МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра «Статистика и анализ хозяйственной деятельности»
Контрольная работа

по Эконометрики
Выполнил: студент 2 курса

заочного отделения «Экономического факультета»

по специальности «Финансы и кредит»

с сокращенным сроком обучения

Антонов Леонид Владимирович

Ульяновск, 2009

Задача 1

По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземного и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера (табл. 1).

Таблица 1

Район	Потребительские расходы в расчете на душу населения, руб., y	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, руб., x
1	408	524
2	249	371
3	253	453
4	580	1006
5	651	997
6	322	486
7	899	1989
8	330	595
9	446	1550
10	642	937

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.


2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

	y	x	yx	x2	y2	ŷx	y-ŷx	Ai
1	408	524	213792	274576	166464	356,96	51,04	12,5
2	249	371	92379	137641	62001	306,47	-57,47	23,1
3	253	453	114609	205209	64009	333,53	-80,53	31,8
4	580	1006	583480	1012036	336400	516,02	63,98	11,0
5	651	997	649047	994009	423801	513,05	137,95	21,2
6	322	486	156492	236196	103684	344,42	-22,42	7,0
7	899	1989	1788111	3956121	808201	840,41	58,59	6,5
8	330	595	196350	354025	108900	380,39	-50,39	15,3
9	446	1550	691300	2402500	198916	695,54	-249,54	56,0
10	642	937	601554	877969	412164	493,25	148,75	23,2
итого	4780	8908	5087114	10450282	2684540	4780,04	-0,04	207,5
среднее значение	478	890,8	508711,4	1045028,20	268454	x	x	20,7
σ	199,92	501,50	x	x	x	x	x	x
σ2	39970,00	251503,56	x	x	x	x	x	x

;

.
Получено уравнение регрессии: .

С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Тесноту связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:
.
Коэффициент детерминации

Это означает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:




.


Таким образом, изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации:




                = 20,7%

Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8 – 10 %.

6. Оцените с помощью
F
- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение - критерия:






.
Табличное значение (k₁=1, k₂=8 ) F_табл.=5,32. Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции
 :

,

,

.
Фактические значения - статистик:

 

 

.

Табличное значение - критерия Стьюдента при  и t_табл.=2,306. Так как , t_a < t_табл. и .

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии  и :  и . Получим, что и .

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

Найдем прогнозное значение результативного фактора  при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня , т.е. найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.

 (тыс. руб.)

Значит, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
,

а доверительный интервал ():

.

Т.е. прогноз является статистически не точным.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Из полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи с помощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 %заработной платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на душу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз является статистически не точным.
Задача 8
По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.):

у = 20 + . Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19

Задание:

Определите:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

б) индекс корреляции;

в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

_{х = 200 тыс. руб.}






.


Таким образом, изменение технической оснащенности на 1% приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.

б) индекс корреляции:

Уравнение регрессии:



                      = 23,5/10 = 2,35





Это означает, что 99,6 % вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.

в)
F
- критерий Фишера. Сделайте выводы.







F_табл. = 4,46

F_табл. < F_факт; Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
Задача 13
По заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт. Ч) от производства продукции - Х₁ (тыс.ед.) и уровня механизации труда – Х₂ (%). Данные приведены в табл.4.2.

Общий F-критерий проверяет гипотезу H
₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0):

F_табл. = 9,55
Сравнивая F_табл. и F_факт., приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H₀ и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Частные F-критерий – F_х1. и F_х2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х₁ и х₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F_х1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор х₂. Соответственно F_х2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х_1.




Низкое значение F_х2 (меньше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r
²
_yx
1
за счет включения в модель фактора х₂ после фактора х_{1. следовательно,} подтверждается нулевая гипотеза H₀ о нецелесообразности включения в модель фактора х_2.

Задача 21

Модель денежного и товарного рынков:
R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁, (функция денежного рынка);

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂ ( функция товарного рынка);

I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃ (функция инвестиций),
где R - процентные ставки;

Y - реальный ВВП;

M - денежная масса;

I - внутренние инвестиции;

G - реальные государственные расходы.

Решение:






 R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁,

 Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂

 I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃

 С_t = Y_t + I_t + G_t
Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (R_t, Y_t, I_t, С_t) и две предопределенные переменные ( и ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение:
R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁.
Это уравнение содержит две эндогенные переменные  и  и одну предопределенную переменную . Таким образом,
,
т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение:
Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂.
Оно включает три эндогенные переменные Y_t, I_t и R_t и одну предопределенную переменную G_t. Выполняется условие




.
Уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение:
I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃.
Оно включает две эндогенные переменные I_t и R_t. Выполняется условие
.
Уравнение идентифицируемо.

Четвертое уравнение:
С_t = Y_t + I_t + G_t.
Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

			Rt
I уравнение	0	0	–1	b12	b14	0
II уравнение	0	b23		–1	0	b25
III уравнение	0	–1	b31	0	0	0
Тождество	–1	1	0	1	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

		Rt
II уравнение	b23		–1	b25
III уравнение	–1	b31	0	0
Тождество	1	0	1	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

			Rt
I уравнение	0	0	–1	b12	b14	0
III уравнение	0	-1	b31	0	0	0
Тождество	–1	1	0	1	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:






.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

			Rt
I уравнение	0	0	–1	b12	b14	0
II уравнение	0	b23		–1	0	b25
Тождество	-1	1	0	1	0	1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы  не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:






R_t = a₁ + b₁₁Y_t + b₁₃M_t + b₁₅G_t + b₁₆G_t + u₁

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + b₂₆G_t + u ₂

I_t = a₃ + b₃₁R_t + b₃₃I_t + b₃₅G_t + b₃₆G_t + u ₃

С_t = a₄ + b₄₁R_t + b₄₃I_t + b₄₅G_t + b₄₆G_t + u ₄
Задача 26
Имеются данные об урожайности культур в хозяйствах области:

Варианты	Показатели	Год
		1	2	3	4	5	6	7	8
4	Урожайность картофеля, ц/га	63	64	69	81	84	96	106	109

Задание:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Решение:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.


Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяют следующие функции:

Ø                линейная

Ø                гипербола

Ø                экспонента

Ø                степенная функция

Ø                парабола второго и более высоких порядков

Параметры трендов определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .











Сравним значения R
² по разным уровням трендов:

Полиномиальный 6-й степени - R
²
= 0,994

Экспоненциальный - R
²
= 0,975

Линейный - R
²
= 0,970

Степенной - R
²
= 0,864

Логарифмический - R
²
= 0,829

Исходный данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.



y = - 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 + 62,25 =

= - 6377,292 + 17242,308 – 16881,453 + 7537,86 - 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327

3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Урожайность картофеля, ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.