Контрольная работа на тему Принятие решений в условиях неопределенности
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-11-12Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Принятие решений в условиях неопределенности
Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Согласно А.Вальду, поведение считается оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента.
Считаю необходимым рассмотреть четыре критерия принятия решений в условиях неопределенности, когда никакие вероятностные характеристики не известны.
· критерий Лапласа,
· минимаксный критерий,
· критерий Сэвиджа,
· критерий Гурвица.
Основное различие между этими критериями определяется стратегией лица, принимающего решения. Критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем минимаксный критерий. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Все эти критерии отражают субъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решение. При этом не существует общих правил применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение в условиях неопределенности, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия.
Перечисленные критерии базируются на том, что лицу, принимающему решение, не противостоит разумный противник. В случае, когда в роли противника выступает природа, нет оснований предполагать, что она стремится причинить вред лицу, принимающему решение.
При наличии разумного противника, интересы которого противоречат интересам лица, принимающего решения (например, в военных действиях противоборствующие армии являются разумными противниками), для построения подходящего критерия требуется специальный подход. Эти вопросы рассматриваются в теории игр.
Данные, необходимые для принятия решений в условиях неопределенности, задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют действиям, а столбцы - возможным состояниям системы.
Каждому действию и каждому возможному состоянию системы соответствует результат (исход), определяющий выигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данного состояния.
Пусть ai (i=1,2, ... , m)
и q j представляет возможное состояние j ( j=1,2, ... ,n),
n ( ai , q j ) - описывает соответствующий результат.
В общем случае n ( ai , q j ) может быть непрерывной функцией ai и q j .
В дискретном случае указанные данные представляются в форме матрицы.
Критерий Лапласа
Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояний q 1, q 2, ... ,q n не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было бы определить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать как принятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточного обоснования утверждает противоположное, то состояния q 1, q 2, ...,q n имеют равные вероятности. Если согласиться с приведенными доводами, то исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решений в условиях риска, когда выбирается действие ai , дающее ожидаемый выигрыш.
Другими словами, находится действие ai* , соответствующее
- вероятность реализации состояния q j ( j=1,2, ... ,n),
Пример. Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.
В таблице приведены потери в тысячах долларов.
Клиенты
Уровень предложения
Принцип Лапласа предполагает, что q 1, q 2, q 3, q 4 равновероятны.
Следовательно, P{q =q j } =1/4, j= 1, 2, 3, 4, и ожидаемые потери при различных действиях a1, a2, a3, a4 составляют
E{a1}= (1/4)(5+10+18+25)=14,5
E{a2}= (1/4)(8+7+8+23)=11,5
E{a3}= (1/4)(21+18+12+21)=18,0
E{a4}= (1/4)(30+22+19+15)=21,5
Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет a2.
Минимаксный (максиминный) критерий
Является наиболее осторожным, поскольку основывается на выборе наилучшей из наихудших возможностей. Если результат n (ai , q j) представляет потери лица, принимающего решение, для действия ai наибольшие потери независимо от возможного состояния q j будут равны
В этом случае критерий называется максиминным.
Пример. Рассмотрим предыдущий пример. Так как n (ai , q j) представляют потери, применим минимаксный критерий. Результаты вычислений представим в виде следующей таблицы.
Минимаксной стратегией будет a3 .
Подходы к учету неопределенности при описании рисков. В теории принятия решений в настоящее время при компьютерном и математическом моделировании для описания неопределенностей чаще всего используют такие математические средства, как:
- вероятностно-статистические методы,
- методы статистики нечисловых данных, в том числе интервальной статистики и интервальной математики, а также методы теории нечеткости,
- методы теории конфликтов (теории игр).
Они применяются в имитационных, эконометрических, экономико-математических моделях, реализованных обычно в виде программных продуктов.
Некоторые виды неопределенностей связаны с безразличными к организации силами - природными (погодные условия) или общественными (смена правительства). Если явление достаточно часто повторяется, то его естественно описывать в вероятностных терминах. Так, прогноз урожайности зерновых вполне естественно вести в вероятностных терминах. Если событие единично, то вероятностное описание вызывает внутренний протест, поскольку частотная интерпретация вероятности невозможна. Так, для описания неопределенности, связанной с исходами выборов или со сменой правительства, лучше использовать методы теории нечеткости, в частности, интервальной математики (интервал – удобный частный случай описания нечеткого множества). Наконец, если неопределенность связана с активными действиями соперников или партнеров, целесообразно применять методы анализа конфликтных ситуаций, т.е. методы теории игр, прежде всего антагонистических игр, но иногда полезны и более новые методы кооперативных игр, нацеленных на получение устойчивого компромисса.
Иногда под уменьшением риска понимают уменьшение дисперсии случайной величины, поскольку при этом уменьшается неопределенность. В теории принятия решений риск - это плата за принятие решения, отличного от оптимального, он обычно выражается как математическое ожидание. В экономике плата измеряется обычно в денежных единицах, т.е. в виде финансового потока (потока платежей и поступлений) в условиях неопределенности.
Критерий Сэвиджа
Этот критерий характеризуется крайней осторожной (пессимистической) позицией к возможным потерям из-за отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций, влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае. Реализуется применительно к матрице рисков и потерь.
Матрица потерь строится следующим образом:
1.Находим наибольшее значение по каждому случайному событию Qi
2. Выписываем их в качестве утопических точек отдельно
3.Вычитаем из каждой такой утопической точки соответствующие этому случайному события Хi (пример: для Q1: Xy-X1,Xy-X2,Xy-X3.....).
4.Получаем новую матрицу потерь.
В рамках такого подхода функция, задающая семейство «линий уровня» определяется равенством:
F(u,v,......,z)= max(ay-u, ay-v,......, ay-z)
Целевая функция критерия:
Zs=min(Ki), где Ki=max(Lij), Lij=max(Aij)-Ay, где (Lij) – матрица потерь
i – вариант возможного решения ЛПР
j – вариант возможной ситуации
Aij – доход ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j
А = (Aij) – матрица полезностей.
(Lij) – соответствующая матрица рисков или потерь
Критерий Гурвица
Критерий Гурвица – это взвешенная позиция “пессимизма-оптимизма”.
При С =1 - критерий Гурвица просто соответствует Максиминному критерию.
Составные критерия принятия решений в условиях неопределенности.
Шаг А: требования к допустимому риску.
Вот на этом шаге уточняется критический уровень дохода(или потерь), приемлемый для ЛПР в конкретной ситуации. За основу бреется опорное значение для выбранного опорного критерия. После задается допустимое для ЛПР максимально возможное отклонение Едоп>0 от опорного значения(в худшую сторону).
Шаг Б: блокировка решений с недопустимом риском.
Вот на этом шаге удаляются из исходной матрицы все решения, который не подходят требованиям ЛПР, которые предъявляются к допустимому риску применительно к анализируемой ситуации.
Шаг В: требования к компенсации за риск.
Этот шаг уточняет требования к анализируемым решениям, для которых баланс между риском потерь( при -) и компенсации( при +) является приемлемым для ЛПР.
Шаг Г: блокировка решений с недостаточной компенсацией риска.
Вот на этом шаге из матрицы полезностей(которая будет получена после шага Б) удаляются все решения, которые не соответствуют требованиям ЛПР.
Шаг Д: выбор оптимального решения.
И наконец, на этом шаге для оставшейся «урезанной» матрицы находится оптимальное решение по заранее оговоренном критерию. Это найденное решение и будит являться оптимальным выбором для соответствующего составного критерия.
Последствия решений менеджера, экономиста, инженера проявятся в будущем. А будущее неизвестно. Мы обречены принимать решения в условиях неопределенности. Мы всегда рискуем, поскольку нельзя исключить возможность нежелательных событий. Но можно сократить вероятность их появления. Для этого необходимо спрогнозировать дальнейшее развитие событий, в частности, последствия принимаемых решений.
Задача №1.
Предприятие выпускает два вида продукции: А и В. При этом используются pecypcы: Rl, R2 и R3. Нормы расхода на ресурсы составляют соответственно:
R1: a1, a2
R2: b1,b2
R3: c1, c2
Рыночная цена продукции А составляет-Р1, продукции В-Р2. Необходимо принять решение относительно плана выпуска продукции обеспечивающего максимальный доход. Оценить устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию. Объемы ресурсов: Rl -Vl, R2-V2, R3-V3
Обозначим 
- количество продукции А, 
- Количество продукции В.
Найти Х=( , ), удовлетворяющие системе
3х1+5х2 ≤ 30 -количество ресурса 
2х1+х2 ≤ 20 -количество ресурса 
4х1+6х2 ≤ 48 - количество ресурса 
и условию 
при котором функция дохода принимает максимальное значение.
V = P1 + P2 = 3 + 2 → max
Формулировка задачи.
Графический метод.
Построим ОДЗ и
Неравенства 
, 
задают первый квадрант координатной плоскости.
Неравенство 3x1+5x2£30 задает полуплоскость, расположенную под прямой 3x1+5x2=30, включая эту прямую.
Неравенство 2x1+x2£20 задает полуплоскость, расположенную под прямой 2x1+x2=20, включая эту прямую.
Неравенство 4x1+6x2£48 задает полуплоскость, расположенную под прямой 4x1+6x2=48, включая эту прямую.
Таким образом, получаем, что множество точек, удовлетворяющее всем неравенствам, Область ОАВС.
Построим вектор N{3;2}. Его проекция на ось 
равна 3, на ось 
2.
Поскольку необходимо найти максимум функции V, будем перемещать прямую l, перпендикулярно вектору H, от начала к концу вектора H, т.е. в направлении возрастания функции V. Перейдя в точку В, прямая l окажется на выходе из многоугольной области ОАВС. Точка В – (крайняя) последняя точка области при движении в направлении вектора H, поэтому значение функции V в этой точке будет наибольшим по сравнению с ее значениями в других точках области.
Поскольку точка В – точка пересечения первой и второй прямой, то ее координаты можно найти, решая систему уравнений:
ì 3x1 +5x2 = 30
í
î 2 + = 20
Выразим из второго уравнения :
x2 = 20-2x1
И подставим в первое уравнение
3x1+5(20-2x1) = 30
Откуда x1 = 10
Подставив 
в выражение для 
, получим x2 = 0
Таким образом оптимальное решение – точка В (10,0)
Оценим устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию.
Функция V=3x1+2x2 достигает максимального значения в угловой точке В. При изменения коэффициентов целевой функции 
точка В останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона прямой l будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка В. Этими прямыми являются 
(ограничение на ресурс R1) и 
(ограничение на ресурс R2).
Алгебраически записывается:
3/5£ P2/P1 £ 2/1 
0,6 £ P2/P1 £ 2
Таким образом найденное решение будет оптимальным, пока отношение цены продукции А к цене продукции В будет находиться в диапазоне от 0,6 до 2.
Задача 2 (Многокритериальная задача)
Используя условие задачи 1, найти план работы при котором достигается:
А) Максимум дохода
Б) Минимум затрат ресурсов (в натуральном выражении)
В) Максимум выпуска продукции А в натуральном выражении
Задача решается методом уступок Величина уступок выбирается студентом.
Решение
Как было показано в задаче 1, максимум выручки V = P1 + P2 = 3 + 2 → max достигается в точке В (15, 75).
Минимум затрат ресурсов определяется минимумом целевой функции:
R= (3+4+2)x1 + (5+1+6)x2 = 9x1+12x2 → min
Поскольку ограничения на минимальный объем продукции не заданы, то минимум затрат ресурсов будет достигаться при полном прекращении выпуска продукции, т.е. когда 
и 
. Это же видно из рассмотрения области ОАВС на рис. 1. Соответственно минимум функции затрат ресурсов R=0.
В оптимальной по критерию максимума выручки точке В (10,0) целевая функция принимает значение:
V= 3x1+2x2 =3*10+2*0 =30
Примем величину уступки 90%
90%V=30*0,9 =27
То есть
V= 3x1+2x2 =27
Нанесем прямую 3x1+2x2 =27 на график (рис. 2)
Для поиска минимума функции R=9x1+12x2 построим вектор М{9;12}. Его проекция на ось равна 9, на ось 12.
Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Согласно А.Вальду, поведение считается оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента.
Считаю необходимым рассмотреть четыре критерия принятия решений в условиях неопределенности, когда никакие вероятностные характеристики не известны.
· критерий Лапласа,
· минимаксный критерий,
· критерий Сэвиджа,
· критерий Гурвица.
Основное различие между этими критериями определяется стратегией лица, принимающего решения. Критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем минимаксный критерий. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Все эти критерии отражают субъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решение. При этом не существует общих правил применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение в условиях неопределенности, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия.
Перечисленные критерии базируются на том, что лицу, принимающему решение, не противостоит разумный противник. В случае, когда в роли противника выступает природа, нет оснований предполагать, что она стремится причинить вред лицу, принимающему решение.
При наличии разумного противника, интересы которого противоречат интересам лица, принимающего решения (например, в военных действиях противоборствующие армии являются разумными противниками), для построения подходящего критерия требуется специальный подход. Эти вопросы рассматриваются в теории игр.
Данные, необходимые для принятия решений в условиях неопределенности, задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют действиям, а столбцы - возможным состояниям системы.
Каждому действию и каждому возможному состоянию системы соответствует результат (исход), определяющий выигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данного состояния.
Пусть ai (i=1,2, ... , m)
и q j представляет возможное состояние j ( j=1,2, ... ,n),
n ( ai , q j ) - описывает соответствующий результат.
В общем случае n ( ai , q j ) может быть непрерывной функцией ai и q j .
В дискретном случае указанные данные представляются в форме матрицы.
| q 1 | q 2 | ... | q n | |
| a1 | n (a1 ,q 1) | n (a1 ,q 2) | ... | n (a1 ,q n) |
| a2 | n (a2 ,q 1) | n (a2 ,q 2) | ... | n (a2 ,q n) |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| am | n (am ,q 1) | n (am ,q 2) | ... | n (am ,q n) |
Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояний q 1, q 2, ... ,q n не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было бы определить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать как принятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточного обоснования утверждает противоположное, то состояния q 1, q 2, ...,q n имеют равные вероятности. Если согласиться с приведенными доводами, то исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решений в условиях риска, когда выбирается действие ai , дающее ожидаемый выигрыш.
Другими словами, находится действие ai* , соответствующее
- вероятность реализации состояния q j ( j=1,2, ... ,n), Пример. Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.
В таблице приведены потери в тысячах долларов.
Клиенты
Уровень предложения
| q 1 | q 2 | q 3 | q 4 | |
| a1 | 5 | 10 | 18 | 25 |
| a2 | 8 | 7 | 8 | 23 |
| a3 | 21 | 18 | 12 | 21 |
| a4 | 30 | 22 | 19 | 15 |
Следовательно, P{q =q j } =1/4, j= 1, 2, 3, 4, и ожидаемые потери при различных действиях a1, a2, a3, a4 составляют
E{a1}= (1/4)(5+10+18+25)=14,5
E{a2}= (1/4)(8+7+8+23)=11,5
E{a3}= (1/4)(21+18+12+21)=18,0
E{a4}= (1/4)(30+22+19+15)=21,5
Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет a2.
Минимаксный (максиминный) критерий
Является наиболее осторожным, поскольку основывается на выборе наилучшей из наихудших возможностей. Если результат n (ai , q j) представляет потери лица, принимающего решение, для действия ai наибольшие потери независимо от возможного состояния q j будут равны
В этом случае критерий называется максиминным.
Пример. Рассмотрим предыдущий пример. Так как n (ai , q j) представляют потери, применим минимаксный критерий. Результаты вычислений представим в виде следующей таблицы.
| q 1 | q 2 | q 3 | q 4 |  | |
| a1 | 5 | 10 | 18 | 25 | 25 |
| a2 | 8 | 7 | 8 | 23 | 23 |
| a3 | 21 | 18 | 12 | 21 | 21 |
| a4 | 30 | 22 | 19 | 15 | 30 |
Минимаксной стратегией будет a3 .
Подходы к учету неопределенности при описании рисков. В теории принятия решений в настоящее время при компьютерном и математическом моделировании для описания неопределенностей чаще всего используют такие математические средства, как:
- вероятностно-статистические методы,
- методы статистики нечисловых данных, в том числе интервальной статистики и интервальной математики, а также методы теории нечеткости,
- методы теории конфликтов (теории игр).
Они применяются в имитационных, эконометрических, экономико-математических моделях, реализованных обычно в виде программных продуктов.
Некоторые виды неопределенностей связаны с безразличными к организации силами - природными (погодные условия) или общественными (смена правительства). Если явление достаточно часто повторяется, то его естественно описывать в вероятностных терминах. Так, прогноз урожайности зерновых вполне естественно вести в вероятностных терминах. Если событие единично, то вероятностное описание вызывает внутренний протест, поскольку частотная интерпретация вероятности невозможна. Так, для описания неопределенности, связанной с исходами выборов или со сменой правительства, лучше использовать методы теории нечеткости, в частности, интервальной математики (интервал – удобный частный случай описания нечеткого множества). Наконец, если неопределенность связана с активными действиями соперников или партнеров, целесообразно применять методы анализа конфликтных ситуаций, т.е. методы теории игр, прежде всего антагонистических игр, но иногда полезны и более новые методы кооперативных игр, нацеленных на получение устойчивого компромисса.
Иногда под уменьшением риска понимают уменьшение дисперсии случайной величины, поскольку при этом уменьшается неопределенность. В теории принятия решений риск - это плата за принятие решения, отличного от оптимального, он обычно выражается как математическое ожидание. В экономике плата измеряется обычно в денежных единицах, т.е. в виде финансового потока (потока платежей и поступлений) в условиях неопределенности.
Критерий Сэвиджа
Этот критерий характеризуется крайней осторожной (пессимистической) позицией к возможным потерям из-за отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций, влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае. Реализуется применительно к матрице рисков и потерь.
Матрица потерь строится следующим образом:
1.Находим наибольшее значение по каждому случайному событию Qi
2. Выписываем их в качестве утопических точек отдельно
3.Вычитаем из каждой такой утопической точки соответствующие этому случайному события Хi (пример: для Q1: Xy-X1,Xy-X2,Xy-X3.....).
4.Получаем новую матрицу потерь.
В рамках такого подхода функция, задающая семейство «линий уровня» определяется равенством:
F(u,v,......,z)= max(ay-u, ay-v,......, ay-z)
Целевая функция критерия:
Zs=min(Ki), где Ki=max(Lij), Lij=max(Aij)-Ay, где (Lij) – матрица потерь
i – вариант возможного решения ЛПР
j – вариант возможной ситуации
Aij – доход ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j
А = (Aij) – матрица полезностей.
(Lij) – соответствующая матрица рисков или потерь
Критерий Гурвица
Критерий Гурвица – это взвешенная позиция “пессимизма-оптимизма”.
При С =1 - критерий Гурвица просто соответствует Максиминному критерию.
Составные критерия принятия решений в условиях неопределенности.
Шаг А: требования к допустимому риску.
Вот на этом шаге уточняется критический уровень дохода(или потерь), приемлемый для ЛПР в конкретной ситуации. За основу бреется опорное значение для выбранного опорного критерия. После задается допустимое для ЛПР максимально возможное отклонение Едоп>0 от опорного значения(в худшую сторону).
Шаг Б: блокировка решений с недопустимом риском.
Вот на этом шаге удаляются из исходной матрицы все решения, который не подходят требованиям ЛПР, которые предъявляются к допустимому риску применительно к анализируемой ситуации.
Шаг В: требования к компенсации за риск.
Этот шаг уточняет требования к анализируемым решениям, для которых баланс между риском потерь( при -) и компенсации( при +) является приемлемым для ЛПР.
Шаг Г: блокировка решений с недостаточной компенсацией риска.
Вот на этом шаге из матрицы полезностей(которая будет получена после шага Б) удаляются все решения, которые не соответствуют требованиям ЛПР.
Шаг Д: выбор оптимального решения.
И наконец, на этом шаге для оставшейся «урезанной» матрицы находится оптимальное решение по заранее оговоренном критерию. Это найденное решение и будит являться оптимальным выбором для соответствующего составного критерия.
Последствия решений менеджера, экономиста, инженера проявятся в будущем. А будущее неизвестно. Мы обречены принимать решения в условиях неопределенности. Мы всегда рискуем, поскольку нельзя исключить возможность нежелательных событий. Но можно сократить вероятность их появления. Для этого необходимо спрогнозировать дальнейшее развитие событий, в частности, последствия принимаемых решений.
Задача №1.
Предприятие выпускает два вида продукции: А и В. При этом используются pecypcы: Rl, R2 и R3. Нормы расхода на ресурсы составляют соответственно:
R1: a1, a2
R2: b1,b2
R3: c1, c2
Рыночная цена продукции А составляет-Р1, продукции В-Р2. Необходимо принять решение относительно плана выпуска продукции обеспечивающего максимальный доход. Оценить устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию. Объемы ресурсов: Rl -Vl, R2-V2, R3-V3
| Вариант | al | а2 | bl | Ь2 | cl | с2 | Р1 | Р2 | VI | V2 | V3 |
| 12 | 3 | 5 | 2 | 1 | 4 | 6 | 3 | 2 | 30 | 20 | 48 |
Найти Х=(
3х1+5х2 ≤ 30 -количество ресурса
2х1+х2 ≤ 20 -количество ресурса
4х1+6х2 ≤ 48 - количество ресурса
и условию
при котором функция дохода принимает максимальное значение.
V = P1
Формулировка задачи.
Графический метод.
Построим ОДЗ
Неравенства
Неравенство 3x1+5x2£30 задает полуплоскость, расположенную под прямой 3x1+5x2=30, включая эту прямую.
Неравенство 2x1+x2£20 задает полуплоскость, расположенную под прямой 2x1+x2=20, включая эту прямую.
Неравенство 4x1+6x2£48 задает полуплоскость, расположенную под прямой 4x1+6x2=48, включая эту прямую.
Таким образом, получаем, что множество точек, удовлетворяющее всем неравенствам, Область ОАВС.
Построим вектор N{3;2}. Его проекция на ось
Поскольку необходимо найти максимум функции V, будем перемещать прямую l, перпендикулярно вектору H, от начала к концу вектора H, т.е. в направлении возрастания функции V. Перейдя в точку В, прямая l окажется на выходе из многоугольной области ОАВС. Точка В – (крайняя) последняя точка области при движении в направлении вектора H, поэтому значение функции V в этой точке будет наибольшим по сравнению с ее значениями в других точках области.
Поскольку точка В – точка пересечения первой и второй прямой, то ее координаты можно найти, решая систему уравнений:
ì 3x1 +5x2 = 30
í
î 2
Выразим из второго уравнения
x2 = 20-2x1
И подставим в первое уравнение
3x1+5(20-2x1) = 30
Откуда x1 = 10
Подставив
Таким образом оптимальное решение – точка В (10,0)
Оценим устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию.
Функция V=3x1+2x2 достигает максимального значения в угловой точке В. При изменения коэффициентов целевой функции
Алгебраически записывается:
3/5£ P2/P1 £ 2/1
0,6 £ P2/P1 £ 2
Таким образом найденное решение будет оптимальным, пока отношение цены продукции А к цене продукции В будет находиться в диапазоне от 0,6 до 2.
Задача 2 (Многокритериальная задача)
Используя условие задачи 1, найти план работы при котором достигается:
А) Максимум дохода
Б) Минимум затрат ресурсов (в натуральном выражении)
В) Максимум выпуска продукции А в натуральном выражении
Задача решается методом уступок Величина уступок выбирается студентом.
Решение
Как было показано в задаче 1, максимум выручки V = P1
Минимум затрат ресурсов определяется минимумом целевой функции:
R= (3+4+2)x1 + (5+1+6)x2 = 9x1+12x2 → min
Поскольку ограничения на минимальный объем продукции не заданы, то минимум затрат ресурсов будет достигаться при полном прекращении выпуска продукции, т.е. когда
В оптимальной по критерию максимума выручки точке В (10,0) целевая функция принимает значение:
V= 3x1+2x2 =3*10+2*0 =30
Примем величину уступки 90%
90%V=30*0,9 =27
То есть
V= 3x1+2x2 =27
Нанесем прямую 3x1+2x2 =27 на график (рис. 2)
Для поиска минимума функции R=9x1+12x2 построим вектор М{9;12}. Его проекция на ось
Поскольку необходимо найти минимум функции R, будем перемещать прямую m, перпендикулярно вектору М, от конца к началу вектора М, т.е. в направлении уменьшения функции R. Перейдя в точку К, прямая m окажется на выходе из области КВР. Точка К – крайняя точка прямой 3x1+2x2 =27 в области ОАВС при движении в направлении к началу вектора М, поэтому значение функции R в этой точке будет наименьшим по сравнению с ее значениями в других точках области.
Решив систему уравнений:
ì 3x1 +5x2 = 30
í
î 3 +2 = 27
Найдем x1 = 8 1/3
x2 = 1
Таким образом решение многокритериальной задачи при уступке по максимуму выручки 90% - точка К(8 1/3; 1).
Задача 3 (Принятие решений в условиях неопределенности)
Магазин лродает скоропортящуюся продукцию по А рублей за ящик, закупая ее у поставщиков по В рублей за ящик. Непроданная в течение дня продукция реализуется в конце дня по С рублей за ящик. Суточный спрос на продукцию колеблется от 0 до 10 ящиков. Других сведений о спросе нет. Сколько ящиков продукции должен закупать у оптовиков магазин ежедневно в соответствии с принципами максимакса, максимина и минимакса.
Вариант
Решение
Матрица прибыли (платежная матрица)
Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе.
Решив систему уравнений:
ì 3x1 +5x2 = 30
í
î 3
Найдем x1 = 8 1/3
x2 = 1
Таким образом решение многокритериальной задачи при уступке по максимуму выручки 90% - точка К(8 1/3; 1).
Задача 3 (Принятие решений в условиях неопределенности)
Магазин лродает скоропортящуюся продукцию по А рублей за ящик, закупая ее у поставщиков по В рублей за ящик. Непроданная в течение дня продукция реализуется в конце дня по С рублей за ящик. Суточный спрос на продукцию колеблется от 0 до 10 ящиков. Других сведений о спросе нет. Сколько ящиков продукции должен закупать у оптовиков магазин ежедневно в соответствии с принципами максимакса, максимина и минимакса.
Вариант
| N | А | в | С |
| 12 | 50 | 20 | 5 |
Матрица прибыли (платежная матрица)
| Объем спроса | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| Объем закупок | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | |
Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе. | |||||||||||||
| Объем спроса | MAX | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Объем закупок | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | 210 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | 240 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | 270 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | 300 | |
Применим критерий Maximin (Вальда), найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина за неделю максимальна (убыток минимален) при самых неблагоприятных условиях спроса.
| Применим критерий Maximin (Вальда), найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина за неделю максимальна (убыток минимален) при самых неблагоприятных условиях спроса. | |||||||||||||
| Объем спроса | MIN | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Объем закупок | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | -15 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | -30 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | -45 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | -60 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | -75 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | -90 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | -105 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | -120 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | -135 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | -150 | |
Применив критерий Minimax определим такой объем закупок, при котором риск магазина (упущена выгода) минимален при самых неблагоприятных условиях спроса.
Записав платежную матрицу:
| Применив критерий Minimax определим такой объем закупок, при котором риск магазина (упущена выгода) минимален при самых неблагоприятных условиях спроса. | ||||||||||||
| Объем спроса | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| Объем закупок | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | |
| MAX | -15 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 270 | 300 | |
| Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе. | |||||||||||||
| Объем спроса | MAX | ||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Объем закупок | 1 | 0 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 270 | 270 |
| 2 | 15 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 | 240 | |
| 3 | 30 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 210 | 210 | |
| 4 | 45 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 | 180 | |
| 5 | 60 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 150 | |
| 6 | 75 | 75 | 0 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 120 | |
| 7 | 90 | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 210 | 60 | 90 | 210 | |
| 8 | 105 | 105 | 90 | 75 | 60 | 105 | 30 | 15 | 0 | 30 | 60 | 105 | |
| 9 | 120 | 120 | 105 | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 30 | 120 | |
| 10 | 135 | 135 | 120 | 105 | 90 | 75 | 60 | 45 | 30 | 15 | 0 | 135 | |
С точки зрения критерия минимаксного риска Сэвиджа оптимальна стратегия, при которой величина риска минимальна – 30, т.е. оптимальное количество закупаемых ящиков – 13 шт.
Задача 4 (Принятие решений в условиях риска)
Основываясь на условиях задачи 3, определить количество закупаемых магазином для продажи ящиков продукции если известны данные о продажах за последние пятьдесят дней.
Решение
Рассчитаем вероятности спроса ящиков как доли от общего количества дней продажи.
Составим матрицу.
Максимальное значение принимает средняя прибыль для объема закупок 6 ящиков – 104,4.
Список литературы:
1. Блюмин С.Л. Модели и методы принятия решений в условиях неопределенности / С.Л. Блюмин, ЛЭГИ, - 2001, - 139 стр.
2. А.И. Орлов Теория принятия решений Учебное пособие. / Орлов А.И. - М.: Март, - 2004.
Задача 4 (Принятие решений в условиях риска)
Основываясь на условиях задачи 3, определить количество закупаемых магазином для продажи ящиков продукции если известны данные о продажах за последние пятьдесят дней.
| Количество проданных ящиков | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 0 |
| Количество дней продаж | 2 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 2 |
Рассчитаем вероятности спроса ящиков как доли от общего количества дней продажи.
| Количество проданных ящиков | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 0 | Итого |
| Количество дней продаж | 2 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 2 | 50 |
| Вероятность спроса | 0,04 | 0,06 | 0,1 | 0,1 | 0,14 | 0,16 | 0,14 | 0,1 | 0,08 | 0,04 | 0,04 | 1 |
Составим матрицу.
| Вероятность спроса | Средняя прибыль Р | ||||||||||||
| 0,04 | 0,06 | 0,1 | 0,1 | 0,14 | 0,16 | 0,14 | 0,1 | 0,08 | 0,04 | 0,04 | |||
| Объем спроса | |||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Объем закупок | 1 | -15 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 28,2 |
| 2 | -30 | 15 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 53,7 | |
| 3 | -45 | 0 | 45 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 74,7 | |
| 4 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 91,2 | |
| 5 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 150 | 101,4 | |
| 6 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 180 | 180 | 180 | 180 | 104,4 | |
| 7 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 210 | 210 | 210 | 101,1 | |
| 8 | -120 | -75 | -30 | 15 | 60 | 105 | 150 | 195 | 240 | 240 | 240 | 93,3 | |
| 9 | -135 | -90 | -45 | 0 | 45 | 90 | 135 | 180 | 225 | 270 | 270 | 81,9 | |
| 10 | -150 | -105 | -60 | -15 | 30 | 75 | 120 | 165 | 210 | 255 | 300 | 68,7 | |
Список литературы:
1. Блюмин С.Л. Модели и методы принятия решений в условиях неопределенности / С.Л. Блюмин, ЛЭГИ, - 2001, - 139 стр.
2. А.И. Орлов Теория принятия решений Учебное пособие. / Орлов А.И. - М.: Март, - 2004.
