Контрольная работа

по теме: "Парная линейная регрессия"




Данные, характеризующие прибыль торговой компании "Все для себя" за первые 10 месяцев 2004 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:

январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
367	418	412	470	485	470	525	568	538	558

В контрольной работе с использованием табличного процессора Ехсе
l
необходимо выполнить следующие вычисления и построения:

1. Построить диаграмму рассеяния.

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов b
₀
,
b
₁ выполнить методом наименьших квадратов.

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R
²
. Проверить гипотезу о значимости построенного уравнения регрессии.

6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

8. Проверить гипотезы о значимости вычисленных коэффициентов b
₀
,
b
₁
.

9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b
₀
,
b
₁
.

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М()( по оси Х откладывать месяцы январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М() и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Решение.

Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния:

На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде.

Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией . Решение задачи нахождения коэффициентов b
₀
,
b
₁ основывается на применении метода наименьших квадратов и сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными b
₀
,
b
₁ :
b
₀
n + b
₁ Уx_i = Уy_i,

b
₀ Уx_i + b
₁ Уx_i² = Уx_iy_i.




Составляем вспомогательную таблицу:

№	х	y	x2	ху	y2
1	1	367	1	367	134689
2	2	418	4	836	174724
3	3	412	9	1236	169744
4	4	470	16	1880	220900
5	5	485	25	2425	235225
6	6	470	36	2820	220900
7	7	525	49	3675	275625
8	8	568	64	4544	322624
9	9	538	81	4842	289444
10	10	558	100	5580	311364
сумма	55	4811	385	28205	2355239

Для нашей задачи система имеет вид:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

Получаем:

, .

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:
y =364,8 + 21,145x.




4.      Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния.

5.                 Вычислим значения статистики F и коэффициента детерминации R
²
. Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле R² = r_xy² = 0,952² = 0,907. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R² по формуле:

Получаем: . Зададим уровень значимости б =0,01, по таблице находим квантиль распределения Фишера F_0,01;1;8 = 11,26, где 1 – число степеней свободы.
F_факт. > F_0,01;1;8, т.к. 78,098 > 11,26.
Следовательно, делаем вывод о значимости уравнения регрессии при 99% - м уровне значимости.

6.                 Вычислим выборочный коэффициент корреляции и проверим гипотезу о ненулевом его значении.

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле:



Получаем:



Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-б/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, б - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение б задается. Примем б = 0,05, тогда t_1-б/2,n-2 = t_0,975,8 = 2,37. Получаем:

.

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у.

С использованием табличного процессора Ехсеl проведем регрессионную статистику:

Вывод итогов:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,952409
R-квадрат	0,907083
Нормированный R-квадрат	0,895468
Стандартная ошибка	21,7332
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	36888,245	36888,25	78,09816	2,119E-05
Остаток	8	3778,6545	472,3318
Итого	9	40666,9

	Коэфф.	Станд. ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	364,8	14,846599	24,57128	8,04E-09	330,56368	399,0363
Переменная X 1	21,14545	2,3927462	8,837316	2,12E-05	15,627772	26,66314

Вычисленные значения коэффициентов b
₀
,
b
₁
, значения статистики F
, коэффициента детерминации R
² выборочного коэффициента корреляции r_xy совпадают с выделенными в таблице.

7. Оценка дисперсии случайной составляющей эконометрической модели вычисляется по формуле .

Используя результаты регрессионной статистики, получаем:

.

8. Проверим значимость вычисленных коэффициентов b
₀
,
b
₁ по t-критерию Стьюдента. Для этого проверяем выполнение неравенств:
 и ,
где
, , , .
Используем результаты регрессионной статистики:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	364,8	14,846599	24,57128	8,04E-09	330,56368	399,0363
Переменная X 1	21,14545	2,3927462	8,837316	2,12E-05	15,627772	26,66314

Получаем: ;  Примем б = 0,05, тогда t_1-б/2,n-2 = t_0,975,8 = 2,37.

Так как

 и , делаем вывод о значимости коэффициентов линейного уравнения регрессии.

9. Доверительные интервалы для коэффициентов b
₀
,
b
₁ получаем с помощью результатов регрессионной статистики.

Доверительный интервал для коэффициента b
₀ уравнения регрессии:

Доверительный интервал для коэффициента b
₁ уравнения регрессии:

10. Построим доверительный интервал для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели по формуле:
.
Примем б = 0,05, тогда по таблице для 10-элементной выборки q = 0,65.

Получаем:




,

.
11. Построим доверительную область для условного математического ожидания М().

Доверительные интервалы для уравнения линейной регрессии:  находятся по формуле:

где  соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной  для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы;
 
Рассмотрим уравнение: y =364,8 + 21,145x. Пусть  тогда . Зная  и , заполним таблицу:

1	385,95	20,25	4,634	377,327	394,564
2	407,09	12,25	5,215	397,391	416,791
3	428,24	6,25	5,738	417,564	438,908
4	449,38	2,25	6,217	437,819	460,945
5	470,53	0,25	6,661	458,138	482,917
6	491,67	0,25	7,078	478,508	504,838
7	512,82	2,25	7,471	498,921	526,715
8	533,96	6,25	7,845	519,372	548,556
9	555,11	12,25	8,202	539,854	570,365
10	576,25	20,25	8,544	560,363	592,146
сумма		82,5
11	597,4	30,25	8,873	580,897	613,903
12	618,55	42,25	9,190	601,453	635,638

График уравнения регрессии, доверительная полоса, диаграмма рассеяния:

12. С помощью линейной парной регрессии сделаем прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц:

597,4, 618,55.

Нанесем эти значения на диаграмму рассеяния.





Эти значения сопоставимы с границами доверительной области для условного математического ожидания М().

Точность прогнозирования: с вероятностью 0,95 прибыль в ноябре находится в интервале (487,292; 515,508); прибыль в декабре находится в интервале (497,152; 526,376).