Контрольная работа

Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

Векторная алгебра

Вариант №21

1. Найти скалярное произведение .

2. При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

3. Для прямой М₁М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М₁(0,-3) М₂(2,1).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁=k(x-x₁),

значит для прямой М₁М₂

у+3=kx

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

значит для прямой М₁М₂

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

Здесь

Уравнения прямой в отрезках для прямой М₁М₂

;

4. В треугольнике М₀М₁М₂ найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М₀, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М₁М₂.(М₀(-1,-2); М₁(0,-3); М₂(2,1)).

Найдём координаты точки М₃, координаты середины стороны М₁М₂:

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М₀М₃:

Найдём уравнение прямой М₁М₂:

Из условия перпендикулярности (k₂=-1/k₁) следует, что k₂=1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁=k(x-x₁),

тогда уравнение для высоты примет вид:

y+1= (x+2)/2

или

x+2y=0.

Расстояние от точки М(x₀,y₀) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М₀(-3,-5) до прямойМ₁М₂, уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).

Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).

Уравнение прямой EF:

y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.

5. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

(1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))

(2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

F₁(c;0); F₂(-c;0).

т.к.

Координаты центра: O’(-3,-1).

6. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:

Линейная алгебра

Матрицы

Ответы на вопросы

1. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

2. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: .

Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:

3. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

2. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

Задача 1.

X4-свободная переменная

r = 3

система совместима.

Задача 2

т.к. detA0, то матрица является невырожденной.

А₁₁=3;А₁₂= -1;А₁₃= -10;А₂₁=0;А₂₂=0;А₂₃= -1;А₃₁=0;А₃₂= -1;А₃₃= -1.

;

.

.

.

5. Найти скалярное произведение .

6. При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

7. Для прямой М₁М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М₁(2,-2) М₂(1,0).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁=k(x-x₁),

значит для прямой М₁М₂

у+2=k(x-2)

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

значит для прямой М₁М₂

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

здесь

Уравнения прямой в отрезках для прямой М₁М₂

;

y=-2x+2

8. В треугольнике М₀М₁М₂ найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М₀, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М₁М₂.(М₀(-3,-5); М₁(2,-2); М₂(1,0)).

Найдём координаты точки М₃, координаты середины стороны М₁М₂:

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М₀М₃:

Найдём уравнение прямой М₁М₂:

Из условия перпендикулярности (k₂=-1/k₁) следует, что k₂=-1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁=k(x-x₁),

тогда уравнение для высоты примет вид:

y+5= -(x+3)/2

или

x+2y+13=0.

Расстояние от точки М(x₀,y₀) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М₀(-3,-5) до прямойМ₁М₂, уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).

Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).

Уравнение прямой EF:

y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.

9. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

(1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))

(2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

F₁(c;0); F₂(-c;0).

т.к.

Координаты центра: O’(-2,2).

10. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:

Ответы на вопросы

4. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

5. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:

.

Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:

6. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

3. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

4. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

Задача 1.

r=2; система совместима.

х 3,x 4 – свободные переменные

;.

Задача 2.

т.к. detA0, то матрица невырождена.

А₁₁=-1; А₁₂=-3; А₁₃=-1;А₂₁=-3;А₂₂=1;А₂₃=2;А₃₁=2;А₃₂=-1;А₃₃= -3.

.