Контрольная работа

Контрольная работа Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами Комплексные

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 27.4.2025


Контрольная работа

по высшей математике

по теме:

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Выполнила:

Студентка II курса

Экономического факультета

Очного отделения

2007г

I. у″ - 4y′ + 4y = соs

у = U + у - общ. реш. н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k2 - 4k + 4 = 0

k1; 2 = 2

1) U =?

U = C1e2x + С2е ∙ х

2) у =? у = Acos4x + Bsin4xy′ = - 4Asin4x + 4Bcos4x

y″ = - 16Acos4x - 16Bsin4x

16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =

= cos4x + 0 ∙ sin4x

12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x

12A + 16A = 016B - 12B = 0

4A = 04B = 0

A = 4 B = 4

y = 4cos4x + 4sin4x

y = C1e2x + C2e2x · x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С1e2x + 2C2e2x · x - 16sin4x + 16cos4x

1 = C1 + C2 + 4С1 + С2 = 3 С1 + 13 = 3

0 = 2C1 + 2C2 + 162С1 + 2С2 = 16

С1 + С2 = 13

С1 = - 10С2 = 13

у = - 10е + 13е · x + 4cos4x + 4sin4x - частное решение при заданных условиях

II. у″ - 4y′ + 4y = 5х2 + 3х + 1

у = U + у - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k2 - 4k + 4 = 0

k1; 2 = 2

1) U =?

U = C1e2x + С2е ∙ х

2) у =? у = Ах2 + Вх + Сy′ = 2Ах + В

у″ = 2А

2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х2 + 3х + 1

4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4

8А + 4В = 3

2А - 4В + 4С = 1

у = 5/4х2 + 3 + 1/4

у = C1e2x + С2е ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С1e2x + 2C2e2x + 5/2х - 1/8

1 = C1 + C2 + 5/4 C1 + C2 = 1/4

0 = 2C1 + 2C2 + 5/22C1 + 2C2 = 5/2

C1 + С2 = 9/4

C1 = - 2С2 = 9/4

у = - 2e2x + 9/4е ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.

III. у″ - 4у′ + 4у = 2е

у = U + у - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k2 - 4k + 4 = 0

k1; 2 = 2

1) U =?

U = C1e2x + С2е ∙ х

2) у =? у = Аеy′ = 5А

у″ = 25Ае

25Ае - 20Ае + 4А= 2е

= 2е

А = 2/9 у = 2/9е

у = C1e2x + С2е ∙ х + 2/9е5х - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2C1e2x + 2С2е ∙ х + 10/9е

1 = C1 + С2 + 2/9C1 + С2 = 7/9

0 = 2C1+ 2С2+ 10/92C1+ 2С2 = 10/9

C1 + С2 = 1/3

C1 + 1/3 = 7/9

С1 = 4/9 С2 = 1/3

у = 4/9e2x + 1/3е ∙ х + 2/9е5х - частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа


Ö - 1 = i - мнимое число

(Ö - 1) 2 = i 2 i 2 = - 1

i 3 = i 2 i = - 1 ∙ i = - i

i 4 = i 2 i 2 = ( - 1) ∙ ( - 1) = 1

а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

в

. (а; в)

ρ в ρ = Ö а 2 + в 2 = çа + вiú

) d а

а d = arctg в/а –

аргумент комплексного числа

(находится с учетом четверти)

tg

нет

d

0 0

П/6

П/4

П/3

П/2

tg

0

Ö 3/ 3

1

Ö 3

---

- +

0 0

+ -

нет

cosd = a / ρ a = ρcosd

sind = в / ρ в = ρsind

а + вi = ρcosd + i ρsind

а + вi = ρ (cosd + i sind) –

комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Сложение:

а1 + в1i + а2 + в2i = а1 + а2 + (в1 + в2) i

Умножение:

1 + в1i) (а2 + в2i) = а1а2 1в2i 2 + а1в2i

а1а2 - в1в2 + (в1а2 + а2в2) i

Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:

е iу = cosу + isinу z = ρе i φ

Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:

1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2 + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ln Ö 58 × е arctg 3/7 = е ln Ö 58 + i arctg 3/7

ρ1 = Ö 58

φ1 = arctg 3/ 7

(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ln Ö 58 × е arctg 7/ 3 = е ln Ö 58 + i arctg 7/ 3

ρ2 = Ö 58

φ2 = arctg 7/ 3

Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ln 58 × е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

При решении примера использовали формулу:

ρ1 (cosφ1 + isinφ1) ρ2 (cosφ2 + isinφ2) = ρ1 ρ2 (cos (φ1 + φ2) + i (sin (φ1 + φ2))

Проверка:

е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 × е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö 1 + tg2 (arctg 3/ 7)) = 1/ Ö 1 + (9/49) = 7/Ö 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö 58

sin (arctg 3/ 7) = Ö 1 - cos2arctg 3/ 7 = Ö 1 - (7/Ö 58) 2 = Ö 9/ 58 = 3/Ö 58 sin (arctg 7/3) = Ö 1 - cos2arctg 7/ 3 = 7/Ö 58

cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/Ö 58 × 3/Ö 58 - 3/Ö 58 × 7/Ö 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/Ö 58× 3/Ö 58 × 3/Ö 58× 3/Ö 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ln Ö 58 + i arctg 3/7

(7 + 3i) 2 = 49 + 42i + 9i2 = 40 + 42i

(Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ln Ö 58 + i arctg 3/7

Проверка:

е ln Ö 58 + i arctg 3/7 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos2arctg 3/7 - 1 = 2 × (7/Ö 58) 2 - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin2arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö 58) ∙ (7/Ö 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58 × i) = 40 + 42i

При решении примера применяли следующие формулы:

(ρ (cosd + i sind)) п = ρ п (cosпd + i sinпd) п є N

е х + iу = е х (cosу + isinу)

2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2 + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ln 5 × е arctg 4/ 3 = е ln 5 + i arctg 4/ 3

ρ1 = Ö 25 = 5

φ1 = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ln 5 × е arctg 3/ 4 = е ln 5 + i arctg 3/ 4

ρ2 = 5

φ2 = arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ln 25× е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)

При решении примера использовали формулу:

ρ1 (cosφ1 + isinφ1) ρ2 (cosφ2 + isinφ2) = ρ1 ρ2 (cos (φ1 + φ2) + i (sin (φ1 + φ2))

Проверка:

е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 × е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = 25 (cos (arctg 4/ 3 +

+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))

cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -

sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)

cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö 1 + tg2 (arctg 4/ 3)) = 1/ Ö 1 + (16/ 9) = 3/ 5

cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5

sin (arctg 4/ 3) = Ö 1 - cos2arctg 4/ 3 = Ö 1 - 9/ 5 = 4/5

sin (arctg 3/ 4) = Ö 1 - cos2arctg 3/ 4 = 3/ 5

cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5 × 4/5 - 3/ 5 × 4/5 = 0

sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5 × 3/5 - 4/ 5 × 3/5 = 0

Извлечение корня третий степени из комплексного числа:

Применяем формулу:

пÖ ρ (cosd + i sind) = пÖ ρ (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)

3Ö 3 +4i = 3Ö 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)

z1 = 6Ö 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0

z2 = 6Ö 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1

z3 = 6Ö 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2


1. Реферат на тему GUIA DE EXAMEN PARCIAL DE EXCEL 97
2. Контрольная работа Закон Сэя. Экономическая политика России
3. Курсовая на тему Тарифная система оплаты труда
4. Контрольная работа Международный правопорядок
5. Реферат на тему Poem Soon To Be Friends Essay Research
6. Биография на тему Николай Полевой
7. Реферат Монгольские вторжения в Индию
8. Реферат на тему VChip Essay Research Paper Essay written by
9. Курсовая Распределение метеовеличин и коэффициента преломления воздуха в нижнем слое атмосферы летом
10. Реферат на тему Политическое развитие и модернизация