Контрольная работа Теория вероятностей и математическая статистика
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Министерство высшего образования Украины
Национальный Технический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о л ь н а я р а б о т а
по дисциплине :
“ Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24
Выполнил студент гр. ЗІС - 91
ІІI курса факультета ФИВТ
Луцько Виктор Степанович
2009г.
Задача 1
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:
а) сумма числа очков не превосходит N;
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
Исходные данные: N=18.
Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
Р(А) = | m |
| n |
где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;
m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
| Р(А) = | 36 | = | 1 ; |
|
|
| 36 |
|
|
|
б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
| Р(А) = | 28 | = | 7 | » 0,778 ; |
|
|
| 36 |
| 9 |
|
|
в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
| Р(А) = | 3 | = | 1 | » 0,083 . |
|
| 36 |
| 12 |
|
Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 » 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно
.
Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.
Решение задачи.
Определяем количество способов нужной комбинации:
С¢ = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;
Определяем количество всех возможных способов:
С¢¢ = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;
3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:
Р = | С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 | = | 3 х 1 х | 4 х 5 х 6 | х 2 | = |
|
|
|
| 2 х 3 |
|
|
| С12 7 |
| 8 х 9 х 10 х 11 х 12 |
| ||
|
|
| 2 х 3 х 4 х 5 |
|
| = | 3 х 5 | = | 5 | » 0,15 |
|
|
9 х 11
33
Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.
Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | |
|
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | |
|
| | | | | | | | | | | | | | |
|
Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:
Р(А) = | Сk l x Сn-k m-l | = | С4 3 x С8-4 5-3 | = | 3 | » 0, 4286 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сn m |
| С8 5
Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 . Задача 7 В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6. Решение задачи
Ответ: Р(А) » 0,013324 . Задача 8 В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное? Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37. Решение задачи События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение: Р(А/В) = Р(А) / Р(В) . Для любых событий А и В имеет место формула: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) . Обозначения: Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1) ; Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2) . События А и В – независимые. а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1) + (1 – k2) – (1 – k1)(1 – k2) = = 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 . б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1)(1 – k2) = 0,19 х 0,63 » 0,12 . = 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 . Ответы: а) » 0,70; б)» 0,12; в)» 0,58. Задача 9 Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым — р2 . Первый сделал n1, второй — n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена. Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2. Решение задачи. Обозначения: А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ; В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2) ; Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний. Р = (1 – р1)n1 x (1 – р2)n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2 = 0,673 x 0,482 » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 . Ответ:» 0,07 . Задача 12 Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440. Решение задачи Рассмотрим три гипотезы: Н1 – выбор лампы из первой партии; Н2 – выбор лампы из второй партии; Н3 – выбор лампы из третьей партии; а также событие А – выбор бракованной лампы. Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
Тогда: P(H1) = 350/1000 = 7/20 ; P(H2) = 440/1000 = 11/25 ; P(H3) = 210/1000 = 21/100 . Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 . Ответ: Р(А) = 0,0514 . Задача 18 На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35. Решение задачи Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):
В задаче: А1 – билет оказался с крупным выигрышем; А2 – билет оказался с мелким выигрышем; А3 – билет оказался без выигрыша.
х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х 0,01024 » 0,0378. Ответ: Р » 0,0378 . Задача 19 Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев». Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01. Решение задачи q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 . Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
Подсчет вручную дает следующие результаты:
Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где Рn(m) » 0,03627 . Ответ: Рn(m) » 0,03627 . Задача 20 Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству. Варианты 22—31: Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40. Решение задачи Вероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли: Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1) где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании. Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей. При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы: где: где: Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)]. З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими. З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение). В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое. npq = 21, следовательно npq > 9. При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 . Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3). Тогда:
| » | -30 | » - 6,55 . |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ö npq |
| 4,58 |
| 4,58 |
|
|
|
Pn(m £ k2) » Ф(х2) – Ф(х1) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »
» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .
Ответ: Pn(m £ 40) » 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1 < x < х2
Варианты 17-24:
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
Р(х) = | í | g, х Î [-1,5, 1], |
| | 0, x Ï [-1,5, 1]. |
Найдем g. Должно выполняться соотношение:Fx(+¥) = 1;
ò p(x)dx = 1; |
| ò gdx = 1; | gx | 1 | = 1; | g *(1+1,5) = 1; | g = | 1 | =2/5 . |
|
| |
| -1,5 |
|
|
| 2,5 |
|
-¥ |
| -1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
Найдем: Мx = | ò х 2/5 dx = | 2 х2 | 1 | = | 1/5 (1-2,25) = | -1,25 | = -0,25 . |
| | 5 2 | -1,5 |
|
| 5 |
|
| -1,5 |
|
|
|
|
|
|
| 1 | | | | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем: Dx = Мx2 – (Мx)2 =
= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .
Найдем: P{-1<x<1} = Fx (1) - Fx (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 . Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5. Список использованной литературы
2. Реферат на тему Мерчандайзинг 3. Реферат Предпринимательтсво, его виды и формы 4. Реферат Компьютерное моделирование и его особенности 5. Реферат на тему Book Reporte The Eye Of The Tiger 6. Курсовая на тему Расчёт редуктора 2 7. Курсовая Анализ факторов внешней и внутренней среды в деятельности сетевых организаций 8. Реферат Математическое моделирование 9. Реферат на тему Code Hero Essay Research Paper Almost every 10. Реферат Покупка и продажа ценных бумаг гражданами |