Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

а) ровно 2 изделия;

б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:

Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

m – кол-во благоприятных исходов события А;

n – количество всех возможных исходов;

Б)

Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,

;

– кол-во благоприятных исходов события ;

– кол-во благоприятных исходов события ;

– кол-во благоприятных исходов события ;

n’ – количество всех возможных исходов;

Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:

где А – взятие хорошей детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку небракованной детали.

; (т. к. ) = 1% = 0.01)

;

;

Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:

где А’ – взятие бракованной детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку бракованной детали.

; (согласно условию)

;

;

Согласно формуле Байеса:

Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.

Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:

где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.

.

Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.

Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.

Магазин №1	Магазин №2
20,35	20,01
20,60	23,55
32,94	25,36
37,56	30,68
40,01	35,34
25,45	23,20

Пусть, a₁ – товарооборот в 1 магазине, a₂ – товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н₀ и Н₁:

Н₀: a₁ = a₂

Н₁: a₁ ≠ a₂

	xi	xi-a1	(xi-a1)2	yi	yi-a2	(yi-a2)2
	20,35	-9,135	83,44823	20,01	-6,35	40,32
	20,6	-8,885	78,94323	23,55	-2,81	7,896
	32,94	3,455	11,93703	25,36	-1	1
	37,56	8,075	65,20563	30,68		18,66
	40,01	10,525	110,7756	35,34	4,32	80,64
	25,45	-4,035	16,28123	23,20	8,98	9,98

∑

176,91

366,591

158,14

-3,16

158,496

a₁ = = = 29,485, a₂ = =

₁ = = 73.32

₂ = =

n ₁ = n ₂ = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:

Z_В = * =

Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n₁+n₂-2)= 2.228.

Следовательно, так как Z_В=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н₀, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

1. Построить гистограмму частот.

2. Сформулировать гипотезу о виде распределения.

3. Найти оценки параметров распределения.

4. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.

Интервал	Частота случайной величины
1 – 2	5
2 – 3	8
3 – 4	19
4 – 5	42
5 – 6	68
6 -7	44
7 – 8	21
8 – 9	9
9 – 10	4

1. Гистограмма частот:

2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:

№	Интервалы	Частота, mi	Середина Интервала, xi	xi*mi	xi2*mi
1	1–2	5	4,5	7,5	112,5
2	2–3	8	2,5	20	50
3	3–4	19	3,5	66,5	232,75
4	4–5	42	4,5	189	350,5
5	5–6	68	5,5	374	2057
6	6–7	44	6,5	286	1859
7	7–8	21	7,5	157,5	1181,25
8	8–9	9	8,5	76,5	650,25
9	9–10	4	9,5	38	361
∑		n=220		1215	7354,25

Найдем оценки параметров распределения:

= = 5,523

²= ² = 2,925 = = 1,71

4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.

№	Интервалы	Частоты, mi	t1	t2	Ф(t1)	Ф(t2)	pi
1	-∞ – 2	5	-∞	-2,06	0	0,0197	0,0197
2	2–3	8	-2,06	-1,47	0,0197	0,0708	0,0511
3	3–4	19	-1,47	-0,89	0,0708	0,1867	0,1159
4	4–5	42	-0,89	-0,31	0,1867	0,3783	0,1916
5	5–6	68	-0,31	0,28	0,3783	0,6103	0,232
6	6–7	44	0,28	0,86	0,6103	0,8051	0,1948
7	7–8	21	0,86	1,45	0,8051	0,9265	0,1214
8	8–9	9	1,45	2,03	0,9265	0,9788	0,0523
9	9-∞	4	2,03	∞	0,9788	1	0,0212

Где: t₁= , t_{2 =} , a_i, b_i – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения нормального закона.

p_i = Ф(t₂) – Ф(t₁)

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений:

№ интервала	pi	mi	n* pi
1 2	0,0708	13	15,57	0,4242
3	0,1159	19	25,5	1,6569
4	0,1916	42	42,15	0,0005
5	0,232	68	51,04	5,6336
6	0,1948	44	42,86	0,0303
7	0,1214	21	26,71	1,2207
8 9	0,0735	13	16,17	0,6214
∑				9,5876

Согласно расчетам, = = 9,5876

Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем _1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.

_0,95(7–2–1) = _0,95(4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

а) выборочное значение коэффициента корреляции;

б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение

Формулируем гипотезы Н₀ и Н₁:

Н₀: a₁ = a₂

Н₁: a₁ ≠ a₂

	xi	xi-a1	(xi-a1)2	yi	yi-a2	(yi-а2)2	xi*yi
	4,40	-0,476	0,2266	3,27	-0,47	0,2209	14,388
	5,08	0,204	0,0416	4,15	0,41	0,1681	21,082
	4,01	-0,866	0,7499	2,95	-0,79	0,6241	11,829
	3,61	-1,266	1,6027	1,96	-1,78	3,1684	7,075
	6,49	1,614	2,605	5,78	2,04	4,1616	37,512
	4,23	-0,646	0,4173	3,06	-0,68	0,4824	12,944
	5,79	0,914	0,8354	4,45	0,71	0,5041	25,765
	5,52	0,644	0,4147	4,23	0,49	0,2401	23,349
	4,68	-0,196	0,0384	3,54	-0,2	0,04	16,567
	4,95	0,074	0,0055	4,01	0,27	0,0729	19,849
∑	48,76	-	6,9371	37,4	-	9,6626	190,36

a₁ = = 4,876, a₂ = = 3,74

₁ = = 0,7708

₂ = = 1,0736

n ₁ = n ₂ = n =6

а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции

=

б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

(n-2)=2,306

Вычислим величину

=

получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

α x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 0.01 3,85 8,87 21,26 6,72 0,29 15,48 7,48 0,33 0,34 1,37 Решение а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу. xi mi mixi mixi2 3,85 1 3,85 14,822 8,87 1 8,87 78,677 21,26 1 21,26 451,987 6,72 1 6,72 45,158 0,29 1 0,29 0,0840 15,48 1 15,48 239,630 7,48 1 7,48 55,950 0,33 1 0,33 0,109 0,34 1 0,34 0,115 1,37 1 1,37 1,877 ∑65,99 10 65,99 888,409 Математическое ожидание: m== Дисперсия: δ2== б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности. Определим из таблиц значение , где ; Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания: 0,271<M<12.927 Доверительный интервал для дисперсии имеет вид: Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79. 1. Курсовая на тему Государственный бюджет 5 2. Курсовая Охрана памятников истории и культуры в России 3. Реферат Принципы толерантности в политической жизни 4. Курсовая на тему Графічне та геометричне моделювання та інтерактивні системи 5. Реферат на тему Государственный строй Руси периода Золотой Орды 6. Реферат Технологический и прочностной расчёт футеровок ёмкостного цилиндрического оборудования 7. Реферат на тему Dubliners Counterparts By James Joyce Essay Research 8. Реферат на тему History Of America Essay Research Paper In 9. Диплом на тему Работа педагога организатора по профилактике компьютерной зависимости 10. Кодекс и Законы Особенности налоговых систем развивающихся стран Африки Азии и Латинской Америки Bukvasha Правила Контакты