1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию

РЕШЕНИЕ

Испытание: знак качества будет присвоен всем изделиям.

Событие: А=07 – присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию; тогда Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.

а) Р_{всем изделиям}= Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р_{всем изделиям}=0,7*0,9*0,8=0,504.

в) Р_{только одному}=Р(А,В,С или А,В,С или А,В,С)

Р_только._одному =0,7*0,1*0,2+0,3*0,9*0,2+

+0,3*0,1*0,8=0,014+0,054+0,024=0,092

с) Р_{хотя бы одному}=1 - Р_{ни одному}=1-Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р_{хотя бы одному}=1-0,3*0,1*0,2=1-0,006=0,994.

11. Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность.

РЕШЕНИЕ

Обозначим событие А – поступила заявка

По условию р=Р(А)=0,5

q=P(A)=1-0,5=0,5

n= 9 к=6

а) Так как число повторных испытаний n= 9, применим формулу Бернулли.

Р9(6)=*

б) К1=5, К2=7

Р9(5≤m≤7)=P₉(5)+P₉(6)+P₉(7)

Р9(5)=*

Р9(7)=*

Р9(5≤m≤7)=0.246+0.0702+0.16=0.4762

в) Р_n(событие наступит хотя бы 1 раз)=1-qⁿ

Р₉=1-0,5⁹=1-0,001953=0,998

г) np-q≤K₀≤np+p

9*0.5-0.5≤K₀≤9*0.5+0.5

4≤K₀≤5 K₀=5

K₉(5)=*0.5⁵*0.5^9-5=

Ответ: а) 0,16 б) 0,4762 в) 0,998 г) K₀=5 Р(K₀)=0,246.

21. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:

Х	8	4	6	5
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Решение

а) Найдем математическое ожидание Х:

М(Х)=8*0,2+4*0,5+6*0,2+5*0,1=5,3.

б) Для нахождения дисперсии запишем закон распределения Х²:

Х2	64	16	36	25
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Найдем математическое ожидание Х²:

М(Х²)=64*0,2+16*0,5+36*0,2+25*0,1=30,5

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X²)-[M(X)]²

D(X)=30.5-(5.3)²=2.41

в) найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

Ответ: а) 5,3 б) 2,41 в) 1,55

31. Случайная величина Х интегральной функцией распределения F(Х).

Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности) б) найти математическое ожидание и дисперсию Х в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.

F(X

Решение:

а) = F(X

б) М(х)=

.

М(х²)=.

D(x)=M(x²)-[M(x)]²=2-

в) построить графики функций F(x) и f(x):

41. Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение б=2 нормально распределенной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3

Решение

а) воспользуемся формулой:

по условию задачи α=9 β=19 а=15 б=2 следовательно,

По таблице приложения 2: 0,4772;

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (9; 19) равна:

0,4772+0,49865=0,976065

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше δ=3, равна

Р(

Р(|х-а|<3)=2*Ф(3/2)=2*0,4332=0,8664.

Ответ: а),976065; б) Р(|х-а|<3)= 0,8664.

51. Даны выборочные варианты х₁ и соответствующие им частоты n_i количественного признака Х. а) найти выборочные среднюю дисперсию и среднеквадратическое отклонение. б) Считая, что количественный признак Х распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью γ=0,99

хi	10,2	15,2	20,2	25,2	30,2	35,2	40,2
ni	3	15	26	54	12	5	3

Решение

1. Объем выборки

n=

Средняя выборочная:

=

Выборочная дисперсия:

D_в=² – ², где =23,76

Средняя выборочная квадратов значений признака γ

=

Тогда D_в=598,87-(23,76)²=34,33

Среднее квадратичное отклонение:

σ_в= σ_в=,86

пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднеквадратическое значение отклонение «σ» этого распределения известно. Тогда с вероятностью γ доверительный интервал заданный формулой

; ),

покрывает неизвестное математическое ожидание. Здесь число t находится из соотношения 2Ф(t)=γ с помощью таблицы интегральной функции Лапласса.

В данной задаче γ=0,99, поэтому 2Ф(t)=0,99, а Ф(t)=0,495, по таблице находим t=2,58.

По условию задачи дисперсия генеральной совокупности D=D_в и, следовательно, σ=σ_в=5,86. ранее найдены значения n=118, и Х_в=23,76. Поэтому можно найти доверительный интервал:

(23,76-1,39; 23,76+1,39)

(22,37; 25,15).

Ответ: Х_в=23,76; D_в=34,33; σ_в=5,86; (22,37; 25,15).

61. По данным корреляционной таблицы найти условные средние Y_x и X_y. Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y и составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y. Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Y\X	5	10	15	20	25	30	Ny
35	4	2					6
45		5	3				8
55			5	45	5		55
65			2	8	7		17
75				4	7	3	14
Nx

4

7

10

57

19

3

n=100

Найдем условные средние воспользовавшись формулами:

Ү_x= X_y=

Y_x=5= X_y=35=

Y_x=10= X_y=45=

Y_x=15= X_y=55=

Y_x=20= X_y=65=

Y_x=25 X_y=75=

Y_x=30

Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

Коэффициент r может принимать значения от -1 до +1.

Знак r указывает на вид связи: прямая или обратная. Абсолютная величина |r| на тесноту связи. При r>0 связь прямая, то есть с ростом х растет у.

При r<0 связь обратная, то есть с ростом х убывает у.

Для нахождения rвычислим указанные общие средние: х, у, ху, а также средние квадратические отклонения σ_х и σ_у. Вычисления удобно поместить в таблицах, куда вписываем также найденные ранее условные средние.

Значение коэффициента линейной корреляции

Х	nx	x*nx	x2*nx	yx	x*nx*yx
5	4	20	100	35	700
10	7	70	700	42.14	2949.8
15	10	150	2250	54	8100
20	57	1140	22800	57.8 65892 25 19 475 11875 66.05 31373.75 30 3 90 2700 75 6750 100 1945 40425 - 115765.55 Y ny y*ny y2*ny xy y*ny*xy 35 6 210 7350 6.67 1400.7 45 8 360 16200 11.875 4275 55 55 3025 166375 20 60500 65 17 1105 71825 21.47 23724.35 75 14 1050 78750 24.64 25872 100 5750 340500 - 115772.05 С помощью таблиц находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и среднеквадратические отклонения: Х= X2=5 XY= Y=57.5 Y2= σx=== σy===9.94 Отсюда коэффициент корреляции равен: r= т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y. т.к | r | > 0,78 то линейная связь высокая. Находим линейное уравнение регрессии Y по X: Yx-57.5=0.78* Yx=1.52x+27.94 Аналогично находим уравнение регрессии X поY: Xy-19.45=0.78* Xy=0.4y-3.55 Данные уравнения устанавливают связь между признаками X и Y и позволяют найти среднее значение признака Yx для каждого значения x и аналогично среднее значение признака Xy для каждого значения y. Изобразим полученные результаты графически. Нанесем на график точки (х;ух) отметив их звездочками( ). Нанесем на график точки (ху;у) отметив их кружочками ( ). Построим каждое из найденных уравнений регрессии по двум точкам: х 5 30 у 35,54 73,54 Yx=1.52x+27.94 х 10,45 26,45 у 35 75 Xy=0.4y-3.55 Обе прямые регрессии пересекаются в точке (х;у). В нашей задаче это точки (19,45; 57,5). Оценка тесноты любой связи между признаками производится с помощью корреляционных отношений Y по X и X по Y: ηух= Дисперсия называемые внутригрупповыми, определены ранее. Величины межгрупповыми дисперсиями и вычисляются по формулам: Они характеризуют разброс условных средних, от общей средней. В данной задаче: бх= бу= Тогда корреляционные отношения равны: ηух= ηху= Ответ: Корреляционная связь между признаками высокая ее можно описать уравнениями: Yx=1.52x+27.94, Xy=0.4y-3.55. 1. Реферат на тему Book Reporte The Eye Of The Tiger 2. Реферат на тему Historical Geology Of The Permian Basin Essay 3. Доклад на тему Боцман хозяин верхней палубы 4. Реферат Померанская война 5. Контрольная работа Части речи в русском языке 6. Сочинение на тему Рецензия на рассказ В Астафьева Людочка 7. Реферат Логические операторы VB 8. Реферат на тему Культура Шумера 9. Реферат на тему My Dying Bride Essay Research Paper Performance 10. Курсовая Финансовые права и ответственность предприятий Bukvasha Правила Контакты