Задача 1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.
Таблица 1 - Исходные данные



Решение:

Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.
Таблица 2 - Вспомогательная



Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле
,
где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака;  показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х∙
f:

Данные берутся из таблицы.

Ответ: Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.

Задача 2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:

1) относительную величину структуры численности рабочих;

2) моду и медиану стажа рабочих;

3) средний стаж рабочих цеха;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию;

7) среднее квадратическое отклонение;

8) коэффициент вариации;

9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Таблица 3 - Исходные данные



Решение:

1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.
Таблица 4 - Относительная структура численности рабочих



2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.
Таблица 5 - Вспомогательная.



Мода - это наиболее часто встречающееся значение ряда:
,
где - мода;  - нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным;  - шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; f_mo - частота модального интервала; f_mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f_mo+1 - частота интервала, последующего за модальным.

Медианой является значение признака х, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:
,
где x_me - нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину . Интервал с накопленной частотой равной величинеявляется медианным; i - шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ;  - сумма частот вариационного ряда; S_me-1- сумма накопленных частот в домедианном интервале; f_me - частота медианного интервала.

3) Находим средний стаж рабочих цеха:
,
где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ;

f - частота, т.е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.

Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:


,
что говорит о левосторонней асимметрии.

По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.

4) Находим размах вариации.

Размах вариации:
,
где х
_max - максимальное значение признака; х
_min - минимальное значение признака.

Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.

5) Находим среднее линейное отклонение:
,
где  - индивидуальные значения признака,  - средняя величина; f - частота.

Строим расчетную таблицу.
Таблица 6 - Расчетная



.
Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.

6) Находим дисперсию:

7) Находим среднее квадратическое отклонение:
.
Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.

8) Находим коэффициент вариации:
.
Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.

9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.

Границы генеральной средней:
,
где  - генеральная средняя,  - выборочная средняя, Δ- предельная ошибка выборочной средней:
,
где  - коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t = 2, а при вероятности 0,997 t = 3; n - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;

 - дисперсия признака выборочной совокупности.

Так, находим предельную ошибку выборочной средней:
.
Тогда пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Границы генеральной доли:
,
где р - генеральная доля, - выборочная доля:
,
где  - число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком; n - объем выборочной совокупности; - предельная ошибка доли:
,
где n - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Тогда доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:

Задача 3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.




Таблица 7 - Исходные данные



Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.

Определите связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.

Сделать вывод.

Решение:
,
где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий;  - межгрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; _ значение признака (варианта).

Средняя из групповых дисперсий  характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;


,
где f_i - число единиц в определенной i - й группе;  - дисперсия по определенной i - й группе:
,
где  - средняя по определенной i - й группе.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:
.
Находимсреднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой группе. Строим расчетную таблицу.
Таблица 8 - Расчетная



Получаем следующие значения, которые сводим в таблицу.
Таблица 9 - Десперсии по группам



Рассчитываем среднюю из групповых дисперсий:
,
Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.

Находим межгрупповую дисперсию.

Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.


Таблица 10 - Вспомогательная



.
Так, из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от среднего значения на 0,625 кг.

Находим общую дисперсию:
=0,75+0,625=1,375.
Так, под влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.

Задача 4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.
Таблица 11 - Исходные данные


Определить:

1) агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство;

2) абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.

Решение:

1) Находим агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.
Таблица 12 - Расчетная



Агрегатный индекс себестоимости:
,
где - себестоимость в отчетном и базисном периоде соответственно;  - физический объем производства в отчетном периоде;

Агрегатный индекс физического объема произведенной продукции:


,
где ,
q₀ - физический объем производства в отчетном и базисном периоде соответственно;  - себестоимость в отчетном периоде;

Агрегатный индекс затрат на производство равен:
.
Таким образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов - на 15,4%.

2) Находим абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства.

Общее абсолютное изменение затрат на производство:
=1596155-1382200=213955 млн. руб.
Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. роль себестоимости в изменении затрат на производство:
 =1596155-1486100=110055 млн. руб.
Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема производства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:
=1486100-1382200=103900 млн. руб.

103900+110055=213955
Таким образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение общих затрат на производство.

Задача 5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства.
Таблица 13 - Исходные данные



Вычислить общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать выводы.

Решение:

Для нахождения индексов строим вспомогательную таблицу.
Таблица 14 - Расчетная



Средний арифметический индекс физического объема произведенной продукции:
,

где  - индивидуальный индекс физического объема произведенной продукции; z_0,
q₀ - себестоимость, физический объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно;  - затраты на производство в базисном периоде.

Так, за счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на 2,5%.

Средний гармонический индекс себестоимости:
,
где  - индивидуальный индекс себестоимости; z_1,
q₁ - себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно; товарооборот (стоимость) реализованной продукции в отчетном периоде.

Так, за счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство продукции выросли на 2,8%.

Общий индекс затрат на производство:

Изменение затрат под влиянием обоих составит - 5,4%.

Задача 5. Рассчитать:

1) индексы урожайности переменного состава;

2) индекс урожайности постоянного состава;

3) индекс влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.


Таблица 15 - Исходные данные



Решение:

Для решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.
Таблица 16 - Вспомогательная



Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого показателя. Индекс урожайности переменного состава:
.
Индекс постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:
.
Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности. Индекс структурных сдвигов:
.
Таким образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов урожайность посевов выросла на 11,8%

Задача 6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 - 2005 гг. рассчитать: за каждый год:

1) абсолютный пророст (базисный и цепной);

2) темп роста (базисный и цепной);

3) темпы прироста базисный и цепной);

4) абсолютное значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;

6) средний абсолютный прирост;

7) средний темп роста;

8) средний темп прироста. Сделать выводы.
Таблица 17 - Исходные данные



Решение:

Для определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:

1. Абсолютный прирост:

А) цепной:
,
где у
_i - уровень ряда динамики за изучаемый период, у
_i-1 - уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;

Б) базисный:
,
где у_о - начальный уровень ряда динамики;

2. Темп роста:

А) цепной:
;
Б) базисный:
;
3. Темп прироста: А) цепной:
 или ;
Б) базисный:
 или ;

4. Абсолютное значение 1% прироста:
 или .
Таблица 18 - Показатели динамики



Далее рассчитываем средние показатели динамики.

1) средний уровень ряда динамики для интервального ряда:
,
где у
_i - уровни ряда динамики, n - число уровней ряда динамики;

2) средний абсолютный прирост:
,
где у
_n - конечный уровень ряда;

3) средний темп роста:


,
4) средний темп прироста
. =102,1-100=2,1
Так, в среднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших в год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.

Список использованной литературы

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 565 с.

2. Статистика: учеб.-практ. пособие /под ред. М.Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2006 - 480 с.

3. Теория статистики: учебник /под ред. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М., 2000. - 414 с.