Контрольная работа № 1

Задача 1

Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Решение:

Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В₁, В₂ и В₃. Соответственно Р(В₁) = , Р(В₂) = , Р(В₃) = .

Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком Р_В1(А) = 0,02, аналогично Р_В2(А) = 0,03 и Р_В3(А) = 0,04.

По формуле полной вероятности

Р(А) =

По формуле Бейеса

Ответ: Р_А(В₃) = 0,1818

Задача 2

Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки

Р = .

Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим

Р₅(3) + Р₅(4) + Р₅(5).

P_n(k) = ,

где р = 0,3 и q = 0,7.

Р₅(3) = 0,1323

Р₅(4) = 0,0284

Р₅(5) = 0,0024

Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

Ответ: 0,1631

Задача 3

Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.

Решение:

а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.

P_n(k) = , где =

Р₂₀₀₀(210) =

б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k₂ = 250, k₁ = 190.

P_n(k₁;k₂) = F(x’’) - F(x’),

х’’ = .

х’ = .

F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.

F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764.

P₂₀₀₀(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/

Ответ: а) Р₂₀₀₀(210) = 0,0224, б) Р₂₀₀₀(190;250) = 0,7763

Задача 4

Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:

Х:

xi	0	1	2
pi	0,3	?	0,2

Y:

yi	1	2
pi	0,4	?

Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).

Составить закон распределения случайной величины

Z = X*Y.

Проверить выполнение свойства математического ожидания:

M(Z) = M(X)*M(Y)

Решение:

Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5

Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6

Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y

	xj	0	1	2
yi	pj pi	0,3	0,5	0,2
1	0,4	0

0,12

1

0,2

2

0,08

2

0,6

0

0,18

20,3

4

0,12

z_i

0

1

2

4

p_i

0,3

0,2

0,38

0,12

Sp_i = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1

M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44

M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9

M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6

M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44.

Ответ:

Zi	0	1	2	4
Pi	0,3	0,2	0,38	0,12

Задача 5

Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

0 при х < -1,

F(x) = (х + 1)² при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие .

Решение:

Найдем плотность распределения

0 при х < -1,

f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

М(х) =

- математическое ожидание.

Р(х £ ) = Р( -1 £ х < ) = F() – F( -1) =

Ответ: М(х) = и Р(х < ) =

Контрольная работа № 4

Задача 1

При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту

Возраст (лет)	Менее 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50	50 – 60	60 – 70	Более 70	Итого
Количество пользователей (чел.)	8	17	31	40	32	15	7	150

Найти:

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);

б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.

Решение:

Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:

i	[xi;xi+1]	xi	ui	ni	ui;ni	u2i;ni	ui +1	(ui + 1)ni
1	10 – 20	15	-3	8	-24	72	-2	32
2	20 – 30	25	-2	17	-34	68	-1	17
3	30 – 40	35	-1	31	-31	31	0	0
4	40 – 50	45	0	40	0	0	1	40
5	50 – 60	55	1	32	32	32	2	128
6	60 – 70	65	2	15	30	60	3	135
7	70 – 80	75	3	7	21	63	4	112
	S	315	0	150	-6	326	7	464

a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки

Искомая доверительная вероятность

б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли

Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t = 2,17

Предельная ошибка выборки для доли D = 2,17*0,0376 = 0,08156

Искомый доверительный интервал

0,4733 – 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156

0,3918 £ р £ 0,5549

в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t = 2,5

человек.

Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)_max = 0,25

человек.

Ответ: а) ; б) 0,3918 £ р £ 0,5549 ; в) 190 человек

Задача 2

По данным задачи 1, используя критерий c² – Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Выдвигается гипотеза Н₀: случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d² = 217,17.

Для расчета р_i используем функцию Лапласа

Дальнейшие расчеты покажем в таблице

i	[xi;xi+1]	ni	pi	npi	(ni – npi)
1	10 – 20	8	0,0582	8,7225	0,522	0,0598
2	20 – 30	17	0,1183	17,738	0,5439	0,0307
3	30 – 40	31	0,2071	31,065	0,0042	0,0001
4	40 – 50	40	0,2472	37,073	8,5703	0,2312
5	50 – 60	32	0,2034	30,51	2,2201	0,0728
6	60 – 70	15	0,1099	16,478	2,183	0,1325
7	70 – 80	7	0,0517	7,755	0,57	0,0735
S		150	0,9956	149,34		0,6006

Фактическое значение c² = 0,6006 Соотносим критическое значение c²_0,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.

Так как c² < c²_0,05;4, гипотеза Н₀ согласуется с опытными данными. Выполним построение:

Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.

Задача 3

Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:

у х	1,25	1,5	1,75	2,0	2,25	Итого
80 – 130			1	2	3	6
130 – 180			1	4	3	8
180 – 230		4	8	3	1	16
230 – 280	2	5	4			11
280 – 330	3	4	2			9
Итого:	5	3	16	9	7	50

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние x_j и y_i и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.

Решение:

1) Составим корреляционную таблицу

х	у xi	1,25	1,5	1,75	2	2,25	ni	уi
80 – 130	105			1	2	3	6	2,0833
130 – 180	155	1 4 3 8 2,0625 180 – 230 205 4 8 3 1 16 1,7656 230 – 280 255 2 5 4 11 1,5456 280 – 330 305 3 4 2 9 1,4722 nj 5 13 16 9 7 50 xj 285 255 220,63 160,56 140,71 Построим эмпирические линии регрессии 2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость; а) Вычислим среднее значение Найдем уравнение ух = byx(x – x) + y, где byx = ух = - 0,0036(х – 214) + 1,75 ух = - 0,0036х + 2,5105 ху - х = byx(у – у), где bху = ху = - 157,14(х – 1,75) + 214 ху = - 157,14х + 489 б) Коэффициент корреляции связь обратная и тесная; Статистика критерия При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0. в) Используя ху = - 157,14у + 489 х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14 Ответ: а) ух = - 0,0036х + 2,5105; ху = - 157,14х + 489. б) k = - 0,7473. в) х = 96,14 при у = 2,5 1. Реферат на тему Фотоэффект 2. Статья Генерация геомагнитного поля 3. Диплом на тему Разработка программного обеспечения по автоматизации учебного процесса в колледже 4. Реферат на тему Rachael Carson Essay Research Paper Would you 5. Реферат на тему UnH1d Essay Research Paper Lyme Disease 6. Реферат Рынок зерна и зернопродуктов 7. Реферат Анализ существующих систем интервального регулирования движения поездов на перегонах 8. Реферат на тему Power And Control In Maggie Essay Research 9. Реферат на тему Catcher In The Rye- Use Of Language 10. Реферат О качествах человека и качестве образования Bukvasha Правила Контакты