициент обратной пропорциональности.
Область определения функции
- есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е.
.
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.
№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.
1. Функция y = ax при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х < 0, то 0< ax <1;
2. Функция y = ax при 0< а <1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< ax <1;
е) если х < 0, то ax > 1.
№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0<x<1, то loga x < 0;
е) если x > 1, то loga x > 0.
Свойства функции y = loga x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 < x < 1, то loga x > 0;
е) если x > 1, то loga x < 0.
№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех
;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
sin(x) = 0 при x = ;
sin(x) > 0 для всех ;
sin(x) < 0 для всех ;
функция возрастает на ;
функция убывает на .
№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех
;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
cos(x) = 0 при ;
cos(x) > 0 для всех ;
cos(x) > 0 для всех ;
функция возрастает на
;
функция убывает на
№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).
область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
tg(x) = 0 при х = ;
tg(x) > 0 для всех ;
tg(x) < 0 для всех ;
функция возрастает на .
№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )
область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
ctg(x) = 0 при x = ;
ctg(x) > 0 для всех ;
ctg(x) < 0 для всех ;
функция убывает на .
Ответ № 10
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d.
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2)
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)
Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q.
Если q > 0 (
), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: ,
(3)
Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. ,
(4)
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и
. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию
, называется предел суммы n первых ее членов при
.
Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид:
Частные случаи:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
формула для корней уравнения sin2(x) = a, где , имеет вид: x=
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х = ;
sin(x) = -1, если x = >;
sin(x) > 0, если ;
sin(x) < 0, если .
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид:
.
Частные случаи:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где , имеет вид:
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если ;
cos(x) = -1, если x = ;
cos(x) = 1, если x = ;
cos(x) > 0, если ;
cos(x) > 0, если .
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
Частные случаи:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, .
Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где , имеет вид:
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Важно знать, что:
tg(x) > 0, если ;
tg(x) < 0, если ;
Тангенс не существует, если .
№ 15
Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов ,
,
,
, выражаются через значения sin
, cos
, tg
и ctg
.
Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Функция | Аргумент | |||||||
| | | | | | | | |
sin | cos | cos | sin | -sin | -cos | -cos | -sin | sin |
cos | sin | -sin | -cos | -cos | -sin | sin | cos | cos |
tg | ctg | -ctg | -tg | tg | ctg | -ctg | -tg | tg |
ctg | tg | -tg | -ctg | ctg | tg | -tg | -ctg | ctg |
Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов ,
к функциям угла
название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов ,
к функциям угла
название функции сохраняют;
б) считая острым углом (т. е.
), перед функцией угла
ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов
,
,
.
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла
, если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n +
. положительна, когда
- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол
(рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
и
. Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и
. По определению скалярного произведения векторов:
= х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов
и
. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos , y1 = R sin
, х2 = R cos
, y2 = R sin
.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:= R2cos
cos
+ R2sin
sin
= R2(cos
cos
+ sin
sin
).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:=
cos
BOC = R2cos
BOC.
Угол ВОС между векторами и
может быть равен
-
(рис.1),
- (
-
) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
BOC = cos (
-
). Поэтому
= R2 cos (
-
).
Т.к. равно также R2(cos
cos
+ sin
sin
), то
cos( -
) = cos
cos
+ sin
sin
.
cos( +
) = cos(
- (-
)) = cos
cos(-
) + sin
sin(-
) = cos
cos
- sin
sin
.
Значит,
cos( +
) = cos
cos
- sin
sin
.
Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin( +
) = cos(
/2 - (
+
)) = cos((
/2 -
) -
) = cos(
/2 -
) cos
+ sin(
/2 -
) sin
= sin
cos
+ cos
sin
.
Значит,
sin( +
) = sin
cos
+ cos
sin
.
sin( -
) = sin(
+ (-
)) = sin
cos(-
) + cos
sin(-
) = sin
cos
- cos
sin
.
Значит,
sin( -
) = sin
cos
- cos
sin
.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2
, tg 2
, ctg 2
через тригонометрические функции угла
.
Положим в формулах
sin( +
) = sin
cos
+ cos
sin
,
cos( +
) = cos
cos
- sin
sin
,
,
.
равным
. Получим тождества:
sin 2 = 2 sin
cos
;
cos 2 = cos2
- sin2
= 1 - sin2
= 2 cos2
- 1;
;
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2
- sin2
через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2 = 1 - sin2
, cos 2
= 2 cos2
- 1.
Если в данных соотношениях положить =
/2, то получим:
cos = 1 - 2 sin2
/2, cos 2
= 2 cos2
/2 - 1. (1)
Из формул (1) следует, что (2),
(3).
Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим (4).
В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.
Полезно знать следующую формулу: .
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin
, положим
= x + y и
= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin
= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y,
= x - y относительно x и y, получим х =
, y =
.
Следовательно,
sin + sin
= 2 sin
cos
.
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin
= 2 cos
sin
;
cos + cos
= 2 cos
cos
;
cos + cos
= -2 sin
sin
.
№ 20
Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить
. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение
=
- q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: стоит вместо x и
- q - вместо m. Находим
=
. Отсюба х = -
. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если
< q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если
= q . Возращаемся к обычному виду
.
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.
№ 21
Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу (где b > 0, a > 0 и a
1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
;
;
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y =
.
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = =
.
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.
№ 22
Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению
аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так:
.
Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен
. В этом состоит геометрический смысл производной.
Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
.
Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и.
Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и.
Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и.