Контрольная работа

Основы теории вероятности

Задание 1

Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.

Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”

p₁ = 0.7

p₂ = 0.8

p₃ = 0.9

p₄ = 0.7

p₅ = 0.8

Проверка теоремы с помощью программы:

Текст программы:

Program Cep;

Uses CRT;

Const c=5;

Var op,i,j,n,m:integer;

a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;

p:array[1..c] of real;

x:array[1..c] of byte;

Begin

ClrScr;

Randomize;

p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;

Writeln(' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln;

For op:=1 to 20 do Begin

n:=op*100;m:=0;

Write(' n=',n:4);

For i:=1 to n do Begin

For j:=1 to c do Begin

x[j]:=0;

a:=random;

if a<p[j] then x[j]:=1;

End;

rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);

If rab>0 then m:=m+1;

End;

pp:=m/n;

writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);

End;

ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp:=ppp1-ppp2;

Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);

Readln;

End.

Результаты работы программы

Опытов	М-сходы	Вер-ть
n= 200 n= 300 n= 400 n= 500 n= 600 n= 700 n= 800 n= 900 n=1000 n=1100 n=1200 n=1300 n=1400 n=1500 n=1600 n=1700 n=1800 n=1900 n=2000 n= 100	M= 163 M= 247 M= 337 M= 411 M= 518 M= 591 M= 695 M= 801 M= 908 M= 990 M= 1102 M= 1196 M= 1303 M= 1399 M= 1487 M= 1576 M= 1691 M= 1782 M= 1877 M= 94	P*= 0.815 P*= 0.823 P*= 0.843 P*= 0.822 P*= 0.863 P*= 0.844 P*= 0.869 P*= 0.890 P*= 0.908 P*= 0.900 P*= 0.918 P*= 0.920 P*= 0.931 P*= 0.933 P*= 0.929 P*= 0.927 P*= 0.939 P*= 0.938 P*= 0.939 P*= 0.940

Вер. в опыте: p= 0.939

Проверка в ручную:

Первый способ:

Второй способ:

Вывод: Теорема Бернулли верна

Задача № 2

Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8)

Исходы:

1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1

1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2

1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3

n = 36 – кол-во комбинаций

1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4

1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5

1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6

а). Сумма чисел не превосходит N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 26

Вероятность

б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16

Вероятность

в). Произведение числа очков делится на N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 5

Вероятность

Задача № 3

Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i - го сорта равно n_i, i = 1, 2, 3, 4.

Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m₁ первосортных, m₂, m₃ и m₄ второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.

Задача № 4

В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

k = 11, n = 4

а) Все на разных:

n = 11⁴ = 14641

б) Хотя бы два на одном:

Задача № 5

В двух партиях k₁ и k₂% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.

k₁ = 86% , k₂ = 32%

A₁ - доброкачественные в 1-й партии

A₂ - доброкачественные в 2-й партии

а). одно бракованное:

б). два бракованных:

в). Одно доброкачественное и одно бракованное:

Задача № 6

Из 1000 ламп n_i принадлежат i – партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

n₁ = 700 n₂ = 90 n₃ = 210

p₁ = 0.06 p₂ = 0.05 p₃ = 0.04

Пусть:

H₁ – взяли из 1-й партии

H₂ – взяли из 2-й партии

H₃ – взяли из 3-й партии

Пусть B_i – брак из i - й партии =>

Так как

то =>

Задача № 7

В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.

k = 8, l = 7, m = 3, n = 3

Пусть:

H₁ – все чистые марки

H₂ – 1-чистая, 2-гашёные

H₃ – 2-чистые, 1-гашёная

H₄ – все гашёные

По теореме о полной вероятности:

Задача № 8

В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет m_i% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n₁% первосортных. Куплено одно изделие.

Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом.

m₁ = 60 m₂ = 20 m₃ = 20

n₁ = 70 n₂ = 80 n₃ = 90

Пусть:

H₁ – поставил первый завод

H₂ – поставил второй завод

H₃ – поставил третий завод

Пусть: А – первосортных изделий =>

По формуле Бейсса:

=> так как i = 3

Задача 9

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

p = 0.3 - вероятность на 1 билет

n = 15 - кол-во купленных билетов

Формула Бернули :

m = 1,2,3,4,…..,n

Производная функция :

q = 1 – p

Наивероятнейшее число выигравших билетов

=>

Наивероятнейшее число выигравших билетов : m₀ = 4

- соответствующая вероятность

Задача № 10

Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.

р = 0.007 - вероятность “сбоя” при вызове

n = 1000 - кол-во вызовов

m = 7 - кол-во “сбоев”

По закону Пуассона:

=>

Задача № 11

По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ.

Биномиальный закон:

n = 3

p = 0.67

=>

=>

Литература

1. Е.С. Венцель “Теория вероятности”

2. В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР”

3. Курс лекций по Теории вероятности