Контрольная работа

Контрольная работа Методы безусловной многомерной оптимизации

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 13.1.2025



Федеральное агентство по образованию

Новокузнецкий филиал-институт

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра информационных систем и управления им. В.К. Буторина
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория управления»

Методы безусловной многомерной оптимизации

(Вариант 20)
Выполнили: студенты IV курса

группы ПИЭ - 061

Тимохова А.В.

Годун И.А.

Руководитель: ассистент

кафедры ИСУ

Щепетов

Алексей

Викторович
Новокузнецк 2009
1 Задача об оптимальном распределении инвестиций
Задача: Распределить Т = 100 ден.ед. по четырем предприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли. Прибыль с предприятий задается таблицей 1.1.
Таблица 1.1

X
g1
g2
g3
g4

0
0
0
0
0

20
11
24
12
35

40
26
22
28
33

60
31
32
37
36

80
42
41
47
40

100
58
59
53
54



Процесс оптимизации разобьем на n шагов (в нашей задаче n =4). На k-м шаге будем оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только с k-го по n-е. При этом на них расходуются не все средства, а некоторая меньшая сумма Ck≤Т, которая и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину xk средств, вкладываемых в k-ое предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шаге в этой задаче можно выбрать максимально возможную прибыль, которую можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Ck средств. Очевидно, что при вложении в k-е предприятие xk средств получим прибыль gk(xk), а система в (k+1)-му шагу перейдет в состояние Ck+1 = Ck – xk, т.е. на инвестирование предприятий с (k+1)-ого до n-го останется Ck+1 средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k=n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может выделяться количество средств Ck, 0≤Ck≤Т. Очевидно, чтобы получить максимум прибыли с этого последнего последнего предприятия, надо вложить в него все эти средства, т.е. Fn(Cn)=gn(Cn) и xn=Cn.

На каждом из последующих шагов для вычисления функции Беллмана следует использовать результаты предыдущего шага. Максимально возможная прибыль, которая может быть получена предприятиями с k-го по n-е, равна:
.
Максимум этого выражения достигается на некотором значении x*k, которое и является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы Ck. Аналогично можно отыскать функции Беллмана и оптимальные управления вплоть до шага k=1.

Функция Беллмана F1(C1) представляет собой максимально возможную прибыль со всех предприятий (с 1-го по n-е), а значение x*k, на котором достигается максимум прибыли, является оптимальным количеством средств, которые необходимо вложить в 1-е предприятие. Далее, для всех последующих шагов вычисляется величина Ck = Ck-1 – Xk и оптимальным управлением на k-м шаге является то значение Xk, которое доставляет максимум прибыли при соответствующем состоянии системы Ck.

Решение.

Этап I. Условная оптимизация.

Шаг 1. k = 4. Предполагаем, что все средства 100 ден.ед. переданы на инвестирование третьего предприятия. В этом случае максимальная прибыль составит F4(C4) = 54, см. таблицу 1.2.
Таблица 1.2

С4
x4
F4(C4)
X*4

0
20
40
60
80
100

0
0
–
–
–
–
–
0
0

20
–
35
–
–
–
–
35
20

40
–
–
33
–
–
–
33
40

60
–
–
–
36
–
–
36
60

80
–
–
–
–
40
–
40
80

100
–
–
–
–
–
54
54
100



Шаг 2. k = 3. Определяем оптимальную стратегию инвестирования во второе и третье предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид:
.
На его основании рассчитываются данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3

С3
x3
F3(C3)
X*3

0
20
40
60
80
100

0
0
 
 
 
 
 
0
0

20
35
12
 
 
 
 
35
0

40
33
47
28
 
 
 
47
20

60
36
45
63
37
 
 
63
40

80
40
48
61
72
47
 
72
60

100
54
52
64
70
82
53
82
80



Шаг 3. k = 2. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид:
.
На его основе находятся данные таблицы 1.4.
Таблица 1.4

С2
x2
F2(C2)
X*2

0
20
40
60
80
100

0
0










0
0

20
35
24








35
0

40
47
59
22






59
20

60
63
71
57
32




71
20

80
72
87
69
67
41


87
20

100
82
96
85
79
76
59
96
20



Шаг 4. k = 1. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид:
.
На его основе находятся данные таблицы 1.5.
Таблица 1.5

С1
x1
F1(C1)
X*1

 0
20
40
60
80
100

0
0
 
 
 
 
 
0
0

20
35
11
 
 
 
 
35
0

40
59
46
26
 
 
 
59
0

60
71
70
61
31
 
 
71
0

80
87
82
85
66
42
 
87
0

100
96
98
97
90
77
58
98
20



Этап II. Безусловная оптимизация.

Шаг 1. По данным таблицы 1.5 максимальный доход при распределении 100 ден.ед. между тремя предприятиями составляет F1= 98. При этом первому предприятию нужно выделить x1 = 20 ден.ед.

Шаг 2. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий:
С2 = С1 – x*1 = 100 – 20 = 80.
По данным таблицы 1.4 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 80 ден.ед. между вторым, третьим и четвертым предприятиями составляет F2 = 96 ден.ед. при выделении второму x2 = 20 ден.ед.

Шаг 3. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятия:
С3 = С2 – x*2 = 80 – 20 = 60.
Из таблицы 1.3 находим F3 = 63 и x*3 = 40 ден.ед. При этом получается что x*4 = 20 ден.ед. и F4 = 35.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий

X* = (20,40,20,20),

обеспечивающий максимальный доход
F(100) = g1(20) + g2(40) + g3(20) + g4(20) = 11 + 24 + 28 + 35 = 98 ден.ед.
Ответ: Максимальная суммарная прибыль по четырем предприятиям составляет 98 ден.ед.
2 Задача выбора оптимального пути в транспортной сети
Задача: В предложенной транспортной сети (см. рисунок 1) имеется несколько маршрутов по проезду из начального пункта (1) в конечный пункт (11). Стоимость проезда между отдельными пунктами транспортной сети представлена в таблице 2.1. Необходимо определить оптимальный маршрут проезда из пункта 1 в пункт 11 с минимальными транспортными расходами.
Рисунок 1


Таблица 2.1

Начальный путь
Конечный путь
T(i,j)

1
2
5

1
3
7

1
4
6

1
5
10

2
6
3

2
7
7

3
6
8

3
7
9

4
6
11

4
7
4

5
6
8

5
7
9

6
8
4

6
9
5

6
10
4

7
8
5

7
9
12

7
10
6

8
11
10

9
11
8

10
11
10



В данной задаче имеется ограничение – двигаться по магистралям можно только слева направо. Это дает нам возможность разбить всю транспортную сеть на пояса и отнести каждый из десяти пунктов к одному из четырех поясов. Будем говорить, что пункт принадлежит k-му поясу, если из него можно попасть в конечный пункт ровно за k шагов, т.е. заездом ровно в k-1 промежуточный пункт. Таким образом, пункты 8, 9 и 10 принадлежат к первому поясу; 6 и 7 – ко второму; 2, 3, 4 и 5 – к третьему; 1 – к четвертому. На k-м шаге будем находить оптимальные маршруты из городов k-го пояса до конечного пункта.

Оптимизацию будем производить с хвоста процесса, и потому, добравшись до k-го шага, мы не можем знать, в какой именно из городов k-го пояса мы попадем, двигаясь из пункта 1. Поэтому для каждого из этих городов мы должны будем найти оптимальный маршрут до конечного пункта. Очевидно, что минимально возможная стоимость проезда до пункта 11 будет зависеть только от того, в каком из городов этого пояса мы оказались. Номер S города, принадлежащего k-му поясу, и будет называться переменной состояния данной системы на k-м шаге. Нужно помнить, что, добравшись до k-го шага, мы уже осуществили предыдущие шаги, в частности, нашли оптимальные маршруты по перемещению из любого города (k-1)-го пояса в конечный пункт. Таким образом, находясь в некотором городе S k-го пояса, мы должны принять решение о том, в какой из городов (k-1)-го пояса следует отправиться, а направление дальнейшего движения уже известно нам из предыдущих шагов. Номер J города (k-1)-го пояса будет являться переменной управления на k-м шаге.

Функция Беллмана на k-м шаге решения задачи дает нам возможность рассчитать минимальную стоимость проезда из города S (k-го пояса) до конечного пункта. Для первого шага (k=1) эту величину отыскать не сложно – это стоимость проезда из городов 1-го пояса непосредственно до конечного пункта: F1(i)=Ci11. Для последующих же шагов стоимость проезда складывается из двух слагаемых – стоимости проезда из города S k-го пояса в город J (k-1)-го пояса и минимально возможной стоимости проезда из города J до конечного пункта, т.е. Fk-1(J).

Таким образом, функциональное уравнение Беллмана на k-м шаге решения будет иметь вид:

Минимум стоимости достигается на некотором значении J*, которое и является оптимальным направлением движения из пункта S в сторону конечного пункта.

Решение:

Этап I. Условная оптимизация.

Шаг 1. k = 1. F1(S) = ts11.
Таблица 2.2

S
J = 11
F1(S)
J*

8
10
10
11

9
8
8
11

10
10
10
11



Шаг 2. k = 2. Функциональное уравнение на данном шаге принимает вид:
.
Результаты расчета по приведенной формуле приведены в таблице 2.3:
Таблица 2.3

S
J = 8
J = 9
J = 10
F2(S)
J*

6
4 + 10
5 + 8
4 + 10
13
9

7
5 + 10
12 + 8
6 + 10
15
8



Шаг 3. k = 3. Функциональное уравнение на данном шаге принимает вид:
.
Результаты расчета по приведенной формуле приведены в таблице 2.4:
Таблица 2.4

S
J = 6
J = 7
F3(S)
J*

2
3 + 13
7 + 15
16
6

3
8 + 13
9 + 15
21
6/7

4
11 + 13
4 + 15
19
7

5
8 + 13
9 + 15
21
6/7



Шаг 4. k = 4. Функциональное уравнение на данном шаге принимает вид:
.
Результаты расчета по приведенной формуле приведены в таблице 2.5:
Таблица 2.5

S
J = 2
J = 3
J = 4
J = 5
F4(S)
J*

1
5 + 16
7 + 21
6 + 19
10 + 21
21
2



Этап II. Безусловная оптимизация.

На этапе условной оптимизации получено, что минимальные затраты на проезд из пункта 1 в пункт 11 составляют F4(1) = 21, что достигается следующим движением по магистралям. Из пункта 1 следует направиться в пункт 2, затем из него в пункт 6, затем в пункт 9 и из него в пункт 11.

Ответ: Оптимальным маршрутом из пункта 1 в пункт 11 является маршрут 1 – 2 – 6 – 9 – 11.
3 Методы Хэмминга и Брауна
Задача: На эмпирическом временном ряде из 20 значений ( таблица 3.1), используя процедуры обычной регрессии, Хэмминга (А и Б-метод) и Брауна, выполнить прогноз на один шаг и на три-четыре шага вперед для каждого метода соответственно. Сравнить прогнозные процедуры. Сделать выводы.
Таблица 3.1

t
Y(t)

1
50

2
53

3
56,5

4
53,5

5
51

6
54

7
53,5

8
60

9
59

10
60

11
61

12
62

13
58

14
57

15
57,5

16
59,5

17
60,5

18
61

19
62

20
62,5



3.1 Метод Хемминга
Метод Хемминга обладает достоинствами, связанными с простотой и относительно небольшой погрешностью. Существует в двух модификациях. Базовый алгоритм (А-метод Хемминга) применяется для прогнозирования относительно стабильных или слабо изменяющихся динамических рядов, имеющих фиксированную структуру.
,
где  – прогнозное значение;

 - значение функции;

 - порядковый номер элемента, входящего в состав исследуемого объекта;

 - время запаздывания или исследование обрабатываемых данных (реализация функций объекта);

,,,, - коэффициенты настройки, задаваемые жестко, в виде числа.

Для каждого ряда коэффициенты задаются индивидуально. Число коэффициентов всегда не четное. Сумма всех коэффициентов всегда должна быть равной 1 ().

Наиболее удачными, по мнению Хемминга, являются коэффициенты для 3 и 5 слагаемых (таблица 3.2).
Таблица 3.2


А1
А2
А3
А4
А5

для трех
0,60
0,30
0,10




для пяти
0,65
0,15
0,10
0,04
0,01



Данный алгоритм прошел апробацию и достаточно точно прогнозирует переменные различного рода технологических и транспортных операций в нормальном режиме эксплуатации. Однако при применении в случае нештатного и аварийного режимов производства имеет место значительная погрешность, т.е. больше 15%.

Исследования показали, что для увеличения адаптивных возможностей требуется методика настройки коэффициентов, алгоритм которой и включает В-метод Хемминга.

Идея заключается в следующем: в фиксированный момент времени t1 (в который обнаружилось превышение порога погрешности в 5%) рассматривается автокорреляционная функция (АКФ) ряда . При этом оценивается величина вклада каждой из компонент  в t2, и рассчитываются соответствующие коэффициенты:

Шаг 1: оценивается величина площади под АКФ
;
Шаг 2: коэффициенты рассчитываются по формуле
.
Модифицированный метод проверялся на реальных данных нестационарной динамики, и погрешности не превышали 5-10%, что вполне приемлемо для подобных задач.

Решение:

Результаты моделирования по методу Хэмминга представлены в таблице 3.3.
Таблица 3.3






1
50,0
50,000
0,00

2
53,0
53,000
0,00

3
56,5
54,800
1,70

4
53,5
54,350
0,85

5
51,0
52,300
1,30

6
54,0
53,050
0,95

7
53,5
53,400
0,10

8
60,0
57,450
2,55

9
59,0
58,750
0,25

10
60,0
59,700
0,30

11
61,0
60,500
0,50

12
62,0
61,500
0,50

13
58,0
59,500
1,50

14
57,0
57,800
0,80

15
57,5
57,400
0,10

16
59,5
58,650
0,85

17
60,5
59,900
0,60

18
61,0
60,700
0,30

19
62,0
61,550
0,45

20
62,5
62,200
0,30

21


61,855


22


61,928


23


61,933


24


61,924




Прогнозные значение на основе базового алгоритма Хэмминга (А-метод ):
;
;
;
.
На основе полученных данных построим график прогнозирования по адаптивной модели Хемминга (рисунок 2)
Рисунок 2

Оценим адекватность модели с помощью коэффициента детерминации. Для этого рассчитаем
,
остальные расчеты представлены в таблице 3.4.
Таблица 3.4







50,0
0,000
57,381

53,0
0,000
20,931

56,5
2,890
1,156

53,5
0,722
16,606

51,0
1,690
43,231

54,0
0,903
12,781

53,5
0,010
16,606

60,0
6,503
5,881

59,0
0,063
2,031

60,0
0,090
5,881

61,0
0,250
11,731

62,0
0,250
19,581

58,0
2,250
0,181

57,0
0,640
0,331

57,5
0,010
0,006

59,5
0,723
3,706

60,5
0,360
8,556

61,0
0,090
11,731

62,0
0,203
19,581

62,5
0,090
24,256



17,735
282,138



Коэффициент детерминации находится по формуле:




3.2 Метод Брауна
Также считается адаптивным алгоритмом прогнозирования, и в основном используется при краткосрочном прогнозировании.
,
где k – количество шагов прогнозирования (k=1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем
,
который затем используется для корректировки модели.
,
,
где  – коэффициент дисконтирования данных, отражает большую степень доверия к более поздним данным, .

Решение:

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам (они представлены в таблице 3.5) по формулам:
,
Таблица 3.5






1
50,0
5,6
4

2
53.0
-0,2
1

3
56,5
0,0
0

4
53,5
0,7
1

5
51,0
-3,6
4





2,5
10



Для расчета этой таблицы нам понадобилось  и .

Результаты моделирования по методу Брауна представлены в таблице 3.6.
Таблица 3.6













0


0,250
52,050




1
50,0
-0,578
51,472
52,300
-2,300

2
53,0
0,180
51,652
50,894
2,106

3
56,5
1,861
53,513
51,832
4,668

4
53,5
1,186
54,699
55,373
-1,873

5
51,0
-0,572
54,126
55,885
-4,885

6
54,0
-0,412
53,715
53,554
0,446

7
53,5
-0,341
53,374
53,303
0,197

8
60,0
2,167
55,541
53,033
6,967

9
59,0
2,632
58,173
57,708
1,292

10
60,0
2,342
60,516
60,806
-0,806

11
61,0
1,673
62,189
62,858
-1,858

12
62,0
1,003
63,192
63,862
-1,862

13
58,0
-1,227
61,965
64,195
-6,195

14
57,0
-2,573
59,392
60,738
-3,738

15
57,5
-2,328
57,064
56,819
0,681

16
59,5
-0,613
56,451
54,737
4,763

17
60,5
1,065
57,517
55,839
4,661

18
61,0
1,936
59,452
58,582
2,418

19
62,0
2,156
61,608
61,388
0,612

20
62,5
1,701
63,309
63,764
-1,264

21






65,010


22






66,711


23






68,412


24






70,112




Для осуществления прогноза на несколько точек вперед рассмотрели полученную на последнем шаге модель

Прогнозные оценки по этой модели получаются подстановкой в нее значений , таким образом:

,

,

,

.

На основе полученных данных построим график прогнозирования по адаптивной модели Брауна (рисунок 3)
Рисунок 3


Оценим адекватность модели с помощью коэффициента детерминации. Для этого рассчитаем
,
остальные расчеты представлены в таблице 3.7.
Таблица 3.7







50
5,290
57,381

53
4,435
20,931

56,5
21,787
1,156

53,5
3,509
16,606

51
23,863
43,231

54
0,199
12,781

53,5
0,039
16,606

60
48,541
5,881

59
1,668
2,031

60
0,649
5,881

61
3,452
11,731

62
3,469
19,581

58
38,377
0,181

57
13,969
0,331

57,5
0,463
0,006

59,5
22,690
3,706

60,5
21,729
8,556

61
5,847
11,731

62
0,374
19,581

62,5
1,599
24,256



221,950
282,138



Коэффициент детерминации находится по формуле:




Вывод: Сравнивая коэффициенты детерминации по методам Хемминга и Брауна, равные 0,937 и 0,213 соответственно, делаем вывод что модель Хемминга является наиболее адекватной.
4 Идентификация как функция управления
В таблице 4.1 приведены данные о стоимости эксплуатации винтовых самолетов в зависимости от возраста:
Таблица 4.1

Возраст
Стоимость

1,0
466

1,0
549

1,0
978

4,0
495

4,0
723

4,0
681

4,5
619

4,5
1049

4,5
1033

5,0
163

5,0
182

5,0
890

5,0
1522

5,0
1194

5,5
987

6,0
764

6,0
1373



1. Провести процедуру структурно-параметрической идентификации математической модели для исходных данных. Оценить адекватность.

2. Проанализируйте данные, исключив повторы. Ответьте на вопросы: изменилось ли математическая модель? Как изменился коэффициент детерминации? Адекватна ли подобранная модель данным?

Решение:

Построим график эмпирических данных (рисунок 4).
Рисунок 4- График эмпирических данных


Проведем все необходимые расчеты для составления статистического уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этой зависимости. Для этого рассмотрим три модели:

прямая однофакторная линейная связь при одновременном увеличении факторного и результативного признаков;

логарифмическая модель (прямая гипербола, когда уровень результативного признака возрастает, а затем его рост приостанавливается, оставаясь почти на одном уровне);

прямая логическая зависимость (когда происходит неустойчивое возрастание уровня результативного признака).

Линейная модель.

Уравнение модели прямой однофакторной линейной связи:

Для вычисления параметра , составления уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 4.2.
Таблица 4.2










1,0
466
0,0
0,000
0,000
466,000

1,0
549
0,0
0,178
0,000
466,000

1,0
978
0,0
1,099
0,000
466,000

4,0
495
3,0
0,062
0,685
785,222

4,0
723
3,0
0,552
0,685
785,222

4,0
681
3,0
0,461
0,685
785,222

4,5
619
3,5
0,328
0,799
838,426

4,5
1049
3,5
1,251
0,799
838,426

4,5
1033
3,5
1,217
0,799
838,426

5,0
163
4,0
-0,650
0,913
891,630

5,0
182
4,0
-0,609
0,913
891,630

5,0
890
4,0
0,910
0,913
891,630

5,0
1522
4,0
2,266
0,913
891,630

5,0
1194
4,0
1,562
0,913
891,630

5,5
987
4,5
1,118
1,028
944,833

6,0
764
5,0
0,639
1,142
998,037

6,0
1373
5,0
1,946
1,142
998,037



54,0
12,330






Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.2 заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости  и составления самого уравнения зависимости.

В рассматриваемом примере параметр , при  и  вычисляется по формуле:

В рассматриваемом примере окончательный вид уравнения зависимости находим по формуле.:

Отобразим эмпирические и теоретические значения результативного признака на графике (рисунок 4).
Рисунок 4


Информация для расчета коэффициента детерминации в типовой задаче в полном объеме представлена в таблице 4.3.
Таблица 4.3










()


1,0
466
0,000
466,000
0,000
0,000
0,000
0,000

1,0
549
0,178
466,000
0,032
0,000
0,178
0,032

1,0
978
1,099
466,000
1,207
0,000
1,099
1,207

4,0
495
0,062
785,222
0,004
0,685
-0,623
0,388

4,0
723
0,552
785,222
0,304
0,685
-0,134
0,018

4,0
681
0,461
785,222
0,213
0,685
-0,224
0,050

4,5
619
0,328
838,426
0,108
0,799
-0,471
0,222

4,5
1049
1,251
838,426
1,565
0,799
0,452
0,204

4,5
1033
1,217
838,426
1,480
0,799
0,418
0,174

5,0
163
-0,650
891,630
0,423
0,913
-1,564
2,445

5,0
182
-0,609
891,630
0,371
0,913
-1,523
2,319

5,0
890
0,910
891,630
0,828
0,913
-0,003
0,000

5,0
1522
2,266
891,630
5,135
0,913
1,353
1,830

5,0
1194
1,562
891,630
2,441
0,913
0,649
0,421

5,5
987
1,118
944,833
1,250
1,028
0,090
0,008

6,0
764
0,639
998,037
0,409
1,142
-0,502
0,252

6,0
1373
1,946
998,037
3,788
1,142
0,805
0,647



12,330


19,558




10,217



По данным таблицы 4.3 коэффициент детерминации составит:

Логарифмическая модель

Уравнение модели прямой гиперболы:

Для вычисления параметра , составления уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 4.4.
Таблица 4.4













1,0
466
0,000
0,000
0,000
466,000

1,0
549
0,000
0,178
0,000
466,000

1,0
978
0,000
1,099
0,000
466,000

4,0
495
0,750
0,062
1,006
934,912

4,0
723
0,750
0,552
1,006
934,912

4,0
681
0,750
0,461
1,006
934,912

4,5
619
0,778
0,328
1,044
952,279

4,5
1049
0,778
1,251
1,044
952,279

4,5
1033
0,778
1,217
1,044
952,279

5,0
163
0,800
0,650
1,073
966,172

5,0
182
0,800
0,609
1,073
966,172

5,0
890
0,800
0,910
1,073
966,172

5,0
1522
0,800
2,266
1,073
966,172

5,0
1194
0,800
1,562
1,073
966,172

5,5
987
0,818
1,118
1,098
977,540

6,0
764
0,833
0,639
1,118
987,013

6,0
1373
0,833
1,946
1,118
987,013



11,068
14,850
14,850




Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.4 заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости  и составления самого уравнения зависимости.

В рассматриваемом примере параметр , при  и  вычисляется по формуле:

В рассматриваемом примере окончательный вид уравнения зависимости находим по формуле:

Отобразим эмпирические и теоретические значения результативного признака на графике (рисунок 5).
Рисунок 5


Информация для расчета коэффициента детерминации в типовой задаче в полном объеме представлена в таблице 4.5.
Таблица 4.5













()


1,0
466
0,000
466,000
0,000
0,000
0,000
0,00000

1,0
549
0,178
466,000
0,032
0,000
0,178
0,03172

1,0
978
1,099
466,000
1,207
0,000
1,099
1,20717

4,0
495
0,062
934,912
0,004
1,006
-0,944
0,89117

4,0
723
0,552
934,912
0,304
1,006
-0,455
0,20679

4,0
681
0,461
934,912
0,213
1,006
-0,545
0,29689

4,5
619
0,328
952,279
0,108
1,044
-0,715
0,51150

4,5
1049
1,251
952,279
1,565
1,044
0,208
0,04308

4,5
1033
1,217
952,279
1,480
1,044
0,173
0,03001

5,0
163
0,650
966,172
0,423
1,073
-0,423
0,17903

5,0
182
0,609
966,172
0,371
1,073
-0,464
0,21519

5,0
890
0,910
966,172
0,828
1,073
-0,163
0,02672

5,0
1522
2,266
966,172
5,135
1,073
1,193
1,42268

5,0
1194
1,562
966,172
2,441
1,073
0,489
0,23902

5,5
987
1,118
977,540
1,250
1,098
0,020
0,00041

6,0
764
0,639
987,013
0,409
1,118
-0,479
0,22903

6,0
1373
1,946
987,013
3,788
1,118
0,828
0,68608



14,850


19,558




6,21649



По данным таблицы 4.5 коэффициент детерминации составит:

Логическая модель

Уравнение модели прямой логической зависимости:

Для вычисления параметра , составления уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 5.
Таблица 4.6

















1,0
466
1,00000
0,00215
0,00000
0,00000
0,00000
466,00000

1,0
549
1,00000
0,00182
0,00000
0,00032
0,00000
466,00000

1,0
978
1,00000
0,00102
0,00000
0,00112
0,00000
466,00000

4,0
495
0,25000
0,00202
0,75000
0,00013
0,00039
570,13230

4,0
723
0,25000
0,00138
0,75000
0,00076
0,00039
570,13230

4,0
681
0,25000
0,00147
0,75000
0,00068
0,00039
570,13230

4,5
619
0,22222
0,00162
0,77778
0,00053
0,00041
574,89026

4,5
1049
0,22222
0,00095
0,77778
0,00119
0,00041
574,89026

4,5
1033
0,22222
0,00097
0,77778
0,00118
0,00041
574,89026

5,0
163
0,20000
0,00613
0,80000
-0,00399
0,00042
578,75418

5,0
182
0,20000
0,00549
0,80000
-0,00335
0,00042
578,75418

5,0
890
0,20000
0,00112
0,80000
0,00102
0,00042
578,75418

5,0
1522
0,20000
0,00066
0,80000
0,00149
0,00042
578,75418

5,0
1194
0,20000
0,00084
0,80000
0,00131
0,00042
578,75418

5,5
987
0,18182
0,00101
0,81818
0,00113
0,00043
581,95443

6,0
764
0,16667
0,00131
0,83333
0,00084
0,00044
584,64846

6,0
1373
0,16667
0,00073
0,83333
0,00142
0,00044
584,64846







11,06818
0,00578






Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.6 заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости  и составления самого уравнения зависимости.

В рассматриваемом примере параметр , при  и  вычисляется по формуле:

В рассматриваемом примере окончательный вид уравнения зависимости находим по формуле:

Отобразим эмпирические и теоретические значения результативного признака на графике (рисунок 6).
Рисунок 6


Информация для расчета коэффициента детерминации в типовой задаче в полном объеме представлена в таблице 4.7.
Таблица 4.7













()


1,0
466
0,000
466,00
0,0000000
0,0000000
0,0000000
0,0000000

1,0
549
0,000
466,00
0,0000001
0,0000000
0,0003244
0,0000001

1,0
978
0,001
466,00
0,0000013
0,0000000
0,0011234
0,0000013

4,0
495
0,000
570,13
0,0000000
0,0003919
-0,0002662
0,0000001

4,0
723
0,001
570,13
0,0000006
0,0003919
0,0003709
0,0000001

4,0
681
0,001
570,13
0,0000005
0,0003919
0,0002856
0,0000001

4,5
619
0,001
574,89
0,0000003
0,0004065
0,0001240
0,0000000

4,5
1049
0,001
574,89
0,0000014
0,0004065
0,0007862
0,0000006

4,5
1033
0,001
574,89
0,0000014
0,0004065
0,0007714
0,0000006

5,0
163
-0,004
578,75
0,0000159
0,0004181
-0,0044071
0,0000194

5,0
182
-0,003
578,75
0,0000112
0,0004181
-0,0037667
0,0000142

5,0
890
0,001
578,75
0,0000010
0,0004181
0,0006043
0,0000004

5,0
1522
0,001
578,75
0,0000022
0,0004181
0,0010708
0,0000011

5,0
1194
0,001
578,75
0,0000017
0,0004181
0,0008903
0,0000008

5,5
987
0,001
581,95
0,0000013
0,0004276
0,0007052
0,0000005

6,0
764
0,001
584,65
0,0000007
0,0004355
0,0004015
0,0000002

6,0
1373
0,001
584,65
0,0000020
0,0004355
0,0009821
0,0000010



0,006


0,0000416




0,0000404



По данным таблицы 4.7 коэффициент детерминации составит:

Сравним коэффициенты детерминации по трем моделям
Таблица 4.8

Тип трендовой модели
Уравнения зависимостей



Линейная


0,477

Логарифмическая


0,682

Логическая


0,028



 Чем слабее линейная связь между X и Y, тем R2 ближе к нулю, и чем эта связь значительнее, тем ближе R2 к единице.

Вывод: Анализируя результаты представленные в таблице 4.8 можно прийти к выводу что из представленных трендовых моделей, логарифмическая модель является наиболее адекватной.
5 Стимулирование и мотивация как функции управления
1. Задача стимулирования для одноэлементной системы.

Руководитель поручает рабочему производство продукции, используя следующую систему стимулирования: , где α – ставка оплаты единицы произведенной агентом продукции. Цена, по которой центр продаёт продукцию, p=1000 руб. Затраты агента, выраженные в денежной форме:  Определить параметр системы стимулирования α.

Решение:

Запишем целевую функцию центра:




(3.1.1)
и целевую функцию агента:




(3.1.2)
Задача стимулирования формулируется:
(3.1.3)

(3.1.4)
Данная задача решается в 2 этапа. На первом этапе из выражения (3.1.4) определяется реакция агента как аналитическая зависимость от параметра системы стимулирования центра α . На втором этапе полученная аналитическая зависимость подставляется в формулу (3.1.3), получается задача безусловной оптимизации. Решая эту задачу, определим параметр системы стимулирования α.

Первый этап. Найдем реакцию агента из решения оптимизационной задачи (3.1.4). Для этого продифференцируем выражение (3.1.4) по y и приравняем к нулю:





Решая уравнение, определим реакцию агента:





Второй этап. Подставим реакцию агента в целевую функцию (3.1.3):





Вычислим первую производную и приравняем к нулю:





Решая уравнение, определим параметр α:





Ответ: параметр системы стимулирования равен 500.

2. Задача стимулирования для многоэлементной системы со слабосвязанными агентами.

Руководитель поручает работу бригаде, состоящей из двух рабочих. Центр использует пропорциональную систему стимулирования: , где – ставка оплаты единицы произведенной i-м агентом продукции. Известна функция затрат каждого агента:

Рыночная цена, по которой продается продукция р=1000 руб., фонд заработной платы бригады R=20000 руб. Определить параметры системы стимулирования и .

Решение

Сформулируем задачу стимулирования:




(3.2.1)

(3.2.2)

(3.2.3)

(3.2.4)
Первый этап. Из выражения (3.2.2) и (3.2.3) определим реакцию агентов.

Для нахождения экстремума функции одной переменной продифференцируем функции и приравняем к нулю:





Из решения уравнений следует:






Второй этап. Подставив и  в выражение для целевой функции центра (3.2.1) и ограничение (3.2.4), получим задачу на условный экстремум:




Для ее решения применим метод множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа:





Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным ,и :(3.2.5)






(3.2.6)

(3.2.7)
Выразим из (3.2.5) и (3.2.6) неизвестные ,:





Получилось, что параметры функций стимулирования для обоих агентов одинаковы. Из ограничения (3.2.7) определяем параметр системы стимулирования:






Ответ: Параметры системы стимулирования и равны между собой и равны 30,98.

3. Задача стимулирования для многоэлементной системы с сильносвязанными агентами.

Руководитель (центр) поручает работу бригаде, состоящей из 2 рабочих. Рабочие (агенты) изготавливают однородную продукцию объёмом yi , которую центр продаёт по цене p=1500. Центр использует пропорциональную систему стимулирования
,
где  – ставка оплаты единицы продукции.

Затраты агентов определяются соответственно:
,
.
Фонд заработной платы, которым располагает центр составляет R=37000 денежных единиц. Определить параметры системы стимулирования .

Решение

Запишем целевую функцию центра:




(3.3.1)
и целевые функции агентов:




(3.3.2)
(3.3.3)
Сформулируем задачу стимулирования:

(3.3.4)

(3.3.5)

(3.3.6)
Первый этап. Найдем реакцию первого агента из решения оптимизационной задачи. Для этого продифференцируем целевую функцию агента по  и приравняем к нулю:





Решая уравнение, определим реакцию первого агента:





Аналогично найдём реакцию второго агента:





Решив систему уравнений:





относительно y1 и y2получим реакции агентов:







Второй этап. Подставим реакции агентов в целевую функцию центра:





Продифференцировав это выражение по , и приравняв нулю, получим систему уравнений:





Решив полученную систему уравнений, определим параметры системы

стимулирования и

Ответ: параметры системы стимулирования  и  равны 645,83 и 961,01 соответственно.



1. Диплом Сопоставление основных принципов учета в России и США
2. Реферат Правовые системы мира 2
3. Статья Административно-правовые нормы понятия, признаки и виды
4. Лекция на тему Большое каноническое распределение Гиббса
5. Реферат на тему Учет расчетов в сельском хозяйстве
6. Реферат на тему Онкология
7. Реферат на тему Похоронный обряд
8. Реферат Хромосомные болезни 2
9. Реферат Отчет о практики GE Money Bank
10. Краткое содержание Хоббит Джон Рональд Руэл Толкиен